Arc. LXXIV. A quoi fer- vent toutes les pallions, & àquji elles nuifeat, ios.
Art. LXXV. A quoi con- fifte partieuherement l’admiration, Ibid.
Art LXVI. En quoi die peut nuire -, & com- ment on peut lûppléer à fon défaut, & corri- ger fon excès, 107.
Art LXXVII.Quecene font ni les plus ftupi- des, ni les plus habi- les, qui font les plus portés à l’admiration, 108.
Art LX XVIII. Que fon excès peut palier en habitude, îorlqu’on manque de Je corâ.
DES MATIERES. 407 - • çer,. 109 les font Tes diverses efo Art. LXXIX. Les défi- peces, 118, ririons de l’amour & Arc. LXXXIX. Quel eft delà haine, no le defir qui naît de Arc. LXXX. Ce que c’eft l’horreur, no.
que (ê joindre ou Ce Ce- Art. XC. Quel cft celui parer de volonté, Ibid. qui naît de l’agrément.
Art. LXXXI. De la di- no.
ftindion qu’on a cou- Art. XCI. La définicion ,tume lie faire entre, delajoyc, nr.
l’amour de concupif- Art. XCII. La définition cence & de bienveil- de la trifterte, n$« lance, nr. Art. XCIII. Quelles font Art. LXXX II. Comment les caufos de ces deux des partions fort diffè- partions, Ibid.
rentes conviennent Art. XC1V. Comment en ce qu’elles partici-. ces pallions font exci- -, pent de l’amour, ut. tées par des biens & ' Art. LXXXIII. De la des maux qui ne re- dirterence qui eft entre gardent que le corps; la fimpîe atîe&ion.l’a-^ & en quoi confifte le initié & la dévotion, chatouillement & la 113. douleur, 1*4.
Art. LXXXIV. Qu’il n’y Art XCV. Comment el- a pas tant d’efpeccs de les peuvent aurti ctre haine que d’amour, être excitées par des 1 1 y. biens & des maux que Art. LXXXV De I’agré- l’ame ne remarque ment & de l'horreur, point, encore qu’ils lui 113. appartiennent; com- Art L^kXXVI La défini- me font le plaifir qu’on tionriu Dehr * i »7- prend à fe hazarder.
Art. LXXXVII. Que ou à fc fou venir du pafc’eft une paflion, qui fé, ji<>.
n’a point de contraire. Art- XCVI. Quels font Ibid. les mouvemens du Art. LXXXV III. Quel-. fgng & des erprits qui L l 408-,T A catffent les cinq paf- . 'fions differentes, >i.<. Art. XCV.U. Les princi- pales expériences «ijui fervent à connoître ces . mouveUicns en l'A- mour, iî.8.
Art. X C V I II. En la Haine, Ibid.
Art. XCIX. En la Joie, ’ i 119.
Art C. EnlaTrifteflë, îb. Art. Cl. Au Defir. i-qV. Art. CIL Le mouvement du fan» & des e (prit s en l’Amour, Ib. Art. CHI. En la Haine, *31- Art. CIV. En la Joie, ru. Art, CV. En la Trifteiie, Art.CVI. Au Defir, iu- Art. CVII. Quelle cft la caulc de' (es mouve- mens en l'Amour, Ib. Art. CVIII. En la Haine.
: 5 *3 • Art. CIX. En la Joie.t v- Art. CX. En la Trifteiie, i3s.
Art. CXI. Au Defir, Ib Art. CXII. Quels font les lignes extérieurs de ces pallions,.39. Art. CXIII, Des aflione . des Y eux & du V il âge, ;.1 -frO.
BLE: 'T Art. CXiy. Des changé- mens de couleur, 14 iï Art. CXV. Comment la joie fait rougir, 141. Art. CX VI. Comment là triltefle fait pâlir, Ibid. Art. CXVJI. Comment on rougit louve nt -;tanr triilc.,. 145. Art. CXV III. Des tremblemens, 144.
Art. CXIX. De la lan- ■ gucur, i;4C Art. CXX. Comment elle eft caulcc par l’amour & par le defir, 145.
Art. CXXI. Qu’eüe peut . aufli être caulte par . d’autres pallions, 147. Art. CXX IL De la Pa- ru tifon, 14^.
