unendlich, über die keine größere (d. i. über die darin enthaltene Menge einer gegebenen Einheit) möglich ist; es sey aber keine Menge die größte, weil noch immer eine oder mehrere Einheiten hinzugefügt werden können.—Durch ein unendliches Ganzes dagegen werde nicht vorgestellt, wie groß es sey, mithin sey sein Begriff nicht der Begriff eines Maximums (oder Minimums), sondern es werde dadurch nur sein Verhältniß zu einer beliebig anzunehmenden Einheit gedacht, in Ansehung deren dasselbe größer ist, als alle Zahl. Je nachdem diese Einheit größer oder kleiner angenommen würde, würde das Unendliche größer oder kleiner seyn; allein die Unendlichkeit, da sie bloß in dem Verhältnisse zu dieser gegebenen Einheit bestehe, würde immer dieselbe bleiben, obgleich Freilich die absolute Größe des Ganzen dadurch gar nicht erkannt würde."
[9] In der Anmerkung zur Thesis der ersten kosmologischen Antinomie, in der Kritik der reinen Vernunft.
Kant tadelt es, wenn unendliche Ganze als ein Maximum, als eine vollendete Menge einer gegebenen Einheit angesehen werden. Das Maximum oder Minimum als solches erscheint noch immer als ein Quantum, eine Menge. Solche Vorstellung kann die von Kant angeführte Konsequenz nicht ablehnen, die auf ein größeres oder kleineres Unendliches führt.
Überhaupt indem das Unendliche als Quantum vorgestellt wird, gilt noch für dasselbe der Unterschied eines Größern oder Kleinern. Allein diese Kritik trifft nicht den Begriff des wahrhaften mathematischen Unendlichen, der unendlichen Differenz, denn diese ist kein endliches Quantum mehr.
Kants Begriff der Unendlichkeit dagegen, den er den wahren transcendentalen nennt, ist, "daß die successive Synthesis der Einheit in Durchmessung eines Quantums niemals vollendet seyn könne." Es ist ein Quantum überhaupt als gegeben vorausgesetzt; dieß solle durch das Synthesiren der Einheit zu einer Anzahl, einem bestimmt anzugebenden Quantum gemacht werden, aber dieß Synthesiren niemals vollendet werden können. Hiermit ist wie erhellt, nichts als der Progreß ins Unendliche ausgesprochen, nur transcendental, d. i. eigentlich subjektiv und psychologisch vorgestellt. An sich soll zwar das Quantum vollendet seyn, aber transcendentaler Weise, nämlich im Subjekte, welches ihm ein Verhältniß zu einer Einheit giebt, entstehe nur eine solche Bestimmung des Quantums, die unvollendet und schlechthin mit einem Jenseits behaftet sey. Es wird also hier überhaupt beim Widerspruche, den die Größe enthält, stehen geblieben, aber vertheilt an das Objekt und das Subjekt, so daß jenem die Begrenztheit, diesem aber das Hinausgehen über jede von ihm aufgefaßte Bestimmtheit, in das schlechte Unendliche zukommt.
Es ist dagegen vorhin gesagt worden, daß die Bestimmung des mathematischen Unendlichen und zwar wie es in der höhern Analysis gebraucht wird, dem Begriffe des wahrhaften Unendlichen entspricht; die Zusammenstellung beider Bestimmungen soll nun in ausführlicher Entwickelung vorgenommen werden.—Was zuerst das wahrhafte unendliche Quantum betrifft, so bestimmte es sich als an ihm selbst unendlich; es ist dieß, indem, wie sich ergeben hat, das endliche Quantum oder das Quantum überhaupt, und sein Jenseits, das schlechte Unendliche, auf gleiche Weise aufgehoben sind. Das aufgehobene Quantum ist damit in die Einfachheit und in die Beziehung auf sich selbst zurückgegangen, aber nicht nur wie das extensive, indem es in intensives Quantum überging, das seine Bestimmtheit nur an sich an einer äußern Vielfachheit hat, gegen die es jedoch gleichgültig und wovon es verschieden seyn soll.
Das unendliche Quantum enthält vielmehr erstens die Äußerlichkeit und zweitens die Negation derselben an ihm selbst; so ist es nicht mehr irgend ein endliches Quantum, nicht eine Größebestimmtheit, die ein Daseyn als Quantum hätte, sondern es ist einfach, und daher nur als Moment; es ist eine Größebestimmtheit in qualitativer Form; seine Unendlichkeit ist, als eine qualitative Bestimmtheit zu seyn.—So als Moment ist es in wesentlicher Einheit mit seinem Andern, nur als bestimmt durch dieses sein Anderes, d. i. es hat nur Bedeutung in Beziehung auf ein im Verhältniß mit ihm Stehendes. Außer diesem Verhältnisse ist es Null; —da gerade das Quantum als solches gegen das Verhältniß gleichgültig, in ihm doch eine unmittelbare ruhende Bestimmung seyn soll. In dem Verhältnisse als nur Moment ist es nicht ein für sich Gleichgültiges; es ist, in der Unendlichkeit als Fürsichseyn, indem es zugleich eine quantitative Bestimmtheit ist, nur als ein Für-Eines.
