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Eine loni über den Begriff der Zahl von Dr. 0. Frege, a. 0. Professor an der Universität Jena.
BRESLAU. Verlag von "Wilhelm Koebner.
S^\y\pjf^ '^'y Die Grundlagen der Arithmetik.
Eine loni über den Begriff der Zahl von Dr. 0. Frege, a. 0. Professor an der UniTersität Jena.
BRESLAU.
Verlag von Wilhelm Koebner.
Inhalt.
StiU § ]. In der Mathematik ist in neuerer Zeit ein auf der Strengte der Beweise und scharfe Fassung der Begriffe gerichtetes Bestreben erkennbar 1 § 2. Die Prüfung muss sich schliesslich auch auf den Begriff der Anzahl erstrecken. Zweck des Beweises 2 § 3. Philosophische Beweggründe für solche Untersuchung: die Streitfragen^ ob die Gesetze der Zahlen analytische oder synthetische Wahrheiten, apriori oder aposteriori sind. Sinn dieser Ausdrücke 3 § 4. Die Aufgabe diesjßs Buches 4 I. Meinungen einiger Schriftsteller über die Natur der arithmetischen Sätze.
Sind die Zahlformeln beweisbar?
§ 5. Kant verneint dies, was Hankel mit Recht paradox nennt. 5 § 7. Mills Meinung, dass die Definitionen der einzelnen Zahlen beobachtete Thatsachen behaupten, aus denen die Rechnungen folgen, ist unbegründet 9 § 8. Zur Rechtmässigkeit dieser Definitionen ist die Beobachtung jener Thatsachen nicht erforderlich 11 8§it» Sind die Gesetze der Arithmetik inductive Wahrheiten?
§ 9. Mills Naturgesetz. Indem Hill arithmetische Wahrheiten Naturgesetze nennt, verwechselt er sie mit ihren An- wendungen 12 § 10. Gründe dagegen, dass die Additionsgesetze iductive Wahr- heiten sind: Ungleichartigkeit der Zahlen; wir hahen nicht schon durch die Definition eine Menge gemeinsamer Eigen- schaften der Zahlen; die Induction ist wahrscheinlich umge- kehrt auf die Arithmetik zu gründen 14 Sind die Gesetze der Arithmetik synthetisch-apriori oder analytisch?
§ 12. Kant. Baumann. Lipschitz. Hankel. Die innere Anschauung als Erkenntnissgrund 17 § 13. Unterschied von Arithmetik und Geometrie 19 § 14. Vergleichung der Wahrheiten in Bezug auf das von ihnen beherrschte Gebiet 20 § 15. Ansichten von Leibniz und St. Jevons 21 § 16. Dagegen Mills Herabsetzung des „kunstfertigen Handhabens der Sprache.*" Die Zeichen sind nicht darum leer, weil sie nichts Wahrnehmbares bedeuten 22 §17. Unzulänglichkeit der Induction. Yermuthung, dass die Zahlgesetze analytische Urtheile sind; worin dann ihr Nutzen besteht. Werthschätzung der analytischen Urtheile...28 II. Meinungen einiger Schriftsteller über den Begriff der Anzahl.
§ 18. Nothwendigkeit den allgemeinen Begriff der Anzahl zu untersuchen 24 § 19. Die Definition darf nicht geometrisch sein 25 § 20. Ist die Zahl definirbar? Hankel. Leibniz 26 Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äussern Dinge?
§ 21. Meinungen von M. Gantor und E. Schröder 27 § 22. Dagegen Baumann: die äussern Dinge stellen keine strengen Einheiten dar. Die Anzahl hängt scheinbar von unserer Auffassung ab 28 § 23. Mills Meinung, dass die Zahl eine Eigenschaft des Aggre- gats von Dingen sei, ist unhaltbar 29 Bsits § 24. ümfasiende Anwendbarkeit der Zahl. Hill. Locke. Leib- nizens unkörperliche metaphysische Figur. Wenn die Zahl etwas Sinnliches wäre, könnte sie nicht Unsinnlichem bei- gelegt werden 30 § 25. Mills physikalischer Unterschied zwischen 2 und 3. Nach Berkeley ist die Zahl nicht realiter in den Dingen, sondern durch den Geist geschaffen 32 Ist die Zahl etwas Subjectives?
