Wertlischätzung wßrde kein sicheres Zeichen sein. In Bezug aaf alle geometrische Lehrsätze wären sie völlig im Einklänge; sie würden sicli nnr die Wörter in üire An- schauung verschieden übersetzen. Mit dem Worte,, Punkt" verbände etwa das eine diese, das andere jene Anschaniing. So kann man immerhin sagen, dass ihnen dies AVoi-t etwas Objectives bedeute; nur darf man unter dieser Bedeutung nicht das Besondere ihrer Anschauung verstehn. t'nd in diesem Sinne ist auch die Erdaxe objectiv.
Man denkt gewölinlich bei „weiss" an eine gewisse Empfindung, die natürlich ganz subjectiv ist; aber schon im gewöhnlichen Sprachgebrauche. scheint mir, tritt ein itbjec- tiver Sinn vielfach liervor. Wenn man den Schnee weiss nennt, so will man eine objective Beschaffenheit ausdrücken, die man beim gewöhnlichen Tageslicht an einer gewissen Empfindung erkennt. Wird er farbig beleuchtet, so bringt man das bei der Eeurtheilung in Anschlag. Mau sagt vielleicht: er erscheint jetzt rotb, aber er ist weiss. Auch der Farbenblinde kann von roth und giün reden, obwohl er diese Farben in der Empfindung nicht unterscheidet. Er erkennt den Unterschied daran, dass Andere ihn machen. oder vielleicht durch einen physikalischen Versuch. So be- zeichnet das Farbeuwort oft nicht unsere subjective Em- pfindung, von der wir nicht wissen können, dass sie mit der eines Andern übereinstimmt — denn ofi'enbar verbürgt das die gleiche Benennung keineswegs — sondera eine objective Beschafi'enheit. So verstehe ich unter Objectivität eine Unab- hängigkeit von unseiin Empfinden, Anschauen und Vorstellen, von dem Entwerfen innerer Bilder aus den Erinnerungen früherer Empfindungen, aber nicht eine UnabhängigkeH^ von der Vernunft; denn die Frage beantworten, was Dinge unabhängig von der Vernunft sind, Messe urtheilai ohne zu urtheilen, den Pelz waschen, ohne ihn nass zu machet § 27. Deswegen kann ich auch Schloemiich"') nid ') Haudliiich der algebmiacheu Anolyaia, S. 1.
87 87 zustimmen, der die Zahl Vorstellung der Stelle eines Objects in einer Reihe nennt*). Wäre die Zahl eine Vorstellung, so wäre die Arithmetik Psychologie. Das ist sie so wenig, wie etwa die Astronomie es ist. Wie sich diese nicht mit den Vorstellungen der Planeten, sondern mit den Planeten selbst beschäftigt, so ist auch der Gegenstand der Arithmetik keine Vorstellung. Wäre die Zwei eine Vorstellung, so wäre es zunächst nur die meine. Die Vorstellung eines Andern ist schon als solche eine andere. Wir hätten dann vielleicht viele Millionen Zweien. Man mfisste sagen: meine Zwei, deine Zwei, eine Zwei, alle Zweien. Wenn man latente oder unbewusste Vorstellungen annimmt, so hätte man auch unbewusste Zweien, die dann später wieder bewusste würden. Mit den heranwachsenden Menschen entständen immer neue Zweien, und wer weiss, ob sie sich nicht in Jahrtausenden so veränderten, dass 2X2 = 5 würde. Trotzdem wUre *) Man kann dagegen auch einwenden, dass dann immer dieselbe VorsteUung einer Stelle erscheinen müsste, wenn dieselbe Zahl anftritt, was offenbar falsch ist. Das Folgende würde nicht zutreffen, wenn er unter Vorstellung eine objective Idee verstehen wollte; aber welcher Unterschied wäre dann zwischen der Vorstellung der Stelle und der SteUe selbst?
Die Vorstellung im subjectiven Sinne ist das, worauf sich die psycho- logischen Associationsgesetze beziehen; sie ist von sinnlicher, bildhafter Beschaffenheit. Die Vorstellung im objectiven Sinne gehört der I^ogik au und ist wesentlich unsinnlich, obwohl das Wort, welches eine objective Vorstellung bedeutet, oft auch eine subjective mit sich führt, die jedoch nicht seine Bedeutung ist. Die subjective Vorstellung ist oft nachweisbar verschieden in verschiedenen Menschen, die objective für alle dieselbe. Die objectiven Vorstellungen kann man eintheilen in Gegenstände und Begriffe. Ich werde, um Verwirrung zu vermeiden, „Vorstellung" nur im subjectiven Sinne gebrauchen. Dadurch, dass Kant mit diesem Worte beide Bedeutungen verband, hat er seiner Lehre eine sehr subjective, idealistische Färbung gegeben und das Treffen seiner wahren Meinung erschwert. Die hier gemachte Unterscheidung ist so berechtigt wie die zwischen Psychologie und Logik. Möchte man diese immer recht streng auseinanderhalten!