Ait. CXXin. Pourquoi on ne pâme point oc trifteiie, 149.
Art. CXXI V. Du Ris,.//;. Art. CXXV. Pourquoi il n’accompagne point, les plus grandes joiei^ ito.
Art. CXX VI. Quelles font lès pijjpcipales caufes, Ibid.
Art. CXXVII. Quelle eft fa caufe en l’indigna- tion, 1 r r r.
Art. CXXVIII. De l’ori- gl ne des larmes, 155.
DES fflATfETlES. *6» 4it. CXXIX. De U fa- Ait CXXXIX. De l'a, çonqucles vapeurs (ç fage des mêmes paf« changent en eau, i H- ' foi s, en tant qu’elles Art. CXXX. Comment appartiennent à l’ame, ce qui fait de la dou- t & premièrement de leur à l'œil l’excite à • pleurer, ffp Art. CXXXI. Comment . on pleure de trifteflè, if*.
Aru CXXXII Des gé- • miflemens qui accomr pagnefltfes larmes, 1^7. An. CXXXII I. Pourquoi . les onfans & les vieil - s lards pleurent arle- : ment, 158.
Art. CXXXIV. Pourquoi *• quelques onfans palif- • lent au lieu de pleurer f 1 Art. CXXXVI. D*où • viennent les effets des • pallions qui font par- Art. CXXXVIÎ. De Tu- < fage des cinq partions • • ici expliquées^ en tant Arç. CX XXVIII. De ’• leurs défauts, Sc des • moyens de les corri- &C1 U itfjy l’Amour, 164.
Art. CXL. De la Haine, 1 OC*.
Art. CXLI. Du Delïr, de JaJoie, flcdelaTrif* telle, 167.
Art. CXLIF. De la Joie & de l’Amour, com- parées avec la Haine & la Triftelle, ns8. Att CXIII. Des mêmes Sortions, en tant qu’el- es le rapportent au Défit, • » 65» Ait. CXLIY DesDefirs qui ne dépendent que • de nous, 17Â Art CXLV. De ceux qui ne dépendent que de* autres choies, Sc ce que c’eft que la Fortune, *7U Art. CXLVI. De ceur qui dépendent de nous : & d’autrui, 173^ Art. CXLV II, Desémo- • t?ons intérieures de ' Pâme,: ' 17Ç.
Art. CXLVIII. Que fe- • xercice de la vertu cil < un fourerain retnedé contre les partions, 176» Llij ixà TABLE , x TROISIEME PARTIE.
Des Pajfions Art. CL. Que ees deux pallions ne font que des elpeces d’admira- tions, 179.
Article C L I. Qu’elles font plus remarquables quand nous les rap- portons à nous-mê- mes, 1F0.
Art. CLII. Pour quelle caufc on peut s’efti- mer,. Ibid.
Art CLIII. En quoi con- fite laGcnerofité, 181.
f têche qu’on ne mépriie es autres, iSx.
Art. CLV. En quoi con- fite l’Humilité ver- tueufe, 1 183.
Art. CLVI. Quelles font les propriétés de la Ge- nerofité, & comment elle fert de remede contre les déreglemens des paflîons, Ibid. Ait CL Y II De l’Orgueil, . -.*84- .. ■ \ particulières.
Art. CLVIII Que fes ef- fets font contraires 4 ceux de la Gcnerofité, iSf.
Art. CLIX. De l’Humili- té vicieufè, 1S6.
Art. CLX. Quel cft le i anouvement des efpritS en ces partions, 1 87.
Art. CL XI. Comment la Generofité peut être acquife, 19CT.
Art. CLX II. De la Véné- ration, 191.
Art. CLXIII DuDcdain, . •:. • I93i Art. CLX IV. De l’ufàgc de ces deux partions i Ibid.
Art- CLXV. De l’Elpe- rance & de la Crainte, 94* Àxt CljXyi, De la Secu-» xité; & du Dcfe/poir, rjf: ),j»..
Art. CLXVII. De la Ja- loufé,, Ibid.