Der Begriff des Unendlichen, wie er sich hier abstrakt exponirt hat, wird sich zeigen, dem mathematischen Unendlichen zu Grunde liegen, und er selbst wird deutlicher werden, indem wir die verschiedenen Stufen des Ausdrucks des Quantums als eines Verhältniß-Moments betrachten, von der untersten an, wo es noch zugleich Quantum als solches ist, bis zu der höhern, wo es die Bedeutung und den Ausdruck eigentlicher unendlicher Größe erhält.
Nehmen wir also zuerst das Quantum in dem Verhältnisse, wie es eine gebrochene Zahl ist. Solcher Bruch 2/7 z.B. ist nicht ein Quantum wie 1, 2, 3 u.s.f., zwar eine gewöhnliche endliche Zahl, jedoch nicht eine unmittelbare, wie die ganzen Zahlen, sondern als Bruch mittelbar bestimmt durch zwei andere Zahlen, die Anzahl und Einheit gegeneinander sind, wobei auch die Einheit eine bestimmte Anzahl ist. Aber von dieser nähern Bestimmung derselben gegeneinander abstrahirt, und sie bloß nach dem, was ihnen in der qualitativen Beziehung, in der sie hier sind, als Quantis widerfährt, betrachtet, so sind 2 und 7 sonst gleichgültige Quanta; indem sie aber hier nur als Momente, eines des andern, und damit eines Dritten (des Quantums, das der Exponent heißt) auftreten, so gelten sie sogleich nicht als 2 und 7, sondern nur nach ihrer Bestimmtheit gegeneinander. Statt ihrer kann darum eben so gut 4 und 14, oder 6 und 21 u.s.f. ins Unendliche gesetzt werden. Hiermit fangen sie also an, einen qualitativen Charakter zu haben. Gälten sie als bloße Quanta, so ist 2 und 7, schlechthin das eine nur 2, das andere nur 7; 4, 14, 6, 21 u.s.f. sind schlechthin etwas Anderes als jene Zahlen, und können insofern sie nur unmittelbare Quanta wären, die einen nicht an die Stelle der anderen gesetzt werden. Insofern aber und nicht nach der Bestimmtheit, solche Quanta zu seyn, gelten, so ist ihre gleichgültige Grenze aufgehoben; sie haben somit, nach dieser Seite, das Moment der Unendlichkeit an ihnen, indem sie nicht bloß eben nicht mehr sie sind, sondern ihre quantitative Bestimmtheit, aber als eine an sich seyende qualitative,—nämlich nach dem, was sie im Verhältnisse gelten,—bleibt. Es können unendlich viele andere an ihre Stelle gesetzt werden, so daß der Werth des Bruches durch, die Bestimmtheit, welche das Verhältniß hat, sich nicht ändert.
Die Darstellung, welche die Unendlichkeit an einem Zahlenbruche hat, ist aber darum noch unvollkommen, weil die beiden Seiten des Bruchs, 2 und 7, aus dem Verhältnisse genommen werden können, und gewöhnliche gleichgültige Quanta sind; die Beziehung derselben, im Verhältnisse und Momente zu seyn, ist ihnen etwas Äußerliches und Gleichgültiges. Ebenso ist ihre Beziehung selbst ein gewöhnliches Quantum, der Exponent des Verhältnisses.
Die Buchstaben, mit denen in der allgemeinen Arithmetik operirt wird, die nächste Allgemeinheit, in welche die Zahlen erhoben werden, haben die Eigenschaft nicht, daß sie von einem bestimmten Zahlenwerth sind; sie sind nur allgemeine Zeichen und unbestimmte Möglichkeiten jedes bestimmten Werthes. Der Bruch a/b scheint daher ein passenderer Ausdruck des Unendlichen zu seyn, weil a und b aus ihrer Beziehung aufeinander genommen, unbestimmt bleiben, und auch getrennt keinen besonderen eigenthümlichen Werth haben.—Allein diese Buchstaben sind zwar als unbestimmte Größen gesetzt; ihr Sinn aber ist, daß sie irgend ein endliches Quantum seyen. Da sie also zwar die allgemeine Vorstellung, aber nur von der bestimmten Zahl sind, so ist es ihnen ebenfalls gleichgültig, im Verhältnisse zu seyn, und außer demselben behalten sie diesen Werth.
Betrachten wir noch näher, was im Verhältnisse vorhanden ist, so hat es die beiden Bestimmungen an ihm, erstlich ein Quantum zu seyn, dieses aber ist zweitens nicht als ein unmittelbares, sondern das den qualitativen Gegensatz an ihm hat; es bleibt in demselben zugleich jenes bestimmte, gleichgültige Quantum dadurch, daß es aus seinem Andersseyn, dem Gegensatze, in sich zurückgekehrt, somit auch ein Unendliches ist. Diese beiden Bestimmungen stellen sich in der folgenden bekannten Form, in ihrem Unterschiede von einander entwickelt dar.