§ 26. Idpschitzs Beschreibung der Zahlbildung passt nicht recht und kann eine Begriffsbestimmung nicht ersetzen. Die Zahl ist kein Gegenstand der Psychologie, sondern etwas Ob- jectives 33 § 27. Die Zahl ist nicht, wie Schloemilch will, Vorstellung der Stelle eines Objects in einer Breihe 36 Die Anzahl als Menge. § 28. Thomaes Namengebung 38 III. Meinungen über Einheit und Eins.
Drückt das Zahlwort »Ein*" eine Eigenschaft Ton Gegenständen aus?
§ 29. Vieldeutigkeit der Ausdrücke „{tovof;'' und „Einheit." E. Schröders Erklärung der Einheit als zu zählenden Ge- genstandes ist scheinbar zwecklos. Das Adjectiy „Ein" enthält keine nähere Bestimmung, kann nicht als Fraedicat dienen 39 § 30. Nach den DefinitionsTersuchen von Leibniz und Baumann scheint der Begriff der Einheit gänzlich zu verschwimmen 41 §31. Baumanns Merkmale der Ungetheiltheit und Abgegrenztheit. Die Idee der Einheit wird uns nicht von jedem Objecte zugeführt (Locke) 41 § 32. Doch deutet die Sprache einen Zusammenhang mit der Un- getheiltheit und Abgegrenztheit an, wobei jedoch der Sinn • verschoben wird 42 § 33. Die Untheilbarkeit (G. Kopp) ist als Merkmal der Einheit nicht haltbar 43 • Sind die Einheiten einander gleich?
§ 34. Die Gleichheit als Grund für den Namen „Einheit." E.Schröder. Hobbes. Hume. Thomae. Durch Abstraction von den Ver- schiedenheiten der Dinge erhält man nicht den Begriff der Anzahl, und die Dinge werden dadurch nicht einander gleich 44 § 35. Die Veischiedeaheit ist sogar nolhweiidig, wenn von Kehrheit die Kede sein soll. Descartes. E, Schröder. St. Jevons § 36. Die Ansicht von der Verbchiedenheit der Einheiten stÖBst auch auf Schwierigkeiten. Verschiedene Einsen bei St. Jevons § 37. LockeB, Leibnizens, Eei^seH Erklärungen der Zahl ans der Einheit oder Eins § 38. „Eins" ist Eigenname, „Einheit" BegrifTswort. Zahl kann nicht als Einheiten deflnirt werden. Unterschied von „und'' § 39. Die Schwierigkeit, lileichheit und Unterscheidharkeit der Einheiten su versöhnen, wird durch die Vieldeutigkeit von „Einheit" verdeckt Versuche, die Schwierigkeit s berwinden.
Hobbes.
Sil.
g 40. Raum und Zeit als Mittel des Unterscheiden Thomae. Dagegen: Leibniz, ßaumann, St. Jevons...Der Zweck wird nicht erreicht Die Stelle in einer Eeihe als Mittel des Unterscheid ens.
