Il importe cependant de remarquer que le domaine du _calcul des valeurs_ est, en réalité, beaucoup plus étendu qu'on ne se le représente communément. Car plusieurs questions, véritablement _arithmétiques_, puisqu'elles consistent dans des _évaluations_, ne sont point ordinairement classées comme telles, parce qu'on a l'habitude de ne les traiter que comme incidentes, au milieu d'un ensemble de recherches analytiques plus ou moins élevées: la trop haute opinion qu'on se forme communément de l'influence des signes est encore la cause principale de cette confusion d'idées. Ainsi, non-seulement la construction d'une table de logarithmes, mais aussi le calcul des tables trigonométriques, sont de véritables opérations arithmétiques d'un genre supérieur. On peut citer encore comme étant dans le même cas, quoique dans un ordre très-distinct et plus élevé, tous les procédés par lesquels on détermine directement la valeur d'une fonction quelconque pour chaque système particulier de valeurs attribuées aux quantités dont elle dépend, lorsqu'on ne peut point parvenir à connaître généralement la forme explicite de cette fonction. Sous ce point de vue, la résolution _numérique_ des équations qu'on ne sait pas résoudre _algébriquement_, et de même le calcul des intégrales définies dont on ignore les intégrales générales, font réellement partie, malgré les apparences, du domaine de l'_arithmétique_, dans lequel il faut nécessairement comprendre tout ce qui a pour objet l'_évaluation_ des fonctions. Les considérations relatives à ce but, sont en effet, constamment homogènes, de quelques _évaluations_ qu'il s'agisse, et toujours bien distinctes des considérations vraiment _algébriques_.
Pour achever de se former une juste idée de l'étendue réelle du calcul des valeurs, on doit y comprendre aussi cette partie de la science générale du calcul qui porte aujourd'hui spécialement le nom de _théorie des nombres_, et qui est encore si peu avancée. Cette branche, fort étendue par sa nature, mais dont l'importance dans le système général de la science n'est pas très-grande, a pour objet de découvrir les propriétés inhérentes aux différens nombres en vertu de leurs valeurs et indépendamment de toute numération particulière. Elle constitue donc une sorte d'_arithmétique transcendante_; c'est à elle que conviendrait effectivement la définition proposée par Newton pour l'_algèbre_.
Le domaine total de l'_arithmétique_ est donc, en réalité, beaucoup plus étendu qu'on ne le conçoit ordinairement. Mais, néanmoins, quelque développement légitime qu'on puisse lui accorder, il demeure certain que, dans l'ensemble de la mathématique abstraite, le _calcul des valeurs_ ne sera jamais qu'un point, pour ainsi dire, en comparaison du _calcul des fonctions_, dans lequel la science consiste essentiellement.
Cette appréciation va devenir encore plus sensible par quelques considérations qui me restent à indiquer sur la véritable nature des questions arithmétiques en général, quand on les examine d'une manière approfondie.
En cherchant à déterminer avec exactitude en quoi consistent proprement les _évaluations_, on reconnaît aisément qu'elles ne sont pas autre chose que de véritables _transformations_ des fonctions à évaluer, transformations qui, malgré leur but spécial, n'en sont pas moins essentiellement de la même nature que toutes celles enseignées par l'analyse. Sous ce point de vue, le _calcul des valeurs_ pourrait être conçu simplement comme un appendice et une application particulière du _calcul des fonctions_, de telle sorte que l'_arithmétique_ disparaîtrait, pour ainsi dire, dans l'ensemble de la mathématique abstraite, comme section distincte.
