Wenn man sich das gedruckte Wort „Gold" vorstellt, wird man zunächst an keine Zahl dabei danken. Fragt man sich nun, aus wieviel Buchstaben es bestehe, so ergiebt sich Zahl 4; aber die Vorstellung wird dadurch nicht etwa slimmt^r, sondern kann ganz unverändert bleiben. Der hinzu-^ tretende Begriff „Buchstabe des Wortes Gold" ist eben das. woran wii- die Zahl entdecken. Bei den vier Äugen eines Würfels ist die Sache etwas versteckter, weil der Begriff sich uns durch die Aehnlichkeit der Augen so unmittelbar aufdrängt, dass wii' sein Dazwischentreten kaum bemerken. Die Zahl kann weder als selbständiger Gegenstand noch als Eigenschaft an einem äussern Dinge vorgestellt werden, weil sie weder etwas Sinnliches noch Eigenschaft, eines äussern Dinges ist. Am deutlichsten ist die Sache wohl bei der Zahl 0. Man wird vergebens versuchen, sich sicht- bare Sterne vorzustellen. Zwar kann man sich den Himmel ganz mit Wolken überzogen denken; aber hierin ist nicht was dem Worte „Stern" oder der entspräche. Man sl sich nur eine Sachlage vor, die zu dem Urtheile veranlassi kann: es ist jetzt kein Stern zu sehen.
§ 59, Jedes Wort erweckt vielleicht irgendeine Vi Stellung in uns, sogar ein solches wie „nur"; aber sie braue] nicht dem Inhalte des Wortes zu entsprechen; sie kann in andein Menschen eine ganz andere sein. Man wird sich dann wohl eine Sachlage vorstellen, die zu einem Satze auf- fordert, in welchem das Wort vorkommt; oder es ruft etwa das gesprochene Wort das geschriebene ins Gedächtniss zurück.
Dies findet nicht nur bei Partikeln statt. Es nnl liegt wohl keinem Zweifel, dass wir keine Vorstellung unsi Entfernung von der Sonne haben. Denn, wenn wir auch die Regel kenuen, wie oft wir eiuen Maasstab vervielfältigen müssen, so misslingt doch jeder Versuch, nach dieser Regel uns ein Bild zu entwerfen, das auch nur einigermaassen dei Gewollten nahe kommt. Das ist aber kein Grund, die Riel^ iZU-^^M ichtimel^^^ ;ht^^H ucht^^^ 'dl 71 tigkeit der Rechnung zu bezweifeln, durch welche die Ent- fernung gefunden ist, und hindert uns in keiner Weise, weitere Schlüsse auf das Bestehen dieser Entfernung zu gründen.
§ 60. Selbst ein so coucretes Ding wie die Erde können wir uns nicht so vorstellen, wie wir erkannt haben, dass es ist; sondern wir begnügen uns mit einer Kugel von massiger Grösse, die uns als Zeichen für die Erde gilt; aber wir wissen, dass diese sehr davon verschieden ist. Obwohl nun unsere Vorstellung das Gewollte oft gar nicht trifft, so urtheilen wir doch mit grosser Sicherheit über einen Gegenstand wie die Erde auch da, wo die Grösse in Betracht kommt.
Wir werden durch das Denken gar oft über das Ver- stellbare hinausgeführt, ohne damit die Unterlage für unsere Schlüsse zu verlieren. Wenn auch, wie es scheint, uns Menschen Denken ohne Vorstellupgen unmöglich ist, so kann doch deren Zusammenhang mit dem Gedachten ganz ausser- lieh, willkOhrlich und conventioneil sein.
Es ist also die ünvorstellbarkeit des Inhaltes eines Wortes kein Grund, ihm jede Bedeutung abzusprechen oder es vom Gebrauche auszuschliessen. Der Schein des G^gen- theils entsteht wohl dadurch, dass wir die Wörter vereinzelt betrachten und nach ihrer Bedeutung fragen, für welche wir dann eine Vorstellung nehmen. So scheint ein Wort keinen Inhalt zu haben, für welches uns ein entsprechendes inneres Bild fehlt. Man muss aber immer einen vollständigen Satz ins Auge fassen. Nur in ihm haben die Wörter eigentlich eine Bedeutung. Die innem Bilder, die uns dabei etwa vorschweben, brauchen nicht den logischen Bestand- theilen des tJrtheils zu entsprechen. Es genügt, wenn der Satz als Ganzes einen Sinn hat; dadurch erhalten auch seine Theile ihren Inhalt.
Diese Bemerkung scheint mir geeignet, auf manche 79 schwierige Begriffe wie den des Unendlichkleinen*) ein Lid zu werfen, und ihre Tragweite beschränkt sich wohl niöW?'- aiif die Mathematik.
