Die Grundlagen der Arithmetik

An diesem Irrthum krankt die formale Theorie der Brüche, der negativen, der complexen Zahlen*). Man stellt die Forderung, dass die bekannten Rechnungsregeln für die neu einzuführenden Zahlen möglichst erhalten bleiben, und leitet daraus allgemeine Eigenschaften und Beziehungen ab. Stösst man nii'gends auf einen Widerspruch, so hält man die Einführung der neuen Zahlen füi' gerechtfertigt, als ob ein Widereprucli nicht dennoch irgendwo versteckt sein könnte, und als ob Widerspruchslosigkeit schon Existenz wäre, § 97. Dass dieser Fehler so leicht begangen wii'd, liegt wohl an einer mangelhaften Unterscheidung der Begriffe von den Gegenständen. Nichts hindert uns, den Begriff „Quadratwurzel aus — 1" zu gebrauchen; aber wir sind nicht ohne AVeiteres berechtigt, den bestimmten Artikel davor zu setzen und den Ausdruck „die Quadratwurzel aus — 1" als einen sinnvollen anzusehen. Wir können unter der Vor- aussetzung, dass i^:= — 1 sei, die Formel beweisen, durch welche der Sinus eines Vielfachen des AVinkels « durch Sinus und Cosinus von a selbst ausgedrückt wird; aber wir dürfen nicht vei-gessen, dass der Satz dann die Bedii^ung i^ — — 1 mit sich fahrt, welche wir nicht ohne Weiteres weglassen dürfen. Gäbe es gar nichts, dessen Quadrat — 1 wäre, so brauchte die Gleichung kraft unseres Beweises nicht richtig zu sein**), weil die Bedingnug i^ =; — 1 niemals erfüllt wäre, von der ihre Geltung abhängig erscheint. Es wäre so, als ob wir iu einem geometrischen Beweise eine Hilfslinie benutzt hätten, die gar nicht gezogen werden kann.

§ 98. Hankel***} flihrt zwei Arteu von Operationen, ein, die er lytische und thetische nennt, und die er duri^-^ *) Aehnlich steht es bei CnutuTü uiieudlkheii Anzahlen. **) Äiif einem andern Wege möchte sie immerhin streng bewien werden konneu.

gewisse Eigenschaften bestimmt, welche diese Operationen haben sollen. Dagegen ist nichts zu sagen, so lange man nur nicht voraussetzt, dass es solche Operationen und Gegen* stände giebt, welche deren Ergebnisse sein können*). Später*^) bezeichnet er eine thetische, vollkommen eindeutige, associ^ ative Operation durch (a + b) und die entsprechende ebenfalls vollkommen eindeutige lytische durch (a — b).. Eine solche Operation? welche? eine beliebige? dann ist dies keine De- finition von (a + b); und wenn es nun keine giebt? Wenn das Wort „Addition" noch keine Bedeutung hätte, wäre es logisch zulässig zu sagen: eine solche Operation wollen wir eine Addition nennen; aber man darf nicht sagen: eine solche Operation soll die Addition heissen und durch (a + b) be- zeichnet werden, bevor es feststeht, dass es eine und nur eine einzige giebt. Man darf nicht auf der einen Seite einer Definitionsgleichnng den unbestimmten und auf der andern den bestimmten Artikel gebrauchieu. Dann sagt E^ankel ohne Weiteres: „der Modul der Operation", ohne bewiesen zu haben, dass es einen und nur einen giebt.

§ 99. Kurz diese rein formale Theorie ist unzureichend. Das WerthvoUe an ihr ist nur dies. Man beweist, dads wenn Operationen gewisse Eigenschaften wie die Associati- vität und die Commutativität haben, gewisse Sätze von ihnen gelten. Man zeigt nun, dass die Addition und Multiplication, welche man schon kennt, die^e Eigenschaften haben^ und kann nun sofort jene Sätze von ihnen aussprechen, ohne den Beweis in jedem einzeben Falle weitläufig zu wiederholen. Erst durch diese Anwendung auf anderweitig gegebene Ope- rationen, gelangt man zu den bekannten Sätzen der Arith- metik. Keineswegs darf man aber glauben die Addition und die Multiplication auf. diesem Wege einf&hren zu können.

'*') Das thut Hankel eigentlich schon durch den Gebrauch der Gleichung 8 (c, b) ac= a.