Hankels Setzen 5 43. Schröders Abbildung der ÜegenstSnde durch das Zeichen I ^ 44. Jevons Abstrahiren vom Charakter der Unterschiede mit Festhaltung ihres Vorhandenseins. Die und die l siud Zahlen wie die andern. Die Schwierigkeit bleibt bestehen Lösung der Schwierigkeit, 5 45. Rückblick ^ 46, Die Zahlangabe enthalt eine Aussage vcn einem Eegriffe. Einwand, dass bei nnverftndertem Begriffe die Zahl sich ändere ä 47, Die Thataächlichkeit der Zahlangabe erklärt sich ans der Objectivität des Begriffes ^ 46. AnSösung einiger Schwierigkeiten J 49. Bestätigung bei Spinoza ^ 51. Berichtigung derselben ^ 53. Bestätigung in einem deutschen Sprachge brau die...^ 53. Unterechied zwischen Merkmalen und Eigenschaften eines Begriffes. Esistenz und Zahl ; 54, Einheit kann man das Subject eiuer Zahlangabe nennen. Untheilbarkeit nnd Ab gegrenz theit der Einheit, Gleichheit und Unterscheidbarkeit «Sita IV. Der Begriff der Anzahl.
Jede einzelne Zahl ist ein selbständiger Gegenstand.
§ 55. Versuch, die leibnizischen Definitionen der einzelnen Zahlen zu ergänzen 67 § 56. Die yersnchten Definitionen sind anbrauchbar, weil sie eine Aussage erklären, von der die Zahl nur ein Theil ist.. 67 § 57. Die Zahlangabe ist als eine Gleichung zwischen Zahlen anzusehen 68 § 58. Einwand der ünvorstellbarkeit der Zahl als eines selbstän- digen Gegenstandes. Die Zahl ist überhaupt unTorstellbar 69 § 59. Ein Gegenstand ist nicht deshalb von der Untersuchung auszuschliessen, weil er unvorstellbar ist 70 § 60. Selbst concreto Dinge sind nicht immer vorstellbar. Man muss die Wörter im Satze betrachten, wenn man nach ihrer Bedeutung fragt 71 § 61. Einwand der Unräumlichkeit der Zahlen. Nicht jeder objective Gegenstand ist räumlich 72 Um den Begriff der Anzahl zu gewinnen, muss man den Sinn einer Zahlengleichung feststellen.
§ 62. Wir bedürfen eines Kennzeichens für die Zahlengleichheit f 3 § 63. Die Köglichkeit [der eindeutigen Zuordnung als solches. Logisches Bedenken, dass die Gleichheit für diesen Fall besonders erklärt wird 73 § 64. Beispiele^für ein ähnliches Verfahren: die Bichtung, die Stellung einer Ebene, die Gestalt eines Dreiecks...74 § 65. Versuch einer Definition. Ein zweites Bedenken: ob den Gesetzen der Gleichheit genügt wird 76 § 66. Drittes Bedenken: das Kennzeichen der Gleichheit ist unzu- reichend 77 § 67. Die Ergänzung kann nicht dadurch geschehen, dass man zum Merkmal eines Begriffes die Weise nimmt, wie ein Gegenstand eingeführt ist 78 § 68. Die Anzahl als Umfang eines Begriffes 79 Ergänzung und Bewährung unserer Definition.
§ 71. Die Zuordnung durch eine Beziehung 83 § 72. Die beiderseits eindeutige Beziehung. Begriff der Anzahl 84 Einleitung.