Die Selbständigkeit, die ich für die Zahl in Anspruch nelinie, soll nicht bedeuten, dass ein Zahlwort ausser dem Zusammenhange eines Satzes etwas bezeichne, sondern ich will damit nur dessen Gebrauch als Praedicat oder Attribut ausschliessen, wodurch seine Bedeutung etwas verändert wird.
§ 61. Aber, wendet man vielleicht ein, mag auch die Erde eigentlich unvorstellbar sein, so ist sie doch ein äusseres Ding, das einen bestimmten Ort hat; aber wo ist die Zahl 4? sie ist weder ausser uns noch in uns. Das ist in räumlichem Sinne verstanden richtig. Eine Ortsbestimmung der Zahl 4 hat keinen Sinn; aber daraus folgt nur, dass sie kein räum- licher Gegenstand ist, nicht, dass sie überhaupt keiner ist. Nicht jeder Gegenstand ist irgendwo. Auch unsere Vor- stellungen**) sind in diesem Sinne nicht in uns (subcutan). Da sind Ganglienzellen, Blutkörperchen und dergl., aber keine Vorstellungen. Känmliche Praedicate sind auf sie nicht anwendbar: die eibe ist weder rechts noch links von der andern; Vorstellungen haben keine in Millimetern angebbaren Entfernungen von einander. Wenn wir sie dennoch in uns nennen, so wollen wir sie damit als subjectiv bezeichnen.
Aber wenn auch das Subjective keinen Ort hat, wie ist es möglich, dass die objective Zahl 4 nirgendwo sei? Nun ich behaupte, däss darin gar kein Widerspruch liegt. Sie ist in der That genau dieselbe fllr jeden, der sich mit ihr beschäftigt; aber dies hat mit Räumlichkeit nichts zu schaffen. Nicht jeder objective Gegenstand hat einen Ort.
*) Es kommt ilarauf an. den Sinn einer Gleichung wie ri f (i) = g (s)dx zu defiuiren, nicht aber darauf, eine von zwei verschiedenen Pai begrenzte Strecke Bufzuweisen, deren Länge ds wäre.
**) Dies Wort rein pBjchologiach, nicht psycliophy siech verBtandMJ 78 um den Begriff der Anzahl zn gewinnen, mnss man den Sinn einer Zahlengleichung feststellen.
§ 62. Wie soll uns denn eine Zahl gegeben sein, wenn wir keine Vorstellung oder Anschauung von ihr haben können? Nur im Zusammenhange eines Satzes bedeuten die Wörter etwas. Es wird also darauf ankommen, den Sinn eines Satzes zu erklären, in dem ein Zahlwort vorkommt. Das giebt zunächst noch viel der Willkühr anheim. Aber wit haben schon festgestellt, dass unter den Zahlwörtern selb- ständige Gegenstäude zu verstehen sind. Damit ist uns eine Gattung von Sätzen gegeben, die einen Sinn haben müssen, der Sätze, welche ein Wiedererkennen ausdrücken. Wenn uns das Zeichen a einen Gegenstand bezeichnen soll, so müssen wir ein Kennzeicheu haben, welches überall ent- scheidet, ob b dasselbe sei wie a, wenn es auch nicht immer in unserer Macht steht, dies Kennzeichen anzuwenden. In unserm Falle müssen wir den Sinn des Satzes „die Zahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist dieselbe, welche dem Begriffe G zukommt" erklären; d. h. wir müssen den Inhalt dieses Satzes in an- derer Weise wiedergeben, ohne den Ausdruck „die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt" zu gebrauchen. Damit geben wir ein allgemeines Kenn- zeichen für die Gleichheit von Zahlen an. Nachdem wir so ein Mittel erlangt haben, eine bestimmte Zahl zu fassen und als dieselbe wiederzuerkennen, können wir ihr ein Zahlwort zum Eigennamen geben.