Man giebt nur eine Anleitnn)^ fUr die Definitionen, nicht diese selbst. Man sagt: der Name „Addition" soll nni- einer thetischen, vollkommen eindeutigen, associativen Operation gegeben werden, womit diejenige, welche nnn so heissen soll, nocb gar nicht angegeben ist. Danach stände nichts im Wege, die Multipltpation Addition zu nennen und durch (a + b) zu bezeichnen, und niemand künnte mit Bestimmtheit sagen, ob 2 + 3 5 oder 6 w^e.

§ 100. Wenn wir diese rein formale Betrachtuni weise aufgeben, -so kann sich aus dem Umstände, dassgleicl zeitig mit der Einführung von neuen Zahlen die Bedeutung der Wörter „Summe" und „Prüduct" erweitert wird, ein Weg darzubieten scheinen. Man nimmt einen Gegenstand, etwa den Mond, und erklärt: der Mond mit sich selbst multiplicirt sei — 1. Dann haben wir in dem Monde eine Quadratwurzel aus — 1. Diese Erklärung scheint gestattet, weil aus der bisherigen Bedeutung der Multiplieation der Sinn eines Solchen Products noch gar nicht hervorgeht und also bei der Erweiterung dieser Bedeutung beliebig festge- setzt werden kann, Aber wir brauchen auch die Producte einer reellen Zahl mit der Quadratwurzel aus — 1. Wählen wir deshalb lieber den Zeitraum einer Secunde zu einer Quadratwurzel aus — 1 und bezeichnen ihn durch i! Dann werden wir unter 3 i den Zeitraum von 3 Secunden verstehen u. 8. w.*) Welchen Gegenstand werden wir dann etwa durch2 + 3i bezeichnen? Welche Bedeutung würde dem Pluszeichen in diesem Falle zu geben seinV Nun das musa leit I une I leit I une I *) Mit demselben Rechte könuteu wir Buch ein gewisses KlectricitSI qaautum, einen gewissen Fläeheniiihalt u. m. w. zu Quadrat wnrzelu — I walileu, mllsalen dieae verschiedenen Wuraeln dann auch aelbstver- atändlich verachieden bezeichnen. Dass man si> beliebig viele Quadrat- wurzeln aus — 1 scheinbar achatteu kann, wird weniger Yerwunderlicli, wenn man bedenkt, dass die Bedeutung der Quadratwurzel nicht Tor diesen Festsetzungen tinyeränderlich feststand, sundeiu durch •rat mitbestimmt wird.

allgemein festgesetzt werden, was freilich nicht leicht sein wird. Doch nehmen wir einmal an, dass wir allen Zeichen von der Form a + bi einen Sinn gesichert hätten, und zwar einen solchen, dass die bekannten Additionssätze gelten! Dann mnssten wir ferner festsetzen, dass allgemein sein solle, wodurch wir die Multiplication weiter bestimmen würden.

§ 101. Nun könnten wir die Formel für cos (na) beweisen, wenn wir wüssten, dass aus der Gleichheit com- plexer Zahlen die Gleichheit der reellen Theile folgt. Das müsste aus dem Sinne von a + bi hervorgehn, den wir Wer als vorhanden angenommen haben. Der Beweis würde nur für den Sinn der complexen Zahlen, ihrer Summen undPro- ducte gelten, den wir festgesetzt haben. Da nun für ganzes reelles n und reelles a i gar nicht mehr in der Gleichung vorkommt, so ist man versucht zu schliessen: also ist es ganz gleichgiltig, ob i eine Secunde, ein Millimeter oder was sonst bedeutet, wenn nur unsere Additions- und Multi- plicationssätze gelten; auf die allein kommt es an; um das Uebrige brauchen wir uns nicht zu kümmern. Vielleicht kann man die Bedeutung von a + bi, von Summe und Pro- duct in verschiedener Weise so festsetzen, dass jene Sätze bestehen bleiben; aber es ist nicht gleichgiltig, ob man über- haupt einen solchen Sinn für diese Ausdrücke finden kann.

§ 102. Man thut oft so, als ob die blosse Forderung schon ihre Erfüllung wäre. Man fordert, dass die Subtrac- tion*', die Division, die Radicirung immer ausführbar seien, und glaubt damit genug gethan zu haben. Warum fordert man nicht auch, dass durch beliebige drei Punkte eine Gerade gezogen werde? Warum fordert man nicht, dass für ein dreidimensionales complexes Zahlensystem sämmtliche Additions- und Multiplicationssätze gelten wie für ein reelles? AVeil diese Forderung einen Widerspruch entliält. Ei so beweise man denn erat, dass jene andern Forderungen keinen Widersprueli enthalten! Elie man das gethan hat, ist alic vielerstrebte Strenge nichts als eitel Schein und Dunst.

