»Fechner dagegen irrte schon bei dem Verhältnisse 8:4 sehr h Offenbar hatte aber bei ihm Uebung Einfluss auf Steigerung des Un dungsvermögens, denn am Ende einer sehr langen Beobachtungsrei schied er Schallstärken im Verhältnisse von 3:4 jedesmal richtig, w er anfangs häufiger irrie als richtig hörte und nach längeren Versuch mer noch $ falsche Angaben bei $ rechten machte.« a cn 4 Mh 2 erh v Die vorigen Versuche fussen auf dem Prineipe der Methode der eben merklichen Unterschiede; und da sich aus früher ange- gebenen Gründen mittelst dieser Methode nicht wohl dieselbe Schärfe erreichen lässt, als nach der Methode der richtigen und falschen Fälle und mittleren Fehler, so bleiben unstreitig Versuche nach diesen Methoden immer noch erwünscht. Aber bei der aus- nehmend grossen Variation der absoluten Schallstärken, die in den angestellten Versuchen Platz hatte, sind sie entscheidend genug für die Gültigkeit des Gesetzes im Allgemeinen, und es könnte höchstens noch eine Abweichung kleiner Ordnung von demselben in den Gränzen der angestellten Versuche möglich sein, ohne dass diese eine Wahrscheinlichkeit dafür begründen.
Es dürfte nützlich sein, über die bei Versuchen dieser Art zu verwendenden Apparate und deren Theorie noch Einiges hinzu- zufügen.
Schafhäutl*) hat schon früher ein Instrument mit fallen- den Kugeln zur Messung der Empfindlichkeit für Schallstärke an- gegeben, jedoch dasselbe blos zur Messung der absoluten Empfind- lichkeit benutzt.
Nicht minder ist das Schallpendel schon früher zu diesem Zwecke in Gebrauch gezogen worden. ltard**) hat sich eines solchen zur Untersuchung der Empfindlichkeit des Gehörs bei Ge- hörkrankheiten unter dem Namen Akumeter bedient, welches aus einem geschlagenen kupfernen Ringe besteht, der an einem Stäbchen frei von der durch eine Säule auf einem Fussgestelle er- richteten Maschine herabhängt, und gegen welche das Pendel an- schlägt, dessen Elevation an einem Gradbogen gemessen wird.
Ich selbst habe mir ein doppeltes Schallpendel mit Gradbogen verfertigen lassen, wo zwei ganz gleich construirte Pendel von zwei Seiten gegen eine dicke Schieferplatte ***) schlagen; jedoch bis jetzt noch nicht Zeit gefunden, Versuche damit anzustellen.
Folgendes zur Theorie der Instrumente: Man findet leicht, dass, wenn ein Körper sei es durch freien Fall oder als Pendel auf einen anderen Körper herabfällt, die Stärke des Schalls, der dabei entsteht, im zusammengesetzten *) Abhandl. d. baier. Akad. VII. 2. Äbth. **) Gehler's Wört. Art. Gehör. S. 4247. ***) Mit Holz habe ich keinen gleichen Klang für beide Pendel zu erzie- len vermocht, — — gr.
2" Verhältnisse der Fallhöhe und des Gewichtes des herabfallenden Körpers steht*), insoweit sich der Einfluss des Luftwiderstandes und etwaige andere störende Einflüsse auf die Fallgeschwindig- keit vernachlässigen lassen.
In der That: die Stärke des Schalles ist proportional dem Qua- drate der Schwingungsamplitude des schallenden Körpers; die Schwingungsamplitude des schallenden Körpers ist (nach bekann- ten Formeln) proportional der Geschwindigkeit, mit der die Theil- chen durch ihre Gleichgewichtslage durchgehen, d. i. derselben, mit der sie daraus entfernt werden. Diese steht in zusammenge- setztem Verhältnisse der Geschwindigkeit, mit welcher der fal- lende Körper auftrifft, und seines Gewichtes. Die Geschwindig- keit, mit welcher der Körper auftriflt, d. i. die Endgeschwindig- keit seines Falles, ist nach den Fallgesetzen proportional der Qua- dratwurzel der Fallhöhe. Mithin ist das Quadrat dieser Endge- schwindigkeit proportional der Fallhöhe, mithin ist auch das Quadrat der Geschwindigkeit, mit der sich die Theilchen aus der Ruhelage entfernen, u. s. f. proportional dieser Fallhöhe. Da es nun bekanntlich keinen Unterschied betrefis der Endgeschwin- digkeit macht, ob ein Körper durch freien Fall oder auf krummem Wege durch eine gewisse Höhe fält, so kann man die vorige Be- trachtung eben so auf den Hammer des Fallpendels (die Reibung an der Axe als verschwindend vorausgesetzt) als einen freifallen- den Körper anwenden. Man muss sich nur beidesfalls hüten, dem fallenden Körper zu Anfange eine Geschwindigkeit mitzutheilen, wenn die angegebene Abhängigkeit der Schallstärke von der Fall- höhe gültig bleiben soll. Der Luftwiderstand dürfte bei den geringen Fallhöhen und Geschwindigkeiten, mit denen man im All- gemeinen operiren wird, um so mehr vernachlässigt werden kön- nen, wenn man Blei als fallenden Körper anwendet.
