Offenbar handelt es sich hier um apriorische Erkenntnis- bedingungen, welche abgesondert von aller Beziehung zum denkenden Subject und zur Idee der Subjectivität überhaupt betrachtet und erforscht werden können. Die fraglichen Gesetze sind ja in ihrem Bedeutungsgehalt von solcher Beziehung ganz frei, sie sprechen nicht, und sei es auch in idealer Weise, vom Erkennen, Urtheilen, Schließen, Vorstellen, Begründen u. dgl., sondern von Wahrheit, Begriff, Satz, Schluß, Grund und Folge u. s. w.; wie wir dies oben ausführlich erörtert haben.1 Selbst- verständlich können diese Gesetze aber evidente Wendungen erfahren, durch die sie ausdrückliche Beziehung auf die Er- kenntnis und das Erkenntnissubject gewinnen und nun selbst über reale Möglichkeiten des Erkennens aussagen. Hier wie sonst erwachsen apriorische Behauptungen über reale Möglich- keiten durch Uebertragung idealer (durch rein generelle Sätze ausgedrückter) Verhältnisse auf empirische Einzelfälle.2 2 Vgl. das arithmetische Beispiel § 2'A S. 74 oben.
240 Die Idee der reinen Logik.
Im Grunde genommen sind die idealen Erkenntnisbe- dingungen, die wir als die noetischen von den objectiv-logischen unterschieden haben, nichts Anderes als derartige Wendungen jener zum reinen Erkenntnisinhalt gehörigen gesetzlichen Ein- sichten, durch welche diese selben eben zur Kritik und durch weitere Wendungen zur practisch-logischen Normirung der Er- kenntnis fruchtbar gemacht werden. (Denn auch die norma- tiven Wendungen der rein -logischen Gesetze, wovon oben so viel die Eede war, schließen sich hier an).
§ 66. B. Die auf den Erkenntnisinhalt bezogene Frage.
Aus dieser Betrachtung ergiebt sich, daß wir bei der Frage nach den idealen Bedingungen der Möglichkeit von Erkenntnis überhaupt und speciell von theoretischer Er- kenntnis, letztlich zurückgeführt werden auf gewisse Gesetze, die rein im Inhalt der Erkenntnis, bezw. in den kategorialen Begriffen, denen er untersteht, gründen und so abstract sind, daß sie von der Erkenntnis als Act eines erkennenden Subjects nichts mehr enthalten. Eben diese Gesetze, bezw. die sie auf- bauenden kategorialen Begriffe, machen nun das aus, was im objeetiv-idealeu Sinne unter Bedingungen der Möglichkeit von Theorie überhaupt verstanden werden kann. Denn nicht nur in Bezug auf die theoretische Erkenntnis, wie wir es bisher thaten, sondern auch in Bezug auf ihren Inhalt, also direct auf die Theorie selbst, kann die Frage nach den Bedingungen der Möglichkeit aufgeworfen werden. Wir ver- stehen dann, dies ist wiederholt zu betonen, unter Theorie einen gewissen idealen Inhalt möglicher Erkenntnis, genau so wie unter Wahrheit, Gesetz u. dgl. Der Mannigfaltigkeit von individuell einzelnen Erkenntnisacten desselben Inhalts entspricht die Eine Wahrheit, eben als dieser ideal iden- tische Inhalt. In gleicher Weise entspricht der Mannigfaltig- keit von individuellen Erkenntniscomplexionen, in deren jeder dieselbe Theorie — jetzt oder ein anderes Mal, in diesen oder in jenen Subjecten — zur Erkenntnis kommt, eben Die Idee der reinen Logik. 241 diese Theorie als der ideal identische Inhalt. Sie ist dann nicht aus Acten, sondern aus rein idealen Elementen, aus Wahrheiten, aufgebaut, und dies in rein idealen Formen, in denen von Grund und Folge.
