m Puisiay trouué aufly, que lorfqu’il ny a que trois ou * quatre lignes données, les poins cherchés fo rencontrent tous, non feulement en l’vnedes trois fe&ionsconi-^ ques, mais quelquefois aufly en la circonférence d’vn cercle, ou en vne ligne droite. Et que lorfqu’il y en a çinq,oufix, oufopt,ouhuit, tous ces poins fe rencon- trent en quelque vne des lignes, qui font d’vn degré plus « corapofées que les feûions coniques, & il eft impoffible ' d’en imaginer aucune qui ne foit vtile a cetc quefliçn- ’ i mais ils peuuent aufly dcrecheffe rencontrer en vne fe- dion conique, ou en vn cercle, on en vne ligne droit& Et s’il y en a neuf, ou io,ouii,ou 12, ces poins fe ren- contrent en vne ligne, qui ne peut eftrc que d’vn degré plus compofée que les precedentes • mais toutes celles qui Livre Premier. féf qui font d’vn degré" plus compofées y peuuent foruir, & ainfi a l'infini.
Au refte la première, & la plus (impie de toutes après les ferions coniques, eft celle qu’on peut defcrirepar l'interfe&ion d’vne Parabole, &d’vne ligne droite, en la façon qui fera tantoft expliquée. En forte que ie penfe auoir entièrement fatisfait a ceque Pappus nous dit auoir eftécherchéencecy par les anciens. &ietafcheray d’en * mettre la demonftration en peu de mots.car il m’ennnie défia d’en tant eferire.
&que ce qui eft produit par la multiplication d’vnepar- tie de ccs lignes, foit efgal a ce qui eft produit par la mul- tiplication des autres, oubien qu’ils ayent quelque autre proportion donnée, car cela ne rend point la queftion plus difficile-. 1P Commet Premièrement ie fuppofe la chofe comme défia faite, polir les &Pour me demefler de la côfufion de toutes ces) lignes, termes ie confidere l’vnedes données, & l’vne ift celles qu'il VE- feuttrouuer, par exemple A B, &: C B, comme lesprin- qoation cipales, & aufquelles ie tafehe de rapportçr ainfi toutes eiemplc. les autres. Qfte le fogment de la ligne A B, qui eft entre Jes poins A & B, foit nommé x. & que B C foit nommé “ y. & que toutes les autres lignes données foient prolon- gées, iufques a ce qu’elles couppenfces deux, aully pro- longées s’il eft befoin, &fi elles ne leur font point paral- •> leles. comme vous voy es icy qu’elles couppent la ligne A B aux poins A, E, G, & B C aux poins R,S,T. Puis a g. caufe que tous les angles du triangle A R B font donnés, la proportion, qui eft entre les coftés A B, & B K, eft aufi lÿ donnée, & ie la pôle comme de ç à b, de f%çon qu’ A B y x y g g que le point B tombe entre C & R; car fi R tomboit enb X ^ CR ferait -y- Tout de mefine les trois angles du triangle D R C font donnés, & par confequent auflÿ la proportion qui eft entre les coftés C R, & C D, que ie y* poiè comme deçà*: de façon que C Reliant y ■+• - » CD lava e Ekemie».
v « 4T-* • I j ' & G D fera ^ -H* Après cela ponrceque les lignes A B, A D, & E F font données par pofition, la diftance qui eft entre les poins A&E eft aufTy donnée, & fi on la nom- me K, on aura E B efgal a X; mais ce feroit 4r- x, fi le point B tomboit entre E & A \x,fiE tomboit entre A & B. Et ponrceque les angles du triangle ESB font tons donnés, la proportion de BE a BS eftaulTy donnée, & ie Ta pofe comme {k d, fibienque BS eft , & la toute C S eft -’**-**-*. mais ce feroit ppjuf g tomboit entre B & Cj& ce feroit — — — —, fi C tomboit entre B & S. De plus les trois angles du triangle FSC font donnés, & en faite là prof jti La GEOMETure.