Anf die Frage, was die Zahl Eins sei, oder was das Zeichen 1 bedeute, wird man meistens die Antwort erhalten: nun, ein Ding. Und wenn man dann darauf aufmerksam macht, dass der Satz „die Zahl Eins ist ein Ding'^ keine Definition ist, weil auf der einen Seite der bestimmte Artikel, auf der andern der unbestimmte steht, dass er nur besagt, die Zahl Eins gehöre zu den Dingen, aber nicht, welches Ding sie sei, so wird mau vielleicht aufgefordert, sich irgendein Ding zu wählen, das man Eins nennen wolle. Wenn aber Jeder das Recht hätte, unter diesem Namen zu verstehen, was er will, so würde derselbe Satz von der Eins für Vei\schiedene Verschiedenes bedeuten; es gäbe keinen gemeinsamen Inhalt solcher Sätze. Einige lehnen vielleicht die Frage mit dem Hinweise darauf ab, dass auch die Be- deutung des Buchstaben a in der Arithmetik nicht angegeben werden könne; und wenn man sage: a bedeutet eine Zahl, so könne hierin derselbe Fehler gefunden werden wie in der Definition: Eins ist ein Ding. Nun ist die Ablehnung der Frage in Bezug auf a ganz gerechtfertigt: es bedeutet keine bestimmte, angebbare Zahl, sondern dient dazu, die Allgemeinheit von Sätzen auszudrücken. Wenn man für a in a + a — a = a eine beliebige abcir überall dieselbe Zahl setzt,- so erhält man immer eine wahre Gleichung. In diesem Sinne winl der Buchstabe a gebraucht. Abtr bei der Eins liegt die Sache doch wesentlich anders. Können wir in der Gleichung 1 + 1 = 2 f iii' 1 beidemal denselben Gegenstand, etwa den Mond setzen? Vielmehr scheint et. dass wir Tür die erste 1 etwas Anderes wie für die zweite setzen mßss n. Woran liegt es, dass hier grade das gescheaen musa, was in jenem Falle ein Fehler wäre? Die Arithmetik komint mit dem Eucfaslabeu a allein nicht ans, sondern muss noch andere b, c u. a. w. gebrauchen, um Beziehungen zwischen verschiedenen Zahlen allgemein auszudrücken. So fullle man denken, könnte auch das Zeichen 1 nicht gen'igen, wenn es in ührdicher Weise dazu diente, den S&lzen eire Allgemeinheit zu verleihen. Aber erscheint nicht die Zahl Eins als bestimmterGegenstand mit angebbaren Eigenschaften, z. B. mit sich selbst multiplicirt unverändert zu bleiben? Tn diesem Sinne kann man von a keine Eigenschaften auj^eben; denn was von a ausgesagt wird, ist eine gemeinsame Eigen- schaft der Zahlen, wählend 1 ' = 1 weder vom Monde etw.ia aassagt, noch von der Sonne, noch von der Sahara, noth vom Pic von Teneriffa; denn was könnte der Sinn einur solchen ÄuHsage sein?
Auf solche Fragen werden wohl auch die meiste a Mathematiker keine genügende Antwort bereit haben. Ist es nun nicht für die Wissenschaft beschämend, so im Un- klaren über ihren nächstliegenden und scheinbar so einfachen Gegenstand zu sein? Um so weniger wird man sagen könmn, was Zahl sei. Wenn ein Begriff, der einer grossen Wissen- schaft zu Grunde liegt, Schwierigkeiten daibietet, so ist t doch wohl eine unabweisbare Aufgabe, ihn genauer zu unter- suchen und diese Schwierigkeiten zu überwinden, besondei du es schwer gelingen möchte, über die negativen, ge^ brochenen, complexen Zahlen zu voller Klarheit zu kommen,' solange noch die Einsicht in die Grundlage des ganzen Baues der Arithmetik mangelhaft ist.