Pour bien comprendre cette considération, il faut observer que, lorsque l'on propose d'_évaluer_ un nombre inconnu dont le mode de formation est donné, il est, par le seul énoncé même de la question arithmétique, déjà défini et exprimé sous une certaine forme; et qu'en l'_évaluant_, on ne fait que mettre son expression sous une autre forme déterminée, à laquelle on est habitué à rapporter la notion exacte de chaque nombre particulier, en le faisant rentrer dans le système régulier de la _numération_. L'_évaluation_ consiste si bien dans une simple _transformation_, que lorsque l'expression primitive du nombre se trouve elle-même conforme à la numération régulière, il n'y a plus, à proprement parler, d'_évaluation_, ou plutôt on répond à la question par la question même. Qu'on demande, par exemple, d'ajouter les deux nombres trente et sept, on répondra en se bornant à répéter l'énoncé même de la question, et on croira néanmoins avoir _évalué_ la somme, ce qui signifie que, dans ce cas, la première expression de la fonction n'a pas besoin d'être transformée; tandis qu'il n'en serait point ainsi pour ajouter vingt-trois et quatorze, car alors la somme ne serait pas immédiatement exprimée d'une manière conforme au rang qu'elle occupe dans l'échelle fixe et générale de la numération.
En précisant, autant que possible, la considération précédente, on peut dire qu'_évaluer_ un nombre n'est autre chose que mettre son expression coefficiens a, b, c, d, etc. étant assujétis à ces conditions d'être nombres entiers moindres que /beta, pouvant devenir nuls, mais jamais négatifs. Ainsi, toute question arithmétique est susceptible d'être posée comme consistant à mettre sous une telle forme une fonction abstraite quelconque de diverses quantités que l'on suppose avoir déjà elles-mêmes une forme semblable. On pourrait donc ne voir dans les différentes opérations de l'arithmétique que de simples cas particuliers de certaines transformations algébriques, sauf les difficultés spéciales tenant aux conditions relatives à l'état des coefficiens.
Il résulte clairement, de ce qui précède, que la mathématique abstraite se compose essentiellement du _calcul des fonctions_, qui en était évidemment déjà la partie la plus importante, la plus étendue, et la plus difficile. Tel sera donc désormais le sujet exclusif de nos considérations analytiques. Ainsi, sans m'arrêter davantage au _calcul des valeurs_, je vais passer immédiatement à l'examen de la division fondamentale du _calcul des fonctions_.
Nous avons déterminé, au commencement de cette leçon, en quoi consiste proprement la véritable difficulté qu'on éprouve à mettre en _équation_ les questions mathématiques. C'est essentiellement à cause de l'insuffisance du très-petit nombre d'élémens analytiques que nous possédons, que la relation du concret à l'abstrait est ordinairement si difficile à établir. Essayons maintenant d'apprécier philosophiquement le procédé général par lequel l'esprit humain est parvenu, dans un si grand nombre de cas importans, à surmonter cet obstacle fondamental.
En considérant directement l'ensemble de cette question capitale, on est naturellement conduit à concevoir d'abord un premier moyen pour faciliter l'établissement des équations des phénomènes. Puisque le principal obstacle à ce sujet vient du trop petit nombre de nos élémens analytiques, tout semblerait se réduire à en créer de nouveaux. Mais ce parti, quelque naturel qu'il paraisse, est véritablement illusoire, quand on l'examine d'une manière approfondie. Quoiqu'il puisse certainement être utile, il est aisé de se convaincre de son insuffisance nécessaire.
En effet, la création d'une véritable nouvelle fonction abstraite élémentaire présente, par elle-même, les plus grandes difficultés. Il y a même, dans une telle idée, quelque chose qui semble contradictoire.
Car un nouvel élément analytique ne remplirait pas évidemment les conditions essentielles qui lui sont propres, si on ne pouvait immédiatement l'_évaluer_: or, d'un autre côté, comment _évaluer_ une nouvelle fonction qui serait vraiment _simple_, c'est-à-dire, qui ne rentrerait pas dans une combinaison de celles déjà connues? Cela paraît presque impossible. L'introduction, dans l'analyse, d'une autre fonction abstraite élémentaire, ou plutôt d'un autre couple de fonctions (car chacune serait toujours accompagnée de son _inverse_), suppose donc nécessairement la création simultanée d'une nouvelle opération arithmétique, ce qui est certainement fort difficile.