Aus Vorigem erhellt, dass die Stärke des Schalles beim Schall- pendel nicht im Verhältnisse des Elevationswinkels @ des Pendels, sondern der Verticalhöhe, um welche der Hammer über seine tiefste‘ Stelle gehoben ist, d. i. im Verhältnisse von 1 — cos =2sin“ steht, wonach das Instrument gleich graduirt werden *, Schafhäutl setzt die Schallstärke proportional der Quadratwurzel der Fallhöhe des schallgebenden Körpers (München. Abhandl. VII. S. 517), was ich nach der oben folgenden Herleitung nicht richtig finden kann.
könnte. Da beispielsweise der Cosinus von 45° gleich = = 0,707 und der Cosinus von 90° gleich null, so ist hienach das Verhältniss der Schallstärken bei diesen beiden Elevationen das von 1— 0,707 = 0,293 zu A oder nahehin wie 3 zu 10. Die Ele- vationswinkel 60°, 90°, 480° entsprechen einem Verhältnisse der Schallstärken 4:1:2. So lange die Elevationen 60° nicht über- steigen, kann man die Schallstärke approximativ dem Quadrate derselben proportional setzen, so dass einer doppelten Elevation die vierfache, einer dreifachen die neunfache Schallstärke nahehin entspricht *).
Hier folgen zwei kleine Tabellen, welche die zu den Elevationen eines Schallpendels von 0° bis 90° zugehörigen Schallstärken und umgekehrt*ge- ben, wenn die Stärke bei 90° gleich 1,0000 (in Tabelle I) oder 40 (in Tabelle II) gesetzt wird. Bei 480° ist sie dann doppelt so gross als bei 90°, und alle Stärken bei Elevationen zwischen 90° und 480° fallen hiezwischen; man wird aber nicht leicht ein Pendel bei Elevationen über 90° anwenden.
Tabellen über den Bezug zwischen den Elevationen eines Schallpendels und der Schallstärke.
In Betreff der Tonhöhen, bei welchen die Schwingungszahl die Grösse des Reizes zu vertreten hat, liegen ausser Weber's allgemeiner Angabe die, auch von Weber eitirten, Angaben Delezenne’s vor; doch beziehen sich dessen Beobachtungen, wie ich mich aus seiner Originalabhandlung überzeugt habe, in der Hauptsache vielmehr darauf, welche Abweichungen von der Rein- heit noch bei dieser und jener Art Intervall (Einklang, Octave, Quinte u. s. w.) unterscheidbar sind, als darauf, ob die Abwei- chung von der Gleichheit zweier Töne bei gleichem Verhältnisse *) Diess folgt aus der bekannten Formel cosg =1 - I + _T __- etc. 1, Biene Ipint;aup ii at ei“ der Schwingungszahlen oder in verschiedener Höhe der Tonskala gleich gross erscheint, was die eigentliche Frage des Weber’schen Gesetzes ist. Inzwischen bedarf es zur Bestätigung des Gesetzes in dieser Hinsicht nicht erst besonderer Versuche, da es die einfache und so zu sagen notorische Aussage des musikalischen Gehöres ist, dass gleichen Verhältnissen der Schwingungszahlen eine als gleich gross empfundene Tondifferenz in verschiedenen Octaven entspricht, so dass man das Gesetz hier directer als sonst irgendwo und zwar auch für grosse Unterschiede erwiesen halten kann. Auch haben Euler, Herbart und Drobisch hierauf bei ihrer mathemati- schen Betrachtung der Tonverhältnisse gefusst.
„ Ich befragte mehrere Personen mit gutem musikalischen Ge- höre bei gelegentlicher Anstellung von Versuchen mit einem höl- zernen Schallpendel, was auf Holz aufschlug, ob sie nicht einen Vergleich des Verhältnisses der Schallstärken bei 45° und 90° mit einem Verhältnisse von Tonhöhen zu ziehen vermöchten. Manche erklärten sich dazu unfähig; merkwürdigerweise aber stimmten die meisten, welche sich auf einen Vergleich einliessen (unabhän-, gig von einander und ohne von dem Urtheile der Anderen etwas zu wissen) dahin überein, dieses Verhältniss mit dem einer Quarte zu vergleichen. Doch will ich auf diese Versuche bei ihrer bisherigen nur rohen und beiläufigen Anstellung um so we- niger etwas geben, als jene Uebereinstimt.ung nicht ausnahmlos war, und halte es selbst noch für sehr fraglich, ob ein directer Vergleich zwischen Verhältnissen der Stärke und Höhe durch das Gefühl überhaupt zu ziehen. Jedenfalls tritt das Ergebniss dieser Versuche bestätigend in das von Renz und Wolf, so wie von Volkmann erhaltene hinein, wonach man nicht geneigt ist, ziem- lich bedeutende Unterschiede der Schallstärken (3:40) als hoch zu taxiren.