toute CF fera'"' **' * *- *-*, En mefme façon" AG que ie nomme / eft donnée, & B G eft / -- x\ & a caufe du triangle B G T la proportion de B G a B T eft auflÿ C T 30 ■,y *{- 'Sx. Puis derechef la proportion de TC a C H eft donnée, a caufe du triangle TCH, & la pofant Etainfi vousvoye's, qu’en tel nombre de lignes don- nécsparpofition qu'on puifleauoir, toutes les lignes ti- rées deflus du point C a angles donné» fuiuant la teneur delà queftion,fepeuuent toufiours exprimer chafcune par trois termes; dont l'vn eft compofé de la quantité in- connue y, multipliée } ou diuifée par quelque autre connue; & l’autre de la quantité inconnue x\ auflÿ mul- tipliée ou diuifc'e par quelque autre connue, & le trolief- me dVne quantité' toute connue. Excepte feulement fi elles font parallèles; oubien a*la ligne A B, auquel cas le terme compofe'de la quantité# fera nul; oubien a lali- gne C B, auquel cas celuy qui eft compofe’de la quantité' y fera nul; ainfi qu’ileft trop manifefte pour que ie m are* fte a l’expliquer. Et pour les fignes -f-, 8c —, qui fe ioi- gnent à ces termes, ils peuuent eftre changes en toutes les façons imaginables.
Puis vous voyésaufly, que multipliant plufieurs de ces lignes i’vne par l’autre, les quantités xôcy, qui fe trouuentdans le produit, n’y peuuent auoir que chafcn-' ueautantdedimenfions,qu’ily aeu de lignes, al’explii ^ i. -? cation cation defquellesellesferuent, qui ontefté ainfi multi- pliées: enibrcc qu'elles n'auront jamais plus de deux di- menfions, en ce qui ne fera produit que par la multipli- cation de deux lignes* ny plus de trois, en ce qui ne fera produit que par la multiplication de trois,. & ainfi a l’in- fini.
De plus, a caqfe que pour déterminer le point C, il n’y a qu’vue feule condition qui foit requife, à fçauoir que ce que ce qui eft produit par la multiplication d*vn certain nombre de ces lignes foit efgal, ou ( cequi n’eft de riçn plan, lorf- plus malayfc') ait la proportion donnée, à ce qui eft pro-, J“j‘ntn cl duit par la multiplicatjpn des autres; on peut prendre a propofe diferetion l’vne des deux quantitésinconnues *oby*,.& joignes.* chercher l’autre parcete Equation, en laquelle il eft eui- dent que lorfque la queftion n'eft point propofc'e en plus de cinq lignes, la quantité x qui ne ferc point a l’cxpref- fion de la première peut toufiours n’y auoir que deux di- menfions. de façon que prenant vne quantité connue poury, il ne reftera que x x 00 -f- ou « a x H- on — b b. & ainfi on pourra trouuer la quantité x auec la reigle &Ie compas, en la façon rantoft expliquée. Mefme prenant fqcceflSuement infinies diuerfes grandeurs pour la ligne y y on en trounera aufly infinies pourla ligne a;, & ainfi on aura vue infinité'dediuerspoins / tels que celuy qui eft » marqué C, par le moyen defquels on deferira la ligne courbe demandée. * 11 fe peut faire aufly, la queftion eftant propofc'e en fix, ou plus grand nombre de lignes; s’il y en a entre les don- nées, qui foient parallèles a B A, ou BC, quelvnc des deux quantités x ou y n'ait que deux dimenfions en. ' J. Rr ' l'Equa- 3 La G'E'OATET RTE. l’Equation, & ainfi qu'on puifle trouuuer le point Cauec la reigle &le compas. Mais au contraire fi elles font tou- tes parallèles, encore que la queftion ne foit propoféo qu’en cinq lignes, ce point C ne pourra ainfi eftre trou- ué, a caufè que la quantité x ne fe trouuant point en ton- te l’Équation,il ne fera plus permis de prendre vnc quan- tité connue pourcelle qui eft nommdçy, mais ce fera elle qu’il faudra chercher. Et pource quelle aura trois di- menfions,on ne la pourra trouuer qu'en tirant la racine d’vne Equation cubique, cequi ne fe peut generalement foire fans qu’on y employé pour le moins vne fe&ion co- nique. Et encore qu’il y ait iufqyes a neuflighes don- nées,pourvûqu’elles ne foient point toutes parallèles, on peut toufiours faire que l’Equ^tionne monte que iufqucs au quarréde quarré. au moyen dequoy on Iapeut aufly toufioursrefoudre parles ferions coniques, en la-façon que i’expliqueraycy apres. Et encoraqu’il venait iuf ques a treize,on peut toufiours faire qu elle ne monte que iufques au quarré de cube, en fuite de quoy on la peut refoudre par le moyen d’vne ligne, qui n’eft que d’vn degré plus compoféequf lés ferions coniques, en la façon que i'expliquerayauffycy après. Et cecy cftla première partie de cequei auois icy a demonftrer; mais auantqueic pafTé a la. fécondé- il eft befoin que ie die quelque chofe en. general de la nature, des ligues cour- bes..