Si nous cherchons à nous faire une idée des moyens que l'esprit humain pourrait employer pour inventer de nouveaux élémens analytiques, par l'examen des procédés à l'aide desquels il a effectivement conçu ceux que nous possédons, l'observation nous laisse à cet égard dans une entière incertitude, car les artifices dont il s'est déjà servi pour cela sont évidemment épuisés. Afin de nous en convaincre, considérons le dernier couple de fonctions simples qui ait été introduit dans l'analyse, et à la formation duquel nous avons pour ainsi dire assisté, savoir le quatrième couple, car, comme je l'ai expliqué, le cinquième couple ne constitue pas, à proprement parler, de véritables nouveaux élémens analytiques. La fonction a^x, et, par suite, son inverse, ont été formées en concevant sous un nouveau point de vue une fonction déjà connue depuis long-temps, les puissances, lorsque la notion en a été suffisamment généralisée. Il a suffi de considérer une puissance relativement à la variation de l'exposant, au lieu de penser à la variation de la base, pour qu'il en résultât une fonction simple vraiment nouvelle, la variation suivant alors une marche toute différente. Mais cet artifice, aussi simple qu'ingénieux, ne peut plus rien fournir. Car, en retournant, de la même manière, tous nos élémens analytiques actuels, on n'aboutit qu'à les faire rentrer les uns dans les autres.
Nous ne concevons donc nullement de quelle manière on pourrait procéder à la création de nouvelles fonctions abstraites élémentaires, remplissant convenablement toutes les conditions nécessaires. Ce n'est pas à dire, néanmoins, que nous ayons atteint aujourd'hui la limite effective posée à cet égard par les bornes de notre intelligence. Il est même certain que les derniers perfectionnemens spéciaux de l'analyse mathématique ont contribué à étendre nos ressources sous ce rapport, en introduisant dans le domaine du calcul certaines intégrales définies, qui, à quelques égards, tiennent lieu de nouvelles fonctions simples, quoiqu'elles soient loin de remplir toutes les conditions convenables, ce qui m'a empêché de les inscrire au tableau des vrais élémens analytiques. Mais, tout bien considéré, je crois qu'il demeure incontestable que le nombre de ces élémens ne peut s'accroître qu'avec une extrême lenteur. Ainsi, ce ne peut être dans un tel procédé que l'esprit humain ait puisé ses ressources les plus puissantes pour faciliter autant que possible l'établissement des équations.
Ce premier moyen étant écarté, il n'en reste évidemment qu'un seul; c'est, vu l'impossibilité de trouver directement les équations entre les quantités que l'on considère, d'en chercher de correspondantes entre d'autres quantités auxiliaires, liées aux premières suivant une certaine loi déterminée, et de la relation desquelles on remonte ensuite à celle des grandeurs primitives. Telle est, en effet, la conception, éminemment féconde, que l'esprit humain est parvenu à fonder, et qui constitue son plus admirable instrument pour l'exploration mathématique des phénomènes naturels, l'_analyse_ dite _transcendante_.
En thèse philosophique générale, les quantités auxiliaires que l'on introduit, au lieu des grandeurs primitives ou concurremment avec elles, pour faciliter l'établissement des équations, pourraient dériver suivant une loi quelconque des élémens immédiats de la question. Ainsi, cette conception a beaucoup plus de portée que ne lui en ont supposé communément, même les plus profonds géomètres. Il importe extrêmement de se la représenter dans toute son étendue logique; car c'est peut-être en établissant un mode général de _dérivation_ autre que celui auquel on s'est constamment borné jusqu'ici, bien qu'il ne soit pas, évidemment, le seul possible, qu'on parviendra un jour à perfectionner essentiellement l'ensemble de l'analyse mathématique, et par suite à fonder, pour l'investigation des lois de la nature, des moyens encore plus puissans que nos procédés actuels, susceptibles, sans doute, d'épuisement.