In einem geometrischen Lehrsatze kommt die zum weise etwa gezogene Hilfslinie nicht vor. Vielleicht sii mehre möglicli z. B., wenn man einen Punkt willkührlicl wählen kann. Aber wie entbehrlich auch jede einzelne sein mag, so hängt doch die Beweiskraft daran, dass man eine Linie von der verlangten Bescliaftenheit ziehen könne. Die blosse Forderung genügt nicht. So ist es auch in unserm Falle für die Beweiskraft nicht gleichgiltig, oh „a + bi" einen Sinn hat oder blosse Druckerschwärze ist. Es reicht dazu nicht hin, zu verlangen, es solle einen Sinn haben, oder zu sagen, der Sinn sei die Summe von a und bi, wenn man nicht vorher erklärt hat, was „Summe" in diesem Falle bedeutet, und wenn man den Gebrauch des bestimmten Artikels nicht gerechtfertigt hat.

§ 103. Gegen die von nns versuchte Festsetzung des Sinnes von „i" lässt sich freilich Manches einwenden. Wir bringen dadurch etwas ganz Fremdartiges, die Zeit, in die Arithmetik. Die Secunde steht in gar keiner Innern Be- ziehung zu den reellen Zahlen. Die Sätze, welche mittels der complexen Zahlen bewiesen werden, würden Urtheile a posteriori oder doch synthetische sein, wenn es keine andere Art des Beweises gäbe, oder wenn man für i keinen andern Sinn finden könnte. Zunächst muss jedenfalls der Versuch gemacht werden, alle Salze der Arithmetik als ana- lytische nachzuweisen.

Wenn Kossak*) in Bezug auf die complexe Zahl sa| ,,Sie ist die zusammengesetzte Vorstellung von lic^^ schiedenartigen Gruppen unter einander gleicher Elemente*)", so scheint er damit die Einmischung von Fremdartigem ver- mieden zu haben; aber er scheint es auch nur infolge der Unbestimmtheit des Ausdrucks. Man erhält gar keine Ant- wort darauf, was 1 + i eigentlich bedeute: die Vorstellung eines Apfels und einer Birne oder die von Zahnweh und Podagra? Beide zugleich kann es doch nicht bedeuten, weil dann 1 + i nicht immer gleich 1 + i wäre. Man wird sagen: das kommt auf die besondere Festsetzung an. Nun, dann haben wir auch in Kossak's Satze noch gar keine Definition der complexen Zahl, sondern nur eine allgemeine Anleitung dazu. Wir brauchen aber mehr; wir müssen bestimmt wissen, was „i" bedeutet, und wenn wir nun jener Anleitung folgend sagen wollten: die Vorstellung einer Birne, so würden wir wieder etwas Fremdartiges in die Arithmetik einführen.

Das, was man die geometrische Darstellung complexer Zahlen zu nennen pflegt, hat wenigstens den Vorzug vor den bisher betrachteten Versuchen, dass dabei 1 und i nicht ganz ohne Zusammenhang und ungleichartig erscheinen sondern dass die Strecke, welche man als Darstellung von i betrachtet, in einer gesetzmässigen Beziehung zu der Strecke steht, durch welche 1 dargestellt wird. Uebrigens ist es genau genommen nicht richtig, dass hierbei 1 eine gewisse Strecke, i eine zu ihr senkrechte von gleicher Länge bedeute, sondern „ 1 '^ bedeutet überall dasselbe. Eine complexe Zahl giebt hier an, wie die Strecke, welche als ihre Darstellung gilt, aus einer gegebenen Strecke (Einheitsstrepke) durch Vervielfältigung, Theilung und Drehung**) hervorgeht. Aber auch hiernach erscheint jeder Lehrsatz, dessen Beweis sich auf die Existenz einer complexen Zahl stützen muss, von der geometrischen Anschauung abhängig und also synthetisch.

♦) Han vergleiche über den Ausdruck „Vorstellung" § 27, über die Gleichheit der Elemente §§ 34-39.

*'*') Der Einfiachheit wegen sehe ich hier vom lucommensurabeln ab.

8 lU § 104. Wodurch sollen uns (lenn nun die Brüche, die Irrationalzahlen und die complexen Zahlen gegeben werden? Wenn wir die Änschanung zu Hilfe nehmen, so führen wir etwas Fremdartiges in die Arithmetik ein; wenn wir aber nur den Begriff einer solchen Zahl durch Merkmale bestimmen, wenn wir nur verlangen, dass die Zahl gewisse Eigenschaften habe, so bürgt nichts daliir, dass auch etwas unter den Begi-iff falle und unsern Anforderungen entspreche, und d^ müssen sich grade hierauf Beweise stützen.