+ a[hoch3] u.s.f. So ist er als eine unendliche Reihe; der Bruch selbst heißt die Summe oder der endliche Ausdruck derselben. Vergleichen wir die beiden Ausdrücke, so stellt der eine, die unendliche Reihe, ihn nicht mehr als Verhältniß, sondern nach der Seite dar, daß er ein Quantum ist als eine Menge von solchen, die zu einander hinzukommen, als eine Anzahl.—Daß die Größen, die ihn als Anzahl ausmachen sollen, wieder aus Decimalbrüchen, also selbst aus Verhältnissen bestehen, darauf kommt es hier nicht an; denn dieser Umstand betrifft die besondere Art der Einheit dieser Größen, nicht sie, insofern sie die Anzahl constituiren; wie auch eine aus mehreren Ziffern bestehende ganze Zahl des Decimalsystems wesentlich als eine Anzahl gilt, und nicht darauf gesehen wird, daß sie aus Produkten einer Zahl und der Zahl Zehen und deren Potenzen besteht. So wie es hier auch nicht darauf ankommt, daß es andere Brüche giebt als der z. B. genommene 2/7, die zu Dezimalbrüchen gemacht, nicht eine unendliche Reihe geben; jeder aber kann für ein Zahlensystem von anderer Einheit als eine solche ausgedrückt werden.
Indem nun in der unendlichen Reihe, die den Bruch als Anzahl darstellen soll, die Seite, daß er Verhältniß ist, verschwindet, so verschwindet auch die Seite, nach welcher er, wie vorhin gezeigt, die Unendlichkeit an ihm hatte. Diese aber ist auf eine andere Weise hereingekommen; die Reihe ist nämlich selbst unendlich.
Von welcher Art nun die Unendlichkeit der Reihe sey, erhellt von selbst; es ist die schlechte Unendlichkeit des Progresses. Die Reihe enthält und stellt den Widerspruch dar, etwas, das ein Verhältniß ist und qualitative Natur in ihm hat, als ein Verhältnißloses, als ein bloßes Quantum, als Anzahl, darzustellen. Die Folge davon ist, daß an der Anzahl, die in der Reihe ausgedrückt ist, immer etwas fehlt, so daß über das, was gesetzt ist, immer hinausgegangen werden muß, um die geforderte Bestimmtheit zu erreichen. Das Gesetz des Fortgangs ist bekannt, es liegt in der Bestimmung des Quantums, die im Bruche enthalten ist, und in der Natur der Form, in der sie ausgedrückt werden soll. Die Anzahl kann wohl durch Fortsetzung der Reihe so genau gemacht werden, als man nöthig hat; aber immer bleibt die Darstellung durch sie nur ein Sollen; sie ist mit einem Jenseits behaftet, das nicht aufgehoben werden kann, weil ein auf qualitativer Bestimmtheit beruhendes als Anzahl auszudrücken der bleibende Widerspruch ist.
In dieser unendlichen Reihe ist jene Ungenauigkeit wirklich vorhanden, von der am wahrhaften mathematischen Unendlichen nur der Schein vorkommt. Diese beiden Arten des mathematischen Unendlichen sind so wenig zu verwechseln, als die beiden Arten des philosophischen Unendlichen. Bei der Darstellung des wahrhaften mathematischen Unendlichen ist anfangs die Form der Reihe gebraucht oder auch neuerlich wieder hervorgerufen worden. Aber sie ist für dasselbe nicht nothwendig; im Gegentheil ist das Unendliche der unendlichen Reihe wesentlich von jenem unterschieden, wie die Folge zeigen soll. Diese vielmehr steht sogar dem Ausdrucke des Bruches nach.
Die unendliche Reihe enthält nämlich die schlechte Unendlichkeit, weil das, was die Reihe ausdrücken soll, ein Sollen bleibt; und was sie ausdrückt, mit einem Jenseits, das nicht verschwindet, behaftet und verschieden von dem ist, was ausgedrückt werden soll. Sie ist unendlich nicht um der Glieder willen, die gesetzt sind, sondern darum, weil sie unvollständig sind, weil das Andere, das zu ihnen wesentlich gehört, jenseits ihrer ist; was in ihr da ist, der gesetzten Glieder mögen so viele seyn als wollen, ist nur ein Endliches, im eigentlichen Sinne, gesetzt als Endliches, d. i. als solches, das nicht ist, was es seyn soll. Dagegen ist aber das, was der endliche Ausdruck, oder die Summe solcher Reihe genannt wird, ohne Mangel; er enthält den Werth, den die Reihe nur sucht, vollständig; das Jenseits ist aus der Flucht zurückgerufen; was er ist, und was er seyn soll, ist nicht getrennt, sondern ist dasselbe.