Mais, pour n'avoir égard qu'à la constitution présente de la science, les seules quantités auxiliaires introduites habituellement à la place des quantités primitives dans l'_analyse transcendante_, sont ce qu'on appelle les élémens _infiniment petits_, les _différentielles_ de divers ordres de ces quantités, si l'on conçoit cette analyse à la manière de Leïbnitz; ou les _fluxions_, les _limites_ des rapports des accroissemens simultanés des quantités primitives comparées les unes aux autres, ou, plus brièvement, les _premières_ et _dernières raisons_ de ces accroissemens, en adoptant la conception de Newton; ou bien, enfin, les _dérivées_ proprement dites de ces quantités, c'est-à-dire, les coefficiens des différens termes de leurs accroissemens respectifs, d'après la conception de Lagrange. Ces trois manières principales d'envisager notre analyse transcendante actuelle, et toutes les autres moins distinctement tranchées que l'on a proposées successivement, sont, par leur nature, nécessairement identiques, soit dans le calcul, soit dans l'application, ainsi que je l'expliquerai d'une manière générale dans la sixième leçon. Quant à leur valeur relative, nous verrons alors que la conception de Leïbnitz a jusqu'ici, dans l'usage, une supériorité incontestable, mais que son caractère logique est éminemment vicieux; tandis que la conception de Lagrange, admirable par sa simplicité, par sa perfection logique, par l'unité philosophique qu'elle a établie dans l'ensemble de l'analyse mathématique, jusqu'alors partagée en deux mondes presque indépendans, présente encore, dans les applications, de graves inconvéniens, en ralentissant la marche de l'intelligence: la conception de Newton tient à peu près le milieu sous ces divers rapports, étant moins rapide, mais plus rationnelle que celle de Leïbnitz, moins philosophique, mais plus applicable que celle de Lagrange.
Ce n'est pas ici le lieu d'expliquer avec exactitude comment la considération de ce genre de quantités auxiliaires introduites dans les équations à la place des grandeurs primitives facilite réellement l'expression analytique des lois des phénomènes. La sixième leçon sera spécialement consacrée à cet important sujet, envisagé sous les différens points de vue généraux auxquels a donné lieu l'analyse transcendante. Je me borne en ce moment à considérer cette conception de la manière la plus générale, afin d'en déduire la division fondamentale du _calcul des fonctions_ en deux calculs essentiellement distincts, dont l'enchaînement, pour la solution complète d'une même question mathématique, est invariablement déterminé.
Sous ce rapport, et dans l'ordre rationnel des idées, l'analyse transcendante se présente comme étant nécessairement la première, puisqu'elle a pour but général de faciliter l'établissement des équations, ce qui doit évidemment précéder la _résolution_ proprement dite de ces équations, qui est l'objet de l'analyse ordinaire. Mais, quoiqu'il importe éminemment de concevoir ainsi le véritable enchaînement de ces deux analyses, il n'en est pas moins convenable, conformément à l'usage constant, de n'étudier l'analyse transcendante qu'après l'analyse ordinaire; car, si, au fond, elle en est par elle-même logiquement indépendante, ou que, du moins, il soit possible aujourd'hui de l'en dégager essentiellement, il est clair que son emploi dans la solution des questions ayant toujours plus ou moins besoin d'être complété par celui de l'analyse ordinaire, on serait contraint de laisser les questions en suspens, si celle-ci n'avait été étudiée préalablement.
En résultat de ce qui précède, le _calcul des fonctions_, ou l'_algèbre_, en prenant ce mot dans sa plus grande extension, se compose de deux branches fondamentales distinctes, dont l'une a pour objet immédiat la _résolution_ des équations, lorsque celles-ci sont immédiatement établies entre les grandeurs mêmes que l'on considère; et dont l'autre, partant d'équations, beaucoup plus aisées à former en général, entre des quantités indirectement liées à celles du problème, a pour destination propre et constante d'en déduire, par des procédés analytiques invariables, les équations correspondantes entre les grandeurs directes que l'on considère, ce qui fait rentrer la question dans le domaine du calcul précédent. Le premier calcul porte, le plus souvent, le nom d'_analyse ordinaire_, ou d'_algèbre_ proprement dite; le second constitue ce qu'on appelle l'_analyse transcendante_, qui a été désignée par les diverses dénominations de _calcul infinitésimal_, _calcul des fluxions et des fluentes_, _calcul des évanouissans_, etc., selon le point de vue sous lequel on l'a conçue. Pour écarter toute considération étrangère, je proposerai de la nommer _calcul des fonctions indirectes_, en donnant à l'analyse ordinaire le titre de _calcul des fonctions directes_. Ces expressions, que je forme essentiellement en généralisant et en précisant les idées de Lagrange, sont destinées à indiquer simplement avec exactitude le véritable caractère général propre à chacune des deux analyses.