'De la nature des lignes courbes.
•T E s anciens ont fort bien remarque, qu'entre les •^-'Problcfmes de Geometrie, les vns font plans, les au- Quelles très folides,& les autres linéaires, c’efta4ire,quelesvns peuuent eftre conftruits, en ne traçant que dçs ligpes co“rbcs droites, & des cerclesj au lieu que les autres ne le peu- ^“u°nre. uent eftre, qu’on n’y employé pour le moins quelque le- ceuoir 6,1 étion conique j ni enfin les autres, qu'on n’y employé «'c°mc quelque autre lignepluscompofce. Mais ie m’eftonne de ce qu’ils n’ont point outre cela diftiugué diuers de- grés entre ces lignes plus composes & ie ne Içaurois comprendre jxmrquoy ils les ont nommées mechani- ques, plutoftqueGeometriqnes. Carde dire que ç’ait • efté', a caule qu’il eft beloin de le feruir de quelque ma- chine pour les deferire, il faudrait reietter par mefme railbn les cercles & les lignes droites^vû qu’on ne les de-,. ferit fur le papier qu’auec vn compas, & vne rcigle, qu'on peut aufly nommer des machines. Ce u’eft pas non plus, a caufe que les inftruinens, qui fe/uent a les tracer,eftant plus compofés que lareigle & le compas, ne peuuent eftre fi iuftes;car il faudrait pour cete railbn les reietter des Mechaniques, où la iuftefte des ouurages qui lortent '* de la main eft defircej plptoft que de laGeometrie, ou c’eft feulement la iuftefle du railbnnemët qu’ourccher- >v_. ' * Rr 2 chc, jt 6 ' La Geomet&u.
che, & qui peut (ans doute eftre aufly parfaite touchant ceslignes, que touchant les autres. le ne diray pas aufly, que ce foit a caufe qu’ils n’ont pas voulu augmenter le nombre de leurs demandes, & qu’ils le font contentés qu’on leur accordait, qu’ils puflent ioindre deux poins donnés par vne ligue droite, &defcrirevn cercle d’vn. centre donne' qui paflaft par vn^oint donne' car ils n’ont point foit de fcrupule defuppofer outre ce!a,pour traiter des ferions coniques, quon puft coupper tout cône donnéparvn plan donné. &iln’eft befoin de rienfup- pofer pour traçer toutes les lignes courbes, que ie pre- tens icy d’introduire j linon que deux ou plufieurs lignes puiflent eftre meuës l’vne par I autre, & que leurs inter- férions en marquent d’autres,* ce qui ne me paroift en rien plus difficile. 11 eft vray qu’ils n’ont pas aufly entiè- rement receu les ferions coniques en leur Geometrie, & ie ne veux pas entreprendre de changer les noms qur ont eft éapprounés par l’vfagej mais il eft, ce me femble, tresclair, que prenant comme on foit pour Géométrie que ce qui eft précis & exar, & pour Mcchanique ce quinel’eft pas; & conflderant la Geometrie comme vne foience, qui enfeigné generalement a connoiftre les mefures de tous les cors, on n’en doit pas plutoft exclure les lignes les pluscompofcés que les plus Amples, pourvû qu’on les puifleimaginer eftre deforites par vn mouue* ment continu, ou par plufieurs qui s'entrefuiuent & dont les derniers foient entièrement regleà par ceux qui les precedent, car par ce moyen on peut toufiours auoir vne connoiflance exare de leur mefure. Mais peuteftre que ce qui a empefehé les anciens Geometres de reçeqoit i Livre Second. 