Das beide Unterscheidende liegt näher sogleich darin, daß in der unendlichen Reihe das Negative außerhalb ihrer Glieder ist, welche Gegenwart haben, indem sie nur als Theile der Anzahl gelten. In dem endlichen Ausdrucke dagegen, der ein Verhältniß ist, ist das Negative immanent, als das Bestimmtseyn der Seiten des Verhältnisses durcheinander, welches ein in sich Zurückgekehrtseyn, sich auf sich beziehende Einheit, als Negation der Negation (beide Seiten des Verhältnisses sind nur als Momente), ist, hiermit die Bestimmung der Unendlichkeit in sich hat.—Zu der That ist also die gewöhnlich sogenannte Summe, das 2/7 oder 1/1-a', ein Verhältniß; und dieser sogenannte endliche Ausdruck ist der wahrhaft unendliche Ausdruck. Die unendliche Reihe dagegen ist in Wahrheit Summe; ihr Zweck ist, das was an sich Verhältniß ist, in der Form einer Summe darzustellen, und die vorhandenen Glieder der Reihe sind nicht als Glieder eines Verhältnisses, sondern eines Aggregats. Sie ist ferner vielmehr der endliche Ausdruck; denn sie ist das unvollkommene Aggregat, und bleibt wesentlich ein Mangelhaftes. Sie ist nach dem, was in ihr da ist, ein bestimmtes Quantum, zugleich aber ein geringeres, als sie seyn soll; alsdann auch das, was ihr fehlt, ist ein bestimmtes Quantum; dieser fehlende Theil ist in der That das, was das Unendliche an der Reihe heißt, nach der nur formellen Seite, daß er ein Fehlendes, ein Nichtseyn ist; nach seinem Inhalte ist er ein endliches Quantum. Das was in der Reihe da ist, zusammen mit dem was ihr fehlt, macht erst das aus, was der Bruch ist, das bestimmte Quantum, das sie gleichfalls seyn soll, aber zu seyn nicht vermag. —Das Wort: Unendlich, pflegt, auch in der unendlichen Reihe, in der Meinung etwas Hohes und Hehres zu seyn; es ist dieß eine Art von Aberglauben, der Aberglaube des Verstands; man hat gesehen, wie es sich vielmehr auf die Bestimmung der Mangelhaftigkeit reducirt.
Daß es, kann noch bemerkt werden, unendliche Reihen giebt, die nicht summirbar sind, ist in Bezug auf die Form von Reihe überhaupt ein äußerlicher und zufälliger Umstand. Sie enthalten eine höhere Art der Unendlichkeit, als die summirbaren; nämlich eine Incommensurabilität, oder die Unmöglichkeit, das darin enthaltene quantitative Verhältniß als ein Quantum, sey es auch als Bruch, darzustellen; die Form der Reihe aber als solche, die sie haben, enthält dieselbe Bestimmung der schlechten Unendlichkeit, welche in der summirbaren Reihe ist.
Die so eben am Bruche und an seiner Reihe bemerkte Verkehrung in Ansehung des Ausdrucks findet auch Statt, insofern das mathematische Unendliche nämlich nicht das so eben genannte sondern das wahrhafte, das relative Unendliche,—das gewöhnliche metaphysische dagegen, worunter das abstrakte, schlechte Unendliche verstanden wird, das absolute genannt worden ist. In der That ist vielmehr dieses metaphysische nur das relative, weil die Negation, die es ausdrückt, nur so im Gegensatze einer Grenze ist, daß diese außer ihm bestehen bleibt, und von ihm nicht aufgehoben wird; das mathematische Unendliche hingegen hat die endliche Grenze wahrhaft in sich aufgehoben, weil das Jenseits derselben mit ihr vereinigt ist.
In dem Sinne, in welchem aufgezeigt worden, daß die sogenannte Summe oder der endliche Ausdruck einer unendlichen Reihe, vielmehr als der unendliche anzusehen ist, ist es vornehmlich, daß Spinoza den Begriff der wahren Unendlichkeit gegen den der schlechten aufstellt und durch Beispiele erläutert. Sein Begriff gewinnt am neisten Licht, indem ich das, was er hierüber sagt, an diese Entwickelung anschließe.
Er definirt zunächst das Unendliche als die absolute Affirmation der Existenz irgend einer Natur, das Endliche im Gegentheil als Bestimmtheit, als Verneinung. Die absolute Affirmation einer Existenz ist nämlich als ihre Beziehung auf sich selbst zu nehmen, nicht dadurch zu seyn, daß ein Anderes ist; das Endliche hingegen ist die Verneinung, ein Aufhören als Beziehung auf ein Anderes, das außer ihm anfängt. Die absolute Affirmation einer Existenz erschöpft nun zwar den Begriff der Unendlichkeit nicht; dieser enthält, daß die Unendlichkeit Affirmation ist, nicht als unmittelbare, sondern nur als wiederhergestellte durch die Reflexion des Anderen in sich selbst, oder als Negation des Negativen. Aber bei Spinoza hat die Substanz und deren absolute Einheit die Form von unbewegter d. i. nicht sich mit sich selbst vermittelnder Einheit, von einer Starrheit, worin der Begriff der negativen Einheit des Selbst, die Subjektivität, sich noch nicht findet.
Das mathematische Beispiel, womit er das wahre Unendliche (Epist.