Art. CLXVlIl. En quoi cette jiaffion peut etre honnete, 196 • aie. ÇLXIX. En quoi «I ( r elle efl blâmable, 197» vient que les envieux Art. CLX X. De l’Irrcfc*- font fujets à avoir le lution, 29$. reint plombé, loiT- Art. GI4XXI. Du Coura- Art. CLXXX1I. De la go& de la Hardi elle pitié", ' i 109» 19^ Art. CL XXXVI Qui font Art. CLX XII. De l’E- les plus pitoyables noV mulation, 100, Art. CLXXXVII Com- Art. CL XX III. Com- ment les plus genement la hardieiïe dé- reux font touchés de pendtdel’crperance, lb. cette paiïion, lût J.
Art- CLX XIV. Delà iâ- Art. CLXXXVIII. Qui clieté, & de la peur, font ceux qui n’en font \ acr. point touchés, an.
Àrt. CIXXV. De fc’ufa- Art. CLXXXIX. Pour- ,, ge de la lâcheté, xçi, quoi cette paflîon ex- Ârt CLX XVI. De l’ufa-i cite à pleurer, Ibid.
. gc de la peur, zo?. Art. CXC. De la fatisfac»* Art- CL XXVII. Dure- tion de foi- même, 113- mords, Ibid. Art. CXC1. Du Repentir, Art. CLX XVIII- De la 114- . 1 moquerie, 194. Art. CXCII. De la Fa*» Art. CL XXIX- Pourquoi veur, tij.
les plus imparfaits ont Art. CXCIII. De la Re- ' " coutume d'être les plus connoiflance, uSj moqueurs, lûf. Art. CXCI V. De l’Ingra* Art. CLXXX. De l’ulâgc titude, Ibid.
de la raillerie, Ibid. Art. CXCV. De I’Indi- Art CLXXXI. De l’afa- gnadôn,.'" 1174 : ’ge du ris en la raillerie^ Art. CXCVI. Pourquoi r..'•»•!* 1 '..w,ako<?.- elle reft quelquefois vie, „-.nî Ibid. quelquefois *-â la moment elle peut être ju- Art. CXCVI1. Qdellceft te eu injultç, 107. fouvent accompagnée T A {>as incompatible avec a joie, Ibid.
An. CXCVIII. De fon ulâge, l H9.
Art. CXCIX. De la cole- : re, • uo.
Art. CC. Pourquoi ceiix ■ qu’elle fait rougir (but moins à craindre, que ceux qu’elle fait pâlir, 12. i ^ JLrt. CCI. Qtfil y a de - deux fortes de colère, • & que ceux qui ont le plus de bonté font les • plus lûjets à la premiè- re, m.
Art. CCI I. Que ce (ont les âmes foibles & baf- fes qui fc laïflent le plus emporter à l'autre, 114.
Art. CCI II. QuelaGc- • ’ «erolîté fert de remc- B E E de contre lès excès, iV| Art. CC1V. De la Gloire, 116.
Art. CCV. De la Honte,• i. I;:: i Ibid.
Art. CCVl. De l’ulage •- de cos deux paffioris,* 117.
Art CCVll. De l’Impu-- dence, 128.
Art. CCVIII. Du Dé- goût, *.*$»- Art. CGIX. -Du Regret * Ibid.
Art. CCXI. Un remedé general Contre les paf- X lions, 131.
Art. CCX II. Que d’eft: d’elles ‘feules qbè déà pend tout le bien & le 1 mal dé cette vie, 134* 1. 1..
-r1 l*7~* Le Mande de Rene Dcfcartes, ou Trait# de la Lumière..
. ti > Xjr 'reace qui ÇA» IV. Du •evuide; Et - eft entfe nos fenti-. d’où vient que nos fens mens, & ies choies. • a’apéiçoivent pis- cét-i Ch. II En quoi conliftc Ck. V. Du nombre de» la chaleur & la lumière - Elemens, & de leurs du feu, 140. • qualités, 160.
Cli. III. De l» dureté & Ch. V I* Dcferîption d’w» DES MATIERES, nouveau monde 5 & des qualités de la ma- tière dont il eft com- pofé, 169.
CK. VII. Des loix de la Nature de ce nouveau Monde, 176.