§ 63. Ein solches Mittel nennt schon Hume"**): „Wenn zwei Zahlen so combinirt werden, dass die eine immer eine Einheit hat, die jeder Einheit der andern entspricht, so geben wir sie als gleich an.'' Es scheint in neuerer Zeit die 74 Meinung unter den Mathematikern*) vielfach Anklang funden zu haben, dass die Gleichheit der Zahlen mittels di eindeutigen Zuordnung definirt werden müsse. Aber es ei heben sich zunächst logische Bedenken und Sehwierigkeitei an denen wir nicht ohne Prüfung vorbeigehen dürfen, Das Verhältniss der Gleichheit kommt nicht nur bi Zahlen vor. Daraus scheint zu folgen, dass es nicht diesen Fall besonders erklärt werden darf. Man solH denken, dass der Begriff der Gleichheit schon vorher ft stände, und dass dann aus ihm und dem Begriffe der Anzi sich ergeben milsste, wann Anzahlen einander gleich wären, ohne dass es dazu noch einer besnndern Definition bedürfte. Hiergegen ist zu bemerken, dass für uns der Begriff der Anzahl noch nicht feststeht, sondern erst mittels unserer Erklärung bestimmt werden soll. Unsere Absicht ist, den Inhalt eines ürlheils zu bilden, der sich so als eine Gleichung auffassen lässt, dass jede Seite dieser Gleichung eine Zahl ist. Wir wollen also nicht die Gleichheit eigens für diesen Fall erklären, sondern mittels des schon bekannten Begriffes der Gleichheit, das gewinnen, was als gleich zh betrachten ist. Das scheint freilich eine sehr ungewöhnliche Art der Definition za sein, welche wohl von den Logikern noch nicl genügend beachtet ist; dass sie aber nicht unerhört ii mögen einige Beispiele zeigen § 64. Das Urtheil: „die Gerade a ist parallel dt Gerade b," in Zeichen: kann als Gleichung aufgefasst werden. Wenn wir dies thun, erhalten wir den Begriff der Richtung und sagen: „die Richtung der Gerade a ist gleich der Richtung der Gerade b".
Leu 1er I un. I *) Tergl. E. Schröder a. b. 0. S. 7 unil 8. E. Kosaak, die Elcmen der Arithmetik, Prograuim des Friedriohs-Wetder'sclieu Ufmnaaiai^ Berlin, 187'J. S. lli. G. Cautor, Grundlagen einer allgemeiaen Hanni faltigkeitslehre. Leifäg, 1»83.
75 75 Wir ersetzen also dafi Zeichen // durch das allgemeinere =, indem wir den besondem Inhalt des ersteren an a und b yertheilen. Wir zerspalten den Inhalt in anderer als der ursprünglichen Weise und gewinnen dadurch einen neuen Begriff. Oft fasst man freilich die Sache umgekehrt auf, und manche Lehrer definiren: parallele Greraden sind solche von gleicher Richtung. Der Satz: „wenn zwei Geraden einer dritten parallel sind, so sind sie einander parallel'^ lässt sich dann mit Berufung auf den ähnlich lautenden Gleichheitssatz sehr bequem beweisen. Nur schade, dass der wahre Sach- verhalt damit auf den Kopf gestellt wird! Denn alles Geo- metrische muss doch wohl ursprünglich anschaulich sein. Nun frage ich, ob jemand eine Anschauung von der Richtung einer Gerade hat. Von der Gerade wohl! aber unterscheidet man in der Anschauung von dieser Gerade noch ihre Richtung? Schwerlich! Dieser Begriff wird erst durch eine an die An- schauung anknüpfende geistige Tbätigkeit gefunden. Dagegen hat man eine Vorstellung von parallelen Geraden. Jener Beweis kommt nur durch eine Erschleichung zu Stande, in- dem man durch den Gebrauch des Wortes „Richtung'' das zu Beweisende voraussetzt; denn wäre der Satz: „wenn zwei Geraden einer dritten parallel sind, so sind sie einander parallel' unrichtig, so könnte man a // b nicht in eine Gleichung v^wandeln.
So kajin man aus dem Parallelismus von Ebenen einen Begriff erhalten, der dem der Richtung bei Geraden ent- spricht. Ich habe dafür den Kamen „Stellung^' gelesen. Aus der geometrischen Aehnlichkeit geht der Begriff der Gestalt hervor, so dass man z. B. statt „die beiden Drei- ecke sind ähnlich^' sagt: „die beiden Dreiecke haben gleiche Gestalt'^ oder „die Gestalt des einen Dreiecks ist gleich der Gestalt des andern'^ So kann man auch aus der col- linearen Verwandtschaft geometrischer Gebilde einen Begriff gewinnen^ für den ein Name wohl noch fehlt.
% 65. Um nun z. B. vom Parallelismus *) auf den Be- griff der Richtung zu kommen, versuchen wir folgende Def nition: der Satz „die Gerade a ist parallel der Gerade b" sei gleichbedeutend mit „die Biehtung der Gerade a i-<t gleich der Richtung der Gerade b". Diese Erklärung weicht insofern von dem Gewohnte? ab, als sie scheinbar die schon bekannte Beziehung der Gleichheit bestimmt, während sie in Wnhi-heit den Ausdruck „die Richtung der Geiade a" einfuhren soll, der nur neben- sächlich vorkommt Daraus entspringt ein zweites Bedenken, ob wir nicht durch eine solche Festsetzung in Widersprüche mit den bekannten Gesetzen der Gleichheit verwickelt werden könnten. Welches sind diese? Sie werden als analytische Wahrheiten aus dem Bepiffe selbst entwickelt wen können. Nun definirt Leibniz**): „Eadem sunt, quorum unum potest substitui alten salva veritaie". Diese Erklärung eigne ich mir für die Gleichheit an. Ob man wie Leibniz,,da8selbe" sagt oder,.gleich", ist uner- heblich. „Dasselbe" scheint zwar eine vollkommene Ueber- einstimmung, „gleich" nur eine in dieser oder jener Hinsicht auszudrucken; man kann aber eine solche Redeweise an- nehmen, dasB dieser Unterschied wegfällt, indem man z. B. statt,,die Strecken sind in der Länge gleich" sagt „die Länge der Strecken ist gleich" oder „dieselbe," statt „die Flächen sind in der Farbe gleich" „die Farbe der Flächen ist gleich". Und so haben wir das Wort oben in den deiche •) Um mich beqnemer ansdrücken zu können und leichter »er- standen EU werden, spreche ich hier vom FaralletiBmua. Dtu Wesentliche dieser Erörterungen wird leicht auf den Fall der Zahlengleichheit über- tragen werden kSuneu.