317 uoir celles qui eftoient plùs corapofces que lesfêCtions coniques, c'eftqueles premières qu’ils ont conliderees, ayant par hafard eftc la Spirale, la Quadratrice, & fem- blabfes, qui n’appartienent véritablement qu'aux Me- chaniqiiesr& ne font point du nombre de celles que^e penle deuoir icy eftre receues, a caülè qu'on les imaginé delcrites par deux mouuemens feparés, & quin’ont en- tre eux aucun raport qu’bn puifle mefuTer exactement, bienqu'ils ayent apres examiné la Conchoide, la CilToi- de, & quelque peu d’autres qui en font, toutefois a cau- fe qu’ils n’ont peuteftre pas afles remarqué leurs pro- priétés', ils n’en ont pas fait plus d’eftat que des premiè- res. Oubien c'eft que voyant, qu’il^neconnoifloient encore, que peu dechofes touchant les fe&ions coni- ques, & qu'il leur en reftoitmefme beaucoup, touchant ce qui fe peut faire auec la reigle & le compas, qu’ils ignoroient, ils ont creu ne deuoir point entamerde ma- tière plus difficile. Maispourceque i’efpercquc d’orena- nant ceux qui auront i’adreflfe de fe feruirdu calculGeo- metrique icÿ propofé', ne trouueront pas aflés dequoy s’arefter touchant les problefmes plans, ou folidesj ie* croy qn’il eft a propos que ie les inuite a d’antres re- cherches, où ils ne manqueront iamai s d’exercice.
Voyés les lignes A B, A D, AF, & femblables queie fuppofe auoir efté deferites par l’ayde de.l’inftrument 'Y Z, qui eft compofé de plufieurs reigles tellement ioin» tes, que celle qui eft marquée Y Z eftant areftée fur la ligne A N, on peut ouurir & fermer l’angle X Y Z; & que lorfqu’ileft tout fermé,les poins B, C, D, F, G, H font tous aflemblés au point A; mais qu'a mefure qu’on Rj 3 l’ouure,.
Xa Géométrie dâ môins que des ferions coniques^ ny ce qui peut em- - pefcher,(qu’on ne concoiue la fécondé, & la troifiefme; & toutes les autres, qu’on peut defcrirc, auiïÿ bien que ' la première j ny par conséquent qu'on ne les recoiue » toutes en mefme façon, pourlèruirauxfpeculations de * Geometrie.
le pourrois mettre icy plufieurs autres moyens pour La façon tracer &conçeuoir des lignes courbes, <Jbi feroieut dedJc^J* plus en plus compofées par degrés a l’infini, mais pour tes les iî- comprendre enfemble toutes celles, qui font en la natu» j*"$cscc°ur' re, & les diftinguer par ordre en certains genres * ie ne^tains fçache rien de meilleur que de dire que tous Iespoins.de^on’ C celles qu'on peut nommer Géométriques, c’eft a dtreno'ftrc Ie’ qui tombent fous quelque mefüre preciié & exaéte, oüe ^onT neceflaireinent quelque rapport a tous les poins d’vne ’ ligne droite, qui peut eftre exprime' paf quelque equa-ccuxdes * tion, en tous par vnc mefme. Et que lorfque ceteequa- tion ne monte que iufques au reétangfode deux quanti* tés indéterminées, oubien au quarré d ’vne mefiîie, la li-' gne courbe eft dû premier & plus fimple genre, dans lé-. '; qnelilnyaqnele cercle, la parabole, l'hyperbole,.&> l’Elhpfé qui foienfeoraprifos. mais que lorfque l’equa- tion monte iufques a la trois ou quatriefme dimenfîoi? des deux, ou de Pvne des deux quantités indéterminées,, car il en faut deux pour expliquer icy le rapport d’vn- pointa vn autre, elle eft du fecond:& que lorfque l’equa- tion monte iufques a la f ou fixiefme dime’nfioni ello *'* eft du troifiefme,- &ainfi des autres a l’infini.