Ch. VIII. De la forma- tion du Soleil, & des Etoiles fixes du nou- veau Monde, 17 CK. IX. De l’origine, & du cours des Planètes & des Cometes en ge- neral; & en particu- lier des Cometes, iÿ8. CK. X. Des Planètes en general -, 8c en parti- culier de la Terre 8c de la Lune, 305-; CK. XI. De la pelànteur, 3i<?.
CK. XII Du flux 8c du reflux de la Mer, 31^.
CK XIII. De la Lumière, CK. XIV Des propriétés de la Lumière, 341.
CK. XV. Que la face du Ciel de ce nouveau Monde, doit paraître à les Kabicans toute femblable à celle du nôtre, 349.
Difcours fur le Mouvement Local f 3 6U Difcours fur la Fievre, 3 8?« Fin de la Table des Malieret.
LA GEOMETRIE Di^itized by. Google L A GEOMETRIE D E M. DESCARTES.
LIVRE PREMIER.
Des Problèmes quon peut conflruire n'y employant que des cercles & des lignes droites.
O U S les Problèmes de Géo- métrie fc peuvent facilement réduire à tels termes, qu’il n’eft befoin par après que de connoître la longueur de quelques li- gnes droites, pour les conftruire.
Et comme toute l’ Arithmétique n’efl: Commet compofce, que de quatre ou cinq ope- calcul A 1 La GEOMETRIE d’Arith- rations, qui font l’Addition, la Souftra- mecique étion, la Multiplication, la Divifion, le rap- & l’Extra&ion des racines, qu'on peut o°r-a dès P endfc pour une cfpece de Divifion: de Geo- ^'nfi n’a-r’on autrechofeà faire en Geo- mcrric. metrie touchant les lignes qu’on cherche, pour les préparer à être connues, que leur en ajouter d’autres, ou en ôter j Ou * b;en en ayant une, que je nommeray l’unité pour la rapporter d’autant mieux . aux nombres, 6c qui peut ordinairement être prifè «à difcrecion, puis en I ayant encore deux autres, en trouver une quatrième qui foit à l’une de ces . deux, comme l’autre efl à l’unité, ce qui eft le même que la Multiplication; I ou bien en trouver une quatrième, qui loir à l’une de ces deux, comme l’unité 1 cft à 1 autre, ce qui eft le même que la Divifion; ou enfin trouver une, ou deux, ou p lu fleurs moyennes propor- tionnelles entre 1’unjté, & quelque an- tre ligne; ce qui eft le même que tirer la racine quarrée, ou cubique, Sec. Et je ne craindra/ pas d’introduire ces termes d’ Arithmétique en la Gcometrie, afin de me rendre plus intelligible.
LaMuhi- Soi" par exemple AB l’unité, & qu’il plicatioa. faille multiplier BD par B C, je n’ay / t Ou bien s’il faut divifer BE par B D, La Divî- ayant joint les points E & D, je tire A fi°n.
Ou s’il faut tirer la racine quarrée de i/Extta_ G H, je luy ajoute en ligne droite F G, ^ion de qui eft l’unité, & divifant F H en deux la racine quarrée.
parties égales au point K, du centre K je tire le cercle F I H, puis élevant du point G une ligne droite jufques à I, Aij Commet on peut ufer de chiffres en Géo- métrie.
4 LA GEOMETRIE à angles droits fur F H, c’eft. G I la ra- cine cherchée. Je ne dis rien icy de la ra - cine cubique, ny des autres, àcaufe que j’en parleray plus commodément cy- aprés.
Mais fouvent on n’a pas befoin de tracer ainfi ces lignes fur le papier, & il fuffit de les défigner par quelques let- tres, chacune par une feule. Comme pour ajouter la ligne BD à G H, je nomme l’une a 8c l’autre b, & écris a ■+■ b; Et a — b, pour fouftraire b d 'a; Et Abf pour les multiplier l’une par l’autre; Et-^- pour diviler a par b-, Et Où il eft à remarquer que par a 1 ou b î ou femblables, je ne conçoy ordi- nairement que des lignes toutes (impies, encore que pour me fervir des noms ufitez en l’Algebre, je les nomme des quarrez ou des cubes, 8cc.