**) Neu ineleguiB a^ieuimen demonstrandi in abatractis. Erdm. S. Bl.
77 Beispielen gebrancht. In der allgemeinen Ersetzbarkeit sind nnn in der That alle Gesetze der Gleichheit enthalten.
Um unsern Definitionsyersuch der Richtung einer Ge- rade zu rechtfertigen, mBssten wir also zeigen, dass man die Sichtung von a überall durch die Richtung von b ersetzen könne, wenn die Gerade a der Gerade b parallel ist. Dies wird dadurch vereinfacht, dass man zunächst von der Richtung einer Gerade keine andere Aussage kennt als die XJeb<»reinstimmung mit der Richtung einer andern Gerade. Wir brauchten also nur die Ersetzbarkeit in einer solchen Gleichheit nachzuweisen oder in Inhalten, welche solche Gleichheiten als Bestandtheile*) enthalten würden. Alle andern Aussagen von Richtungen müssten erst erklärt werden und fUr diese Definitionen können wir die Regel aufstellen, dass die Ersetzbarkeit der Richtung einer Gerade durch die einer ihr parallelen gewahrt bleiben muss.
§ 66. Aber noch ein drittes Bedenken erhebt sich gegen unsern Definitionsversuch. In dem Satze „die Richtung von a ist gleich der Richtung von b" erscheint die Richtung von a als Gegenstand**) und wir haben in unserer Definition ein Mittel, diesen Gegenstand wiederzuerkennen, wenn er etwa in einer andern Verkleidung etwa als Richtung von b auftreten sollte. Aber dies Mittel *) In einem hypothetischen Urtheile könnte z. B. eine Gleichheit Yon Richtungen als Bedingung oder Folge Yorkommen.
**) Der bestimmte Artikel deutet dies an. Begriff ist für mich ein mögliches Praedicat eines singulären beurtheilbaren Inhalts, Gegenstand ein mögUches Subject eines solchen. Wenn wir in dem Satze „die Richtung der Femrohraxe ist gleich der Richtung der Erdaze^* die Richtung der Femrohraxe als Subject ansehen, so ist.das Praedicat »gleich der Richtung der Erdaxe"". Dies ist ein Begriff. Aber die Richtung der Erdaxe ist nur ein Theil des Praedicates; sie ist ein Gegenstand, da sie auch zum Subjecte gemacht werden kann.
80 der Umfang*) des Begriffes „gleichzahlig dem Be- . griffe P" § 69. Dass diese Erklärung zutreffe, wird zunächst vielleicht wenig einleuchten. Denkt man sich unter dem Umfange eines Begriffes nicht etwas Anderes? Was man sich darunter denkt, erhellt aus den ursprünglichen Aussagen, die von Begriffsumfängen gemacht werden können. Es sind folgende: 1. die Gleichheit, 2. dass der eine umfassender als der andere sei. Nun ist der Satz: der Umfang des Begriffes „gleichzahlig dem Begiiffe F" ist gleich dem Umfange des Begriffes „gleich- zahlig dem Begriffe G" immer dann und nur dann wahr, wenn auch der Satz „dem Begriffe P kommt dieselbe Zahl wie dem Be- griffe G zu" wahr ist- Hier ist also voller Einklang.
Man sagt zwar nicht, dass eine Zahl umfassender als eine andere sei in dem Sinne, wie der Umfang eines Begriffes umfassender als der eines andern ißt; aber der Fall, dass der Umfang des Begriffes „gleichzahlig dem Be- griffe F" umfassender sei als ♦) Ich glaube, dass für „Umfaiiif des Begriflfes* einfach „Begriff" gesagt werden könnte. Aber man würde zweierlei einwenden: 1. dies stehe im Widerspruche mit meiner früheren Behauptung dass die einzelne Zahl ein Gegenstand sei, was durch den bestimmten Artikel in Ausdrücken wie „die Zwei*" und durch die Unmöglichkeit angedeutet werde, von Einsen, Zweien u. s. w. im Plural zu sprechen, sowie dadurch, dass die Zahl nur einen Theil des Praedicats der Zahl- angabe ausmache; 2. dass Begriffe von gleichem Umfange sein können, ohne zu- sammenzufallen.