ni Viele werden das freilich nicht der Mühe werth achten. Dieser Begrilf ist ja, wie sie meinen, in den Elementar- bnchem hinreichend behandelt und damit für das ganze Lei en abgetban. Wer glaubt denn über eine so einfache Sache noch elwas lernen zu können! Für so frei von jeder Schwierigkeit hält man den Begriff der positiven ganzen Zahl, dass er für Kinder wissenschaftlich erschöpfend be- handelt werden könne, und dass Jeder ohne weiteres Nach- denken und ohne Bekanntschaft mit dem, was Andere ge- dacht haben, genau von ihm Bescheid wisse. So fehlt denn xielf^ich jene erste Vorbedingung des Lernens: das Wissen d.^s Nichtwissens. Die Folge ist, dass man sich noch immer mit einer rohen Auffassung begnügt, obwohl schon Herbart''') eir.e richtigere gelehrt hat. Es ist betrübend und entmuthigend, dai s in dieser Weise eine Erkenntniss immer wieder verloren zu gehen drc^ht, die schon errungen war, dass so manche Arbeit verge.blich zu werden scheint, weil man im ein- gebildeten Reichthume nicht nöthig zu haben glaubt, sich ihre Früchte anzueignen. Auch diese Arbeit, sehe ich wohl, ist solcher Gefahr ausgesetzt. Jene Roheit der Auffassung tritt mir entgegen, wenn das Rechnen aggregatives, mecha- niscfaes Denken genannt wird''''''). Ich bezweifle, dass es ein solches Denkern überhaupt giebt. Aggregatives Vorstellen könnte man se^hon eher gelten lassen; aber es ist für das Rechnen ohne Bedeutung. Das Denken ist im Wesentlichen itberiill dasselbe: es kommen nicht je nach dem Gegenstande verschiedene Arten von Denkgesetzen in Betracht. Die Eni 61 schiede bestehen nur in der grösseren oder geringeren B3iiiheit und Unabhängigkeit von psychologischen Einflüssen und von äussern Hilfen des Denkens wie Sprache, Zahl- *) t^mmtliclie Werke, herausgegeb. von Hartenstein, Bd. X, l Tbl. Umriss pädagogis'>her Vorlesungen § 252, Anm. 2: „Zwei heisst nicht BW«i Diu ye, 8ond( rn Verdoppelung" u. s. w.
**> K. Fischer, System der Logik und Metaphysik oder Wissen- schaftblrhre, 2. Aufl. § 91.
IV zeichen und cigl., dann etwa noch in der Feinheit des Baues der Begriffe; aber giade in dieser ßöcksieht möchte die Mathematik von keiner Wisf^euschalt, selbst der Philosophie nicht, iibertroffeu werden.
Man wild aus dieser Schrift ersehen können, dass auch ein sclieinbar eigenthümüch niathematischer Schluss wie der von n auf n + 1 auf den allgemeinen logischen Gesetzen beruht, dass es besondrer Gesetze des aggregativen Denkens nicht bedarf. Man kann fieilicb die Zahlzeichen mechanisch gebrauchen, wie man papageimässig sprechen kann; aber Denken möchte das doch kaum zu nennen sein. Es ist nur möglich, nachdem durch wirkliches Denken die mathemalische Zeichensprache so ausgebildet ist, dass sie, wie man sagt, für einen denkt. Dies beweist nicht, dass die Zahlen in einer besonders mechanischen Weise, etwa wie Sandhaufen aus Quarzkömeru gebildet sind. Es liegt, denke ich, im Interesse der Mathematiker einer solchen Ansicht entgegen- zuireten, welche einen hauptsächlichen Gegenstand ihrer Wissenschaft und damit diese selbst herabzusetzen geeignet ist. Aber auch bei Mathematikern findet man ganz ähnliche Ausspräche. Im Gegentheil wird man dem Zahlbegriffe einen feineren Bau zuerkennen müssen als den meisten Begriffen andrer Wissenschaften, obwuhl er noch einer der einfachsten arithmetischen ist.
Um nun jenen Wahn zu widerlegen, dass in Bezug auf die positiven ganzen Zahlen eigentlich gar keine Schwierig- keiten obwalten, sondern allgemeine Uebereinstimmung hensche, schien es mir gut, einige Meinungen von Philo- sophen und Mathematikern über die hier in Betracht kom- menden Fragen zu besprechen. Man wird sehn, wie wenig von Einklang zu linden ist, sodass geradezu entgegengesetzte Aussprüche vorkommen. Die Einen sagen z. B.: „die Ein- heiten sind einander gleich", die Andern halten sie für ver- schieden, und beide haben (-iriinde für ihre Behauptung, die sich nicht kurzer Hand abweisen lassen. Hierdurch suche ich das Bedttrfniss nach einer genaueren Untersuchung zu wecken. Zugleich will ich durch die vorausgeschickte Be- leuchtung der von Andern ausgesprochenen Ansichten meiner eignen Auffassung den Boden ebnen, damit man sich vorweg überzeuge, dass jene andern Wege nicht zum Ziele fähren, und dass meine Meinung nicht eine von vielen gleichbe- rechtigten ist; und so hoffe ich die Frage wenigstens in der Hauptsache endgiltig zu entscheiden.