In derselben Beziehung war mir interessant, von einem Mu- siker (dem Violinvirtuosen v. Wasilewski) die Angabe zu hören, man habe bei den Rheinischen Sängerfesten die Erfahrung ge- macht, dass ein Chor von 400 Männerstimmen keinen bedeutend stärkeren Eindruck mache als von 200.
3) Gewichte.
Die mittelst der Methode der eben merklichen Unterschiede erlangten Resultate Weber's, wodurch die erste Bestätigung unseres Gesetzes im Felde der Gewichtsversuche geboten ist, sind schon $. 138 angeführt worden. Seine Versuche haben das be- sondere Verdienst, dass bei einem Theile derselben die Druckem- pfindung der Haut von dem Muskelgefühle gesondert ist, und die auf diese Weise erlangten Resultate mit denen verglichen wor- den sind, welche bei gemeinsamem Anspruche beider Empfin- dungen erhalten wurden, indess die von mir selbst nach der Me- thode der richtigen und falschen Fälle angestellten Versuche, von welchen im Folgenden näher die Rede sein wird, sich auf die, bei den Hebungen der verglichenen Gewichte stattfindende, natürliche Verbindung beider Empfindungen beziehen. Eine genaue Tren- nung beider war nämlich nach der Modalität des Verfahrens nicht wohl ausführbar, doch erschien eine gemeinsame Bewährung des Gesetzes für beide, in Betracht der Genauigkeit, welche die Me- thode versprach, nützlich; ausserdem waren diese Versuche nicht minder zum Studium der Methode als zur Prüfung des Gesetzes bestimmt.
Zum Verständnisse des Folgenden wird vielfach eine Bezug- nahme auf Dasjenige nöthig sein, was im Kapitel S. 93 ff. über die Ausführung der Methode gesagt ist, ohne dass ich es nöthig halte, hier eingehend darauf zurückzukommen. Von anderer Seite werden im Folgenden manche Belege und Erläuterungsbei- spiele zu dem dort Gesagten zu finden sein.
Meiner Hauptversuchsreihen über den betreffenden Gegen- stand sind zwei, eine zweihändige und eine (mit Rechter und Linker besonders ausgeführte) einhändige, welche, beide ver- gleichbar, durch eine Reihe von 6 Hauptgewichten, 300, 500, 1000, 1500, 2000, 3000 Grammen durchgeführt, zu sehr über- einstimmenden Ergebnissen geführt haben. Die einhändige Reihe ist im October und November 1856, die zweihändige im December 1856 und Januar 1857 angestellt. Die Umstände der Versuche bei- der Reihen waren im Allgemeinen die S. 97 angegebenen Nor- malumstände. Speciell ist Folgendes dazu zu bemerken: Jede beider Reihen umfasst in 32 Versuchstagen ä 12 Abthei- lungen ä& 64 Hebungen im Ganzen 32.12.64 = 24576 einfache Hebungen oder Fälle. Zu jedem Hauptgewichte P wurden (perio- disch damit wechselnd) zwei bestimmte Verhältnisstheile als Zu- satzgewicht D angewandt, nämlich 0,04 P und 0,08 P. Letzteres Zusatzgewicht kann gross erscheinen, giebt aber doch, wie man sich aus den folgenden Versuchstabellen überzeugen kann, noch genug falsche Fälle, was mit der Einrichtung des S. 94 f. beschrie- benen Verfahrens zusammenhängt, jeden (zu 2 Fällen gerechneten) Vergleich auf eine einfache Doppelhebung, statt auf wiederholtes Hin- und Herwiegen zu begründen, wo ein D= 0,08 P schwerlich noch falsche Fälle liefern möchte. An jedem Versuchstage von 12.64= 1768 Hebungen wurden sämmtliche 6 Hauptgewichte, je- des in 2 Abtheilungen ä 64 Hebungen, alle mit demselben verhält-- nissmässigen D geprüft, und dieses nur nach Tagen oder Wochen, wie unten anzugeben, gewechselt. Ausserdem wurde nach Tagen wechselnd in aufsteigender (?) und absteigender (J) Folge der Hauptgewichte verfahren. So kommen in jeder beider Versuchs- reihen auf jedes der sechs Hauptgewichte im Ganzen 32.128 = 4096 Hebungen oder Fälle; 2048 mit D= 0,04 P und eben so viel mit D=0,08 P; je 1024 davon? und eben so viel d. In der zweihändigen Reihe wurden mit jedem Hauptgewichte die 128 He- bungen jedes Tages in continuo angestellt, in der einhändigen fol- geweis 64 mit.der Linken, 64 mit der Rechten, wobei nach Tagen wechselnd die Linke oder Rechte den Anfang machte. In der zwei- händigen Reihe wurde nach je zwei Tagen, in der einhändigen nur nach je 8 Tagen zwischen D=0,04 Pund D=0,08 P ge- wechselt. Diess hat den Unterschied mitgeführt, dass in der zwei- händigen Reihe die Empfindlichkeitswerthe bei beiden D’s ganz vergleichbar sind, so dass diese Reihe mit zu einer Bestätigung des Gesetzes dienen kann, nach welchem das Verhältniss der richtigen zur Totalzahl der Fälle z von der Grösse D bei constan- ter Empfindlichkeit A abhängt*), während diess nicht so der Fall ist mit der einhändigen Reihe, wo die Wochen mit 0,08 P verhält- nissmässig kleinere Empfindlichkeitswerthe als die mit 0,04 P ge- ben, was in die Bemerkung S. 83 hineintritt. Aber in Betreff des Einflusses der Grösse des Hauptgewichtes auf die Masswerthe, worauf es hier allein ankommt, ist die einhändige ganz eben so vergleichbar in sich, als die zweihändige.