Ilxft auffi à remarquer que toutes les . bigitized by GoogI DE M. Descartes. 5 parties d’une même ligne, fe doivent ordinairement exprimer par autant de dimenfions l’une que l’autre, lorfque l’unité n’eft point déterminée en la queftion, comme icy a 3 en contient au- tant cyciabb ou bi dont fecompofela ligne que j’ay nommée V C. a 3 — b 3 -h a b b: mais que ce n’eft pas de mê- me lorfque l’unité eft déterminée, à caufe qu’elle peut être fous- entendre par tout où il y a trop ou trop peu de dimenfions: comme s’il faut tirer la ra- cine cubique de a a b b — b, il faut pen- fer que la quantité a a b b eft divifée une fois par l’unité, £< que l’autre quan- tité b eft multipliée deux fois par la même.
Au refte afin de ne pas manquer à fe fotivenir des noms de ces lignes, il en faut toujours faire un regiftre fcparé, à mefure qu’on les pofe ou qu’on les change, écrivant par exemple: Ainfi voulant réfoudre quelque Problê- Comméc me, on doit d’abord le confiderer com- il faut vc- me déjà fait, & donner des noms à tou- *** aux A iij I 6 La Giometrie T |U_ tes ^es lignes, qui femblent neceffaires lions cjai Pol,r k conftruire, aufli bien à celles qui Ici vent à font inconnues, qu’aux autres. Puis fans icfouJrc confiderer aucune différence entre ces waÜ'-0" ^oncs c°nnucs, & inconnues, on doit tnus‘ parcourir la difficulté, félon l’ordre qui montre le plus naturellement de tous en quelle forte elles dépendent mutuelle- ment les unes des autres, jufques à ce qu’on ait trouvé moyen d’exprimer une même quantité en deux façons: ce qui fe nomme une Equation j car les termes de l’une de ces deux façons font égaux à ceux de l’autre. Et on doit trouver autant de telles Equations, qu’on a fup- pofé de lignes, qui étoient inconnues. Ou bien s’il ne s’en trouve pas tant, &c que nonobftant on n’omettte rien de ce qui eft defiré en la queftion, cela témoi- gne qu’elle n’eft pas entièrement déter- minée. Et lors on peut prendre àdifcrc- tion des lignes connues, pour toutes les inconnues aufquelles ne correfpond au- / cunc Equation. Après cela s’il en relie encore plufîeurs, il fe faut fervir par or- dre de chacune des Equations qui re- tient auffi, foit en la confiderant toute feule, foit en la comparant avec les au- tres, pour expliquer chacune decesli- ■©igltizeitby Googlfl de M. Descartes. 7 gnes inconnues > & faire ainfi en les dé- mêlant qu’il n’en demeure qu’une feu- le, égaie à quelque autre, qui foit con- nue, ou bien dont le quarré, ouïe cu- be, ou le quarré de quarré, ouïe fur- folide, ou le quarré de cube, &c. foit égal à ce, qui fe produit par l’addition, ou fouftra&ion de deux ou plufieurs au- tres quantitez, dont l'une foit connue, Sc les autres foient compofées de quel- ques moyennes proportionnelles entre l’unité, & ce quarré, ou cube, ou quarré de quarré, &c. multipliées par d’autres connues. Ce que j’écris en cette forte.
Z JO b ou Z 1 + ou C’eft à- dire, ^ que je prens pour la quantité inconnue, eft égalé à b, ou le quarré de ^ eft égal au quarté de b moins a multiplié par ^, ou le cube de X eft égal à a multiplié par le quarré de ^ plus le quarré de b multiplié par 7 moins le cube de c, & ainfi des au- tres.
Et on peut toujours réduire ainfi tou- tes les quantitez inconnues à une feu- A ii'j Quels font les Problè- mes plan fi La Geometrib Je, lorfque le E.oblême fe peut con~ ftruire par des cercles & des lignes droi- tes, ou auflî par des ferions coniques, ou meme par quelque autre ligne qui ne foit que d’un ou deux devrez plus compofée. Mais je ne m’arrête point à expliquer cecy plus en détail, à caufe que je vous ôterois le plaifir de l’ap- prendre de vous-même, & l’utilité de cultiver vôtre efprir en vous y exerçant, qui cfl à mon avis la principale, qu’on puiffe tirer de cette Icience. Auflî que je n’y remarque rien de fi difficile, que ceux qui leront un peu verfez en la Géométrie commune, & en l’Algebre, & qui prendront garde à tout ce qui eft en ce traité, ne puiflent trouver.