Ayant établi la division fondamentale de l'analyse mathématique, je dois maintenant considérer séparément l'ensemble de chacune de ses deux parties, en commençant par le _calcul des fonctions directes_, et réservant ensuite des développemens plus étendus aux diverses branches du _calcul des fonctions indirectes_.
CINQUIÈME LEÇON.
SOMMAIRE. Considérations générales sur le calcul des fonctions directes.
D'après l'explication générale qui termine la leçon précédente, le _calcul des fonctions directes_, ou l'_algèbre_ proprement dite, suffit entièrement à la solution des questions mathématiques, quand elles sont assez simples pour qu'on puisse former immédiatement les équations entre les grandeurs mêmes que l'on considère, sans qu'il soit nécessaire d'introduire à leur place ou conjointement avec elles aucun système de quantités auxiliaires _dérivées_ des premières. À la vérité, dans le plus grand nombre des cas importans, son emploi a besoin d'être précédé et préparé par celui du _calcul des fonctions indirectes_, destiné à faciliter l'établissement des équations. Mais quoique le rôle de l'algèbre ne soit alors que secondaire, elle n'en a pas moins toujours une part nécessaire dans la solution complète de la question, en sorte que le _calcul des fonctions directes_ doit continuer à être, par sa nature, la base fondamentale de toute l'analyse mathématique. Nous devons donc, avant d'aller plus loin, considérer, d'une manière générale, la composition rationnelle de ce calcul, et le degré de développement auquel il est parvenu aujourd'hui.
L'objet définitif de ce calcul étant la _résolution_ proprement dite des _équations_, c'est-à-dire, la découverte du mode de formation des quantités inconnues par les quantités connues d'après les _équations_ qui existent entre elles; il présente naturellement autant de parties différentes que l'on peut concevoir de classes d'équations vraiment distinctes; et par conséquent, son étendue propre est rigoureusement indéfinie, le nombre des fonctions analytiques susceptibles d'entrer dans les équations, étant par lui-même tout-à-fait illimité, bien qu'elles ne soient composées que d'un très-petit nombre d'élémens primitifs.
La classification rationnelle des équations, doit être évidemment déterminée par la nature des élémens analytiques dont se composent leurs membres; toute autre classification serait essentiellement arbitraire.
Sous ce rapport, les analystes divisent d'abord les équations à une ou à plusieurs variables en deux classes principales, selon qu'elles ne contiennent que des fonctions des trois premiers couples (_voy._ le tableau, 4^e. leçon, page 173), ou qu'elles renferment aussi des fonctions, soit exponentielles, soit circulaires. Les dénominations de fonctions _algébriques_ et fonctions _transcendantes_, données communément à ces deux groupes principaux d'élémens analytiques, sont, sans doute, fort peu convenables. Mais la division universellement établie entre les équations correspondantes, n'en est pas moins très-réelle, en ce sens que la résolution des équations contenant les fonctions dites _transcendantes_, présente nécessairement plus de difficultés que celles des équations dites _algébriques_. Aussi l'étude des premières est-elle jusqu'ici excessivement imparfaite, à tel point que souvent la résolution des plus simples d'entre elles, nous est encore inconnue[7]; c'est sur l'élaboration des secondes que portent presqu'exclusivement nos méthodes analytiques.
[Note 7: Quelque simple que puisse paraître, par encore la _résoudre_; ce qui peut donner une idée de l'extrême imperfection de cette partie de l'algèbre.]
Ne considérant maintenant que ces équations _algébriques_, il faut observer d'abord que, quoiqu'elles puissent souvent contenir des fonctions _irrationnelles_ des inconnues aussi bien que des fonctions _rationnelles_; on peut toujours, par des transformations plus ou moins faciles, faire rentrer le premier cas dans le second; en sorte que c'est de ce dernier que les analystes ont dû s'occuper uniquement, pour résoudre toutes les équations _algébriques_.
Dans l'enfance de l'algèbre, ces équations avaient été classées d'après le nombre de leurs termes. Mais cette classification était évidemment vicieuse; comme séparant des cas réellement semblables, et en réunissant d'autres qui n'avaient rien de commun qu'un caractère sans aucune importance véritable[8]. Elle n'a été maintenue que pour les équations à deux termes, susceptibles, en effet, d'une résolution commune qui leur est propre.