Beziehen wir nun die Frage nach den Bedingungen der Möglichkeit direct auf Theorie in diesem objectiven Sinne, und zwar auf Theorie überhaupt, so kann diese Möglichkeit keinen anderen Sinn haben, als den bei rein begrifflich gedachten Objecten sonst. Von den Objecten werden wir dann auf die Begriffe zurückgeführt, und „Möglichkeit" bedeutet nichts Anderes als „Geltung" oder besser Wesenhaft igkeit des bezüglichen Begriffs. Es ist dasselbe, was öfters als „Realität" des Begriffes bezeichnet worden ist, im Gegensatz zur Imaginarität oder, wie wir besser sagen: zur Wesenlosig- keit. In diesem Sinne spricht man von Realdefinitionen, welche die Möglichkeit, Geltung, Eealität des definirten Be- griffes verbürgen, und wieder vom Gegensatz reeller und imagi- närer Zahlen, geometrischer Gebilde u. s. w. Offenbar ist die Rede von der Möglichkeit in Anwendung auf Begriffe äquivok durch Uebertragung. Im eigentlichen Sinne möglich ist die Existenz von Gegenständen, die unter die bezüglichen Begriffe fallen. Diese Möglichkeit wird a priori gewährleistet durch Erkenntnis des begrifflichen Wesens, welche uns z. B. auf- leuchtet auf Grund der anschaulichen Vorstellung eines solchen Gegenstandes. Die Wesenhaftigkeit des Begriffes wird nun aber, durch Uebertragung, auch selbst als Möglichkeit bezeichnet.
Mit Beziehung darauf gewinnt die Frage nach der Mög- lichkeit einer Theorie überhaupt und nach den Bedingungen, an welchen sie hängt, einen leicht faßlichen Sinn. Die Möglich- keit oder Wesenhaftigkeit von Theorie überhaupt ist natürlich gesichert durch einsichtige Erkenntnis irgendeiner bestimmten Theorie. Die weitere Frage wird aber sein: Was bedingt in ideal -gesetzlicher Allgemeinheit diese Möglichkeit von Theorie überhaupt. Also was macht das ideale „Wesen" von Theorie als solcher aus. Welches sind die primitiven „Möglichkeiten", Hussekl, Log. Unters. I. *•" 242 Die Idee der reinen Logik.
aus denen sich die „Möglichkeit" der Theorie, m. a. W., welches sind die primitiven wesenhaften Begriffe, aus denen sich der selbst wesenhafte Begriff der Theorie constituirt. Und des Weiteren, welches sind die reinen Gesetze, die in diesen Begriffen gründend, aller Theorie als solcher Einheit geben; also die Gesetze, welche zur Form aller Theorie als solcher gehören und die möglichen (wesentlichen) Abwandlungen oder Arten derselben a priori bestimmen.
Umgrenzen diese Idealbegriffe, bezw. Gesetze die Möglich- keit von Theorie überhaupt, drücken sie m. a. W. aus, was zur Idee der Theorie wesentlich gehört, so ergiebt sich un- mittelbar, daß jede prätendirte Theorie Theorie nur ist, wenn sie und sofern sie mit diesen Begriffen, bezw. Gesetzen harmonirt. Logische Rechtfertigung eines Begriffes, d. h. Rechtfertigung seiner idealen Möglichkeit, vollzieht sich durch Rückgang auf sein anschauliches oder deductibles Wesen. Also logische Recht- fertigung einer gegebenen Theorie als solcher (d. i. ihrer reinen Form nach), erfordert den Rückgang auf das Wesen ihrer Form, und somit den Rückgang auf jene Begriffe und Gesetze, welche die idealen Constituentien von Theorie über- haupt (die „Bedingungen ihrer Möglichkeit") ausmachen, und welche alle Specialisirung der Idee Theorie in ihre möglichen Arten a priori und deductiv regeln. Es verhält sich hier ebenso, wie im weiteren Gebiet der Deduction, z. B. bei den einfachen Syllogismen. Obschon sie in sich selbst von Einsicht durchleuchtet sein können, empfangen sie doch ihre letzte und tiefste Recht- fertigung erst durch Rückgang auf das formale Schlußgesetz. Hiedurch erwächst ja Einsicht in den apriorischen Grund des syllogistischen Zusammenhangs. Ebenso bei jeder noch so complicirten Deduction und im Besonderen bei einer Theorie. Im einsichtigen theoretischen Denken haben wir Einsicht in die Gründe der erklärten Sachverhalte. Die tieferdringende Einsicht in das Wesen des theoretischen Zusammenhanges selbst, welcher den theoretischen Inhalt dieses Denkens aus- macht, und in die apriorischen Gesetzesgründe seiner Leistung Die Idee der reinen Logik. 243 gewinnen wir erst durch Rückgang auf Form und Gesetz, und die theoretischen Zusammenhänge der ganz anderen Erkenntnis- schicht, zu der sie gehören.