XXIX.) erläutert, ist ein Raum zwischen zwei ungleichen Kreisen, deren einer innerhalb des andern, ohne ihn zu berühren, fällt, und die nicht koncentrisch sind. Er machte, wie es scheint, sich viel aus dieser Figur und dem Begriffe als deren Beispiel er sie gebrauchte, daß er sie zum Motto seiner Ethik machte.—"Die Mathematiker, sagt er, schließen, daß die Ungleichheiten, die in einem solchen Raume möglich sind, unendlich sind, nicht aus der unendlichen Menge der Theile, denn seine Größe ist bestimmt und begrenzt, und ich kann größere und kleinere solche Räume setzen, sondern weil die Natur der Sache jede Bestimmtheit übertrift."—Man sieht, Spinoza verwirftjene Vorstellung vom Unendlichen, nach welcher es als Menge oder als Reihe vorgestellt wird, die nicht vollendet ist, und erinnert, daß hier an dem Raume des Beispiels das Unendliche nichtjenseits, sondern gegenwärtig und vollständig ist; dieser Raum ist ein Begrenztes, aber darum ein Unendliches, "weil die Natur der Sache jede Bestimmtheit übersteigt," weil die darin enthaltene Größenbestimmung zugleich nicht als ein Quantum darstellbar ist, oder nach obigem kantischen Ausdruck das Synthesiren nicht zu einem—diskreten—Quantum vollendet werden kann.—Wie überhaupt der Gegensatz von kontinuirlichem und diskretem Quantum auf das Unendliche führt, soll in einer spätern Anmerkung auseinander gesetzt werden.—Jenes Unendliche einer Reihe nennt Spinoza das Unendliche der Imagination; das Unendliche hingegen als Beziehung auf sich selbst, das Unendliche des Denkens oder infinitum actu. Es ist nämlich actu, es ist wirklich unendlich, weil es in sich vollendet und a[hoch 3]… das Unendliche bloß der Einbildung oder des Meinens; denn es hat keine Wirklichkeit, es fehlt ihm schlechthin etwas; hingegen 2/7 oder 1/1-a ist das wirklich, nicht nur was die Reihe in ihren vorhandenen Gliedern ist, sondern noch das dazu, was ihr mangelt, was sie nur seyn soll. Das 2/7 oder 1/1-a ist gleichfalls eine endliche Größe, wie der zwischen den zwei Kreisen eingeschlossene Raum Spinoza's und dessen Ungleichheiten; und kann wie dieser Raum größer oder kleiner gemacht werden. Aber es kommt damit nicht die Ungereimtheit eines größern oder kleinern Unendlichen heraus; denn dieß Quantum des Ganzen, geht das Verhältniß seiner Momente, die Natur der Sache d. h. die qualitative Größenbestimmung, nichts an; das was in der unendlichen Reihe da ist, ist ebenso ein endliches Quantum, aber außerdem noch ein Mangelhaftes.—Die Einbildung dagegen bleibt beim Quantum als solchem stehen, und reflektirt nicht auf die qualitative Beziehung, welche den Grund der vorhandenen Inkommensurabilität ausmacht.
Die Inkommensurabilität, welche in dem Beispiel Spinoza's liegt, schließt überhaupt die Funktionen krummer Linien in sich, und führt näher auf das Unendliche, das die Mathematik bei solchen Funktionen, überhaupt bei den Funktionen veränderlicher Größen eingeführt hat, und welches das wahrhafte mathematische, quantitative Unendliche ist, das auch Spinoza sich dachte. Diese Bestimmung soll nun hier näher erörtert werden.
Was vors erste die für so wichtig geltende Kategorie der Veränderlichkeit betrifft, unter welche die in jenen Funktionen bezogenen Größen gefaßt werden, so sollen sie zunächst veränderlich nicht in dem Sinne seyn, wie im Bruche 2/7 die beiden Zahlen 2 und 7, indem eben so sehr 4 und 14, 6 und 21 und so fort ins Unendliche andere Zahlen an ihre Stelle gesetzt werden können, ohne den im Bruche gesetzten Werth zu ändern. So kann noch mehr in a/b an die Stelle von a und b jede beliebige Zahl gesetzt werden, ohne das zu ändern was a/b ausdrücken soll. In dem Sinne nur, daß auch an die Stelle von x und y einer Funktion eine unendliche d. h. unerschöpfliche Menge von Zahlen gesetzt werden könne, sind a und b so sehr veränderliche Größe als jene, x und y. Der Ausdruck: veränderliche Größen, ist darum sehr vage, und unglücklich gewählt für Größebestimmungen, die ihr Interesse und Behandlungsart in etwas in etwas ganz Anderem liegen haben, als in ihrer bloßen Veränderlichkeit.