Freilich sind meine Ausführungen hierdurch wohl philo- sophischer geworden, als vielen Mathematikern angemessen scheinen mag; aber eine gründliche Untersuchung des Zahl- begriffes wird immer etwas philosophisch ausfallen müssen. Diese Aufgabe ist der Mathematik und Philosophie gemeinsam.
Wenn das Zusammenarbeiten dieser Wissenschaften trotz mancher Anläufe von beiden Seiten nicht ein so ge- deihliches ist, wie es zu wünschen und wohl auch möglich wäre, so liegt das, wie mir scheint, an dem Ueberwiegen psychologischer Betrachtungsweisen in der Philosophie, die selbst in die Logik eindringen. Mit dieser Bicbtung hat die Mathematik gar keine Berührungspunkte, und daraus erklärt sich leicht die Abneigung vieler Mathematiker gegen philosophische Betrachtungen. Wenn z. B. Stricker*) die Vorstellungen der Zahlen motorisch, von Muskelgefühlen abhängig nennt, so kann der Mathematiker seine Zahlen darin nicht wiedererkennen und weiss mit einem solchen Satze nichts anzufangen. Eine Arithmetik, die auf Muskel- gefühle gegi'öndet wäre, würde gewiss recht gefühlvoll, aber auch ebenso verschwommen ausfallen wie diese Grundlage. Nein, mit Gefühlen hat die Arithmetik gar nichts zu schaffen. Ebensowenig mit Innern Bildern, die aus Spuren früherer Sinneseindrücke zusammengeflossen sind. Das Schwankende und Unbestimmte, welches alle diese Gestaltungen haben, steht im starken Gegensatze zu der Bestimmtheit und *) Studien über Association der Yorstelltuigen. Wien 1Ö83.
VI Festigkeit der mathematischen Begriffe und Gegenstände. Es mag ja von Nutzen sein, die Voistelliingen und derea Wechsel zu betrachten, die beim mathematifichen Denken Torkommen; aber die Psychologie bilde sich nicht ein, zur Begründung der AiilhmetJk irgendetwas beitragen zu können. Dem Mathematiker als solchem sind diese Innern Bilder, ihre Entstehung und Veränderung gleichgiltrg. Stricker sagt selbst, dass er sich beim Worte „Hundert" weiter nichts vorstellt als das Zeichen 100. Ändere mögen sich den Buchstaben C oder sonst etwas vorstellen; geht dHraus nicht hervor, dass diese Innern Bilder in uuserm Falle für das Wesen der Sache vollkommen gleichgiltig und zufällig sind, ebenso zufällig wie eine schwarze Taiel und ein Stück Kreide, dass sie überhaupt nicht Vorslellungen der Zahl Hundei't zu heissen verdienen? Man sehe doch nicht das Wesen der Sache in solchen Vorstellungen! Mau nehme nicht die Beschreibung, wie eine Vorstellung entsteht, flu- eine Definition und nicht die Angabe dei' seelisclieu und leiblichen Bedingungen dafür, dass uns ein Satz zum Be- wusstsein kommt, für einen Beweis und verwechsele das Gedachtwerden eines Satzes nicht mit seiner Wahrheit! Man muss, wie es scheint, daran erinnern, dass ein Satz ebensowenig aufhört, wahr zu sein, wenn ich nicht mehr an ihn denke, wie die Sonne vernichtet wird, wenn ich die Äugen schliesse. Sonst kommen wir noch dahin, dass mau beim Beweise des pythagorftischen Lehrsatzes es nöthig findet, des Phosphorgeh altes unseres Gehirnes zu gedenken, und dass ein