ans solchen der Anschauung widerstreitenden Annahmen zieht. Diese Möglichkeit zeigt, dass die geometrischen Axiome von einander und von den logischen Urgesetzen unabhängig, also sjmthetisch sind. Kann man dasselbe von den Grundsätzen der Zahlenwissenschaft sagen? Stürzt nicht alles in Verwirrung, wenn man einen von diesen leugnen wollte? Wäre dann noch 'Denken möglich? Liegt nicht der Grund der Arithmetik tiefer als der alles Er- fahrungswissens, tiefer selbst als der der Geometrie? Die arithmetischen Wahrheiten beherrschen das Gebiet des Zählbaren. Dies ist das umfassendste; denn nicht nur das Wirkliche, nicht nur das Anschauliche gehört ihm an, sondern alles Denkbare. Sollten also nicht die Gesetze der Zahlen mit denen des Denkens in der innigsten Verbindung stehen? § 15. Dass Leibnizens Aussprüche sich nur zu Gunsten der analytischen Natur der Zahlgesetze deuten lassen, ist vorauszusehen, da für ihn das Apriori mit dem Analytischen zusammenfällt. So sagt er*), dass die Algebra ihre Vortheile einer viel hohem Kunst, nämlich der wahren Logik entlehne. An einer andern Stelle**) vergleicht er die nothwendigen und zufälligen Wahrheiten mit den commen- surabeln und incommensurabeln Grössen und meint, dass bei nothwendigen Wahrheiten ein Beweis oder eine Zurück- führung auf Identitäten möglich sei. Doch diese Aeusserungen verlieren dadurch an Gewicht, dass Leibniz dazu neigt, alle Wahrheiten als beweisbar anzusehen***): „...dass jede Wahrheit ihren apriorischen, aus dem Begriff der Termini gezogenen Beweis hat, wiewohl es nicht immer in unserer Macht steht, zu dieser Analyse zu kommen." Der Vergleich mit der Commensurabilität und Incommensurabilität richtet freilich doch wieder eine für uns wenigstens unüber- 99 schreitbare Schranke zwiscbeii ziitälligen tmr! nothwendigen'^ Waliibeiteii auf.
Sehr entschieden im Sinne der ana]yti8<'heu Natur dei''! Zahlgesetze spricht sich W. Stanley Jevons aus*): „Zahll ist nur logische ünterscheidting and Algebra eine hocü'l entwickelte Logik."
§ 16. Aber auch diese Ansicht hat ihre Schwierig' keilen. Soll dieser hochiagende, weitverzweigte und immer^ noch wachsende Banm der Zahlen Wissenschaft in blosses« Identitäten wurzeln? Und wie kommen die leeren Formend der Logik dazu, aus sieh heraus solchen Inhalt zu gewinnen?
Mill meint: „Die Lehre, dass wir durch kunstfertiges Handhaben der Sprache Thatsachen entdecken, die verborgene Naturprocesse enthüllen können, ist dem gesunden Menschen- ( verstände so entgegen, dyss es schon einen Fortschritt iiK^ der Plülosophie verlanj^t, um sie zu glauben"'.
Gewiss dann, wenn man sich bei dem kunstfertigen Handhaben nichts denkt. Mill wendet sich hier gegen einen Formalismus, der kaum von irgendwem vertreten wird. Jeder, der Worte oder mathematische Zeichen gebraucht, macht den Anspruch, dass sie etwas bedeuten, und niemand wird erwarten, dass aus leeren Zeichen etwas Sinnvolles hervorgehe. Aber es ist möglich, dass ein Mathematiker längere Eeehniingen vollführt, ohne unter seinen Zeichen etwas sinnlich Wahriiehmbaree, Anschauliches zu verstehen. Darum sind diese Zeichen noch nicht sinnlos; man unterscheidet dennoch ihren Inhalt von ihnen selbst, wenn dieser auch vielleicht nui' mittels der Zeichen fassbar wird. Man ist sich bewusst, dass andere Zeichen für Dasselbe hätten festgesetzt werden können. Es genügt zu wissen, wie der in den Zeichen versinnlichlti Inhalt logisch zii behandeln ist, und wenn man Anwendungen auf die Physik machen will, wie der Uebergang zu den Erscheinungen geschehen *) The prinuiplea of Buieuce. Luuilui 28 muss. Aber in einer solclien Anwendung ist nicht der eigentliche Sinn der Sätze zu sehen. Dabei geht immer ein grosser Theil der Allgemeinheit verloren, und es kommt etwas Besonderes hinein, das bei andern Anwendungen durch Anderes ersetzt wird.