*) Diess Gesetz wird nach den Erörterungen im 7. Kapitel durch die Beziehung der Werthe "zu t= hD in unserer Fundamentaltabelle S. 408 n ausgedrückt, wonach ein doppeltes D ein doppeltes t giebt, wenn die Ein- Nüsse p, q eliminirt sind.
Ich gebe nun zuvörderst, um mit der einfachsten, wenn schon nicht genauesten, Benutzungsweise dieser Beobachtungsreihen zu beginnen, dieGesammtzahl der richtigen Fälle r bei den verschie- denen Hauptgewichten P, specificirt nach einigen Hauptumstän- ‘den, aber ohne Sonderung der 4 Hauptfälle und ohne Rückgang auf die genauen Masszahlen, d.i. die Werthe t=hD, die sich dar- aus berechnen lassen, indem sich auch schon ohne solche Berech- nung die in Betracht kommenden Hauptresultate aus den Verhält- nissen der für alle Hauptfälle zusammengefassten richtigen Zahlen r werden ziehen lassen, wonach die schärfere Behandlung der Reihen auch weiter nichts wird leisten können, als dieselben Re- sultate noch etwas schärfer herausstellen.
Die gebrauchte Gewichtseinheit im Folgenden ist überall der Gramme. k Um über die Bedeutung der Zahlen in den nächstfolgenden Tabellen keinen Zweifel zu lassen, gebe ich dieselbe ausdrücklich für die erste Zahl der ersten Tabelle an. Die Zahl 612 bei P= 300, D= 0,04 P, n = 1024, T sagt, dass bei einem Hauptge- - wichte = 300 Grammen und einem Zusatzgewichte = 0,04 des Hauptgewichtes, also 42 Grammen, die Zahl der richtigen Fälle aller Tage, wo die Hauptgewichte in aufsteigender Folge (f) ange- wandt wurden, 612 war, indess die Totalzahl der Fälle, richtige und falsche zusammen, unter denselben Umständen 1024 betrug, wonach die Zahl der falschen 41024 —612=412 war. Hienach wird die Bedeutung der übrigen Zahlen von selbst verständlich sein. Den Zahlen r der verticalen Schluss-Summenspalte gehört natürlich das 4fache n der Zahlen in den Specialspalten zu, d. i. 4096, wie einschaltungsweise angegeben ist, da die r der 4 ver- ticalen Specialspalten in der verticalen Schlusssummenspalte ad- dirt sind; hingegen gehört den Zahlen r der horizontalen Schluss- summenspalte das 6fache n der Specialzahlen, d. i. 6144 zu, da die r, welche zu den 6 P's in derselben Verticalspalte gehören, in der horizontalen Schlusssummenspalte addirt sind.
I. Zahl richtiger Fälle r der zweihändigen Reihe.
U. Zahl richtiger Fälle r der einhändigen Reihe, " Linke | Rechte | Summe Ich übergehe, als nicht hieher gehörig, alle Erörterungen über die Verschiedenheit der Resultate dieser Tabellen je nach den ver- schiedenen Umständen (als der verschiedenen Grösse des D, An- wendung der Linken und Rechten,? und $), welche man leicht selbst bemerken kann, und worauf näher in den » Massmethoden« einzugehen sein wird. Hier geschahe die Specification der Re- - sultate nach diesen Umständen hauptsächlich nur aus dem Grunde, um zu zeigen, dass die Zahl der richtigen Fälle r in Bezug zu den Hauptgewichten P unter allen Verhältnissen wesentlich denselben Gang befolgt, d.h. mit den Hauptgewichten langsam ansteigt, und bei den höchsten Hauptgewichten, 2000 und 3000 Grammen, sich nur wenig mehr ändert. Hat man diese Uebereinstimmung für die verschiedenen Versuchsumstände ins Auge gefasst, so kann man sich des Weiteren an die verticalen Schlusssummenspalten halten, B welche in beiden Tabellen für ein n= 14096 die richtigen Zahlen bei den einzelnen Hauptgewichten geben.