C’efl: pourquoyje me contenteray icy de vous avertir, que pourvu qu’en dé- mêlant ces Equations on ne manque point à fe fervir de routes les divifions, qui feront portables, on aura infaillible - ment les plus (Impies termes, aufqucls la queftion puiffe être réduite.
Et que fi elle peut être réfoluë par la Geomctrie ordinaire, c’ett à dire, en ne fe fervant que de lignes droires tk cir- ’ culaircs tracées fur une fuperficie pla'e, lorfque la dernière Equation aura etc dk M* Descartes. 9 entièrement démêlée, il n’y reliera tout au plus qu’un quarté inconnu, égal à ce qui fe produit de. l’Addition, ou fouftraélion de (a racine multipliée par quelque quantité connue, & de quel-, qu’autre quantité auflî connue.
Et lors cette racine, ou ligne incon- nue fe trouve aifément. Car fi j’ay par exemple bb je fais le triangle re&angle N L M, dont le côté LMeft égal à b racine quarrée de la quantité connue b b, 6c l'autre L N eft ~ «, la moitié de l’autre % Com- ment ils fc rciol- veat.
quantité connue, qui éroit multipliée par ^ que je fuppofe être la ligne in- connue. lJuis prolongeant MN la bafê de ce triangle, jufques à O, en forte qu N O foit égale à N L, la toute A v I io LaGbometriï O M eft £ la ligne cherchée. Et elle s’exprime en cette forte .4 & ainfi des autres.
Enfin fi j’ày *,x Do mz. — bb: je fais N L égale à i a, & L M égale à b comme devant j puis au lieu de join- dre les points M N, je tire M QR pa- rallèle à L N, & du centre N par L aïant décrit un cercle qui la couppe aux points R, la ligne cherchée z. efi M Q. ®u. bien M R., car en ce cas elle s’exr » Digilized by Google — b b.
Et fi le cercle, qui ayant fon centre au point N, paffè par le point L, ne couppe ny ne touche la ligne droite.
M QR, il n’y a aucune racine en l’E- quation, de façon qu’on peut affiirer que la confiai étion du Problème pro- posé eft impoflible.
Au refte ces mêmes racines fe peu- vent trouver par une infinité d’autres moyens, & j’ay feulement voulu mettre ceux-cy, comme fort fimplcs, afin de faire voir qu’on peut conftruire tous les Problèmes de la Geometrie ordinai- re, fans faire autre chofe que le peu qui eft compris dans les quatre figures que j’ay expliquées. Ce que je ne croy pas que les anciens ayent remarqué, car au- trement ils n’euflent pas pris la peine d’en écrire tant de gros livres, oùlefeul ordre de leurs propofitions nous fait connoîtrc qu’ils n’ont point eu la vraye méthode pour les trouver routes, mais qu’ils ont feulement ramaffe celles qu’ils ont rencontrées.
Et on le peut voir suffi fort claire- ment de ce que Pappus a mis au corn- p*ppas< Je cite plutoji la irfien 11 La GEOMETRIE.
mencement de Ton feptiéme livre, ou. apres s’être arrêté quelque temps à dé- nombrer tout ce qui avoir été écrit en Geometrie par ceux qui l’avoient pré- cédé, il parle enfin d’une queftion, qu'il dit que ny Euclide, ny Apollonius, ny aucun autre n’avoient fçu entièrement réfoudre y Sc voicy Tes mots.
j Quem autem dicit ( Apollonius ) in tertio libro locurn ad très, & quatuor Une Ai ab Euclide perfiElum nonejje, ne - latine que que ipje perficcre p ter ai, neque ali qui S le texte a\ius: fed neque pauiulum quid addere que chu- 115 » cll<£ * ucltdcs jCrifJit, per ra tantum cun l’en- Conica, quA ufque ad Euclidis tempora ternie plus pramonfirata fttnt, &c. aifement. Et un pCU apr^s d explique ainfi quel- le rit cette queftion.