[Note 8: On a commis plus tard la même erreur momentanée dans les premiers temps du calcul infinitésimal, pour l'intégration des équations différentielles.]
La classification des équations, d'après ce qu'on appelle leurs _degrés_, universellement admise depuis long-temps par les analystes, est, au contraire, éminemment naturelle, et mérite d'être signalée ici.
Car, en ne comparant, dans chaque _degré_, que les équations qui se correspondent, quant à leur complication relative, on peut dire que cette distinction détermine rigoureusement la difficulté plus ou moins grande de leur _résolution_. Cette gradation est sensible effectivement, pour toutes les équations que l'on sait résoudre. Mais on peut s'en rendre compte d'une manière générale, indépendamment du fait de la résolution. Il suffit, pour cela, de considérer que l'équation la plus générale de chaque degré comprend nécessairement toutes celles des divers degrés inférieurs, en sorte qu'il en doit être ainsi de la formule qui détermine l'inconnue. En conséquence, quelque faible qu'on pût supposer _à priori_ la difficulté propre au _degré_ que l'on considère, comme elle se complique inévitablement, dans l'exécution, de celles que présentent tous les _degrés_ précédens, la résolution offre donc réellement plus d'obstacles à mesure que le degré Cet accroissement de difficulté est tel, que jusqu'ici la résolution des équations algébriques ne nous est connue que dans les quatre premiers degrés seulement. À cet égard, l'algèbre n'a pas fait de progrès considérables depuis les travaux de Descartes, et des analystes italiens du seizième siècle, quoique, dans les deux derniers siècles, il n'ait peut-être pas existé un seul géomètre qui ne se soit occupé de pousser plus avant la résolution des équations. L'équation générale du cinquième degré elle-même, a jusqu'ici résisté à toutes les tentatives.
La complication toujours croissante que doivent nécessairement présenter les formules pour résoudre les équations à mesure que le degré augmente, l'extrême embarras qu'occasione déjà l'usage de la formule du quatrième degré, et qui le rend presqu'inapplicable, ont déterminé les analystes à renoncer, par un accord tacite, à poursuivre de semblables recherches, quoiqu'ils soient loin de regarder comme impossible d'obtenir jamais la résolution des équations du cinquième degré, et de plusieurs autres degrés supérieurs. La seule question de ce genre, qui offrirait vraiment une grande importance, du moins sous le rapport logique, ce serait la résolution générale des équations algébriques d'un degré quelconque. Or, plus on médite sur ce sujet, plus on est conduit à penser, avec Lagrange, qu'il surpasse réellement la portée effective de notre intelligence. Il faut d'ailleurs observer que la formule qui exprimerait la _racine_ d'une équation du degré m devrait nécessairement renfermer des radicaux de l'ordre m (ou des fonctions d'une multiplicité équivalente), à cause des m déterminations quelle doit comporter.
Puisque nous avons vu, de plus, qu'elle doit aussi embrasser, comme cas particulier, celle qui correspond à tout autre degré inférieur, il s'ensuit qu'elle contiendrait, en outre, inévitablement, des radicaux de l'ordre m-1, d'autres de l'ordre m-2, etc., de telle manière que, s'il était possible de la découvrir, elle offrirait presque toujours une trop grande complication pour pouvoir être utilement employée, à moins qu'on ne parvînt à la simplifier, en lui conservant cependant toute la généralité convenable, par l'introduction d'un nouveau genre d'élémens analytiques, dont nous n'avons encore aucune idée. Il y a donc lieu de croire que, sans avoir déjà atteint sous ce rapport les bornes imposées par la faible portée de notre intelligence, nous ne tarderions pas à les rencontrer en prolongeant avec une activité forte et soutenue cette série de recherches.