Der Hinweis auf tiefere Einsichten und Rechtfertigungen mag dazu dienen, den unvergleichlichen Werth der theoretischen Untersuchungen hervortreten zu lassen, die zur Lösung des angeregten Problems dienen: Es handelt sich um die syste- matischen Theorien, die im Wesen der Theorie gründen, bezw. um die apriorische theoretische nomologische Wissenschaft, die auf das ideale Wesen der Wissen- schaft als solcher, also nach Seiten ihres Gehaltes an systema- tischen Theorien und mit Ausschluß ihrer empirischen, anthro- pologischen Seite, Beziehung hat; also in einem tiefen Sinn: um die Theorie der Theorien, die Wissenschaft der Wissenschaften. Doch die Leistung für die Bereicherung unserer Erkenntnis ist natürlich zu sondern von den Problemen selbst und den eigenen Gehalt ihrer Lösungen.
§ 67. Die Aufgaben der reinen Logik. Erstens: die Fixirung der reinen Bedeutungskategorien, der reinen gegenständlichen Kategorien und ihrer gesetzlichen Complicationen.
Machen wir auf Grund dieser vorläufigen Fixirung der Idee jener apriorischen Disciplin, deren tieferes Verständnis anzubahnen, das Ziel unserer Bemühungen sein soll, einen Ueberschlag der Aufgaben, die wir ihr werden zuweisen müssen, so werden wir wol drei Gruppen zu scheiden haben: Fürs Erste wird es sich darum handeln, die wichtigeren und zumal die sämmtlichen primitiven Begriffe festzustellen, bezw. wissenschaftlich zu klären, die den Zusammenhang der Erkenntnis in objectiver Beziehung, und insbesondere den theoretischen Zusammenhang „möglich machen". Mit anderen Worten, es ist auf die Begriffe abgesehen, welche die Idee der theoretischen Einheit constituiren, oder auch auf Begriffe, die zu solchen in idealgesetzlichem Zusammenhang stellen. Be- 244 Die Idee der reinen Logik.
greiflicher Weise treten hier constitutiv Begriffe zweiter Stufe, nämlich Begriffe von Begriffen und sonstigen idealen Einheiten auf. Gegebene Theorie ist eine gewisse deductive Verknüpfung gegebener Sätze, diese selbst sind bestimmt geartete Ver- knüpfungen gegebener Begriffe. Die Idee der zugehörigen „Form" der Theorie erwächst durch Substitution von Unbe- stimmtem für jene Gegebenheiten, und so treten Begriffe von Begriffen und anderen Ideen an die Stelle schlichter Begriffe. Dahin gehören schon die Begriffe: Begriff, Satz, Wahrheit u. s. w.
Constitutiv sind natürlich die Begriffe der elementaren Verknüpfungs formen, zumal derjenigen, welche ganz allge- mein für die deductive Einheit von Sätzen constitutiv sind, z. B. die conjunctive, disjunctive, hypothetische Verknüpfung von Sätzen zu neuen Sätzen. Weiterhin aber auch die Formen der Verbindung niederer Bedeutungselemente zu den einfachen Sätzen, und dies führt wieder auf die verschiedenartigen Sub- jectformen, Prädicatformen u. s. w. Feste Gesetze regeln die schrittweisen Complicationen, durch welche eine unendliche Mannigfaltigkeit neuer und immer neuer Formen aus den primitiven erwächst. Naturgemäß gehören auch diese Compli- cationsgesetze, welche die combinatorische Uebersicht über die auf Grund der primitiven Begriffe und Formen ableitbaren Begriffe ermöglichen, und diese combinatorische Uebersicht selbst in den hier betrachteten Forschungskreis.
In nahem, ideal gesetzlichem Zusammenhang mit den bisher erwähnten Begriffen, den Bedeutungskategorien, stehen an- dere, zu ihnen correlate Begriffe, wie Gegenstand, Sachverhalt, Einheit, Vielheit, Anzahl, Beziehung, Verknüpfung u. s. f. Es sind die reinen oder formalen gegenständlichen Kategorien. Auch diese müssen also in Betracht gezogen werden. Beider- seits handelt es sich durchgehends um Begriffe, die, wie es schon ihre Function klar macht, von der Besonderheit irgend- welcher Erkenntnismaterie unabhängig sind, und unter welche sich alle im Denken speciell auftretenden Begriffe und Die Idee der reinen Logik. 245 Gegenstände, Sätze und Sachverhalte u. s. w. ordnen müssen; daher sie nur durch Reflexion auf die verschiedenen „Denk- fun ctionen" entspringen, d. h. in möglichen Denkacten als solchen ihre concrete Grundlage haben können.