.Comme fi ie veux fçauoir de quel genre eft' là ligno BC„que i’imagineeftredefcrite par l’interfeétion de la reigle G L, & du plan re&iligne C N K L, dont le coftc K N eft indefiniement prolongé vers C, & qui e franc meu fur le plan dé deflous en ligne droite, c'eft a dire en telle forte que fon diamètre K L fe trouue toujours ap- pliquéTur quelque endroit de la-ligne B A prolongée de part & d^utre, fait mouuoir circulairemenc cete reigle G L autour du point G, a caulè quelle luy eft tellement iointe quelle pafte toujours par le point L • le choilis vne ligne droite, comme A B,pour rapporter a lès diue« poins tous ceux de cete ligne courbe H C, &en ^:ete li- gne A B ie choilis vn point, comme A, pour commencer par luy ce calcul. le dis que iechoilîs & l'vn & l’autre, a caufe qu’il eft libre de les prendre tels qu’on veult. car encore qu’il y ait beaucoup de choix pour rendre l’équa- tion plus courte, & plus ayféej toutefois en quelle façon qu'on les prene, on peuttoufiours faire que la ligne pa- roifle de mefme genre, ainli qù’il eft ayfc a demonftr er.
Apr<& LivRi Second i» « i \ ' ', ' j; y \ v/j / <m b '■/ ■■ ' sT/ l L B - rt. iHKd / * 1 *’ ‘ » • 3» La Gêo-metris» Mb i ’ tipliant la fécondé par la troifiefme on produit -yy - abK qui eft efgale ~~yy — by qoi fe produit en multipliant la première par la 'dernière. 8c ainfi l'equation qu'il falloittrpuuereft ex de laquelle on counoift que la ligue EC eftrdu premier genre, comme en effeâ elle n’eft autre qu'vne Hy- perbole.
Que fi en l’inftrument qui fèrt a la deferire on qu’au lieu de la ligne droite C N K, ce foit cete Hyper- bole, ou quelque autee ‘ligne courbe du premier genre, qui terminée plan C N KL; lmterfe&ion de cete ligne & de lareigle G Ldefcrira, au lieu de l’Hyperbole EC, vne autre ligne courbe, qui fera du fécond genre. Com- me fi C N K eft vu cercle, dont L foit le centre, on dè- ferira la première Conchoide des anciens;& fi c eft vne Parabole dont le diamètre foit K B, on deferira la ligne edurbe, que i'ay tantôfl dit eft re k première r& la plus fîmple pour la queftion dcPappus,Iorfqu’il n’y a que cinq lignes droites données par pofîtion. Mais fi an lieu d’vne «le ces lignes courbes clïi premier genre, c’en eft vnè dü fécond, qui termine le plan C N K L, on en deferira pas fon rpoyerf vne du troifiefmc, ou fi c'en eft vne dii troifi- efine, ou en deferira vne du quatriefme, & ainfi a l'infini, edrame il eft fortayfca connoiftrepar le calcul. Et en quelque autre façon, qu’on imagine la deferiptioo d'vue ligne courbe, pourvilqu'elle foit du nombre «fe celles que ic nomme Géométriques f ou pourra toufiours trou* ' uer J».
' uer J».
f fAk 4, ♦ . Livre Second.. ‘. ‘ jij ocr vue équation pour déterminer tous fes poios en ccto forte.
• # • i Au refte ie mets les bgnes.courbes qui fout monter Gete équation iufquesaucfdarrc'de quarrc, au mcfmo genre que celles qyi ne la font monter que iufques au cube. & celles dont4equation monte au quatre de cu- be,au mefine genre que celles dont elle ne monte qu'au furfolidc. &ainfi des autres. f)ont la raifoneft, qu'il y a reigle generale pour réduire au cube toutes les difficul- tés qui vont au quarrc de quarrc, & auTurfoHde toutes celles qui vont au quarré decube, de façon qu'on ne les doit point eftimer plus compof&s.
Mais il eft a remarquer qu'encre les lignes de chafquc genre, encore que la plupart foicnt.efgalement compo- fees, en forte qu’elles peuuënt fcruir.a dcccnuinecles nnefmès poins, &conftruire les mefmes problcfmes,il y en.a toutefois auffy quelques vnes, qui fout plus (impies, &qui n’ont pas tant d’eftcnduecu leur puiflince. coin- meentre celles du premier genre outre l'EUiplè l’Hyper- bole 8c la Parabolp qui font également compofdes,lé cercle y eft aufly compris, qui mauifeftemenc eft plus ümple. 8c entre celles du fécond genre il y ala Conchoi- *de vulgaire, qui afon origine du ce rdej Ôc il y en a en- core quelques autres, qui bien qu’elles n’ayent pas tant d’eftendue que la plus part de celles du raefme genre, ne peuuent toutefois eftre mifès dans le premier.