Sollte nun das Gesetz sich direct und genau durch diese Versuche bewährt finden, so müssten, in Rücksicht dessen, dass überall dasselbe Verhältniss des Zusatzgewichtes zum Hauptge- wichte besteht, alle Zahlen r bei den verschiedenen Hauptgewich- ten nicht blos annäherungsweise, sondern genau gleich sein. Diess ist nicht der Fall. Es ist jedoch die Abweichung, die solcherge- stalt für den Versuch noch von dem Gesetze übrig bleibt, eben so wenig für eine wahre Abweichung anzusehen, als die Abwei- chung, welche wir im Gebiete der Lichtempfindung an der unte- ren Gränze fanden, vielmehr eben so und aus einem ganz analo- gen Gesichtspuncte als eine Foderung des Gesetzes. Wie wir näm- lich bei der Lichtempfindung die, auch ohne Zutritt des äusseren Lichtes vorhandene, innere Lichterregung mit in Rechnung zu nehmen haben, so hier das auch ohne äusseres Gewicht P vor- handene, bei Hebung desselben mit gehobene, Gewicht des Armes und etwaigen bedeckenden Rleidungsstückes (bei meinen Versuchen blos ein leichter Hemdärmel*). Und wie sich das Gesetz im erste- ren Gebiete durch den Versuch direct nur nach Massgabe bestäti- gen kann, als sich das innere Augenlicht gegen das äussere ver- nachlässigen lässt, so im anderen Gebiete nur nach Massgabe, als das Gewichtsmoment des hebenden und zugleich gehobenen Ar- mes gegen das des gehobenen Gewichtes vernachlässigt werden kann.
Wirklich aber sehen wir bei unseren höchsten Hauptgewich- ten nur eine noch sehr unerhebliche Abweichung von der Fode- rung des Gesetzes, und den allgemeinen Gang der Abweichung in dem Sinne, in dem er nach voriger Auffassung zu erwarten, d. i. die richtigen Zahlen wachsen etwas mit P. Denken wir nämlich zu den an Grösse aufsteigenden Hauptgewichten P immer densel- ben absoluten Zusatz A vermöge des Armgewichtes gefügt, indess D blos proportional mit P wächst, wie es bei unseren Versuchen der Fall, so fällt natürlich Rs ‚ wovon die richtige Zahl abhängt, um so grösser aus, je mehr A gegen P im Divisor verschwindet, *), Ausserdem bleibt fraglich, inwiefern der Druck der Luft auf die Haut nicht mit einem gewissen Werlhe in Rechnung gebracht werden muss, doch scheint dieser so zu sagen in den Organismus mit verrechnet.
d. i. je grösser P selbst ist, und wird merklich constant von dem Puncte an, wo P gross genug geworden ist, dass man A als nicht mehr dagegen in Betracht kommend ansehen kann; ganz wie es der Versuch zeigt.
Bei dem nicht unbeträchtlichen Gewichte des Armes kann es zunächst nur auffallen, dass der Zuwachs, den die Hauptgewichte von 300 bis 3000 Grammen dadurch erhalten, sich nicht in einem noch stärkeren Zuwachse der richtigen Zahlen mit aufsteigendem P kund giebt, und namentlich, dass dieser nicht beim Uebergange zwischen beiden kleinsten Hauptgewichten 300 und 500 Grammen spürbarer ist, wo sich sogar in der zweihändigen Reihe vielmehr eine kleine Abnahme zeigt. Aber diese letztere Anomalie zunächst dahin gestellt, auf die ich nachher zurückkomme; so ist erstens keineswegs als ausgemacht anzusehen, dass die Belastung des Ar- mes durch sein eigenes Gewicht in derselben Weise in Anschlag zu bringen ist, als ein hiezu gefügtes äusseres Gewicht; zwei- tens ist in Betracht zu ziehen, dass das gehobene Gewicht Pam Ende des Hebelarmes, den der hebende Arm bildet, wirkt, das im Schwerpunkte des Armes wirkende Gewicht des Armes aber an einem kürzeren, was sein Moment verhältnissmässig vermin- dert; drittens, dass der Zusatz dieses Momentes zum Momente von P blos für das Muskelgefühl, aber nicht für das Druckgefühl - in Betracht kommt, da blos das Gewicht P, aber nicht das Gewicht des Armes auf die Haut drückend einwirkt; viertens endlich, dass die richtigen Zahlen der vorigen Tabellen noch keinen ge- nauen Massstab für die