Astronom sich scheut, seine Schlüsse auf längst vergangene Zeiten zu erstrecken, damit man ihm nicht ein- wende; „du rechnest da 2-2=^ 4; aber die Zahlvorstellung Jiat ja eine Entwickelung, eine Geschichte! Man kann zweifeln, ob sie damals schon so weit war. Woher weisst du, dass in jener Vergangenheit dieser Satz schon bestand? Könnten die damals lebenden Wesen nicht den Satz 2.2 = 5 gehabt haben, aus dem sich erst durch natürliche Züchtung vn im Kampf ums Dasein der Satz 2.2 = 4 entwickelt hat, der seinei*seits vielleicht dazu bestimmt ist, auf demselben Wege sich zu 2.2 = 3 fortzubilden?" Est modus in rebus, sunt certi denique flnes! Die geschichtliche Betrachtungs- weise, die das Werden der Dinge zu belauschen und aus dem Werden ihr Wesen zu erkennen sucht, hat gewiss eine grosse Berechtigung; aber sie hat auch ihre Grenzen. Wenn in dem beständigen Flusse aller Dinge nichts Festes, Ewiges beharrte, würde die Erkennbarkeit der Welt aufhören und Alles in Verwirrung stürzen. Man denkt sich, wie es scheint, dass die Begriffe in der einzelnen Seele so entstehen, wie die Blätter an den Bäumen und meint ibr Wesen da- durch erkennen zu können, dass man ihrer Entstehung nac h- forscht und sie aus der Natur der menschlichen Seele psy- chologisch zu erklären sucht. Aber diese Auffassung zieht Alles ins Subjective und hebt, bis ans Ende verfo^t, die Wuchi'heit auf. Was man Geschichte der Begriffe nennt, ist wohl entweder eine Geschichte unserer Erkenntniss der Begiiffe oder der Bedeutungen der Wörter. Durch grosse geistige Arbeit, die Jahrhunderte hindurch andauern kann, gelingt es oft erst, einen Begriff in seiner Reinheit zu er- kennen, ihn aus den fremden Umhüllungen herauszuschälen, die iha dem geistigen Auge verbargen. Was soll man nun dazu sagen, wenn jemand, statt diese Arbeit^ wo sie noch nicht vollendet scheint, fortzusetzen, sie für nichts achtet, in die Kinderstube geht oder sich in ältesten erdenkbaren Entwickelungsstufen der Menschheit zurückversetzt, um dort wie J. St. Mill etwa eine Pfefferkuchen- oder Kieselstein- arithmetik zu entdecken! Es fehlt nur noch, dem Wohl- geschmacke des Kuchens eine besondere Bedeutung für den Zahlbegriff zuzuschreiben. Dies ist doch das grade Gegen- theil eines vernünftigen Verfahrens und jedenfalls so unraathe- matisch wie möglich. Kein Wunder, dass die Mathematiker nichts davon wissen wollen! Statt eine besondere Reinheit der Begriffe da zu finden, wo man ihrer Quelle nahe zu sein ( vm glaubt, sieht man Alles vei schwömmen und ungesondert wie ilurcli einen Nebel. Es ist so, als oli jemaud, um Amerika kennen zu lernen, sieh in diti Lage des Culumbus zurück- vei'setzeu wollte, als er den ersten zweifelhaften Schimmer seines vermeintlichen Indiens erblickte. Freilich beweist ein solcher Vergleich nichts; aber er verdeutlicht hoffentlich meine Meinung. Es kaun ja sein, dass die Geschichte der Entdeckungen in vielen Fällen als Vorbereitung für weitere Forschungen nützlich ist; aber sie darf nicht an deren Stelle treten wollen.