Nun, wie ist es denn bei der Anzahl? Dürfen wirklich von 1000 ('*" '"'") nicht reden, heTor uns nicht viele Gegenstände in der Ansehau'ing gegeben sind? Ist es so lange ein leeres Zeichen? Nein! es hat einen ganz be- stimmten Sinn, obwohl ea psychologisch schon in Anbetracht der Kürze unseres Lebens unmöglich ist, uns aoviele Gegen- stände vor das Bewusstsein zu führen*); aber trotzdem ist 1000 ("""' '°™J ein Gegenstand, dessen Eigenschaften wir er- kennen können, obgleich er nicht anschaulich ist. Man überzeugt sich davon, indem man bei der Einführung Zeichens a" für die Potenz zeigt, dass immer eine und eine positive ganze Zahl dadurch ausgedrückt wird, wenn und n positive ganze Zahlen sind. Wie dies geschehen kai würde hier zu weit fuhren, im Einzelnen darzulegen. Die Weise, wie wir im § 74 die Null, m § 77 die Eins, in § 84 die unendliche Anzahl c», erklärt haben, und die Andeutung des Beweises, dass auf jede endliehe Anzahl in der natür- lichen Zahlenreihe eine Anzahl unmittelbar folgt (§§ 82 u. 83), werden den Weg im Allgemeinen erkennen lassen.

Es wird zuletzt auch bei der Definition der Brücl complexen Zahlen u, s. w. Alles darauf ankommen, hemth eil baren Inhalt aufzusuchen, der in eine Gleichung verwandelt werden kann, deren Seiten dann eben die neuen den tlan in". I ur- *) Ein leichter Ueberacblag zeigt, das nicht hinreichen würden.

dazu Millionen Jahre lanj Zahlen sind. Mit andern Worten: wir müssen den Sinn eines Wiedererkennungsurtheils für solche Zahlen festsetzen. Dabei sind die Bedenken zu beachten, die wir (§§ 63—68) in Betreff einer solchen Umwandlung erörtert haben. Wenn wir ebenso wie dort verfahren, so werden uns die neuen Zahlen als Umfange von Begriffen gegeben.

§ 105. Aus dieser Auffassung der Zahlen*) erklärt sich, wie mir scheint, leicht der Reiz, den die Beschäftigung mit der Arithmetik und Analysis ausübt. Man könnte wohl mit Abänderung eines bekannten Satzes sagen: der eigent- liche Gegenstand der Vernunft ist die Vernunft. Wir be- schäftigen uns in der Arithmetik mit Gegenständen^ die uns nicht als etwas Fremdes von aussen durch Vermittelung der Sinne bekannt werden, sondern die unmittelbar der Vernunft gegeben sind, welche sie als ihr Eigenstes völlig durchschauen kann**).

Und doch, oder vielmehr grade daher sind diese Gegen- stände nicht subjective Hirogespinnste. Es giebt nichts Objectiveres als die arithmetischen Gesetze.

§ 106. Weifen wir noch einen kurzen Rückblick auf den Gang unserer Untersuchung! Nachdem wir festgestellt hatten, dass die Zahl weder ein Haufe von Dingen noch eine Eigenschaft eines solchen, dass sie aber auch nicht subjectives Erzeugniss seelischer Vorgänge ist; sondern dass die Zahlangabe von einem Begriffe etwas Objectives aussage, versuchten wir zunächst die einzelnen Zahlen 0, 1 u. s. w. und das Fortschreiten in der Zahlenreihe zu definiren. Der erste Versuch misslang, weil wir nur jene Aussage von *) Man könnte sie auch formal nennen. Doch ist sie ganz verschieden Yon der oben unter diesem Namen beurtheilten.

**) Ich wiU hiermit gar nicht leugnen, dass wir ohne sinnliche Eindrücke dumm wie ein Brett wären und weder Yon Zahlen noch yon sonst etwas wüssten; aber dieser psychologische Satz geht uns hier gar nichts an. Wegen der beständigen Gefahr der Vermischung zweier grundverschiedener Fragen hebe ich dies nochmals hervor.