Alle diese Begriffe sind nun zu fixiren, ihr „Ursprung" ist einzelweise zu erforschen. Nicht als ob die psychologische Frage nach der Entstehung der bezüglichen begrifflichen Vor- stellungen oder Vorstellungsdispositionen für die fragliche Dis- ciplin das geringste Interesse hätte. Um diese Frage handelt es sich nicht; sondern um den logischen Ursprung oder — wenn wir es vorziehen, die unpassende und aus Unklarheit er- wachsene Rede vom Ursprung ganz zu beseitigen — es handelt sich um Einsicht in das Wesen der bezüglichen Begriffe und in methodologischer Hinsicht um Fixirung eindeutiger, scharf unterschiedener Wortbedeutungen. Zu diesem Ziele können wir nur durch Vergegenwärtigung des Wesens, oder bei com- plicirten Begriffen durch Erkenntnis der Wesenhaftigkeit der ihnen einwohnenden Elementarbegriffe und der Begriffe ihrer Verknüpfungsformen gelangen.
All das sind nur vorbereitende und scheinbar geringfügige Aufgaben. Sie kleiden sich in erheblichem Maße nothwendig in die Form terminologischer Erörterungen und erscheinen Un- kundigen gar leicht als kleinliche und öde Wortklaubereien. Aber so lange die Begriffe nicht unterschieden und geklärt sind, ist alle weitere Bemühung hoffnungslos. In keinem Er- kenntnisgebiet zeigt sich die Aequivocation verhängnisvoller, in keinem hat die Verworrenheit der Begriffe den Fortschritt der Erkenntnis so sehr gehemmt, ja schon ihren Anfang, die Ein- sicht in die wahren Ziele, so sehr unterbunden, wie im Gebiet der reinen Logik. Die kritischen Analysen dieser Prolegomen a haben dies überall gezeigt.
Man kann die Bedeutung der Probleme dieser ersten Gruppe kaum zu hoch anschlagen, und es ist fraglich, ob nicht gerade bei ihnen die größten Schwierigkeiten der ganzen Disciplin liegen.
246 Die Idee der reinen Logik.
§ 68. Zweitens: die Gesetze und Theorien, die in diesen Kategorien gründen.
Die zweite Gruppe von Problemen betrifft die Aufsuchung der Gesetze, die in jenen kategorialen Begriffen gründen und nicht nur deren Complication, sondern vielmehr die objec- tive Geltung der sich aus ihnen aufbauenden theoretischen Einheiten betreffen. Diese Gesetze constituiren selbst wieder Theorien. Auf der einen Seite die Theorien der Schlüsse, z. ß. die Syllogistik, welche aber nur eine solche Theorie ist. Auf der anderen Seite gründet im Begriff der Vielheit die reine Vielheitslehre, im Begriff der Anzahl die reine Anzahlen- lehre u. s. w. — jede eine geschlossene Theorie für sich. So führen alle hiehergehörigen Gesetze auf eine beschränkte Zahl von primitiven oder Grundgesetzen, die unmittelbar in den kategorialen Begriffen wurzeln und (vermöge ihrer Homogeneität) eine allumfassende Theorie begründen müssen, welche jene ein- zelnen Theorien als relativ geschlossene Bestandtheile in sich faßt.