§ 17. Man kann trotz aller Herabsetzung der Deductiom doch nicht leugnen, dass die durch Induction begründeten Gesetze nicht genügen. Aus ihnen müssen neue Sätze ab- geleitet werden, die in keinem einzelnen von jenen enthalten sind. Dass sie in allen zusammen schon in gewisser Weise stecken, entbindet nicht von der Arbeit, sie daraus zu ent- wickeln und für sich herauszustellen. Damit eröffnet sich folgende Möglichkeit. Statt eine Schlussreihe unmittelbar an eine Thatsache anzuknüpfen, kann man, diese dahin- gestellt sein lassend, ihren Inhalt als Bedingung mitführen. Indem man so alle Thatsachen in einer Gedankenreihe durch Bedingungen ersetzt, wird man das Ergebniss in der Form erhalten, dass von einer Reihe von Bedingungen ein Erfolg- abhängig gemacht ist. Diese Wahrheit wäre durch Denken allein, oder, um mit Mill zu reden, durch kunstfertiges Handhaben der Sprache begründet. Es ist nicht unmöglich, dass die Zahlgesetze von dieser Art sind. Sie wären dann analytische Urtheile, obwohl sie nicht durch Denken allein gefunden zu sein brauchten; denn nicht die Weise des Findens kommt hier in Betracht, sondern die Art der Be- weisgründe; oder, wie Leibnia sagt*), „es handelt sich hier nicht um die Geschichte unserer Endeckungen, die verschieden ist in verschiedenen Menschen, sondern um die Verknüpfung und die natüiliche Ordnung der Wahrheiten, die immer dieselbe ist." Die Beobachtung hätte dann zuletzt zu entscheiden, ob die in dem so begründeten Gesetze enthaltenen Bedingungen erfüllt sind. So würde man schliesslich eben dahin gelangen, wohin man durch unmittelbare An- 24 knüpfung der Schlussreihe an die beobachteten Thatsachen gekommen wäre. Aber die hier angedeutete Art des Vor- gehens ist in vielen Fällen vorzuziehen, weil sie auf einen allgemeinen Satz führt, der nicht nur auf die grade vor- liegenden Thatsachen anwendbar zu sein braucht. Die Wahrheiten der Arithmetik würden »ich dann zu denen der Logik ähnlich verhalten wie die Lehrsätze zu den Axiomen der Geometrie. Jede würde in sich eine ganze Schlussreihe für den künftigen Gebrauch verdichtet enthalten, und ihr Nutzen würde darin bestehen, dass man die Schlüsse nicht mehr einzeln zu machen braucht, sondern gleich das Er- gebniss der ganzen Reihe aussprechen kann*). Angesichts der gewaltigen Entwicklung der arithmetischen Lehren und ihrer vielfachen Anwendungen wird sieh dann freilich die weit verbreitete Geringschätzung der analytischen XJrtheile und das Märchen von der Unfruchtbarkeit der reinen Logik nicht halten lassen.
Wenn man diese nicht hier zuerst geäusserte Ansicht im Einzelnen so streng durchführen könnte, dass nicht der geringste Zweifel zurückbliebe, so ^^1irde das, wie mir scheint, kein ganz unwichtiges Ergebniss sein.