At locus ad très, & quatuor lineas, in quo ( Apollonius ) magnifiée Je jaElat, & o fient at, ntt lia habita gratia ei, qui priu s fçr-pferat, t fi hujufmod'. Sipofi- tione datis tribus reflis liveis ab utto & eodem pttnElo, ad très Une as in datis an- gulis reELt line a ducantur, & data Jft proportso nElanguli contenti dttabus du- Elis ad quaetraium reliqua: pur.Ehtm con- tingit pofitione datum folidum locurn y, hoc efi u nam ex tribus conicis.Jeclionirvert tus. Et fi ad quatuor relias lire as pofi- tione datas in datis angults line a duc an - t;<r\ & rc B anguli duabus dnBis conten- ti ad contentum duabus reliquis propor - v tio data fit; f militer punBum datum eoni feBionem pofitione contingetr Si qui- dem igitur ad duas tantum locus planus ofienfus efi. Quod fi ad plures qu. m quatuor, punBum continget locos non adhuc cognitos, fed lineas tantum di- Bas j quales autem fint, vel qttam ha- beant proprietatem, non confiât: earum unam, neque primam, & qu a manifc- fiijfima- videtur, compofuerunt ofienden * tes utilent ejfe. Propofitiones autem ipfit - rum hafunt.
Si ab aliqito punBo ad pofitione datas rcBas lineas quinque ducantur relia li- nca in datis angulis, & data fit pro - portio folidi parallelepipedi retlanguli, quod tribus du Bis lineis continetur ad jolidum parallelepipedum rcBangu'.um, quod continetur reliquis duabus, & da- ta quapiam line a, punBum pofitione da- tam lintam continget. Si autem adjex, & data fit proportio folidi tribus lineis content i ad jolidum, quod tribus reliquis continetur; rurfus punBum continget po- fitiane datam lincarn. Quod fi adpluress (• I i X " « ( # I f 1 T4 La GEOMETRIE ejiia.ni [ex, non adhuc habcnt dicere, 4« y?/ proportio cujufpiam contenti quatuor lineis ad id quod rel'quis con- fine tur, quoniam non efl aliqu'd conten- tum plur bus quant tribus dimenfïombus.
Où je vous prie de remarquer en paflànt, que le fcrupule, que faifoient les anciens d’ufer des termes de l’Arith- metique en la Geomerrie, qui ne pou- voir procéder, que de ce qu’ils ne voyoient pas afllz clairement leur rap- port, caufoit beaucoup d’obfcurité, Sc d’embaras, en la façon dont ils s’expli- quoufnt, car Pappus pourfuit en cette forte: - AcqwtCcunt Autem his, qui paulo ante raiia interpretati funt; neque unum aliquo pafto comprehenfibtle fi gwficantes quod h s contin-’tur. Licebit autem per conjunüas proport'onts h*c, & dicere, & demonftrare univerfe in diflit propor- tiombus, atque h's in hune rnoaurn. Si ab aliquo punflo ad pofitione datas re- lias line as ducantur rt Sla line a in datis anfrulis, & data fit proportio conjun- fta ex ea, quant hab.t una duftarnm ad ttnam, & altéra ad alteram, & alla ad aliam, & rtl'qua ad datarn l'neam,fi fini feptem; fi vtro ofto, & r cliqua ad.
• de M. Descartes. reliquat»: punflum continget pofitionc datas Une as. Et fi militer quotcumqut fint in/pares vel pares multitudinc, cum bac, ut dixi, loco ad quatuor lineas ref- pondcant, nullum igitur pofuerunt ita ut linea nota fit, &c.