GS zweifelhaft, ob es. wi« man f^ewühnlich meint, unendlich viele Zahlen f;:äbe. Vielleidit wäre 10 '" nur ein leeres Zeichen, nnd es gäbe gar keine Vorstellung, in irgeufleinem "Wesen, die so benannt werden könnt«.
Wir sehen, zu welchen Wumlerlichkeiten es führt, wenn man den Gedanken etwa« weiter ausspinut, dass die Zahl eine Vorstellung sei. Und wir kommen zu dem Schlüsse, dass die Zahl weder räumlich uud physikalisch ist, wie MilU i Haufen von Kieselsteinen und Pfefferui'issen, noch auch sub- jectiv wie die Vorstellungen, sondern nusinnlich und objectiT«! Ger Grund der Objectivität kann ja nicht iu dem Sinne»*! eindrncke liegen, der als Affectiou unserer Heele ganz sub-l jectiv ist, sondern, soweit ich sehe, nur in der Vernunft.
Es wäre wunderbar, wenn die allerexacteste Wissei Schaft sich auf die noch zu unsicher tastende Psycholog^ stutzen sollte.
Die Anzahl als Menge.
§ 28, J<inige Schriftsteller erklären die Anzahl alir* eine Menge, Vielheil oder Mehrheit. Ein Uebelsland besteht hierbei darin, dass die Zahlen und 1 von dem Begriffe ausgeschlossen werden. Jene Ausdrücke sind recht unbe- stimmt: bald nähern sie sich mehr der Bedeutung von „Haufe," „Gruppe," „Aggregat" — wobei an ein räumliches Zusammensein gedacht wird — btild werden sie fast gleich- bedeutend mit., Anzahl" gebrauclit, nur unbestinimter. Eine Auseinanderlegnng des Begriffes der Anzahl kann darum in einer solchen Erklärung nicht gefunden wenlen. Thomae*J verlangt zur Bildung der Zahl, dass verschiedenen Objecten- meugen verschiedene Namen gegeben werden, Bumit ist offenbar eine schärfere Bestimmung jener Objectenmengeu gemeint, für welche die Namengebung nur das äussere Zeichen ist. Welcher Art nun diese Bestimmung sei, das ist die 89 Frage. Es würde offenbar die Idee der Zahl nicht entstehen, wenn man für „3 Sterne/' „3 Finger," „7 Sterne" Namen einführen wollte, in denen keine gemeinsamen Bestandtheile erkennbar wären. Es kommt nicht darauf an, dass überhaupt Namen gegeben werden, sondern dass für sich bezeichnet werde, was Zahl daran ist. Dazu ist nöthig, dass es in seiner Besonderheit erkannt sei.
Noch ist folgende Verschiedenheit zu beachten. Einige nennen die Zahl eine Menge von Dingen oder Gegenständen; Andere wie schon Euklid*), erklären sie als eine Menge von Einheiten. Dieser Ausdruck bedarf einer besondem Erörterung.
III. Meinungen über Einheit und Eins.
Drückt das Zahlwort „Ein^^ eine Eigenschaft Ton Gegenständen aus?
§ 39. In den Definitionen, die Euklid am Anfange des 7. Buches der Elemente giebt, scheint er mit dem Worte „,^wvac" bald einen zu zählenden Gegenstand, bald eine Eigenschaft eines solchen, bald die Zahr Eins zu bezeichnen. Ueberall kommt man mit der Uebersetzung., Einheit" durch, aber nur, weil dies Wort selbst in diesen verschiedenen Bedeutungen schillert.
Schröder**) sagt: „Jedes der zu zählenden Dinge wird Einheit genannt." Es fragt sich, weshalb man die Dinge erst unter den Begriff der Einheit bringt und nicht einfach erklärt: Zahl ist eine Menge von Dingen, womit wir wieder auf das Vorige zurückgeworfen wären. Man könnte zunächst in der Benennung der Dinge als Einheiten eine nähere Bestimmung finden wollen, indem man der sprachlichen Form folgend „Ein" als Eigenschaftswort ansieht ♦) 7. Buch der Elemente im Anfange: Mova(; satt, xaB** fjv sxaaxov T«)v ovxfov SV XifSTau 'Api^jio; 5s x6 ix yLovot§u)v W(xsijisvov icXyj^o^.