II. Meinungen einiger Schriftsteller über den BegrifT der Anzahl.
§ 18. Indem wir uns nun den ursprünglichen Gegen- ständen der Arithmetik zuwenden, unterscheiden wir die einzelnen Zahlen 3, 4 u. ts. f. von dem allgemeinen Begriffe *} Es ist auffallend, dass auch Mi 11 a. a. 0. II. Buch^ VI. Oap. § 4 diese Ansicht auszusprechen scheint. Sein gesunder Sinn durchbricht eben von Zeit zu Zeit sein Vorurtheil für das Empirische. Aber dieses bringt immer wieder Alles in Verwirrung, indem es ihn die physikalischen Anwendungen der Arithmetik mit dieser selbst verwechseln lässt. Er scheint nicht zu wissen, dass ein hypothetisches Urtheil auch dann wahr sein kann, wenn die Bedingung nicht wahr ist.
25 25 der Anzahl. Nun haben wir uns schon dafftr entschieden, dass die einzelnen Zahlen am besten in der Weise von LeibniZ; Mill, H. Grassmaun und Andern aus der Eins und der Vermehrung um eins abgeleitet werden, dass aber diese Erklärungen unvollständig bleiben, solange die Eins und die Vermehrung um eins unerklärt sind. Wir haben gesehen, dass man allgemeiner Sätze bedarf, um aus diesen Definitionen die Zahlformeln abzuleiten. Solche Gesetze können eben wegen ihrer Allgemeinheit nicht aus den De- finitionen der einzelnen Zahlen folgen, sondern nur aus dem allgemeinen Begriffe der Anzahl. Wir unterwerfen diesen jetzt einer genaueren Betrachtung. Dabei werden voraus- sichtlich auch die Eins und die Vermehrung um eins erörtert werden müssen und somit auch die Definitionen der einzelnen Zahlen eine Ergänzung zu erwarten haben.
§ 19. Hier möchte ich mich nun gleich gegen den Versuch wenden, die Zahl geometrisch als Verhältnisszahl von Längen oder Flächen zu fassen. Man glaubte offenbar die vielfachen Anwendungen der Arithmetik auf Geometrie dadurch zu erleichtem, dass man gleich die Anfange in die engste Beziehung setzte.
Newton*) will unter Zahl nicht so sehr eine Menge von Einheiten als das abstracte Verhältniss einer jeden Grösse zu einer andern derselben Art verstehen, die als Einheit genommen wird. Man kann zugeben, dass hiermit die Zahl im weitern Sinne, wozu auch die Bräche und Irrationalzahlen gehören, zutreffend beschrieben sei; doch werden hierbei die Begriffe der Grösse und des Grössen- verhältnisses vorausgesetzt. Danach scheint es, dass die Erklärung der Zahl im engern Sinne, der Anzahl, nicht überflüssig werde; denn Euklid braucht den Begriff des Gleichvielfachen um die Gleichheit von zwei Längenver- hältnissen zu definiren; und das Gleichvielfache kommt 26 wieder auf eine Zahlengleichheit hinaus. Aber es mag sein, dass die Gleichheit von Längenverhältnissen unabhängig vom Zahlbegriffe definirbar ist. Man bliebe dann jedoch im Ungewissen darüber, in welcher Beziehung die so geometrisch definirte Zahl zu der Zahl des gemeinen Lebens stände. Dies wäre dann ganz von der Wissenschaft getrennt. Und doch kann man wohl von der Arithmetik verlangen, dass sie die Anknüpfungspunkte für jede Anwendung der Zahl bieten muss, wenn auch die Anwendung selbst nicht ihre Sache ist. Auch das gewöhnliche Rechnen muss die Be- gründung seines Verfahrens in der Wissenschaft finden. Und dann erhebt sich die Frage, ob die Arithmetik selbst mit einem geometrischen Begriffe der Zahl auskomme, wenn man an die Anzahl der Wurzeln einer Gleichung, der Zahlen, die prim zu einer Zahl und kleiner als sie sind, und ähnliche Vorkommnisse denkt. Dagegen kann die Zahl, welche die Antwort auf die Frage wieviel? giebt, auch be- stimmen, wieviel Einheiten in einer Länge enthalten sind. Die Rechnung mit negativen, gebrochenen, Irrationalzahlen kann auf die mit den natürlichen Zahlen zurückgeführt werden. Newton wollte aber vielleicht unter Grössen, als deren Verhältniss die Zahl definirt wird, nicht nur geometrische, sondern auch Mengen verstehen. Dann wird jedoch die Erklärung für unsem Zweck unbrauchbar, weil von den Ausdrücken „Zahl, durch die eine Menge bestimmt wird" und „Verhältniss einer Menge zur Mengeneinheit" der letztere keine bessere Auskunft als der erstere giebt.