Dem Mathematiker gegenüber, wäre eine Bekämpfung solcher Auffassungen wohl kaum nütbig gewesen; aber da ich auch für die Philosophen die behandelten Streitfragen möglichst zum Austrage bringen wollte, war ich genüthigt, mich auf die Psychologie ein wenig einzulassen, wenn auch nur, um ihren Einbruch in die Mathematik zurückzuweisen.
Uebrigens kommen auch in mathematischen Lehrbüchern psychologische Wendungen voi'. Wenn man eine Verpflichtung fühlt, eine Definition zu geben, ohne es zu können, so will man wenigstens die Weise beschreiben, wie man zu dem betreffenden Gegenstande oder Begriffe kommt. Man erkennt diesen Fall leicht daran, dass im weitern Verlaufe nie mehr auf eine solche Erklärung zurückgegriffen wird. Für Lehi- zwecke ist fine Hiulühruug auf die Sache auch ganz am Platze; nur sollte man sie von einer Definition immer deutlich unterscheiden. Dass aui'h Mathematiker Beweisgründe mit Innern oder äussern Bedingungen der Führung eines Beweisas verwechseln können, dafür liefert E.Schröder*) eiu ergötz- liches Beispiel, indem er unler der Ueberschrift: „Einziges Asioni" Folgendes darbietet:,,Das gednchle Princip könnte wohl das Axiom der Inliärenz der Zeichen genannt weideo. Es giebt uns die Gewissheit, dass bei allen unsern En^ Wicklungen und Schlussfolgerungen die Zeichen in nnsergj ') Lehrbudi der Ariilimclik aud Algebra.
Erinnerung — noch fester aber am Papiere — haften" u. s. w.
So sehr sich nun die Mathematik jede Beihilfe vonseiten der Psychologie verbitten muss, so wenig kann sie ihi-en engen Zusammenhang mit der Logik verleugnen. Ja, ich stimme der Ansicht derjenigen bei, die eine scharfe Trennung für nnthunlich halten. Soviel wird man zogeben, dass jede Untersuchung über die Bündigkeit einer Beweisführung oder die Berechtigung einer Definition logisch sein muss. Solche Fragen sind aber gar nicht von der Mathematik abzuweisen^ da nur durch ihre Beantwortung die nöthige Sicherheit erreichbar ist.
Auch in dieser Richtung gehe ich freilich etwas über das liebliche hinaus. Die meisten Mathematiker sind bei Untersuchungen ähnlicher Art zufrieden, dem unmittelbaren Bedürfnisse genügt zu haben. Wenn sich eine Definition willig zu den Beweisen hergiebt, wenn man nirgends auf Widersprüche stösst, wenn sich Zusammenhänge zwischen scheinbar entlegnen Sachen erkennen lassen und wenn sich dadurch eine höhere Ordnung und Gesetzmässigkeit ergiebt, so pfiegt man die Definition für genügend gesichert zu halten und fragt wenig nach ihrer logischen Rechtfertigung. Dies Verfahren bat jedenfalls das Gute, dass man nicht leicht das Ziel gänzlich verfehlt. Auch ich meine, dass die Defi- nitionen sich durch ihre Fruchtbarkeit bewähren müssen, durch die Möglichkeit, Beweise mit ihnen zu führen. Aber es ist wohl zu beachten, dass die Strenge der Beweisführung ein Schein bleibt, mag auch die Schlusskette lückenlos sein, wenn die Definitionen nur nachträglich dadurch gerechtfertigt werden, dass man auf keinen Widerspruch gestossen ist. So hat man im Grunde immer nur eine erfahrungsmässige Sicherheit erlangt und muss eigentlich darauf gefasst sein, zuletzt doch noch einen Widerspruch anzutreffen, der das ganze Gebäude zum Einstürze bringt. Darum glaubte ich etwas weiter auf die allgemeinen logischen Grundlagen zurückgehn zu müssen, als vielleicht von den meisten Mathe- matikern füi' nöthig gehalten wüd.
Als Grundsätze habe ich iu dieser Unters ucliung fol- gende festgehalteu;