40 und,.Eiue Stallt" so aiiftast^t wie „weiser Mann". Dann wiii-de eine Einlieit ein Gegenstami sein, dem fite Eigenschaft „Ein" zukäme und würde si«li zn,.Ein" ähnlich verhalten wie „ein Weiser" zn dem Adjectiv,,weise''. Zu den Gründen, die oben dagegen geltend gemacht sind, dass die Zahl eine Eigenschaft von Dingen sei, treten hier noch einige besondere hinzu. Auä'allend wäi'e zunächst, dasK jedes Ding diese Eigenschaft hätte. Es wäre unverständlich, weslialb man überhaupt noch einem Diuge ausdrücklich die Eigenschaft beilegt, Nur durch die Möglichkeit, dass etwas nicht weise sei, gewinnt die Behauptung, Solon sei weise, einen Siuu. Der Inhalt eines Begriffes nimmt ab, wenn sein Umfang zunimmt; wird dieser allumfassend, so miiss der Inhalt ganz verloren gehen. Es ist nicht leicht zu denken, wie die Sprache dazu kam», ein Eigenschaftswort zu scJiaß'en, das gar nicht dazu dieueu könnte, eineu Gegenstand näher zu_ bestimmen.
AVenn „Ein Mensch" ähnlich wie „weiser Meusclj aufzufassen wäre, so sollte man denken, dass „Ein' als Pi'aedicat gebraucht werden könnle, sodass man ■ „Sdlon war weise" auch sagen könnte „Solon war Eig oder „Holon war Einer". Wenn nun der letzte Ausdi-ad auch vorkommeu kann, so ist er doch für sich allein nicfl verständlich. Er kann z. B. heissen: Solon war eiu WeiseiÖ wenn „Weiser" aus dem Zusammenhange zu ergänzen ist. Aber allein scheint „Ein" nicht Praedicat sein zu können*). Noch deutlicher zeigt sich dies beim Plural. Während man „Sülon war weise" und „Thaies war weise" zusammenziehen kann in „Sulon uud Thaies waren weise," kann man nicht sagen,, Solon und Thaies wareu Ein". Hiervon wäre die *J Es küminen Weuduagen vur, liie dem zu wiilersiireuhcn scLeiuaiij aber bei genauerer Betrachtung wird man iiideii, da*s eiii Begriffswort zu ergäuzeii ist, oder dass „Eiu" niclit ftis Zahlwort gebraucht wird, Ae/wM nii^bt die Eiuzigkeit, sondern die Einheitlichkeit behauptet werden aoU«J 41 Unmöglichkeit nicht einzusehen, wenn „Ein" sowie „weise" eine Eigenschaft sowohl des Solon als auch des Thaies wäre.
§ 30. Damit hangt es zusammen, dass mau keine Definition der Eigenschaft „Ein" hat geben können. Wenn Leibniz*) sagt: „Eines ist, was wir durch Eine That des Verstandes zusammenfassen", so erklärt er „Ein" durch sich selbst. Und können wir nicht auch Vieles durch Eine That des Verstandes zusammenfassen? Dies wird von Leibniz an derselben Stelle zugestanden. Aehnlich sagt Baumann*"^): „Eines ist, was wir als Eines auffassen" und weiter: „Was wir als Punkt setzen oder nicht mehr als getheilt setzen wollen, das sehen wir als Eines an; aber jedes Eins der äussern Anschauung, der reinen wie der empirischen, können wir auch als Vieles ansehen. Jede Vorstellung ist Eine, wenn abgegränzt gegen eine andere Vorstellung; aber in sich kann sie wieder in Vieles unterschieden werden." So verwischt sich jede sachliche Begrenzung des Begriffes und alles hangt von unserer Auffassung ab. Wir fragen wieder: welchen Sinn kann es haben, irgendeinem Gegenstande die Eigenschaft „Ein" beizulegen, wenn je nach der Auffassung jeder Einer sein und auch nicht sein kann? Wie kann auf einem so verschwommenen Begriffe eine Wissenschaft beruhen, die grade in der grössten Bestimmtheit und Genauigkeit ihren Ruhm sucht?