§ 20. Die erste Frage wird nun sein, ob Zahl definirbar ist. Hankel*) spricht sich dagegen aus: „Was es heisst, ein Object Imal, 2 mal, 3 mal...denken oder setzen, kann bei der principiellen Einfachheit des Begriffes der Setzung nicht definirt werden.*' Hier kommt es jedoch weniger auf das Setzen als auf das Imal, 2 mal, 3 mal an. Wenn dies *) Theorie der complexen Zahlensysteme, S. 1.
27 deflnirt werden könnte, so würde die ündefiuirbarkeit des Setzens uns wenig beunruhigen. Leibniz ist geneigt, die Zahl wenigstens annähernd als adaequate Idee anzusehen, d. h. als eine solche, die so deutlich ist, dass alles, was in ihr vorkommt, wieder deutlich ist.
Wenn man im Ganzen mehr dazu neigt, die Anzahl für undefinirbar zu halten, so liegt das wohl mehr an dem Misslingen darauf gerichteter Versuche als an dem Bestehen der Sache selbst entnommener Gegengründe.
Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äusseren Dinge?
§ 21. Versuchen wir wenigstens der Anzahl ihre Stelle unter unsern Begriffen anzuweisen! In der Sprache er- scheinen Zahlen meistens in adjectivischer Form und in attributiver Verbindung ähnlich wie die Wörter hart, schwer, roth, welche Eigenschaften der äusseren Dinge bedeuten. Es liegt die Frage nahe, ob' man die einzelnen Zahlen auch so auffassen müsse, und ob demgemäss der Begriff der Anzahl etwa mit dem der Farbe zusammengestellt werden könne.
Dies scheint die Meinung von M. Oantor*) zu sein, wenn er die Mathematik eine Erfahrungswissenschaft nennt, insofern sie von der Betrachtung von Objecten der Aussen- welt ihren Anfang nehme. Nur durch Abstraction von Gegenständen entstehe die Zahl.
E. Schröder**) lässt die Zahl der Wirklichkeit nach- gebildet, aus ihr entnommen werden, indem die Einheiten durch Einer abgebildet würden. Dies nennt er Abstrahiren der Zahl. Bei dieser Abbildung wurden die Einheiten nur in Hinsicht ihrer Häufigkeit dargestellt, indem von allen *) Grnndzüge einer Elementarmathematik, S. 2, § 4. Aehnlich Lipschitz, Lehrbuch der Analysis, Bonn 1877, S. 1.
andern Bestimmungen der Dinge als Farbe, Gestalt ab- gesehen werde. Hier ist Häufigkeit, mir ein anderer Ausdruck für Anzahl. Schröder stellt also Häufigkeit oder Anzahl in t-ine Linie mit Farbe und Gestalt nud betrachtet sie ab eine Eigenacbaft der Dinge.