Es ist hier auf den Bereich von Gesetzen abgesehen, welchen gemäß jede theoretische Forschung verlaufen muß. Nicht als ob jede einzelne Theorie als Grund ihrer Möglich- keit und Giltigkeit jedes einzelne dieser Gesetze voraussetzte. Vielmehr bilden jene Theorien in ihrer idealen Vollendung den allumfassenden Fond, aus dem jede bestimmte (sc. wirkliche, giltige) Theorie die idealen Gründe ihrer Wesenhaftigkeit schöpft: es sind die Gesetze, denen gemäß sie verläuft, und aus denen sie als giltige Theorie, ihrer „Form" nach, vom letzten Grund aus gerechtfertigt werden kann. Sofern Theorie eine umfassende Einheit ist, die sich aus einzelnen Wahrheiten und Zusammen- hängen aufbaut, ist es selbstverständlich, daß die Gesetze, die zum Begriff der Wahrheit und zur Möglichkeit einzelner Zu- sammenhänge dieser oder jener Form gehören, in dem abge- grenzten Gebiet mitbeschlossen sind. Obgleich, oder vielmehr weil der Begriff der Theorie der engere ist, so ist die Auf- gabe, die Bedingungen seiner Möglichkeit zu erforschen, die Die Idee der reinen Logik. 2 AI umfassendere gegenüber den entsprechenden Aufgaben für Wahr- heit überhaupt und für die primitiven Formen von Satzzusammen- hängen (vgl. oben S. 237).
§ 69. Drittens: die Theorie der möglichen Theorienformen oder die reine Mannigfaltigkeitslehre.
Sind alle diese Untersuchungen erledigt, so ist die Idee einer Wissenschaft von den Bedingungen der Möglichkeit von Theorie überhaupt Genüge geschehen. Wir sehen aber sogleich, daß diese Wissenschaft über sich hinausweist auf eine ergän- zende, welche a priori von den wesentlichen Arten (Formen) von Theorien und den zugehörigen Beziehungsge- setzen handelt. So erwächst, Alles in Eins gefaßt, die Idee einer umfassenderen Wissenschaft von Theorie überhaupt, die in ihrem fundamentalen Theile die wesentlichen Begriffe und Gesetze, die zur Idee der Theorie constitutiv gehören, erforscht, und dann dazu übergeht, diese Idee zu differenziren und statt der Möglichkeit von Theorie als solcher, vielmehr die mög- lichen Theorien a priori zu erforschen.
Nämlich auf Grund der hinreichend weitgeführten Lösung der bezeichneten Aufgaben wird es möglich, aus rein katego- rialen Begriffen mannigfaltige Begriffe möglicher Theorien be- stimmt auszugestalten, reine „Formen" von Theorien, deren Wesenhaftigkeit gesetzlich erwiesen ist. Diese verschiedenen Formen sind aber untereinander nicht beziehungslos. Es wird eine bestimmte Ordnung des Verfahrens geben, wonach wir die möglichen Formen zu construiren, ihre gesetzlichen Zusammen- hänge zu überschauen, also auch die Einen durch Variation bestimmender Grundfactoren in die Anderen überzuführen ver- mögen u. s. w. Es wird, wenn auch nicht überhaupt, so doch für Theorienformen bestimmt definirter Gattungen, allgemeine Sätze geben, welche in dem abgesteckten Umfange die gesetz- mäßige Auseinanderentwicklung, Verknüpfung und Umwandlung der Formen beherrschen.
Die hier aufzustellenden Sätze werden offenbar von anderem 248 Die Idee der reinen Logik.
Gehalt und Charakter sein müssen, als die Grund- und Lehr- sätze der Theorien der zweiten Gruppe, als z. B. die syllo- gistischen Gesetze oder die arithmetischen u. s. w. Aber anderer- seits ist es von vornherein klar, daß ihre Deduction (denn eigentliche Grundgesetze kann es hier nicht geben) ausschließ- lich in jenen Theorien fußen muß.
Dies ist ein letztes und höchstes Ziel einer theoretischen Wissenschaft von der Theorie überhaupt. Es ist auch in erkenntnis-practischer Hinsicht kein gleichgiltiges. Die Ein- ordnung einer Theorie in ihre Formklasse kann vielmehr von größter methodologischer Bedeutung werden. Denn mit der Ausbreitung der deductiven und theoretischen Sphäre wächst auch die freie Lebendigkeit der theoretischen Forschung, es wächst der Reichthum und die Fruchtbarkeit der Methoden. So wird die Lösung von Problemen, die innerhalb einer theoreti- schen Disciplin, bezw. innerhalb einer ihrer Theorien gestellt sind, unter Umständen höchst wirksame methodische Hilfen gewinnen können durch Rückgang auf den kategorialen Typus oder (was dasselbe) die Form der Theorie, und eventuell dann weiter durch Uebergang zu einer umfassenderen Form oder Formklasse und ihren Gesetzen.
§70. Erläuterungen zur Idee der reinen Mannig faltigheitslehre.