§ 31. Obwohl nun Baumaun***) den Begriff der Eins auf innerer Anschauung beruhen lässt, so nennt er doch in der eben angeführten Stelle als Merkmale die Ungetheiltheit und die Abgegränztheit. Wenn diese zuträfen, so wäre zu erwarten, dass auch Thiere eine gewisse Vorstellung von Einheit haben könnten. Ob wohl ein Hund beim Anblick des Mondes eine wenn auch noch so unbestimmte Vorstellung 42 Ton dem hat, was wir mit rlem AVorte,,Eiii" bezeichnen? Schwerlich! Und doch uuterycheUlet er gewiss einzelne Gegen- ftände: ein andrer Hund, sein Herr, ein Stein, mit dem er spielt, erscheinen ihm gewiss ebenso abgegrenzt, fnr sich bestehend, nngetheilt wie uns. Zwar wiid er einen Unter- schied merken, ob er sich gegen viele Hunde zu vcrtheidigen hat oder nnv gegen Einen, aber dies ist der von Mill physi- kalisch genannte Unterschied. Es käme darauf besonders an, ob er von dem Gemeinsamen, welches wir durch das Wort ..Ein" ausdrücken, ein wenn auch noch so dunkles Bewusst- sein hat z. B. in den Fallen, wo er von Einem grössern Hnnde gebissen wird, und wo er Eine Katze verfolgt. Dac ist mir unwahrscheinlich. Icli folgere daraus, dass die Idee der Einheit nicht, wie Locke*) meint, dem Verstände durch jenes Object draussen und jede Idee innen zugeftihrt, sondern von uns durch die hohem Geisteskräfte erkannt wird, die uns vom Thiere unterscheiden. Dann können solche Eigen- schaften der Dinge wie Ungellieiltlieit und Abgegrenztheit, die von den Tliieren ebenso gut wie von uns bemerkt werden, nicht das Wesentliclie an unserm Begrifle sein.
§ 32. Doch kann man einen gewissen Zusammenhang verrouthen. Darauf deutet die Sprache hin, indem sie von „Ein" „einig" ableitet. Etwas ist desto mehr geeignet, als besonderer (Gegenstand aufgefasst zu werden, je mehr die Unterschiede in ihm gegenüber den Unterschieden von der Umgebung ztu'üektreten, je mehr der innere Zusammenhang den mit der Umgebung überwiegt. So bedeutet,,einig" eine Eigenacliaft, die dazu veranlasst, etwas in der Auffassung von der Umgebung abzusondern und für sich zu betrachten. Wenn das französische „uui" „eben,".,glatt" heisst, so ist dies so zu erklären. Auch das Wort „Einheit" wird in ähnlicher Weise gebranclit, wenn von politischer Einheit 48 eines Landes, Einheit eines Kunstwerks gesprochen wird*). Aber in diesem Sinne gehört „Einheit*' weniger zu,Ein'' als zu „einig" oder „einheitlich." Denn, wenn man sagt, die Erde habe Einen Mond, so will man diesen damit nicht fär einen abgegrenzten, für sich bestehenden, ungetheilten Mond erklären; sondern man sagt dies im Gegensatze zu dem, was bei der Venus, dem Mars oder dem Jupiter vor- kommt. In Bezug auf Abgegrenztheit und Ungetheiltheit könnten sich die Monde des Jupiter wohl mit unserm messen und sind in dem Sinne ebenso einheitlich.
§ 33. Die Ungetheiltheit wird von einigen Schrift- stellern bis zur üntheilbarkeit gesteigert. 6. Kopp**) nennt jedes unzerlegbar und fttr sich bestehend gedachte sinnlich oder nicht sinnlich wahrnehmbare Ding ein Einzelnes und die zu zählenden Einzelnen Einse, wo offenbar „Eins" in dem Sinne von „Einheit" gebraucht wird. Indem Baumann seine Meinung, die äussern Dinge stellten keine strengen Einheiten dar, damit begründet, dass wir die Freiheit hätten, sie als Vieles zu betrachten, giebt auch er die Unzerleg- barkeit für ein Merkmal der strengen Einheit aus. Dadurch dass man den Innern Zusammenhang bis zum Unbedingten steigert, will man offenbar ein Merkmal der Einheit gewinnen, das von der willkfihilichen Auffiassung unabhängig ist. Dieser Versuch scheitert daran, dass dann fast nichts übrig bliebe, was Einheit genannt und gezählt werden dürfte. Deshalb wild auch sofort der Rückzug damit augetreten, dass man nicht die Unzerlegbaikeit selbst, sondern das als unzerlegbar Gedachtwerdeu als Merkmal aufstellt. Damit ist man denn bei der schwankenden Auffassung wieder angekommen. Und wird denn dadurch etwas gewonnen, dass man sich die Sachen anders denkt als sie sind? Im Gegentheil! aus einer falschen *) üeber die Geschichte des Wortes „Einheit" vergl. Eucken, Ge- schichte der philosophischen Terminologie. S. 122—3, S. 136, S. 220.
a Annahme köniieu falsche Fulfieningeii fliessen. Weon man iiher aus der Unzerlegbarkeit nichts schliesseu will, was nölzt sie dann? wenn man von der Strenge des Begriffes ohne Schaden etwas ablaKseu kann, ja es sogar muss. wozu ilaini diese Strenge? Aber vielleicht soll man an die Zerlegbartceit nur nicht denken, Als ob durch Mangel an Denken etwas erreicht werden könnte! Es giebt aber Fälle, wo man gar uitht vermeiden kann, an die Zerlegbai'keit zn denken, wo sogar ein Schlnss auf der Znsammensetzuug der Einheit beruht, z. B. bei der Aufgabe: Ein Tag hat 2i Stunden, wieviel Stunden haben 3 Tage?
yind die Einheiteu einander gleich?