Or apres auoiraiûfi réduit toutes les lignes courbes a certains genres* il mqft ayfe" de pourfuiure en la de- [ion de la monftrationde larefpgnfe,quei’ay tantoftfaite alaqoe- JJpîppws (lion de Pappus, Car premièrement ayant tW voir cy au 3 liuro — *3 sf deflfus, «dent . La Gbombtrië.
défias, que lorfqu’il n'y a que trois ou 4 lignes droites données, l’equation quifert a déterminer les poins cher* chés, ne monte queiufques au quarré; il eft euident.que la Hgne courbe ou fe trouuent ces poins, eft necefiaire- ment quelqu’vne de celles du premieçgenre-.a caufe que cete mefme équation e^lique le rapport, qu’ont tous les poins des lignes du premier genre a ceux d'vne ligne droite^t que lorfqu’il n'y a point plus de 8 lignes droi- tes données, cete equatioù ne monte que iufques au * quarréde quarre tout au plus, & que par confequent la ‘ ligne cherchée ne peut eftre que du fécond genre, ou au deflous.Et que lorfqu’il n'y a point plus de 1 2 lignes don* nées, l’equation ne monte que iufques au quarre'de cu- be^ que par confequent la ligne cherchée n'cft quédu troifiefme genre, ou au defious. & ainli des autres.. Et mefme a caufe que la pôfition deslignes droites donnais peut varier en toutes fortes, & par confequent faire châ-, ger tant les quantités connuës, que les lignes -h & — de l’equation, eu toutes les façons imaginables; il eft eui- dentqu’jln’y a aucune ligne courbe du premier genre,, qui ne l'oit vtile a cete queftion, quand elle eft propoféfe en 4 lignes droites; ny aucune du fécond qui n’yfoit vti- le, quand elle eft propofée en huit; ny du troifiefme, quand elle eft propofée en doüze: & ainfi des autres. En forte qu’il n'y a pas vne ligne courbe qui tombe fous le soTonon calcul &puifle eftre receiie en GcOmetriè, qui n’yfoit queftion v£^e Pour quelque nombre de lignés, quandcile Mais il faut icyplus particulièrement queiedetermi- ;:«r ne, & donne la façon de trouuer la ligne cherchée, qui qu en i fert cn chafque cas, lorfqu’il ny aque 5 ou 4 lignes droi- Reprenons les lignes AB; A D, EF, & GH don- nées cy deffiis, & qu'il faille trouuer vue autre ligne, en laquelle ilfe rencontre vue infinité de poinstels que C, duquel ayant tiréles 4' lignes C B> CD, C F, & C H « a angles donnés, fur les données,. C B multipliée par G F, produift une fomme efgale a CD, multipliée par C H.
r. ♦ czy*bcx.
Ltvnk Second. î*r tes données; Si on verra par mefme moyen que le pre- mier genre des lignes courbes n'en contient aucunes au- tres, que les trois fc&ion* coniques, & le cerclé.
3*6 If A ÔEOMETRIE.
an moins en fuppofànt t ^plas grand que cg.car s’il eftoit moindre, il faudrait changer tous les lignes -f- & — Et fi la quantité^ fe trouuoic nulle, ou moindre que rien en cete équation, lorfqu’on a fuppofc le point C en l'angle D A G, Il faudrait le fuppofér aufly en l'angle D A E, on E A R, ou R A G, en changeant les lignes •+• & — félon qu'il ferait requis a*cet f ffeft. Et fi en toute%ces 4 po- sitions là valeur d'y fe trouuoit nulle, la quefiionieroit impoffible au cas propofé. Mais fuppofons la icy eftrfe poffible, 8c pour en abréger les termes, au lieu des quanëZ-CgZ£ sons • t-tgzz ne eft * *• Z ^ Z7 I.
tz-cgzz Zc derechef pour abréger, au lieu de xmn t tz-tgz^ • m P efcriuons -; car ces quantités eftant toutes donnefes.
nous les pbuuons nommer comme il nous plàift. & ainfi nous auons