Empfindlichkeit gewähren, sondern blos den Gang der Empfindlichkeit im Aufsteigen mit den Hauptge- wichten obenhin anzeigen können. Es gilt hier in der That ganz das, was S.117f. auseinandergesetzt wurde; und namentlich kommt der S.A45f. erwähnte Umstand in Rücksicht, dass der Einfluss der Zeitfolge der Hebung p bei starker Vergrösserung des Hauptge- wichtes wächst, und dadurch gemäss der Bemerkung S. 416 die Summe der richtigen Fälle etwas kleiner macht, als es ohne die- sen störenden Einfluss der Fall sein würde, so dass ohne diese Störung in der That die richtigen Zahlen bei den höchsten Haupt- gewichten etwas grösser und damit etwas unterschiedener von den niederen ausgefallen sein würden. Diess kommt namentlich in Betracht bei dem kleineren Zusatzgewichte 0,04 P, indess gegen das grössere 0,08 P der Einfluss p verhältnissmässig mehr verschwindet. So hat man in der zweihändigen Reihe für die Haupt- gewichte 1500 und 3000 als richtige Zahlen bei 0,04 Pin Summa 1321 und 1335, bei 0,08 P hingegen 1592 und 1657; in der ein- händigen eben so bei 0,04 P die Zahlen 1465 und 1460; bei 0,08 P 1687 und 1726. Der Unterschied ist also in beiden Reihen viel grösser bei 0,08 P als 0,04 P.
Man beseitigt die Störung durch die Nebeneinflüsse p, q voll- kommen durch die früher (S. 442 ff.) erörterte vollständige Com- pensation derselben, welche auf der Sonderung und getrennten Berechnung der 4 Hauptfälle beruht. Hier folgt nun zuvörderst die Speeification der r-Werthe nach den 4 Hauptfällen in einer ersten Tabelle (III) und der mittelst der Fundamentaltabelle dar- aus (noch ohne Fractionirung) abgeleiteten i{-Werthe in einer zwei- ten (IV). In den »Massmethoden « werde ich eine entsprechende Specification auch für die einhändige Reihe mittheilen; hier wün- sche ich, nicht zu viele Zahlen zu häufen. Die Definitivresultate, auf die man nach unten folgender Erörterung bezüglich der Frage unseres Gesetzes zu achten hat, sind.in den Spalten 4hD und 8hD der Tabelle IV enthalten; die übrigen Spalten dieser Tabelle und die ganze Tabelle III kommen für unseren jetzigen Zweck nur als Unterlagen jener Definitivresultate in Rücksicht; können aber ne- benbei zur Erläuterung der Weise, wie solche zu gewinnen sind, und mancher Puncte der Methode überhaupt von Nutzen sein, wie ich einschaltungsweise beifüge.
Sicheren Verständnisses halber erörtere ich wieder die ersten Zahlen der beiden folgenden Tabellen: Die Zahl r, =328 bei P=300, D=0,04 P, n= 512 in der Tabelle III sagt, dass bei P=300 Grammen, D=12 Grammen, 512 Fälle des ersten Hauptfalles, d. i. wo D im erstaufgehobenen linksstehenden Gefässe liegt, 328 richtige Fälle geben.
Die entsprechende Zahl t, = 2547 der Tabelle IV ist nach der Fundamentaltabelle gefunden, indem zu - = m = 0,6406 der zugehörige {-Werth genommen ist. Die Angabe n=512, v=1 oben bedeutet bei der Tabelle IV, dass jeder t-Werth aus mal 512 Fällen (also ohne Fractionirung) abgeleitet ist.
IV. Aus der vorigen Tabelle abgeleitete Werthe! der zwei- händigen Reihe. n= 512, v=1.
Man sieht, wie sehr sich nach der Beschaffenheit der 4 Hauptfälle die Zahlen r ändern, und wie sehr diese Aenderungen von der Grösse des Haupt- gewichtes mit influirt werden. Bei P = 3000 ist die richtige Zahlr = 244 sogar kleiner als die falsche 268 (welche durch Abzug der richtigen Zahl von der Totalzahl 512 erhalten wird), was dann einen negativen Werth t, (in Ta- belle IV) mitgeführt hat. (Vgl. S. 109) Solcher Fälle kommen übrigens ge- nug in meinen anderen Beobachtungstabellen vor.
Man kann nun die Tabelle III benutzen, die S. 442 ff, gegebenen Re- geln zur vollständigen Compensation und Bestimmung der Einflüsse p, q selbst in Ausübung zu bringen, auf welche Bestimmung hier einzugehen kein Interesse vorliegt.