§ 34. So missliugt denn jeder Versuch, die Eigenschaft ,Eiu" zu ei'klären, und wir müssen wohl darauf verzichten, in der Bezeichnung der Diuge als Einheiten eine nähere Bestimmung zu sehen. Wir kommen wieder auf unsere Präge zurück: weshalb nenut man die Dinge Einheiten, wenn „Einheit" nur ein andrer Name für Ding ist, wenn alle Diuge Einheiten sind oder als solche aufgefasst werden können? E. Sehröder*) giebt als Grund die den Objecten der Zählung zugeschriebene Gleichheit an. Zunächst ist nicht zu sehen, warum die Worter „Diug" und „Gegenstand"' dies nicht ebenso gut andeuten könnten. Dann fi'agt es sich; weshalb wird den Gegenständen der Zählung Gleichheit zu- geschrieben? AVird sie ihnen nur zugeschrieben, oder sind sie wirklich gleich? Jedenfalls sind uie zwei Gegenstände durchaus gleich. Andrerseits kann man wohl fast immer eine Hinsicht ausfindig macheu, in der zwei Gegenstande übereinstimmen. So shid wir wieder bei der willkührlichen Auffassung angelangt, wenn wir nicht gegen die Wahrheit den Dingen eine weitergehende Gleichheit zuschreiben wollen, als ihnen zukommt. In der That nennen viele Schriftsteller die Einheiten ohne Einschränkung gleich. Hobhes*) sagt: „Die ZaMf absolut gesagt, setzt in der Mathematik unter sich gleiche Einheiten voraus, aus denen sie hergestellt wird/^ Hume'"*) hält die zusammensetzenden Theile der Quantität und Zahl fftr ganz gleichartig. Thomae***) nennt ein Indi- viduum der Menge Einheit und sagt: „Die Einheiten sind einander gleich." Ebenso gut oder vielmehr richtiger könnte man sagen: die Individuen der Menge sind von einander verschieden. Was hat nun diese vorgebliche Gleichheit für die Zahl zu bedeuten? Die Eigenschaften, durch die sich die Dinge unterscheiden, sind fftr ihre Anzahl etwas Gleich- giltiges und Fremdes. Darum will man sie fern halten. Aber das gelingt in dieser Weise nicht. Wenn man, wie Thomae verlangt, „von den Eigenthttmlichkeiten der Individuen einer Objectenmenge abstrahirt" oder „bei der Betrachtung getrennter Dinge von den Merkmalen absieht, durch welche sich die Dinge unterscheiden," so bleibt nicht, wie Lipschitz meint, „der Begriff der Anzahl der betrachteten Dinge" zurück, sondern man erhält einen allgemeinen Begriff, unter den jene Dinge fallen. Diese selbst verlieren dadurch nichts von ihren Besonderheiten. Wenn ich z. B. bei der Betrachtung einer weissen und einer schwarzen Katze von den Eigen- schaften absehe, durch die sie sich unterscheiden, so erhalte ich etwa den Begriff „Katze". Wenn ich nun auch beide unter diesen Begriff bringe und sie etwa Einheiten nenne, so bleibt die weisse doch immer weiss und die schwarze schwarz. Auch dadurch, dass ich an die Farben nicht denke oder mir vornehme, keine Schlüsse aus deren Verschiedßnheit zu ziehen, werden die Katzen nicht farblos und bleiben ebenso verschieden, wie sie waren. Der Begriff „Katze," der durch **) Ebenda Bd. II. S. 568.
4» itie Abstraction gewonnen ist, enthält zwar die Besond^ heiten nicht mehr, ist aber eben dadurch nnr Einer.
§ 35. Durch blos begriffliche Verfehrungsweisen gelingt es nicht, verschiedene Dinge gleich ku machen; gelänge es aber, so hätte man nicht mehr Dinge, soniiein nur Ein Ding; denn, wie Descartes*) sagt, die Zahl — besser: die Mehr- zahl — in den Dingen entspringt ans deren Unterscheidung. E. Schröder**) behauptet mit Recht: „Die Anfordernng Dinge zu zahlen kann vernünftiger Weise nnr gestellt werden, MO solche Gegenstände vorliegen, welche deutlich von einander unterscheidbar z. B. laumlich und zeitlich getrennt und gegen einander abgegrenzt erscheinen." In der That erschwert zuweilen die zu grosse Aehnlichkeit z. B. der Stäbe eines Gitters die Zählung. Mit besonderer Schärfe drückt sich W. Stanley Jevons***) in diesem Sinne aus: „Zahl ist nnr ein andrer Name iflr Verschiedenheit. Genaue Identität ist Einheit, und mit yer.schiRdenheit entsteht Mehrheit." Und weiter (S, 157}; „Es ist oft gesagt, riass Einheiten Einheiten.sind, insofeni sie einander vollkommen gleichen; aber, obwohl sie in einigen Rücksichten vollkommen gleich sain mögen, müssen sie mindestens in Einem Punkte ver- schieden sein; sonst wäre der Bcgiitt' der Mehrheit auf sie unanwendbar. Wenn drei Münzen so gleich wären, dass sie denselben Banm zn tieiselben Zeit einnähmen, so wären sie nicht drei Ml^nzen, sondern Eine Münze."