§ 22, Baumann*) verwirft den Gedanken, dass die Zahlen von den aussein Dingen abgezogene Begriffe seien: „Weil nämlich die äussern Dinge uns keine strengen Ein- heiteJi darstellen; sie stellen uns abgegränzte Gruppen oder sinnliche Punkte dar, aber wir haben die Freiheit, diese selber wieder als Vieles zu betrachten". In der That, während ich nicht im Stande bin, durch blosse Aufl"assungs- weise die Farbe eines Dinges oder seine Härte im Geringsten zu verÄndern, kann ich die llias als Ein Gedicht, als 24 Ge- sänge oder als eine grosse Anzahl von Versen auffassen. Spricht man nicht in einem ganz andern Sinne von 1000 Blättern als von grünen Blättern des Baumes? Die grüne Farbe Jegen wir jedem Blatte bei, nicht so die Zahl 1000. Wir können alle Blätter des Baumes unter dem Namen seines Laubes znsammenfassen. Auch dieses ist gi'ün, aber nicht 1000, Wem kommt nun eigentlich die Eigenschaft 1000 zu? Fast scheint es weder dem einzelneu Blatte noch der Gesammtheit; vielleicht gar nicht eigentlich den Dingen der Anssenwelt? Wenn ich jemandem einen Stein gebe mit den Worten: bestimme das Gewicht hiervon, so habe ich ihm damit den ganzen Gegenstand seiner Untersuchung gegeben. Wenn ich ihm aber einen Pack Spielkarten in die Hand gebe mit den Worten: bestimme die Änzabl hiervon, so weiss er nicht, ob ich die Zahl der Karten oder der vollständigen Spiele oder etwa der Wertheinheiten beim Skatspiele erfahren will. Damit, dass ich ihm den Pack in die Hand gebe, habe ich ihm den Gegenstand seiner Unter- suchung noch nicht vollständig gegeben; ich muss ein Woi 29 Karte, Spiel, Wertheinheit hinzufttgen. Man kann auch nicht sagen, dass die verschiedenen Zahlen hier so wie die verschiedenen Farben neben einander bestehen. Auf die einzelne farbige Fläche kann ich hindeuten, ohne ein Wort zu sagen, nicht so auf die einzelne Zahl. Wenn ich einen Gegenstand mit demselben Rechte grün und roth nennen kann, so ist das ein Zeichen, dass dieser Gegenstand nicht der eigentliche Träger des Grünen ist. Diesen habe ich erst in einer Fläche, die nur grün ist. So ist auch ein Gegenstand, dem ich mit demselben Rechte verschiedene Zahlen zuschreiben kann, nicht der eigentliche Träger einer Zahl.
Ein wesentlicher Unterschied zwischen Farbe und Anzahl besteht demnach darin, dass die blaue Farbe einer Fläche unabhängig von unserer Willkühr zukommt. Sie ist ein Vermögen, gewisse Lichtstrahlen zurückzuwerfen, andere mehr oder weniger zu verschlucken, und daran kann unsere Auffassung nicht das Geringste ändern. Dagegen kann ich nicht sagen, dass dem Pack Spielkarten die Anzahl 1 oder 100 oder irgend eine andere an sich zukomme, sondern höchstens in Bezug auf unsere willkührliche Auffassungsweise, und dann auch nicht so, dass wir ihm die Anzahl einfach als Praedicat beilegen könnten. Was wir ein vollständiges Spiel nennen wollen, ist offenbar eine willkührliche Fest- setzung und der Pack Spielkarten weiss nichts davon. Indem wir ihn aber in dieser Hinsicht betrachten, entdecken wir vielleicht, dass wir ihn zwei vollständige Spiele nennen können. Jemand, der nicht wüsste, was man ein voll- ständiges Spiel nennt, würde wahrscheinlich irgend eine andere Anzahl eher an ihm herausfinden, als grade die Zwei.
§ 23. Die Frage, wem die Zahl als Eigenschaft zu- komme, beantwortet Mill*) so: „Der Name einer Zahl bezeichnet eine Eigenschaft, die dem Aggregat von Dingen angehört, welche wir mit 30 dem Naraen benennen; und diese Eigenschaft ist die charak- teristische Weise, in welcher das Aggregat zusammengesetzt ist oder in Theile zerlegt werden kann."
Hier ist zunächst der bestimmte Artikel in dem Aus- drucke „die charakteristische Weise'* ein Fehler; denn es giebt sehr verschiedene Weisen, wie man ein Aggregat zerlegen kann, und man kann nicht sagen, dass Eine allein charakteristisch wäre. Ein Bündel Stroh kann z. B. so zerlegt werden, dass man alle Halme durchschneidet, oder so, dass man es in einzelne Halme auflöst, oder so dass man zwei Bündel daraus macht. Ist denn ein Haufe von hundert Sandkörnern ebenso zusammengesetzt wie ein Bündel von 100 Strohhalmen? und doch hat man dieselbe Zahl. Das Zahlwort „Ein** in dem Ausdruck „Ein Strohhalm*' drückt doch nicht aus, wie dieser Halm aus Zellen oder aus Molekeln zusammengesetzt ist. Noch mehr Schwierigkeit macht die Zahl 0. Müssen denn die Strohhalme überhaupt ein Bündel bilden, um gezählt werden zu können? Muss man die Blinden im Deutschen Reiche durchaus in einer Versammlung vereinigen, damit der Ausdruck „Zahl der Blinden im Deutschen Reiche** einen Sinn habe? Sind tausend Weizenkörner, nachdem sie ausgesäet sind, nicht mehr tausend Weizenkörner? Giebt es eigentlich Aggregate von Beweisen eines Lehrsatzes oder von Ereignissen? und doch kann man auch diese zählen. Dabei ist es gleichgillig, ob die Ereignisse gleichzeitig oder durch Jahrtausende getrennt sind.