Um es deutlich zu machen, worin die wahrhafte Bestimmung der Momente einer Funktion liegt, mit denen sich das Interesse der höhern Analysis beschäftigt, müssen wir die bemerklich gemachten Stufen noch einmal durchlaufen. In 2/7 oder a/b sind 2 und 7 jedes für sich, bestimmte Quanta und die Beziehung ist ihnen nicht wesentlich; a und b soll gleichfalls solche Quanta vorstellen, die auch außer dem Verhältnisse bleiben, was sie sind. Ferner ist auch 2/7 und a/b ein fixes Quantum, ein Quotient; das Verhältniß macht eine Anzahl aus, deren Einheit der Nenner, und die Anzahl dieser Einheiten der Zähler—oder umgekehrt ausdrückt; wenn auch 4 und 14 u.s.f. an die Stelle von 2 und 7 treten, bleibt das Verhältniß auch als Quantum dasselbe. Dieß verändert sich nun aber wesentlich in der Funktion y[hoch 2]/x = p z.B.; hier haben x und y zwar den Sinn, bestimmte Quanta seyn zu können; aber nicht x und y, sondern nur x und y[hoch 2] haben einen bestimmten Quotienten.
Dadurch sind diese Seiten des Verhältnisses, x und y, erstens nicht nur keine bestimmten Quanta, sondern zweitens ihr Verhältniß ist nicht ein fixes Quantum, (noch ist dabei ein solches wie bei a und b gemeint), nicht ein fester Quotient, sondern er ist als Quantum schlechthin veränderlich. Dieß aber ist allein darin enthalten, daß x nicht zu y ein Verhältniß hat, sondern zum Quadrate von y. Das Verhältniß einer Größe zur Potenz ist nicht ein Quantum, sondern wesentlich qualitatives Verhältniß; das Potenzenverhältniß ist der Umstand, der als Grundbestimmung anzusehen ist.—In der Function der geraden Linie y = a x aber, ist x/y = a ein gewöhnlicher Bruch und Quotient; diese Funktion ist daher nur formell eine Funktion von veränderlichen Größen, oder x und y sind hier was a und b in a/b, sie sind nicht in derjenigen Bestimmung, in welcher die Differential- und Integralrechnung sie betrachtet.—Wegen der besondern Natur der veränderlichen Größen in dieser Betrachtungsweise, wäre es zweckmäßig gewesen, für sie sowohl einen besonderen Namen, als andere Bezeichnungen einzuführen, als die gewöhnlichen der unbekannten Größen in jeder endlichen, bestimmten oder unbestimmten Gleichung; um ihrer wesentlichen Verschiedenheit willen von solchen bloß unbekannten Größen, die an sich vollkommen bestimmte Quanta, oder ein bestimmter Umfang von bestimmten Quantis sind.—Es ist auch nur der Mangel des Bewußtseyns, über die Eigenthümlichkeit dessen, was das Interesse der höheren Analysis ausmacht und das Bedürfniß und die Erfindung des Differential-Kalkuls herbeigeführt hat, daß Funktionen des ersten Grades wie die Gleichung der geraden Linie in die Behandlung dieses Kalkuls für sich mit hereingenommen werden; seinen Antheil an solchem Formalismus hat ferner der Mißverstand, der die an sich richtige Forderung der Verallgemeinerung einer Methode dadurch zu erfüllen meint, daß die specifische Bestimmtheit, auf die sich das Bedürfniß gründet, weggelassen wird, daß es dafür gilt, als ob es sich in diesem Felde nur um veränderliche Größen überhaupt handle. Es wäre wohl viel Formalismus in den Betrachtungen dieser Gegenstände wie in der Behandlung erspart worden, wenn man eingesehen hätte, daß derselbe nicht veränderliche Größen als solche, sondern Potenzenbestimmungen betreffe.
Aber es ist noch eine weitere Stufe, auf der das mathematische Unendliche in seiner Eigenthümlichkeit hervortritt. In einer Gleichung, worin x und y zunächst als durch ein Potenzenverhältniß bestimmt, gesetzt sind, sollen x und y als solche noch Quanta bedeuten; diese Bedeutung nun geht vollends in den sogenannten unendlich kleinen Differenzen gänzlich verloren. d x, d y sind keine Quanta mehr, noch sollen sie solche bedeuten, sondern haben allein in ihrer Beziehung eine Bedeutung, einen Sinn blos als Momente. Sie sind nicht mehr Etwas, das Etwas als Quantum genommen, nicht endliche Differenzen; aber auch nicht Nichts, nicht die bestimmungslose Null. Außer ihrem Verhältnisse sind sie reine Nullen, aber sie sollen nur als Momente des genommen werden.
In diesem Begriff des Unendlichen ist das Quantum wahrhaft zu einem qualitativen Daseyn vollendet; es ist als wirklich unendlich gesetzt; es ist nicht nur als dieses oder jenes Quantum aufgehoben, sondern als Quantum überhaupt. Es bleibt aber die Quantitätsbestimmtheit als Element von Quantis, Princip, oder sie wie man auch gesagt hat, in ihrem ersten Begriffe.