Diese Andeutungen werden vielleicht etwas dunkel er- scheinen. Daß es sich bei ihnen nicht um vage Phantasien, sondern um Conceptionen von festem Gehalte handelt, beweist die,. formale Mathematik" in allerallgemeinstem Sinne oder die Mannigfaltigkeitslehre, diese höchste Blüthe der modernen Mathematik. In der That ist sie nichts Anderes, als eine partielle Realisirung des soeben entworfenen Ideals — womit natürlich nicht gesagt ist, daß die Mathematiker selbst, ursprünglich von den Interessen des Zahlen- und Größenge- bietes geleitet und dadurch zugleich beschränkt, das ideale Wesen der neuen Disciplin richtig erkannt und sich überhaupt zur höchsten Abstraction einer allumfassenden Theorienlehre Die Idee der reinen Logik. 249 erhoben haben. Das gegenständliche Correlat des Begriffes der möglichen, nur der Form nach bestimmten, Theorie ist der Begriff eines möglichen, durch eine Theorie solcher Form zu beherrschenden Erkenntnisgebietes über- haupt. Ein solches Gebiet nennt aber der Mathematiker (in seinem Kreise) eine Mannigfaltigkeit. Es ist also ein Ge- biet, welches einzig und allein dadurch bestimmt ist, daß es einer Theorie solcher Form untersteht, d. h. daß für seine Objecte gewisse Verknüpfungen möglich sind, die unter ge- wissen Grundgesetzen der und der bestimmten Form (hier das einzig Bestimmende) stehen. Ihrer Materie nach bleiben die Objecte völlig unbestimmt — der Mathematiker spricht, dies anzudeuten, mit Vorliebe von „üenkobjecten". Sie sind eben weder direct als individuelle oder specifische Einzel- heiten, noch indirect durch ihre inneren Arten oder Gattungen bestimmt, sondern ausschließlich durch die Form ihnen zuge- schriebener Verknüpfungen. Diese selbst sind also inhaltlich ebensowenig bestimmt, wie ihre Objecte; bestimmt ist nur ihre Form, nämlich durch die Form für sie als giltig angenommener Elementargesetze. Und diese bestimmen dann, wie das Gebiet, so die aufzubauende Theorie oder, richtiger gesprochen, die Theorien form. In der Mannigfaltigkeitslehre ist z. B. -f- nicht das Zeichen der Zahlenaddition, sondern einer Verknüpfung über- haupt, für welche Gesetze der Form a + b = b + a u. s. w. gelten. Die Mannigfaltigkeit ist dadurch bestimmt, daß ihre Denkobjecte diese (und andere, damit als a priori verträglich nachzuweisende) „Operationen" ermöglichen.
Die allgemeinste Idee einer Mannigfaltigkeits- lehre ist es, eine Wissenschaft zu sein, welche die wesent- lichen Typen möglicher Theorien bestimmt ausgestaltet und ihre gesetzmäßigen Beziehungen zu einander erforscht. Alle wirk- lichen Theorien sind dann Specialisirungen, bezw. Singulari- sirungen ihnen entsprechender Theorienformen, sowie alle theoretisch bearbeiteten Erkenntnisgebiete einzelne Mannig- faltigkeiten sind. Ist in der Mannigfaltigkeitslehre die be- 250 Die Idee der reinen Logik.
treffende formale Theorie wirklich durchgeführt, so ist damit alle deductive theoretische Arbeit für den Aufbau aller wirk- lichen Theorien derselben Form erledigt.
Dies ist ein Gesichtspunkt von höchster methodologischer Bedeutung, ohne ihn ist von einem Verständnis mathematischer Methode nicht zu reden. Nicht minder wichtig ist die mit dem Rückgang auf die reine Form nahegelegte Einordnung derselben in umfassendere Formen und Formklassen. Daß hier ein Hauptstück der wunderbaren methodologischen Kunst der Mathematik liegt, zeigt nicht nur der Hinblick auf die aus Verallgemeinerungen der geometrischen Theorie und Theorien- form erwachsenen Mannigfaltigkeitslehren, sondern schon der erste und einfachste Fall dieser Art, die Erweiterung des reellen Zahlengebietes (sc. der entsprechenden Theorienform, der „for- malen Theorie der reellen Zahlen") zum formalen, zweifach aus- gedehnten Gebiet der gemeinen complexen Zahlen. In der That liegt in dieser Auffassung der Schlüssel für die einzig mögliche Lösung des noch immer nicht geklärten Problems, wie z. B. im Anzahlengebiete unmögliche (wesenlose) Begriffe methodisch so behandelt werden dürfen wie reale. Doch dies näher zu erörtern, ist hier nicht die Stelle.