§ 24. Damit kommen wir auf einen andern Grund, die Zahl nicht mit Farbe und Festigkeit zusammenzustellen: die bei weitem grössere Anwendbarkeit.
Mi 11*) meint, die Wahrheit, dass, was aus Theilen zusammengesetzt ist, aus Theilen dieser Theile zusammen- gesetzt ist, sei von allen Naturerscheinungen giltig, weil n alle gezHblt werden könnten. Aber kann nicht noch weit mehr gezählt werden? Locke*) sagt: „Die Zahl findet Anwendung auf Menschen, Engel, Handlungen, Gedanken, jedes Ding, das existirt oder vorgestellt werden kann". Leibniz**) verwirft die Meinung der Scholastiker, dass die Zahl auf unkörperliche Dinge unanwendbar sei, und nennt die Zahl gewissermaassen eine unkörperliche Figur, ent- standen aus der Vereinigung irgendwelcher Dinge, z. B. Gottes, eines Engels, eines Menschen, der Bewegung, welche zu- sammen vier sind. Daher, meint er, ist die Zahl etwas ganz Allgemeines und zur Metaphysik gehörig. An einer andern Stelle***) sagt er: „Gewogen kann nicht werden, was nicht Kraft und Vermögen hat; was keine Theile hat, hat demgemäss kein Maass; aber es giebt nichts, was nicht die Zahl zulässt. So ist die Zahl gleichsam die meta- physische Figur".
Es wäre in der That wunderbar, wenn eine, von äussern Dingen abstrahirte Eigenschaft, auf Ereignisse, auf Vorstellungen, auf Begriffe ohne Aenderung des Sinnes übertragen werden könnte. Es wäre grade so, als ob man von einem schmelzbaren Ereignisse, einer blauen Vorstellung, einem salzigen Begriffe, einem zähen Ürtheile reden wollte.
Es ist ungereimt, dass an Unsinnlichem vorkomme, was seiner Natur nach sinnlich ist. Wenn wir eine blaue Fläche sehen, so haben wir einen eigenthümlichen Eindruck, der dem Worte „blau" entspricht; und diesen erkennen wir wieder, wenn wir eine andere blaue Fläche erblicken. Wollten wir annehmen, dass in derselben Weise beim Anblick eines Dreiecks etwas Sinnliches dem Worte „drei" entspräche, so miissten wir dies auch in drei Begriffen wiederfinden; etwas XJnsinnliches würde etwas Sinnliches an sich haben.
32 Man kann wohl zugeben, dass dem Worte „dreieckig" eine Art sinnlicher Eindrücke entspreche, aber man muss dabei dies Wort als Ganzes nehmen. Die Drei darin sehen wir nicht unmittelbar; sondern wir sehen etwas, woran eine geistige Thätigkeit anknüpfen kann, welche zu einem ürtheile führt, in dem die Zahl 3 vorkommt. Womit nehmen wir denn etwa die Anzahl der Schlussfiguren wahr, die Aristoteles aufstellt? etwa mit den Augen? wir sehen höchstens gewisse Zeichen für diese Scblussfiguren, nicht sie selbst. Wie sollen wir ihre Anzahl sehen können, wenn sie selbst unsichtbar bleiben? Aber, meint man vielleicht, es genügt, die Zeichen zu sehen; deren Zahl ist gleich der Zahl der Schlus'sfiguren. Woher weiss man denn das? Dazu muss man doch schon auf andere Weise die letztere bestimmt haben. Oder ist der Satz „die Anzahl der Scblussfiguren ist vier" nur ein anderer Ausdruck für „die Anzahl der Zeichen der Schlussfiguren ist vier'? Nein! von den Zeichen soll nichts ausgesagt werden; von den Zeichen will niemand etwas wissen, wenn nicht deren Eigenschaft zugleich eine des Bezeichneten ausdrückt. Da ohne logischen Fehler dasselbe verschiedene Zeichen haben kann, braucht nicht einmal die Zahl der Zeichen mit der des Bezeichneten übereinzustimmen.