§:J6. Aber es zeigt sich bald, dasa die Ansicht von der Verschiedenheit der Einheiten auf neue Schwierigkeiten stösst. Jevons erklärt:,,Eine Einheit (unit) ist irgendein Gegenstand des Denkens, der von irgendeinem andern Gegen- stande unterschieden werden kann, der als Einheit in der»' | Sf-lben Aufgabe behandelt wird." Hier isi Einheit durc ***) Tke principka of Scieuei, 8 d. Ed 47 sich selbst erklärt und der Zusatz,yder von irgendeinem andern Gegenstande unterschieden werden kann^^ enthält keine nähere Bestimmung, weil er selbstverständlich ist. Wir nennen den Gegenstand eben nur darum einen andern, weil wir ihn vom ersten unterscheiden können. Jevons*) sagt femer: „Wenn ich das Symbol 6 schreibe, meine ich eigentlich und es ist vollkommen klar, dass jede dieser Einheiten von jeder andern verschieden ist. Wenn erforderlich, kann ich sie so bezeichnen: Gewiss ist es erforderlich, sie verschieden zu bezeichnen, wenn sie verschieden sind; sonst würde ja die grösste Ver- wirrung entstehen. Wenn schon die verschiedene Stelle, an der die Eins erschiene, eine Verschiedenheit bedeuten sollte, so mässte das als ausnahmslose Regel hingestellt werden, weil man sonst nie wüsste, ob 1 + 1 2 bedeuten solle oder 1. Dann mttsste man die Gleichung 1 = 1 verwerfen und wäre in der Vei legenheit, nie dasselbe Ding zum zweiten Male bezeichnen zu können. Das geht ofifenbar nicht an. Wenn man aber verschiedenen Dingen verschiedene Zeichen geben will, so ist nicht einzusehen, weshalb man in diesen noch einen gemeinsamen Bestandtheil festhält und nicht lleDer statt ••/ i |// _i |/// _i |//// i -i///// schreibt Die Gleichheit ist doch nun einmal verloren gegangen, und die Andeutung einer gewissen Aehnlichkeit nfttzt nichts.
So zerrinnt uns die Eins unter den Händen; wir behalten die Gegenstände mit allen ihren Besonderheiten. Diese Zeichen sind ein sprechender Ausdruck für die Verlegenheit: wir u haben die Gleichheit nöthig; deshalb die 1; wir haben die Verschiedenheit n&thig; deshalb die Tndices, die nur leider die Gleichheit wieder üiifheben.
§ 37. Bei andern Schriftstellern stnssen wir anf dii^- selbe Schwierigkeit. Locke*) sagt:,.Durch Wiederholung der Idee einer Einheit und Hinznfügung derselben zn einer andern Einheit machen wir demnach eine colleclive Idee, die durch das Wort „zwei" bezeichtiet wird. Und wer das thiin und so weitergehen kann, imniei' noch Eins hinzufilgend zu der letzten collectiven Idee, die er von einer Zahl Imtte, lind ihr einen Namen geben kann, der kann zählen." Leibniz**) definirt Zahl als 1 und 1 und 1 oder als Einheiten. Hes.se***) sagt; „Wenn man sich eine Vorstelhiug machen kann von der Einheit, die in der Algebra mit dem Zeichen 1 ausge- drückt wird,...so kann man sich auch eine zweitft gleichberechtigte Einheit denken und weitere derselben Art. Die Vereinigung der zweiten mit der er-Hen zu einem Ganzen giebt die Zahl 2".
Hier ist auf die Beziehung zu achten, in der die Be- deutungen der Wörter „Einheit" und,,Eins" zu einander rttehen, Leibniz versteht unter Einheit einen Begriff, unter den die Eins und die Eins und die Eins fallen, wie er denn auch sagt; „Das Abslracte von Eins ist die Einheit." Locke und Hesse scheinen Einheit und Eins gleichbedeutend zu gebrauchen. Im Grunde thut dies wohl auch Leibniz; denn indem er die einzelnen Gegenstäntle, die unter den Begriff der Einheit fallen, sämmtlich Eins nennt, bezeichnet er mit diesem Worte nicht den einzelnen Gegenstand, sondern den Begriff, imter den sie falten.