Il importe d'ailleurs d'observer que, même en supposant obtenue la résolution des équations _algébriques_ d'un degré quelconque, on n'aurait encore traité qu'une très-petite partie de l'_algèbre_ proprement dite, c'est-à-dire, du calcul des fonctions directes, embrassant la résolution de toutes les équations que peuvent former les fonctions analytiques aujourd'hui connues. Enfin, pour achever d'éclaircir la considération philosophique de ce sujet, il faut reconnaître que, par une loi irrécusable de la nature humaine, nos moyens pour concevoir de nouvelles questions étant beaucoup plus puissans que nos ressources pour les résoudre, ou, en d'autres termes, l'esprit humain étant bien plus apte à imaginer qu'à raisonner, nous resterons nécessairement toujours au-dessous de la difficulté, à quelque degré de développement que parviennent jamais nos travaux intellectuels.
Ainsi, quand même on découvrirait un jour la résolution complète de toutes les équations analytiques actuellement connues, ce qui, à l'examen, doit être jugé tout-à-fait chimérique, il n'est pas douteux qu'avant d'atteindre à ce but, et probablement même comme moyen subsidiaire, on aurait déjà surmonté la difficulté bien moindre, quoique très-grande cependant, de concevoir de nouveaux élémens analytiques, dont l'introduction donnerait lieu à des classes d'équations que nous ignorons complétement aujourd'hui; en sorte qu'une pareille imperfection relative de la science algébrique se reproduirait encore, malgré l'accroissement réel, très-important d'ailleurs, de la masse absolue de nos connaissances.
Dans l'état présent de l'algèbre, la résolution complète des équations des quatre premiers degrés, des équations binomes quelconques, de certaines équations spéciales des degrés supérieurs, et d'un très-petit nombre d'équations exponentielles, logarithmiques, ou circulaires, constituent donc les méthodes fondamentales que présente le calcul des fonctions directes pour la solution des problèmes mathématiques. Mais, avec des élémens aussi bornés, les géomètres n'en sont pas moins parvenus à traiter, d'une manière vraiment admirable, un très-grand nombre de questions importantes, comme nous le reconnaîtrons successivement dans la suite de ce volume. Les perfectionnemens généraux introduits depuis un siècle dans le système total de l'analyse mathématique ont eu pour caractère principal d'utiliser à un degré immense ce peu de connaissances acquises sur le calcul des fonctions directes, au lieu de tendre à les augmenter. Ce résultat a été obtenu à un tel point, que le plus souvent ce calcul n'a de rôle effectif dans la solution complète des diverses questions que par ses parties les plus simples, celles qui se rapportent aux équations des deux premiers degrés, à une seule ou à plusieurs variables.
L'extrême imperfection de l'algèbre, relativement à la résolution des équations, a déterminé les analystes à s'occuper d'une nouvelle classe de questions, dont il importe de marquer ici le véritable caractère.
Quand ils ont cru devoir renoncer à poursuivre plus long-temps la résolution des équations algébriques des degrés supérieurs au quatrième, ils se sont occupés de suppléer, autant que possible, à cette immense lacune, par ce qu'ils ont nommé la _résolution numérique_ des équations.
Ne pouvant obtenir, dans la plupart des cas, la _formule_ qui exprime quelle fonction explicite l'inconnue est des données, on a cherché, à défaut de cette résolution, la seule réellement _algébrique_, à déterminer, du moins, indépendamment de cette formule, la _valeur_ de chaque inconnue pour tel ou tel système désigné de valeurs particulières attribuées aux données. Par les travaux successifs des analystes, cette opération incomplète et bâtarde, qui présente un mélange intime des questions vraiment algébriques avec des questions purement arithmétiques, a pu, du moins, être entièrement effectuée dans tous les cas, pour des équations d'un degré et même d'une forme quelconques. Sous ce rapport, les méthodes qu'on possède aujourd'hui sont suffisamment générales, quoique les calculs auxquels elles conduisent soient souvent presque inexécutables, à cause de leur complication. Il ne reste donc plus, à cet égard, qu'à simplifier assez les procédés pour qu'ils deviennent régulièrement applicables, ce qu'on peut espérer d'obtenir dans la suite. D'après cet état du calcul des fonctions directes, on s'efforce ensuite, dans l'application de ce calcul, de disposer, autant que possible, les questions proposées de façon à n'exiger finalement que cette résolution _numérique_ des équations.