Begriffen, nicht aber die 0, die 1 abgesondert definirt hatten, welche nur Theile von ihr sind. Dies hatte zur Folge, dass wir die Gleichheit von Zahlen nicht beweisen konnten. Es zeigte sich, dass die Zahl, mit der sich die Arithmetik be- schäftigt, nicht als ein unselbständiges Ättiibut, soudern substantivisch gefasst werden muss*). Die Zahl erschien so als wiedererkennbai'er Gegenstand, wenn auch nicht als physikalischer oder auch nur räumlicher noch als einer, von dem wir uns durch die Einbildungskraft ein Bild entwerfen können. Wii- stellten nun den Grundsatz auf, dass die Be- deutung eines Wortes nicht vereinzelt, sondern im Zusammen- bange eines Satzes zu erklären sei, durch dessen Befolgung allein, wie ich glaube, die physikalische Auffassung der Zahl vermieden werden kann, ohne in die psychologische zu ver- fallen. Es giebt nun eine Art von Sätzen, die fiü- jeden Gegenstand einen Sinn haben müssen, das sind die Wieder- erkennungsätze, bei den Zahlen Gleichungen genannt. Auch die Zablangabe, sahen wir, ist als eiue Gleichung aufzu- fassen. Es kam also darauf an, den Sinn einer Zahleu- gleithung festzustellen, ihn auszudruckeu, ohne von den Zahlwörtern oder dem AVorte „Zahl" Gebrauch zu machen. Die Möglichkeit die uuter einen Begriff F fallenden Gegen- stände, den unter einen Begrifi* G fallenden beiderseits ein- deutig zuzuordnen, eikannten wir als Inlialt eines Wieder- erkeunungsurtheils von Zahlen. Unseie Detinition musste also jene Mijgliclikeit als gleichbedeutend mit einer Zahlen- gleichung hinstellen. Wir erinnerten an ähnliche Fälle: die Definition der Richtung aus dem Parallelismus, der Gestalt ans der Aelmlichkeit u. s. w.

g 107. Es erhob sich nun die Frage: wann ist man beveihtigt, einen Inhalt als den eines Wiedererkennuugs- urtheils aufzufasseu? Es muss dazu die Bedingung eiftillt •) Der UuterBcliied eutspriflit dem ü des Himtnels', „blau" und „die Fafbe sein, dass in jedem Urtheile unbeschadet seiner Wahrheit die linl^e Seite der versuchsweise angenommenen Gleichung durch die rechte ersetzt werden könne. Nun ist uns, ohne dass weitere Definitionen hinzukommen, zunächst von der linken oder rechten Seite einer solchen Gleichung keine Aussage weiter bekannt als eben die der Gleichheit. Es brauchte also' die Ersetzbarkeit nur in einer Gleichung nach- gewiesen zu werden.

Aber es blieb noch ein Bedenken bestehen. Ein Wieder- erkennungssatz muss nämlich immer einen Sinn haben. Wenn wir nun die Möglichkeit, die unter den Begriff F fallenden Gegenstände den unter den Begriff G fallenden beiderseits eindeutig zuzuordnen, als eine Gleichung auffassen, indem wir dafür sagen: „die Anzahl, welche dem Begriffe F zu- kommt, ist gleich der Anzahl, welche dem Begriffe G zu- kommt," und hiermit den Ausdruck „die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt" einführen, so haben wir für die Gleichung nur dann einen Sinn, wenn beide Seiten die eben genannte Form haben. Wir könnten nach einer solchen Definition nicht beurtheilen, ob eine Gleichung wahr oder falsch ist, wenn nur die eine Seite diese Form hat. Das veranlasste uns zu der Definition: Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang des Begriffes „Begriff gleichzahlig dem Begriffe F", indem wir einen Begriff F gleichzahlig einem Begriffe G nannten, wenn jene Möglichkeit der beiderseits eindeutigen Zuordnung besteht.

Hierbei setzten wir den Sinn des Ausdruckes „Umfang des Begriffes" als bekannt voraus. Diese Weise, die Schwie- rigkeit zu überwinden, wird wohl nicht überall Beifall finden, und Manche werden vorziehn, jenes Bedenken in andrer Weise zu beseitigen. Ich lege auch auf die Heranziehung des Umfangs eines Begriffes kein entscheidendes Gewicht- § 108. Es blieb nun noch übrig die beiderseits ein- deutige Zuordnung zu erklären; wir führten m auf rein logische Veihäll Disse zurück. Nachdem wir nun den Beweis des Satzes augedeiitet liatteu: tUe Zabl, welche dem Begriffe F zukommt, ist gleich der, welche dem Begriffe G zakomrat, wenn der Begriff F dem Begriffe G gleichzahlig ist, riefl- nirten wir die 0, den Ausdruck „n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m" und die Zahl 1 uud zeigten, dass 1 in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf folgt. "Wir führten einige Sätze an, die sich an dieser Stelle leicht beweisen lassen, und gingen dann etwas näher auf folgenden ein, der die Unendlichkeit der Zahlenreihe erkennen lässt: Auf jede Zahl folgt iu der natürlichen Zahlenreihe eine Zahl.