§ 38. Um nicht Verwirrung einreissen zu lassen, wird es jedoch gut sein, einen Unterscliied zwischen Einheit *) Bauiuann a J 49 und Eins streng aufrecht zn erhalten. Man sagt ^^die Zahl Eins'^ und deutet mit dem bestimmten Artikel einen be- stimmten, einzelnen Gegenstand der wissenschaftlichen For* schung an. Es giebt nicht verschiedene Zahlen Eins, sondern nur Eine. Wir haben in 1 einen Eigennamen, der als solcher eines Plurals ebenso unfähig ist wie,,Friedrich der Grosse^' oder;,das chemische Element Gold.^^ Es ist nicht Zufall und nicht eine ungenaue Bezeichnungsweise^ dass man 1 ohne unterscheidende Striche schreibt. Die Gleichung würde St. Jevons etwa so wiedergeben: Was würde aber das Ergebniss von sein? Jedenfalls nicht 1^ Daraus geht hervor, dass es nach seiner Auffassung nicht nur verschfedene Einsen, sondern auch verschiedene Zweien u. s. w. geben würde; denn 1"-}- V^ könnte nicht durch 1"" + 1""' vertreten werden. Man sieht hieraus recht deutlich, dass die Zahl nicht eine Anhäufung von Dingen ist. Die Arithmetik würde aufgehoben werden, wollte man statt der Eins, die immer dieselbe ist, verschiedene Dinge einführen, wenn auch in noch so ähnlichen Zeichen; gleich dürften sie ja ohne Fehler nicht sein. Man kann doch nicht annehmen, dass das tiefste Bedürfniss der Arith- metik eine fehlerhafte Schreibung sei. Darum ist es un* möglich 1 als Zeichen für vei*schiedene Gegenstände anzu- sehen, wie Island, Aldebaran, Selon u. dgl. Am greiibarsten wird der Unsinn, wenn man an den Fall denkt, dass eine Gleichung drei Wurzeln hat, nämlich 2 und 5 und 4 Schreibt man nun nach Jevons für 3.
so würde 1' hier 2, 1" 5 und 1'" 4 bedeuten, wenn man unter V, 1", T" Einheiten und folglich nach Jevons die hier vorliegenden Gegenstände des Denkens versteht. Wäre es dann nicht verständlicher für 1* + 1" + 1"' zu schreiben fiO Ein Plural ist nur von Begiifl'swörteni mögljcli. Wenn man also von „Einheiten" spricht, so kann mau dies Wort nicht gleichbedeutenil mit dem Eigenuameti „Eins*' gebrauchen, sondern als Begiifi'swort. Wenu,, Einheit" „zu zählender äegenstand'' hedeutet, so kann man nicht Zahl als Einheiten definiren. Wenn man unter „Einheit" einen Begriff versteht, der die Eins und nur diese unter sich täsat, so hat ein Plural keinen Sinn, und es ist wieder unmöglich, mit Leibniz Zahl als Einheiten oiler als 1 und 1 und 1 zu deflniren. Wenn man das,,und" so gebraucht wie in „Bnnaen und Kiichhof," so ist 1 und 1 und 1 nicht 3, sondern 1, sowie Gold und Gold und Gold nie etwas anderes als Gold ist. Das Pluszeichen in muss also andei-s als das,,und" aufgefasst werden, das ein Sammlung, eine „collective Hdee'* bezeichnen hilft.
§ 39, Wir stehen demnach vor folgender Schwierigkei Wfun wir die Zalil durch Zusammenfnasung von ver- schiedenen Gegenständen entstehen lassen wollen, so erhalten wir eine A nliänl'uüg, in der die Gegenstände mit eben den Eigenschaften enthtilten sind, durch die sie sich unterscheiden,, und das ist nicht die Zahl. Wenn wir die Zahl andreiseits durch Zusammenfassung von Gleichem bilden wollen, sii fliesst dies immerfort in eins zusammen, und wir kommen nie zu einer Mehiheit.
Wenn wir mit 1 jeden der zu zählenden Gegenstände bezeichnen, so ist das ein Fehler, weil Verschiedenes dasselbe Zeichen erhält. Versfthen ivir die 1 mit unterscheidenden Strichen, so wird sie fiii' die Arithmetik unbrauchbar.