Wenn ich oben von Mannigfaltigkeitslehren spreche, die aus Verallgemeinerungen der geometrischen Theorie erwachsen sind, so meine ich natürlich die Lehre von den w-dimensionalen, sei es EüKLiD'schen, sei es nicht - EuKLro'schen Mannigfaltigkeiten, ferner Grassmann's Ausdehnungslehre und die verwandten von allem Geo- metrischen leicht abzulösenden Theorien eines W. R. Hamilton u. A. Auch Lies Lehre von den Transformationsgruppen, G. Cantor's Forschungen über Zahlen und Mannigfaltigkeiten gehören, neben vielen Anderen, hieher.
An der Weise, wie durch Variation des Krümmungsmaßes die verschiedenen Gattungen von raumähnlichen Mannigfaltigkeiten in- einander übergehen, kann sich der Philosoph, der die ersten Anfänge der RiEMANN-HELMHOLTz'schen Theorie kennen gelernt hat, eine gewisse Vorstellung davon verschaffen, wie reine Theorienformen von bestimmt unterschiedenem Typus durch ein gesetzliches Band miteinander ver- Die Idee der reinen Logik. 251 knüpft sind. Es wäre leicht nachzuweisen, daß durch die Er- kenntnis der wahren Intention solcher Theorien, als rein kategorialer Theorienformen, aller metaphysische Nebel und alle Mystik aus den einschlägigen mathematischen Untersuchungen verbannt wird. Nennen wir Raum die bekannte Ordnungsform der Erscheinungs- welt, so ist natürlich die Rede von „Räumen", für welche z. B. das Parallelenaxiom nicht gilt, ein Widersinn. Ebenso die Rede von verschiedenen Geometrien, wofern Geometrie eben die Wissenschaft vom Räume der Erscheinungswelt genannt wird. Verstehen wir aber unter Raum die kategoriale Form des Weltraums, bezw. unter Geometrie die kategoriale Theorienform der Geometrie im gemeinen Sinn, dann ordnet sich der Raum unter eine gesetzlich zu umgren- zende Gattung von rein kategorial bestimmten Mannigfaltigkeiten, mit Beziehung auf welche man dann naturgemäß von Raum in einem noch umfassenderen Sinne sprechen wird. Und wieder ordnet sich die geometrische Theorie einer entsprechenden Gattung von theoretisch zusammenhängenden und rein kategorial bestimmten Theorienformen ein, die man dann in entsprechend erweitertem Sinne „Geometrien" dieser „räumlichen" Mannigfaltigkeiten nennen mag. Jedenfalls realisirt die Lehre von den „w-dimensionalen Räumen" ein theoretisch geschlossenes Stück der Theorienlehre in dem oben definirten Sinn. Die Theorie der EüKLiD'schen Mannigfaltigkeit von drei Dimensionen ist eine letzte ideale Einzelheit in dieser gesetzlich zusammenhängenden Reihe apriorischer und rein kategorialer Theorienformen (formaler deductiver Systeme). Diese Mannigfaltigkeit selbst ist mit Beziehung auf „un- seren" Raum, d. h. den Raum im gemeinen Sinn, die ihm zugeord- nete rein kategoriale Form, also die ideale Gattung, von welcher er s. z. s. eine individuelle Einzelheit und nicht etwa eine specifische Differenz ausmacht. — Ein anderes großartiges Beispiel ist die Lehre von den complexen Zahlensystemen, innerhalb welcher die Theorie der „gemeinen" complexen Zahlen wieder eine singulare Einzelheit, jA fceine letzte specifische Differenz ist. In Beziehung auf die hieher- gehörigen Theorien sin4 die Arithmetiken der Anzahl, der Ordinal- zahl, der Größenzahl, der quantite dirigee und dgl. gewissermaßen lauter individuelle Einzelheiten. Jeder entspricht eine formale Gattungs- idee, bezw. die Lehre von den absoluten ganzen, von den reellen Zahlen, von den gemeinen complexen Zahlen u. s. w., wobei „Zahl" in verallgemeinert-formalern Sinn zu nehmen ist.