§ 25. Während für Mi 11 die Zahl etwas Physikalisches ist, besteht sie für Locke und Leibniz nur in der Idee. In der That sind, wie Mill*) sagt, zwei Aepfel von drei Aepfeln, zwei Pferde von einem Pferd physikalisch ver- schieden, ein davon verschiedenes sichtliches und fühlbares Phänomen**). Aber ist daraus zu schliessen, dass die **) Genau genommen müsste hinzugefdgt werden: sobald sie über- haupt ein Phänomen sind. Wenn aber Jemand ein Pferd in Deutschland und eines in Amerika (und sonst keius) hat, so besitzt er zwei Pferde. Diese bilden jedoch kein Phänomen, sondern nur jedes Pferd für sich könnte so genannt tirerden.
88 88 Zweiheit, Dreiheit, etwas Physikalisches ist? Ein Paar Stiefel kann dieselbe sichtbare und fühlbare Erscheinung sein, wie zwei Stiefel. Hier haben wir einen Zahlenunterschied, dem kein physikalischer entspricht; denn zwei und Ein Paar sind keineswegs dasselbe, wie Mill sonderbarerweise zu glauben scheint. Wie ist es endlich möglich, dass sich zwei Begriffe von drei Begriffen physikalisch unterscheiden? So sagt Berkeley*): „Es ist zu bemerken, dass die Zahl nichts Fixes und Festgestelltes ist, was realiter in den Dingen selber existirte. Sie ist gänzlich Geschöpf des Geistes, wenn er entweder eine Idee an sich oder eine Combination von Ideen betrachtet, der er einen Namen geben will und sie so fttr eine Einheit gelten lässt. Jenachdem der Geist seine Ideen variirend combinirt, variirt die Einheit, und wie die Einheit so variirt auch die Zahl, welche nur eine Sammlung von Einheiten ist. Ein Fenster = 1; ein Haus, in dem viele Fenster sind, = 1; viele Häuser machen Eine Stadt aus."
Ist die Zahl etwas Subjectives?
§ 26. In diesem Gedankengange kommt man leicht dazu, die Zahl für etwas Subjectives anzusehen. Es scheint die Weise, wie die Zahl in uns entstellt, über ihr Wesen Aufschluss geben zu können. Auf eine psychologische Unter- suchung also würde es dann ankommen. In diesem Sinne sagt wohl Lipschitz**): „Wer über gewisse Dinge einen Ueberblick gewinnen will, der wiid mit einem bestimmten Dinge beginnen und immer ein neues Ding den früheren hinzufügen". Dies scheint viel besser darauf zu passen, wie wir etwa die Anschauung eines Sternbildes erhalten, als auf die Zahlbildung. Die **) Lehrbuch der Analysis, S. 1. Ich nehme an, daas Lipschitz einen Innern Yprgang im Sinne hat.