La queftion donc qui avoir cté com- mencée à îéfoudre par Euclide, & pour- fuivie par Apollonius, fans avoir été achevée par perfonne, étoit telle. Ayant trois ou quatre eu plus grand nombre de lignes droites données par pofition \ premièrement on demande un point, duquel on puifle tirer autant d’autres, lignes droites, une fur chacune des données, qui fartent avec elles des an- gles donnez, & que le reéfcangle con- tenu en deux de celles qui feront ainlî. tirées d’un même point, ait la propor- tion donnée avec le quarré de la troifié- me, s’il n’y en a que trois; ou bien avec le reébngle des deux autres, s’il y en a quatre; ou bien, s’il y en a cinq, que le parallélépipède compofé de trois ait la proportion donnée avec le parallele- pipede compofé des deux qui reftent & d’ur.e autre ligne donnée. Ou s’il y en a fix, que le parallclepipede compo- rté de trois ait la proportion donnée iG La GEOMETRIE iG La GEOMETRIE avec te parallelepipede des trois autres.- Ou s’il y en a lept, que ce qui fe pro- duit lorfqu’on en multiplie quatre l’une par l’autre, ait la raifon donnée avec ce qui fe produit par la multiplication des trois autres, & encore d’une autre ligne donnée i ou s’il y en a huit, que i le produit d • la multiplication de qua- tre ait la proportion donnée avec le produit des quatre autres. Et ainfi cet- te queftion fe peut étendre à tout au- tre nombre de lignes. Puis à caufe qu’il y a toujours une infinité de divers points qui peuvent fatisfaire à ce qui eft icy demandé, il eft aullî requis de connoî- - tre, Sc de tracer la ligne, da.ns laquelle ils doivent tous fe trouver; 5c Pappus dit que lorfqu’il n’y a que trois ou qua- tre lignes droites données, c’eft en une des trois ferions coniques; mais il n’entreprend point de la déterminer, ny de la décrire, non plus que d’expli- quer celles où tous ces points fe doi- vent trouver, lorfque la queftion eft propofée en un p]us grand nombre de j lignes. Seulement il ajoute que les an- ciens en avoient jmaginé une qu’ils montroient y etre utile, mais qui fem- bloit la plus manifefte, & qui n’éroit d e M. Descartes. 17 pas toutefois la première. Ce qui m’a donné occasion d’eifayer il par la mé- thode dont je me fers on peut aller auffi loin qu’ils ont été.
Et premièrement j’ay connu que ccr- Réponrc te queftion n’étant propofée qu’en trois, à!a guc- ou quatre, ou cinq lignes, on peut tou- ^io:’ jours trouver les points cherchez par i>aFPus* la Geometrie fimple; c’eft à dire en ne le fervant que de la réglé & du com- pas, ny ne faifant autre chofe, que ce qui a déjà été dit; excepté feule- ment lotfqu’il y a cinq lignes données, fi elles iont toutes parallèles. Auquel cas, comme aufli lorfque la queftion eft propolée en fix, ou 7, ou 8, ou 9 li- gnes, on peut toujours trouver les points cherchez par la Geometrie des folides -, c’eft à dire en y employant quelqu’une des trois feétions coniques.
Excepté feulement lorfqu’il y a neuf -lignes données, fi elles font toutes pa- rallèles. Auquel cas derechef, & cnco- re en 10, 11, 11 > ou 1$ lignes on peut trouver les points cherchez par le moyen d’une ligne courbe qui foit d’un degré plus compofée que les ferions coniques. Excepté en treize fi elles font toutes parallèles, auquel cas, & en.
j8 LaGeometrie quatorze, 15 > 16, & 17 il y faudra em- ployer une ligne courbe encore d’un de- gré plus compofée que la precedente, & aipfi à d'infini. - Puis j’ay trouvé auifi, que lorfqu’il n’y a que trois ou quatre lignes don- nées, les points cherchez fe rencon- trent tous, non feulement en l’une des trois ferions coniques, mais quelque- fois aufli en la circonférence d’un cer- cle, ou en une ligne droite. Et que lorfqu’il y en a cinq, ou fix, ou fept, ou huit, tous ces points fe rencontrent en quelque une des lignes, qui font d’un degré plus compofées que les. fe- rions coniques, & il efl impoflible d’en imaginer aucune qui ne foit utile à cette queftion; mais ils peuvent aufli derechef fe rencontrer en une fcétion conique, ou en un cercle, ou en une ligne droite. Et s’il y en a neuf, ou 10, ou 11, ou 12, ces points fe rencontrent en une ligne, qui 11c peut être que d’un degré plus compofée que les pré- cédentes; mais toutes celles qui font d’un degré plus compofées y peuvent fervir, & ainfi à l’infini.
Au refte la première, 8c la plus Am- ple de toutes après les ferions coni-