Gegen diesen Begriff ist aller Angriff gerichtet, der auf die Grundbestimmung der Mathematik dieses Unendlichen, der Differentialund Integralrechnung, gemacht worden ist. Unrichtige Vorstellungen der Mathematiker selbst veranlaßten es, wenn er nicht anerkannt worden ist; vornehmlich aber ist die Unvermögenheit, den Gegenstand als Begriff zu rechtfertigen, Schuld an diesen Anfechtungen. Den Begriff kann aber die Mathematik, wie oben erinnert worden, hier nicht umgehen; denn als Mathematik des Unendlichen schränkt sie sich nicht auf die endliche Bestimmtheit ihrer Gegenstände ein,—wie in der reinen Mathematik der Raum und die Zahl und deren Bestimmungen nur nach ihrer Endlichkeit betrachtet und auf einander bezogen werden—; sondern sie versetzt eine von daher aufgenommene und von ihr behandelte Bestimmung in Identität mit ihrer entgegengesetzten, wie sie z.B. eine krumme Linie zu einer geraden, den Kreis zu einem Polygon u.s.f. macht. Die Operationen, die sie sich als Differential- und Integralrechnung erlaubt, sind daher der Natur bloß endlicher Bestimmungen und deren Beziehungen gänzlich widersprechend und hätten darum ihre Rechtfertigung allein in dem Begriff.
Wenn die Mathematik des Unendlichen daran festhielt, daß jene Quantitäts-Bestimmungen verschwindende Größen d. h. solche, die nicht mehr irgend ein Quantum, aber auch nicht Nichts, sondern noch eine Bestimmtheit gegen Anderes sind, so schien nichts klarer, als daß es keinen solchen Mittelzustand, wie man es nannte, zwischen Seyn und Nichts gebe.—Was es mit diesem Einwurfe und sogenannten Mittelzustande auf sich habe, ist oben bereits bei der Kategorie des Werdens, Anmerk.
4. gezeigt. Allerdings ist die Einheit des Seyns und Nichts kein Zustand; ein Zustand wäre eine Bestimmung des Seyns und Nichts, worein diese Momente nur etwa zufälligerweise gleichsam als in eine Krankheit oder äußerliche Affektion durch ein irrthümliches Denken gerathen sollten; sondern diese Mitte und Einheit, das Verschwinden oder eben so das Werden, ist vielmehr allein ihre Wahrheit.
Was unendlich sey, ist ferner gesagt worden, sey nicht vergleichbar als ein Größeres oder Kleineres; es könne daher nicht ein Verhältniß von Unendlichen zu Unendlichen, noch Ordnungen oder Dignitäten des Unendlichen geben, als welche Unterschiede der unendlichen Differenzen in der Wissenschaft derselben vorkommen.—Es liegt bei diesem schon erwähnten Einwurfe immer die Vorstellung zu Grunde, daß hier von Quantis die Rede seyn solle, die als Quanta verglichen werden; daß Bestimmungen, die keine Quanta mehr sind, kein Verhältniß mehr zu einander haben. Vielmehr ist aber das, was nur im Verhältniß ist, kein Quantum; das Quantum ist eine solche Bestimmung, die außer ihrem Verhältniß ein vollkommen gleichgültiges Daseyn haben, der ihr Unterschied von einem anderen gleichgültig seyn soll, da hingegen das qualitative nur das ist, was es in seinem Unterschiede von dnem Anderen ist. Jene unendlichen Größen sind daher nicht nur vergleichbar, sondern sind nur als Momente der Vergleichung, des Verhältnisses.
Ich führe die wichtigsten Bestimmungen an, welche in der Mathematik über dieß Unendliche gegeben worden sind; es wird daraus erhellen, daß denselben der Gedanke der Sache, übereinstimmend mit dem hier entwickelten Begriffe, zu Grunde liegt, daß ihre Urheber ihn aber als Begriff nicht ergründeten und bei der Anwendung wieder Auskunftsmittel nöthig hatten, welche ihrer besseren Sache widersprechen.
Der Gedanke kann nicht richtiger bestimmt werden, als Newton ihn gegeben hat. Ich trenne dabei die Bestimmungen ab, die der Vorstellung der Bewegung und der Geschwindigkeit angehören, (von welcher er vornehmlich den Namen Fluxionen nahm), weil der Gedanke hierin nicht in der gehörigen Abstraktion, sondern konkret, vermischt mit außerwesentlichen Formen erscheint. Diese Fluxionen erklärt Newton (Princ. mathem. phil. nat. L. 1. Lemma XI. Schol.) dahin, daß er nicht untheilbare—eine Form, deren sich frühere Mathematiker, Cavalleri und andere, bedienten, und welche den Begriff eines an sich bestimmten Quantums enthält,—verstehe, sondern verschwindende Theilbare. Ferner nicht Summen und Verhältnisse bestimmter Theile, sondern die Grenzen (limites) der Summen, und Verhältnisse. Es werde die Einwendung gemacht, daß verschwindende Größen kein letztes Verhältniß haben, weil es, ehe sie verschwunden, nicht das Letzte, und wenn sie verschwunden, keines mehr ist. Aber unter dem Verhältnisse verschwindender Größen sey das Verhältniß zu verstehen, nicht eh sie verschwinden, und nicht nachher, sondern mit dem sie verschwinden ( quacum evanescunt ). Eben so ist das erste Verhältniß werdender Größen, das mit dem sie werden.