3 34 AbBicht, einen Ueberblick zu gewiuuen, ist unwesentlich; denn man wird kaum sagten kunnen, A&ss eine Heide übersicliUidifr wird, «enn man erftllirt, aus wieviel Häuptern sie bestellt. Eine solclie Eesclireibiing der inuern Vorgänge, die der Fältung eines ZtiMurtheils vorhergehen, kann nie, anch wenn sie zutreffender ist, eine eigentliche Begriösbestinimung er- setzen. Sie wii'd nie zum Beweise eines avithmetisclien Satzes herangezogen werden können; wir erfaliren durch sie keine Eigenschaft dci' Zahlen. Denn die Zahl ist so wenig ein Gegenstand der Psychologie oder ein Ergebniss psychischer Vorgänge, wie es etwa die Nordsee ist. Der Objectivifät der N'ordsee thut es keinen Eintrag, dass es von unserer Willkülir allhangt, welchen Theil der allgemeinen Wasser- hedeckung der Erde wir abgrenzen und mit dem Namen „Nordsee" belegen wollen. Das ist kein Grund, dies Meer auf psycholügischem Wege eiforschen zu wollen. So iül auch die Zahl etwas Objectives. Wenn man sagt „die Nüi-dsee ist 10,000 Quadratmeilen gross," so deutet man weder durch ,, Nordsee" noch durch,,10,000" anf einen Zustand oder Vurgaug in seinem Innern hin, sondern man behauptet etwi ganz Objectives, was von unsern Vorstellungen und dgl nuiibhängig ist. Wenn wir etwa ein ander Mal die Grenzen der Nordsee etwas anders ziehen oder unter,,10,000'' etwas Anderes verstehen wollten, so würde nicht derselbe Inhalt falsch, der vorher richtig war; sondern an die Stelle eim wahren Inhalts wäre vielleicht ein falscher geschoben, durch die AVahrheit jenes ersteren in keiner Weise au(f hoben würde.
Der Botaniker will etwas ebenso Thatsächliches sage^ü wenn er die Anzahl der Blumenblätter einer Blume, wenn er ihre Farbe angiebt. Das eine hangt so wenig das andere von unserer Willkühr ab. Rine gewisse Aehi liilikeit der Anzahl und der Farbe ist also da; aber di< besteht nicht darin, dass beide an äusseren Dingen sinnlii wahruehmbar, sondern darin, tlass beide objectiv sind.
■eh 85 Ich unterscheide das Objective von dem Handgreiflichen, Bänmliehen, Wirklichen. Die Erdaxe, der Massenmittel- punkt des Sonnensystems sind objectiv, aber ich möchte sie nicht wirklich nennen, wie die Erde selbst. Man nennt den Aequator oft eine gedachte Linie; aber es wäre falsch, ihn eine erdachte Linie zu nennen; er ist nicht durch Denken entstanden, das Ergebniss eines seelischen Vorgangs, sondern nur durch Denken erkannt, ergriffen. Wäre das Erkanntwerden ein Entstehen, so könnten wir nichts Posi- tives von ihm aussagen in Bezug auf eine Zeit, die diesem vorgeblichen Entstehen vorherginge.
Der Raum gehört nach Kant der Erscheinung an. Es wäre möglich, dass er andern Vernunftwesen sich ganz anders als uns darstellte. Ja, wir können nicht einmal wissen, ob er dem einen Menschen so wie dem andern erscheint; denn wir können die Baumanschauung des einen nicht neben die des andern legen, um sie zu vergleichen. Aber dennoch ist darin etwas Objectives enthalten; Alle erkennen dieselben geometrischen Axiome, wenn auch nur durch die That, an und müssen es, um sich in der Welt zurechtzufinden. Objectiv ist darin das Gesetzmässige, Begriffliche, Beurtheilbare, was sich in Worten ausdrRcken lässt. Das rein Anschau- liche ist nicht mittheilbar. Nehmen wir zur Verdeutlichung zwei Vernunftwesen an, denen nur die projectivischen Eigen- schaften und Beziehungen anschaulich sind: das Liegen von drei Punkten in einer Gerade, von vier Punkten in einer Ebene u. s. w.; es möge dem einen das als Ebene erscheinen, was das andere als Punkt anschaut und umgekehrt. Was dem einen die ^'erbindungslinie von Punkten ist, möge dem andern die Schnittkante von Ebenen sein u. s. w. immer dualistisch entsprechend. Dann könnten sie sich sehr wohl mit einander verständigen und würden die Verschiedenheit ihres Anschauens nie gewahr werden, weil in der projecti- vischen Geometrie jedem Lehrsätze ein anderer dualistisch gegenübersteht; denn das Abweichen in einer ästhetischen 3* 8«