Ich bin nun zwar der Meinung, dass beide Einwände gehoben werden können;. aber das i^öchte hier zu weit führen. Ich setze voraus, dass man wisse, was der Umfang eines Begriffes sei.
der UmfaDg des Begriffes „gleiclizahli^ dorn SegriffiQ Q^^ kann auch gar nicht yorkommen; sondern, wenn alle Se(;r|f9, die dem G gleichzahlig sind, auch dem F gleichzahlig siQ4, so sind auch umgekehrt alle Begriffe, die dem F gleich^^hUg sind, dem G gleichzahlig. Dies „umfassender'^ darf natUrUch nicht mit dem „grösser" verwechselt werden, dass bei Zahlen vorkommt.
Freilich ist noch der Fall denkbar, dass der Umfang des Begriffes „gleichzahlig dem Begriffe F^' umfassender oder weniger umfassend wäre als ein anderer Begriffsumfanj^, der dann nach unserer Erklärung keine Anzahl sein könnte; und es ist nicht Üblich, eine Anzahl umfassender oder wenig^er umfassend als den Umfang eines Begriffes zu nennen; aber es steht auch nichts im Wege, eine solche Redeweise anzu- nehmen, falls solches einmal vorkommen sollte.
Ergänzung und Bewährung unserer Definition.
§ 70. Definitionen bewähren sich durch ihre Frucht- barkeit. Solche, die ebensogut wegbleiben könnten, ohne eine Lficke in der Beweisführung zu öffnen, sind als völlig werthlos zu verwerfen.
Versuchen wir also, ob sich bekannte Eigenschaften der Zahlen aus unserer Erklärung der Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ableiten lassen! Wir werden uns hier mit den einfachsten begnügen.
Dazu ist es nöthig, die Gleicbzahligkeit noch etwa? genauer zu fassen. Wir erklärten sie mittels der beiderseits eindeutigen Zuordnung, und wie ich diesen Ausdruck ver- stehen will, ist jetzt darzulegen, weil man leicht etwas Anschauliches darin vermuthen könnte.
Betrachten wir folgendes Beispiel! Wenn ein Kellner sicher sein will, dass er ebensoviele Messer als Teller auf den Tisch legt, braucht er weder diese noch jene zu zählen, 6 wenn er nnr rechts neben jeden Teller ein Messer legt, dasB jedes Messer auf dem Tische sich rechts neben einet»' Teller befindet. Die Teller und Messer sind so beiderseits eindeutig einander zugeordnet und zwar durch das gleiche Lagenverhältniss, Wenn wir in dem Satze „a Hegt rechts neben A" für a und A andere und andere Gegenstände eingesetzt denken, so macht der hierbei unverändert bleibende Theil des Inhalts das Wesen der Beziehung aus. Verallgemeinern wir dies!
Indem wir von einem beurtheilbaren Inhalte, der von einem Gegenstande a und von einem Gegenstände b handelt, a und b absondern, so behalten wir einen Beziehungsbegriff übrig, der demnach in doppelter Weise ergänzungsbedüifiig ist. Wenn wir in dem Satze; „die Erde hat mehr Masse als der Mond" ,,die Erde" absondern, so erhalten wir den Begriff „mehr Masse als der Mond habend". Wenn wir dagegen den Gegenstand,,der Mond" absondern, gewinnen wir den Begriif „weniger Masse als die Erde habend". Sondern wir beide zugleich ab, so bleibt ein Beziehungsbegriff zurück, der für sich allein ebensowenig wie ein einfacher Begriff einen Sinn hat: er verlangt immer eiue Ergänzung zu einem beurtheil- baren Inhalte. Aber diese kann in verschiedener Weise geschehen: statt Erde und Mond kann ich x. B. Sonne und Erde setzen, und hierdurch wird eben die Ab^ondei'ung bewirkt.
Die einzelnen Paare zugeordneter Gegenstände halten sich in ähnlicher Weise — man könnte sagen Subjecte — zu dem Beziehungsbegriffe, wie der einzelne Gegeostand zu dem Begriffe, unter den er fällt. Das Sub- ject ist hier ein zusammengesetztes. Znweilen, wenn die Beziehung eine umkehrbare ist, kommt dies auch sprachlich zum Ausdrucke wie in dem Satze „Pdeus und Thetis waren ana iin^i 8S ana iin^i 8S die Eltern des Achilleus^^*). Dagegen wäre es z. B. nicht gut möglich, den Inhalt des Satzes,,die Erde ist grösser als der Mond^' so wiederzugeben, dass,,die Erde und der Mond'^ als zusammengesetztes Subject erschiene, weil das „und^ immer eine gewisse Gleichstellung andeutet. Aber dies thut nichts zur Sache.