Wir wurden hierdurch auf den Begriff „der mit n en- denden natürlichen Zahlenreihe angehörend'' geführt, von dem wir zeigen wollten, dass die ihm zukommende Anzahl auf n in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar folge. Wir defi- nirten ihn zunächst mittels des Folgens eine« Gegenstandes y auf einen Gegenstand x in einer allgemeinen y^- Reihe. Auch der Sinn dieses Ausdruckes wurde auf rein logische Ver- hältnisse zurückgeführt. Und dadurch gelang es, die Schluss- weise Ton n auf (n + 1), welche gewöhnlich für eine eigeu- thiimlich mathematische gehalten wird, als auf den allgemeinen logischen Schlussweisen beruheml nachzuweisen.

Wir brauchten nun zum Beweise der Unendlichkeit der Zahlenreihe den Satz, dass keine endliche Zahl in der natürlichen Zahlenreihe auf sich selber folgt. Wii- kamen so zu den Begriffen der eutUichen und der unendlichen Zahl. Wir zeigten, dass der letztere im Grunde nicht weniger logisch gerechtfertigt als der erstere ist. Zum Vergleiche wurden Cautors uuendliche Anzahlen und dessen „Folgen in der Succession" herangezogen, wobei auf die Verschiedenheit im Ausdrucke hingewiesen wurde.

§ 109. Ans allem Vorangehenden ergab sich nun mit grosser Wahrscheinlichkeit die analytische und apriorische Natur der arithmetischen Wahrheiten; und wir gelangten zu einer Verbesserung der Ansicht Kants. Wir sahen ferner, was noch fehlt, um jene Wahrscheinlichkeit zur Gewissheit zu erheben, und gaben den Weg an, der dahin fähren muss.

Endlich benutzten wir unsere Ergebnisse zur Kritik einer formalen Theorie der negativen, gebrochenen, irratio- nalen und complexen Zahlen, durch welche deren Unzuläng- lichkeit offenbar wurde. Ihren Fehler erkannten wir darin, dass sie die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes als bewiesen annahm, wenn sich kein Widerspruch gezeigt hatte, und dass die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes schon als hin« reichende Gewähr für seine ErflÜltheit galt. Diese Theorie bildet sich ein, sie brauche nur Forderungen zu stellen; deren Erfüllung verstehe sich dann von selbst. Sie gebärdet sich wie ein Gott, der durch sein blosses Wort schaffen kann, wessen er bedarf. Es musste auch gerügt werden, wenn eine Anweisung zur Definition für diese selbst ausgegeben wurde, eine Anweisung, deren Befolgung Fremdartiges in die Arithmetik einführen würde, obwohl sie selbst im Aus- drucke sich davon frei zu halten vermag, aber nur weil sie blosse Anweisung bleibt.

So geräth jene formale Theorie in Gefahr, auf das Aposteriorische oder doch Synthetische zurückzufallen, wie sehr sie sich auch den Anschein giebt, in der Höhe der Abstractionen zu schweben.

Unsere frühere Betrachtung der positiven ganzen Zahlen zeigte uns nun die Möglichkeit, die Einmischung von äussern Dingen und geometrischen Anschauungen zu vermeiden, ohne doch in den Fehler jener formalen Theorie zu verfallen. Es kommt wie dort darauf an, den Inhalt eines Wiedererkennungs- urtheils festzusetzen. Denken wir dies überall geschehen, so erscheinen die negativen, gebrochenen, irrationalen und complexen Zahlen nicht geheimnissvoller als die positiven ganzen Zahlen, diese nicht reeller, wirklicher, greifbarer als jene.

TH. ICHATZKT, BUCHDS., BlULAU, WALL8TR. Üb.

f Verlag von Wilhelm Koebner in Breslau: ^uL Theorie analylique de la ehaleur.

Preis 40 Mark, r' Grundlehren der Logik.

1 Richard SInute's Discourse on truth 1 Dr. Karl Uphuee.

1 Preis 7 Mark 20 Pr.

1 ^