Ferner kann man sich durch Vergleich der bei D= 0,04 PundD= 0,08 P erhaltenen Summenwerthe der Tabelle der!’s überzeugen, dass diese Summenwerthe den D’s merklich proportional sind, nämlich die bei 0,08 P erhaltenen merklich das Doppelte der bei 0,04 P erhaltenen, was die Statthaf- tigkeit des Rechnungsprincipes nach der S. 403 gemachten Bemerkung ver- bürgt*). Jedoch ist auf alles diess hier nicht näher einzugehen.
*) Hiezu liegen mir übrigens auch noch andere Versuchsreihen vor.
19 Worauf es hier ankommt, ist, dass wir zusehen, inwiefern die Summenwerthe AhD, 8hD, welche durch Addition von t,, l,, tz, i, entstanden sind, constant bei den verschiedenen P's sind, was sie eben so, wie die Summen der Zahlen r, aus denen sie ab- geleitet sind, sein müssten, wenn unser Gesetz gilt, und wenn das Armgewicht nicht zu P zuträte.
Die Zahlen der Spalten AhD, AhD, 8hD stellen nämlich, er- stere für jedes der beiden verhältnissmässigen Zusatzgewichte ins- besondere, letztere addirt für beide, die eigentlich hier in Betracht kommenden Masszahlen dar, welche ohne die Miteinflüsse der Zeit- und Raumlage der Gefässe p, gq erhalten worden wären, d. h. Producte aus dem Masse der Unterschiedsempfindlichkeit h in das 4— oder 8fache Zusatzgewicht D, woraus sich durch Divi- sion mit 4 oder 8 D*) das Unterschiedsmass Ah selbst für die ver- schiedenen Hauptgewichte finden lassen würde. Dieses müsste ohne Zutritt des Armgewichtes nach unserem Gesetze den Ge- wichten P und mithin den ihm proportionalen Zusatzgewichten D umgekehrt proportional gefunden werden, und hienach eben die Producte 4hD oder 8hD bei den verschiedenen Hauptgewichten gleich gefunden werden. Da sich nun Abweichungen von der Gleichheit leichter beurtheilen lassen, als von der Proportionali- tät, so ist bei den Producten 4hD, 8hD stehen geblieben, ohne auf h selbst zurückzugehen.
Der leichteren Uebersicht wegen stellen wir nun die Werthe der drei Hauptspalten, durch Division respeetiv mit 4 oder 8 auf den einfachen Werth hD zurückgeführt, in folgender Tabelle zu- sammen. Die Bezeichnungen »=4, »=8 über den Spalten be- sagen, gemäss der $S. 94 angegebenen Bezeichnungsweise, dass jede Zahl der Spalten respectiv aus 4— oder 8mal n Beobachtun- gen abgeleitet ist; n aber ist = 512.
*) D ist für die Spalte $ShD im Mittel 0,06 P. Bei genauerer Berechnung ist aber die Berechnung von A für D= 0,04 P und D = 0,08 P besonders aus den Spalten 4hD vorzunehmen, und hieraus erst der wahrscheinlichste Mit- telwerth von A zu suchen.
V. Werthe hD der zweihändigen Reihe.
P v4) | wei) | wen Um die abstracte Bedeutung der Zahlen AD, mit der wir hier nur bezüg- lich der Constatirung unseres Gesetzes zu thun haben, in eine Bedeutung für das Experiment zu übersetzen, so ist es diese: wenn man bei jedem der an- gewandten Hauptgewichte, anstatt dasselbe relative Zusatzgewicht anzu- wenden, wie geschehen ist, dieses dividirt mit der Zahl AD oder einem ge- gebenen Multiplum oder Bruchtheil von AD, angewandt hätte, so würde überall eine gleiche Zahl.”_ erhalten worden sein. So wird man z. B. in der zweihändigen Reihe ve der Aussage der Versuche die zu dem Haupt- gewichte 2000 und 3000 Grammen gehörigen Zusatzgewichte, welche in demselben Verhältnisse als diese Hauptgewichte stehen, respectiv mit Zah- len zu dividiren haben, welche 4500 und 4909 proportional sind, damit sie gleich stark in die Empfindung fallen.