Nach dem damaligen Stande der wissenschaftlichen Methode wurde nur erklärt, was unter einem Ausdrucke zu verstehen sey; daß aber dieß oder jenes darunter zu verstehen sey, ist eigentlich eine subjektive Zumuthung oder auch eine historische Forderung, wobei nicht gezeigt wird, daß ein solcher Begriff an und für sich nothwendig ist und innere Wahrheit hat. Allein das Angeführte zeigt, daß der von Newton aufgestellte Begriff dem entspricht, wie die unendliche Größe sich in der obigen Darstellung aus der Reflexion des Quantums in sich ergab. Es sind Größen verstanden, in ihrem Verschwinden, d. h. die nicht mehr Quanta sind; ferner nicht Verhältnisse bestimmter Theile, sondern die Grenzen des Verhältnisses. Es sollen also sowohl die Quanta für sich, die Seiten des Verhältnisses, als damit auch das Verhältniß, insofern es ein Quantum wäre, verschwinden; die Grenze des Größen-Verhältnisses ist, worin es ist und nicht ist; dieß heißt genauer, worin das Quantum verschwunden, und damit das Verhältniß nur als qualitatives Quantitäts-Verhältniß, und die Seiten desselben ebenso als qualitative Quantitäts-Momente erhalten sind.—Newton fügt hinzu, daß daraus, daß es letzte Verhältnisse der verschwindenden Größen gebe, nicht zu schließen sey, daß es letzte Größen, Untheilbare, gebe. Dieß wäre nämlich wieder ein Absprung von dem abstrakten Verhältnisse auf solche Seiten desselben, welche für sich außer ihrer Beziehung einen Werth haben sollten, als Untheilbare, als etwas, das ein Eins, ein Verhältnißloses seyn würde.
Gegen jenen Mißverstand erinnert er noch, daß die letzten Verhältnisse nicht Verhältnisse letzter Größen seyen, sondern Grenzen, denen die Verhältnisse der ohne Grenze abnehmenden Größen näher sind als jeder gegebene d. h. endliche Unterschied, welche Grenze sie aber nicht überschreiten, so daß sie Nichts würden.—Unter letzten Größen hätten nämlich, wie gesagt, Untheilbare oder Eins verstanden werden können. In der Bestimmung des letzten Verhältnisses aber ist sowohl die Vorstellung des gleichgültigen Eins, des verhältnißlosen, als auch des endlichen Quantums entfernt. Es bedürfte aber weder des Abnehmens ohne Grenze, in das Newton das Quantum versetzt und das nur den Progreß ins Unendliche ausdrückt, noch der Bestimmung der Theilbarkeit, welche hier keine unmittelbare Bedeutung mehr hat, wenn die geforderte Bestimmung sich zum Begriffe einer Größebestimmung, die rein nur Moment des Verhältnisses ist, fortgebildet hätte.
In Rücksicht der Erhaltung des Verhältnisses im Verschwinden der Quantorum findet sich (anderwärts, wie bei Carnot, Réflexions sur la Métaphysique du Calcul Infinitésimal.) der Ausdruck, daß vermöge des Gesetzes der Stätigkeit die verschwindenden Größen noch das Verhältniß, aus dem sie herkommen, ehe sie verschwinden, behalten. —Diese Vorstellung drückt die wahre Natur der Sache aus, insofern nicht die Stätigkeit des Quantums verstanden wird, die es im unendlichen Progreß hat, sich in sein Verschwinden so zu kontinuiren, daß im Jenseits seiner wieder nur ein endliches Quantum, ein neues Glied der Reihe entsteht; ein stätiger Fortgang wird aber immer so vorgestellt, daß die Werthe durchloffen werden, welche noch endliche Quanta sind.
In demjenigen Übergange dagegen, welcher in das wahrhafte Unendliche gemacht wird, ist das Verhältniß das stätige; es ist so sehr stätig und sich erhaltend, daß er vielmehr allein darin besteht, das Verhältniß rein herauszuheben, und die verhältnißlose Bestimmung, d. i. daß ein Quantum, welches Seite des Verhältnisses ist, auch außer dieser Beziehung gesetzt, noch Quantum ist, verschwinden zu machen. —Diese Reinigung des quantitativen Verhältnisses ist insofern nichts anders, als wenn ein empirisches Daseyn begriffen wird. Dieß wird hierdurch so über sich selbst erhoben, daß sein Begriff dieselben Bestimmungen enthält, als es selbst, aber in ihrer Wesentlichkeit und in die Einheit des Begriffes gefaßt, worin sie ihr gleichgültiges, begriffloses Bestehen verloren haben.
Gleich interessant ist die andere Form der newtonischen Darstellung der in Rede stehenden Größen, nämlich als erzeugender Größen oder Principien. Eine erzeugte Größe (genita) ist ein Produkt oder Quotient, Wurzeln, Rechtecke, Quadrate, auch Seiten von Rechtecken, Quadraten;—überhaupt eine endliche Größe.—"Sie als veränderlich betrachtet, wie sie in fortdauernder Bewegung und Fließen zu- oder abnehmend ist, so verstehe er ihre momentanen Inkremente oder