Quelque précieuse que soit évidemment une telle ressource, à défaut de la véritable solution, il est essentiel de ne pas méconnaître le vrai caractère de ces procédés, que les analystes regardent avec raison comme une algèbre fort imparfaite. En effet, il s'en faut de beaucoup que nous puissions toujours réduire nos questions mathématiques à ne dépendre, en dernière analyse, que de la résolution _numérique_ des équations. Cela ne se peut que pour les questions tout-à-fait isolées, ou vraiment finales, c'est-à-dire, pour le plus petit nombre. La plupart des questions ne sont, en effet, que préparatoires, et destinées à servir de préliminaire indispensable à la solution d'autres questions.
Or, pour un tel but, il est évident que ce n'est pas la _valeur_ effective de l'inconnue qu'il importe de découvrir, mais la _formule_ qui montre comment elle dérive des autres quantités considérées. C'est ce qui arrive, par exemple, dans un cas très-étendu, toutes les fois qu'une question déterminée renferme simultanément plusieurs inconnues.
Il s'agit alors, comme on sait, d'en faire, avant tout, la séparation.
En employant convenablement, à cet effet, le procédé simple et général heureusement imaginé par les analystes, et qui consiste à rapporter l'une des inconnues à toutes les autres, la difficulté disparaîtrait constamment, si l'on savait toujours résoudre algébriquement les équations considérées, sans que la résolution _numérique_ puisse être alors d'aucune utilité. C'est uniquement faute de connaître la résolution _algébrique_ des équations à une seule inconnue, qu'on est obligé de traiter l'_élimination_ comme une question distincte, qui forme une des plus grandes difficultés spéciales de l'algèbre ordinaire.
Quelque pénibles que soient les méthodes à l'aide desquelles on surmonte cette difficulté, elles ne sont pas même applicables d'une manière entièrement générale, à l'élimination d'une inconnue entre deux équations de forme quelconque.
Dans les questions les plus simples, et lorsqu'on n'a véritablement à résoudre qu'une seule équation à une seule inconnue, cette résolution _numérique_ n'en est pas moins un procédé très-imparfait, même quand elle est strictement suffisante. Elle présente, en effet, ce grave inconvénient d'obliger à refaire toute la suite des opérations pour le plus léger changement qui peut survenir dans une seule des quantités considérées, quoique leur relation reste toujours la même, sans que les calculs faits pour un cas puissent dispenser en aucune manière de ceux qui concernent un autre cas très-peu différent, faute d'avoir pu abstraire et traiter distinctement cette partie purement algébrique de la question qui est commune à tous les cas résultant de la simple variation des nombres donnés.
D'après les considérations précédentes, le calcul des fonctions directes, envisagé dans son état actuel, se divise donc naturellement en deux parties fort distinctes, suivant qu'on traite de la résolution _algébrique_ des équations ou de leur résolution _numérique_. La première partie, la seule vraiment satisfaisante, est malheureusement fort peu étendue, et restera vraisemblablement toujours très-bornée; la seconde, le plus souvent insuffisante, a du moins l'avantage d'une généralité beaucoup plus grande. La nécessité de distinguer nettement ces deux parties est évidente, à cause du but essentiellement différent qu'on se propose dans chacune, et par suite, du point de vue propre sous lequel on y considère les quantités. De plus, si on les envisage relativement aux diverses méthodes dont chacune est composée, on trouve dans leur distribution rationnelle une marche toute différente. En effet, la première partie doit se diviser d'après la nature des équations que l'on sait résoudre, et indépendamment de toute considération relative aux _valeurs_ des inconnues. Dans la seconde partie, au contraire, ce n'est pas suivant les _degrés_ des équations que les procédés se distinguent naturellement, puisqu'ils sont applicables à des équations d'un degré quelconque; c'est selon l'espèce numérique des _valeurs_ des inconnues. Car, pour calculer directement ces nombre sans les déduire des formules qui en feraient connaître les expressions, le moyen ne saurait évidemment être le même, quand les nombres ne sont susceptibles d'être évalués que par une suite d'approximations toujours incomplète, que lorsqu'on peut les obtenir exactement. Cette distinction si importante, dans la résolution numérique des équations, des racines incommensurables, et des racines