Wenn schon diese Rechnungsresultate noch nicht die defini- tiven sind, zu denen ich folgends erst komme, habe ich sie doch hier mit Fleiss gegeben, weil sie von den definitiven nicht we- sentlich abweichen, so dass man sich immerhin an sie halten könnte, und weil sich ohne zu grosse Weitläufigkeit alle Unterlagen derselben geben liessen, woraus man sie nach den im 8. Kapitel angegebenen Regeln selbst reprodueiren kann. Dabei sind alle richtigen Zahlen, welche für denselben Hauptfall, dasselbe P und D während des ganzen Beobachtungsmonats erhalten wurden, zusammengenommen, und ohne Fractionirung zur Ableitung der i-Werthe aus der Fundamentaltabelle benutzt worden. Indessen habe ich, wie S. 120 bemerkt, bei allen meinen Versuchsreihen vorgezogen, um die Variationen der Einflüsse p, q sicherer zu eli- miniren, die (-Werthe für jeden Hauptfall aus lauter Fractionen mit n= 64 besonders zu berechnen, und diese zu Summen oder Mittelwerthen zusammenzulegen. So ist es denn folgends auch sowohl bei der zweihändigen als einhändigen Reihe geschehen. Die richtigen Zablen dieser Fractionen ä 64 und daraus abgelei- Br ww wo] I A A Us ww. ir 7 teten einzelnen {-Werthe hier einzeln zu reprodueiren, würde aber zu viel Raum kosten, ich beschränke mich daher folgends, das aus sämmtlichen Fractionen zusammengelegte, mit der Zahl v der Fractionen dividirte, Definitivresultat für beide Reihen zu ge- ben, bei dem endlich stehen zu bleiben ist.
VI. Werthe hD der zweihändigen Reihe.
VII. Werthe hD der einhändigen Reihe, Linke Rechte L.u.R S_ BITTER TE RER a Fan wie & enjsth | TERMIN ER N Bi een Gelegentlich weise ich hier wieder auf einen Punct der Methode hin, der sich durch den Vergleich von Tabelle VI mit Tabelle V erläutert. Beide, für die zweihändige Reihe geltende, Tabellen fussen auf denselben Beob- achtungswerthen und unterscheiden sich nur dadurch, dass in der Tabelle V die Werthe AD ohne andere Fractionirung als nach den 4 Hauptfällen, unter Anwendung von n = 542, abgeleitet sind, in der Tabelle VI aber mit starker Fractionirung unter Anwendung vonn = 64. Hievon hängt es, gemäss der Bemerkung S. 120, ab, dass alle Werthe der letzten Tabelle etwas grösser sind, als die der ersten. Die Abweichung würde gleichgültig sein, wenn das Verhältniss der Vergrösserung bei allen Werthen gleich wäre, da es hier überhaupt nur auf Verhältnisse ankommt. Aber manche Werthe sind in an- derem Verhältnisse vergrössert, als andere. Diess hängt, wie sich aus einer Fechner, Elemente der Psychoplysik. 13 Specialdiscussion der Beobachtungsreihen darthun lässt, davon ab, dass p und g während der durch einen Monat durchgeführten Beobachtungsreihe nicht völlig constant geblieben sind, sondern unregelmässig variirt haben. Durch Theilung der Reihen in so kleine Fractionen, dass während jeder der- selben die Variation vernachlässigt werden kann, beseitigt man den für die Eli- mination vonpundg daraus hervorgehenden Nachtheil, und aus diesem Grunde sind diein Tabelle VI erhaltenen Werthe denen der Tabelle V vorzuziehen. In- zwischen zeigtsich doch kein wesentlicher Unterschied im Gange der Werthe zwischen beiden Tabellen, so dass man auch wohl bei der ersten, viel kür- zer ableitbaren, hätte stehen bleiben können. Jedenfalls kann der Vergleich dieser Tabellen einen Anhalt geben, wie sich ungefähr je nach dem Grade der Fractionirung die absoluten Masswerthe ändern können.
Vergleicht man die mit der einhändigen und zweihändigen Reihe erhal- tenen definitiven Mittelwerthe, so findet man, einhänd.
. zweihänd.
wonach das Verhältniss beider Werthe sich mit wachsendem Hauptge- wichte langsam verkleinert, aber der Constanz zu nähern scheint.
Der Blick auf den Gang der Werthe kD in vorigen Tabellen VI und VII lehrt nun wohl, dass derselbe wesentlich auf dasselbe führt, als der Gang der Zahlen r in den ersten Tabellen, nur dass das Wachsthum der Werthe hD mit P aus angegebenem Grunde bei den höchsten P-Werthen etwas mehr spürbar ist, als das der Zahlen r. Immer noch aber stellt sich die zunehmende Approxi- mation an die Gleichheit mit Wachsthum von P deutlich genug heraus.
So finden für die drei höchsten P-Werthe = 1500, 2000, 3000 Grammen in der zweihändigen Reihe im Mittel die Werthe hD = 4342, 4500, 4908; in der einhändigen 5682, 5639, 6152 statt. Während P von 1500 auf 3000, also vom Einfachen aufs Doppelte steigt, steigt AD verhältnissmässig nur noch wenig, näm- lich vom Einfachen respectiv aufs 1,13fache oder 1,08fache.
Es schien mir nun von Interesse, diese, für die Bewährung des Gesetzes wichtigste, approximative Gleichheit von AD bei hö- heren Gewichten für die beiden höchsten Hauptgewichte 2000 und 3000 nochmals insbesondere zu constatiren; und ich nahm dazu Gelegenheit bei einer Versuchsreihe, die zugleich bestimmt war,