Das Wort,, Einheit'" ist vortrefflich geeignet, diese Schwierigkeit zu verhüllen; und das ist der — wenu auch nnbewusste — <jrmid, warum man es den Wörtern..Gegen- stand" und,.Ding" vorzieht. Man nennt zunächst die zu zählenden Dinge Einheiten, wobei die Verschiedenheit ihr 61 Recht erhält; dann gebt die Zusammenfassung, Sammlung, Vereinigung, HinzufOgung, oder wie man es sonst nennen will, in den Begriff der arithmetischen Addition über und das Begriifswort „Einbeit^^ verwandelt sich unvermerkt in den Eigennamen „Eins^^ Damit hat man dann die Gleichheit. Wenn ich an den Buchstaben u ein n und daran ein d tilge, so sieht jeder leicht ein, dass das nicht die Zahl 8 ist. Wenn ich aber u, n und d unter den Begriff „Einheit^' bringe und nun fftr „u und n und d^^ sage,^eine Einheit und eine Einheit und noch eine Einheit^' oder „1 und 1 und l'S so glaubt man leicht damit die 3 zu haben. Die Schwierigkeit wird durch das Wort „Einheit" so gut ver- steckt, dass gewiss nur wenige Menschen eine Ahnung von ihr haben.
Hier könnte Mill mit Recht tadelnd von einem kunst- fertigen Handhaben der Sprache reden; denn hier ist es nicht die äussere Erscheinung eines Denkvorganges, sondern es spiegelt einen solchen nur vor. Hier hat man in der That den Eindruck, als ob den von Gedanken leeren Worten eine gewisse geheimnissvolle Kraft beigelegt werde, wenn Verschiedenes blos dadurch, dass man es Einheit nennt, gleich werden soll.
Versuche, die Schwierigkeit zu überwinden.
§ 40. Wir betrachten nun einige Ausführungen, die sich als Versuche zur Ueberwindung dieser Schwierigkeit darstellen, wenn sie auch wohl nicht immer mit klarem Re- wusstsein in dieser Absicht gemacht sind.
Man kann zunächst eiue Eigenschaft des Raumes und der Zeit zu Hilfe rufen. Ein Raumpunkt ist nämlich von einem andern, eine Gerade oder Ebene von einer andern, congruente Körper, Flächen- oder Linienstücke von einander, für sich allein betrachtet, gar nicht zu unterscheiden, sondern nur in ihrem Zusammensein als Bestandtheile einer Gesammt- 4* auscUauiing. So scheint aicli hier üleiclilieit mit Untersclieid- baikeit zu veieineii, Aehnliohes gilt von der Zeit. Daher meiiit wolil Hohbea,*) dass die Gleichlieit der Einheiten anders als durch Theilnng des Continuuina entstehe, könne kaum gedacht werden. Thomae**) sagt: „Stellt man eine Menge von Individuen oder Einheiten im Räume vor und zählt man sie successive. wozn Zeit erforderlich ist. so bleibt bei aller Abstraction als unterscheidendes Merkmal der Ein- heiten noch ihre verschiedene Stellung im Räume und ihre verschiedene Aufeinanderfolge in der Zeit übrig."
Zunächst erhebt sich das Bedenken gegen eine solche Auffassungs weise, dass dann das Zählbare auf das Räumliche und Zeitliche beschränkt wäre. Schon Leibniz***) weist die Meinung der Scholastiker zurück, die Zahl entstehe aus der blossen Theilnng des Continuums und könne nicht auf unkörperliche Dinge angewandt werden. Baumann f) betont die Unabhängigkeit von Zahl und Zeit. Der Begriff der Einheit sei auch ohne die Zeit denkbar. St. Jevonaff) sagt: „Drei Münzen sind drei Münzen, ob wir sie nun nach einander zählen oder sie alle zugleich betrachten. In vielen Fällen ist weder Zeit noch Raum der Grund des Unterschiedes, sondern allein Qualität. Wir können Gewicht, Trägheit und Härte des Goldes als diei Eigenschaften auffassen, ob- gleich keine von diesen vor noch nach der andern ist weder im Raum noch in der Zeit. Jedes Mittel der Unterscheidung kann eine Quelle der Vielheit sein." Ich füge hinzu: wenn die gezählten Gegenstände nicht wirklich auf einander folgen, sondern nur nach einander gezählt werden, so kann die Zeit nicht der Grund dei' Unterscheidung sein. Denn, um sie nach einander zählen zu können, müssen wir schon **) Elementare Theorie ilei' aiialjt. Functionen, S. 1. t) The Prinoiples of Science, S, 15T.
58 anterscileidende Kennzeichen haben. Die Zeit ist nur ein psychologisches Erforderniss zum Zählen, hat aber mit dem Begriffe der Zahl nichts za thun. Wenn man unräumliche und unzeitliche Gegenstände durch Raum - oder Zeitpunkte vertreten lässt, so kann dies vielleicht für die Ausfuhrung der Zählung vortheilhaft sein; grundsätzlich wird aber dabei die Anwendbarkeit des Zahlbegriffes auf Unräumliches und Unzeitliches vorausgesetzt.