Der Beziehungsbegriff gehört also wie der einfache der reinen Logik an. Es kommt hier nicht der besondere Inhalt der Beziehung in Betracht, sondern allein die logische Form. Und was von dieser ausgesagt werden kann, dessen Wahr- heit ist analytisch und wird a priori erkannt. Dies gilt von den Beziehungsbegriffen wie von den andern. Wie „a fällt unter den Begriff F" die allgemeine Form eines beurtheilbaren Inhalts ist, der von einem Gegenstande a handelt, so kann man „a steht in der Beziehung f? zu b^' als allgemeine Form für einen beurtheilbaren Inhalt an- nehmen, der von dem Gegenstande a und von dem Gegen- stande b handelt.
§ 71. Wenn nun jeder Gegenstand, der unter den Begriff F fällt, in der Beziehung (p zu einem unter den Begriff G fallenden Gegenstande steht, und wenn zu jedem Gegenstande, der unter G fällt, ein unter F fallender Ge- genstand in der Beziehung tp.^teht, so sind die unter F und G fallenden Gegenstände durch die Beziehung (p ein- ander zugeordnet.
Es kann noch gefragt werden, was der Ausdruck „jeder Gegenstand, der unter F fällt, steht in der Beziehung ^ zu einem unter G fallenden Gegenstände^^ bedeute, wenn gar kein Gegenstand unter F fällt. Ich ver- stehe darunter: *) Hiermit iät der Fall nicht zu yerwechseln, wo das „und*" nur scheinbar die Sabjecie, in Wahrheit aber zwei Sätze verbindet.
6* 84 die beiden Sätze „a fällt unter F" und „a steht zu keinem unter G fallenden Gegenstande in der Beziehung p^' können nicht mit einander bestehen, was auch a bezeichne, sodass entweder der erste oder der zweite oder beide falsch sind. Hieraus geht hervor, dass „jeder Gegenstand, der unter F fällt, in der Beziehung (p zu einem unter G fal- lenden Gegenstande steht,'' wenn es keinen unter P fallenden Gegenstand giebt, weil dann der erste Satz „a fällt unter F*' immer zu verneinen ist, was auch a sein mag. Ebenso bedeutet „zu jedem Gegenstande, der unter G fällt, steht ein unter F fallender in der Beziehung (p^\ dass die beiden Sätze „a fällt unter G" und „kein unter F fallender Gegenstand steht zu a in der Beziehung j^" nicht mit einander bestehen können, was auch a sein möge.
§ 72. Wir haben nun gesehen, wann die unter die Begriffe F und G fallenden Gegenstände einander durch die Beziehung ip zugeordnet sind. Hier soll nun diese Zuordnung eine beiderseits eindeutige sein. Darunter verstehe ich, dass folgende beiden Sätze gelten: 1. wenn d in der Beziehung j^ zu a steht, und wenn d in der Beziehung f' zu e steht, so ist allgemein, was auch d, a und e sein mögen, a dasselbe wie e; 2. wenn d in der Beziehung f' zu a steht, und wenn b, in der Beziehung ^ zu a steht, so ist allgemein, was auch d, b und a sein mögen, d ^dasselbe wie b. Hiermit haben wir die beiderseits eindeutige Zuordnung^ 86 auf reiD logische Verhältnisse zurückgeführt und können nun so definiren: der Ausdruck „der Begriff F ist gleichzahlig dem Begriffe G" sei gleichbedeutend mit dem Ausdrucke „es giebt eine Beziehung p, welche die unter den Begriff F fallenden Gegenstände den i^nter G fal- lenden Gegenständen beiderseits eindeutig zuordnet'^ Ich wiederhole: die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang des Begriffes „gldchzahlig dem Be- giiffe F" und füge hinzu: der Ausdruck „n ist eine Anzahl'* sei gleichbedeutend mit dem Ausdrucke „es giebt einen Begriff der Art, dass n die Anzahl ist, welche ihm zukommt". So ist der Begriff der Anzahl erklärt, scheinbar freilich durch sich selbst, aber dennoch ohne Fehler, weil „die An- zahl, welche dem Begriffe F zukommt" schon erklärt ist.
§ 73. Wir wollen nun zunächst zeigen, dass die An- zahl, welche dem Begriffe F zukommt, gleich der Anzahl ist, welche dem Begriffe G zukommt, wenn der Begriff F dem Begriffe G gleichzahlig ist. Dies klingt freilich wie eine Tautologie, ist es aber nicht, da die Bedeutung des Wortes „gleichzahlig" nicht aus der Zusammensetzung, sondern aus der eben gegebenen Erklärung hervorgeht.
Nach unserer Definition ist zu zeigen, dass der Um- fang des Begriffes „gleichzahlig dem Begriffe F" derselbe ist wie der Umfang des Begriffes „gleichzahlig dem Begriffe G", wenn der Begriff F gleichzahlig dem Begriffe G ist. Mit andern Worten: es muss bewiesen werden, dass unter dieser Voraussetzung die Sätze allgemein gelten: wenn der Begriff H gleichzahlig dem Begriffe F ist, so ist er auch gleichzahlig dem Begriffe G; und wenn der Begriff H dem Begriffe 6 gleichzahlig i so ist er auch gleichzahlig dem Begriffe F. Der erste Satz kommt darauf hinaus, dass Beziehung giebt, welche die unter den Begriff H fallenden Gegenstände den unter den Begriff G ialietiden beiderseits eindeutig zuordnet, wenn es eine Beziehung tp giebt, welche die unter den Begriff F fallenden Gegenstände den unter den Begriff G fallenden beiderseits eindeutig zuordnet, und wenn es eine Beziehung 4' giebt, welche die unter den Be- griff H fallenden Gegenstände den unter den Begriff F fal- lenden beiderseits eindeutig zuordnet. Folgende Anordnam der Buchstaben wird dies übersichtlicher machen: H i& F p G. Eine solche Beziehung kann in der Tbat angegel werden; sie liegt in dem Inhalte „es giebt einen Gegenstand, zu dem c in der Be- ziehung <p steht, und der zu b in der Beziehung if steht," wenn wir davon c und b absondern (als Beziehungspunkte betrachten). Man kann zeigen, dass diese Beziehung eine beiderseits eindeutige ist, und dass sie die unter den Begriff H fallenden Gegenstände den unter den Begriff G fallenden zuordnet.
In ähnlii'her Weise kann auch der andere Satz bewiesen werden*). Diese Andeutungen werden hoffentlich genügend erkennen lassen, dass wir hierbei keinen Beweisgmnd der Anschauung zu enlnehmen brauchen, und dass sich mitunsern Definitionen etwas machen lässt.
§ 74, Wir können nun zu den Erklärungen der zelnen Zahlen iibergehn.
•) Desgleichen die Umkehriing: Wenn die Zahl, irelcbe dein Begriffs F zukommt, dieselbe iat wie die, welche dem Begriffe G zukommt, ho ist der Begriff F dem Begriffe O gleichzablig.
87 Weil unter den Begriff „sich selbst ungleich'^ nichts fällt, erkläre ich: ist die Anzahl, welche dem Begriffe,,sich selbst nngleich^^ zukommt.
Vielleicht nimmt man daran Anstoss, dass ich hier von einem Begriffe spreche. Man wendet vielleicht ein, dass ein Widerspruch darin enthalten sei, und erinnert an die alten Bekannten das bölzeme Eisen und den viereckigen Kreis. Nun ich meine, dass die gar nicht so schlimm sind, wie sie gemacht werdet^ Zwar nützlich werden sie grad nicht sein; aber schaden können sie auch nichts, wenn man nur nicht voraussetzt, dass etwas unter sie falle; und das thut man durch den blossen Gebrauch der Begriffe noch nicht. Dass ein Begriff einen Widerspruch enthalte, ist nicht immer so offensichtlich, dass es keiner Untersuchung bedürfte; dazu muss man ihn erst haben und logisch ebenso wie jeden andern behandeln. Alles was von Seiten der Logik und für die Strenge der Beweisführung von einem Begriffe verlangt werden kann^ ist seine scharfe Begrenzung, dass für jeden Gegenstand bestimmt sei, ob er unter ihn falle oder nicht. Dieser Anforderung genügen nun die einen Widerspruch enthaltenden Begriffe wie „sich selbst ungleich^' durchaus; denn man weiss von jedem Gegenstande, dass er nicht unter einen solchen fällt'*').
Ich brauche das Wort „Begriff" in der Weise, dass „a fällt unter den Begriff F" die allgemeine Form eines beurtbeilbaren Inhalts ist, der *) Ganz davon yerschieden ist die Definition eines Gegenstandes aus einem Begriffe, unter den er fällt. Der Ausdruck «der grösste ächte Bruch" hat z. B. keinen Inhalt, weil der hestimmte Artikel den Anspruch erhebt, auf einen bestimmten Gegenstand hinzuweisen. Dagegen ist der Begriff «Bruch, der kleiner als 1 und so beschaffen ist, dass kein Bruch, der kleiner als 1 ist, ihn an Grösse übertrifft* ganz unbedenklich, und um beweisen zu können, dass es keinen solchen Bruch gebe, braucht man sogar diesen Begriff, obgleich er einen Widerspruch enthält.
von einem Gegenstände a handelt und der beurtheilbar blän was man auch für a setze. Und in diesem Sinne ist .,a fällt unter den Begriff „„sich selbst ungleich"" * 1 gleichbedeutend mit „a ist sich selbst UDgleich" oder „a ist nicht gleich a".
Ich hätte zur Definition der jeden andern Begriff nehmen können, unter den nichts fallt. Es kam mir aber darauf an, einen solchen zu wählen, von dem dies rein logisch bewiesen werden kann; und dazu bietet sich am bequemsten „sich selbst ungleich" dar, wobei ich für „gleich" die vorhin angeführte Erklärung Leibnizens gelten lasse, die rein logisch ist.
§ 75. Es muss sicli nun mittels der früheren Fest- setzungen beweisen lassen, dass jeder Begriff, unter den nichts fällt, gleichzahlig mit jedem Begriffe ist, unter den nichts fällt, und nur mit einem solchen, woraus folgt, dass die Anzahl ist, welche einem solchen Begriffe zukommt, und dass kein Gegenstand unter einen Begriff fällt, wenn die Zahl, welche diesem zukommt, die ist.
Nehmen wir an, weder unter den Begriff F noch unter den Begriff G falle ein Gegenstand, su haben wir, um die GleJchzahligkeit zu beweisen, eine Beziehung ip nöthig, von der die Sätze gelten: jeder Gegenstand, der unter P fällt, steht in der Be- ziehung f zu einem Gegenstande, der unter G fS.Ut; zu jedem Gegenstände, der unter G fällt, steht ein unter F fallender in der Beziehung ip.
Wenn man aher duri;li diesen Begriff einen Gegenal-and bestimmen wollte, der uiit«r ihn filU., wäre es allerdings nüthig, zweierlei Türher zh zeigen: 1. dass unter diesen BegrifT ein Gegenstand falle: 2. dass nur ein einziger Gpgenatand unter ihu falle. Da nnn schon der erste dieser Sätze falacb ist, so ist dei Ansdf .der grosste ächte Brach" sinnlos.
M Nach d^m, was Mher ftber die Bed^ntlitil: ^«s«f Aftlr- ärücke ^es^ M, erfttllt bei nnsern.Yotattsfietzungm j/tAb Beziehung diese Bedingungen, also auch di^ Oleichkelt, dife obendrein beiderseits eindeutig ist; denn es gelten die beiden oben daf&r veiiangten Sätz^.
Wenn dagegen unter G ein G^enstand fällt t. B. a, während unter F keiner fällt, so bestehen die beiden Sätze „a Mt unter G" und „kein unter F fallender Gegenstand steht zu a in der Beziehung f ^ mit einander ffir jede Beziehung f>; di^nn der erste ilst nach der ersten Voraussetzung richtig und der zweite nach der zweiten. Wenn es nämlich keinen unter F fallenden Gegen- BtaM giebt, so giebt es auch keinen solchen, der in irgend- einer Bes^iehung zu a stände. Es giebt also keine Beziehung, welche nach unserer Erklärung die unter F den unter G fallenden Gegenständen zuordnete, und demnach sind die Begriffe F und G ungleichzahlig.
§ 76. Ich will nun die Beziehung erklären, in der je zwei benachbarte Glieder der natttrlichen Zähli^ireih^ ta einander stehen. Der Satz: „es giebt einen Begriff F und einen unter ihn fal- lenden Gegenstand x der Art, daisd die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, n ist, mrii dMs die Anzahl, weldie dem Begriffe „„unter F fallend aber nicht gleich x"" zukommt, m ist" sei gleichbedeutend mit „n folgt in dei* natfirlichen Zahlenreihe unmitteSbar auf m."
Ich vermeide den Ausdruck „n ist die auf m nädieftfolgende Anzahl," weil zur Rechtfertigunj^ des biefistimnften Ariikels erst zwei Sätze bewiesen werden mässtie^'*^. Atis demselben Grnnde sage ich hier noch nicht „n = in-j- 1"; denn auch durch das Gleichheitszeichen wird (m -|- 1) als Gegenstand bezeichnet.
§ 77. Um nun auf die Zahl 1 zu kommen, müssen wir zunächst zeigen, dass es etwas giebt, was in der natür- lichen Zahlenreihe nnraittelbar auf folgt. • Betrachten wir den Begriff — oder, wenn man Heber will, das Prädicat — „gleich 0"! Unter diesen fällt die 0. Unter den Begriff „gleich aber nicht gleich 0" fällt dagegen, kein (Gegenstand, sodass die Änzabl ist, welche diesem Begriffe zukommt. Wir haben demnach einen Be- griff „gleich 0" und einen unter ilin fallenden Gegenstand 0, von denen gilt: die Änzabl, welche dem Begriffe „gleich 0" zukommt, ist gleich der Anzahl, welche dem Begriffe „gleich 0" zukommt;