#) Ich führe hier stets nur die niedrigere beider Temperaturen an, zwischen welchen die Differenz bestand.
Gegenstand eine analoge Anwendung der Methode der richtigen und falschen Fälle sein, als bei meinen Gewichtsversuchen statt- gefunden hat. Freilich wird. man dabei nicht leicht so constante Temperaturen und Temperaturunterschiede erhalten können, als sich Gewichte und Gewichtsunterschiede erhalten lassen; wenn man inzwischen die Ursachen der Temperaturveränderung mög- lichst vermindert, und z. B. nach je 10 Beobachtungen die Tempera- tur neu aufzeichnet und nöthigenfalls regulirt, so scheint es doch, namentlich mit Rücksicht der Reductionen, welche die Fundamen- taltabelle gestattet, dass sich brauchbare Resultate müssten er- halten lassen.
5) Extensive Grössen. (Augenmass und Tastmass.)
Abgesehen von der allgemeinen Angabe Weber’s (S. 137), hat für das Augenmass F. Hegelmayer*), stud. med. in Tubin- gen, eine ungefähre Bestätigung des Weber'schen Gesetzes nach der Methode der richtigen und falschen Fälle gegeben, die aber sowohl in Betreff der viel zu geringen Anzahl Versuche, als dem Mangel an Vergleichbarkeit, der zwischen mehreren, aus denen Mittel gezogen sind, obwaltete, zu viel zu wünschen übrig lassen, als dass sie als sehr massgebend gelten könnten. Im Wesentlichen bestanden die Versuche darin, Linien von gegebener Länge, theils horizontale, theils verticale, mit anderen zuvor gesehenen Linien zu vergleichen, die um gewisse grössere oder kleinere Bruchtheile davon verschieden waren, unter Abänderung der Zwischenzeit, deren Einfluss zu ublärsischen die Hauptabsicht des Beobachters war, und zu zählen, wie oft die Schätzung, ob grösser oder klei- ner, zutraf, irrte oder in suspenso blieb. So viel seine Beobach- tungen zu schliessen gestatten, zeigte sich das Verhältniss der richtigen und falschen Fälle nicht wesentlich abhängig von der absoluten, sondern nur von der verhältnissmässigen Grösse der Bruchtheile, welches Resultat auch Hegelmayer selbst zieht; doch sind die Resultate überhaupt sehr unregelmässig und ich. übergehe daher ihre speciellere Mittheilung. ie © Meine eigenen und Volkmann’s Versuche nach der Meihode der mittleren Fehler, wobei Distanzen zwischen kleinen Spitzen us “es oder parallelen Fäden beobachtet wurden, geben eine sehr ent- schiedene Bestätigung des Gesetzes für alle irgends erhebliche Distanzen, d. i. von 40 bis 240 Millimeter bei einem Augenab- stande von 4 Fuss bis 800 Millimeter, indem die reinen Fehler- summen oder mittleren Fehler, welche hiebei erhalten wurden, den Distanzen so genau proportional gehen, als man es nur immer erwarten kann. Hiegegen lassen Volkmann’s Versuche so wie die von ihm veranlassten Versuche Appel’s (eines Studenten mit ganz besonders scharfen Augen) mit mikrometrischen Distanzen von 0,2 bis 3,6 Mill. bei Augenabständen, welche sich um die ge- wöhnliche Sehweite halten, diese Proportionalität nicht finden; es lassen sich aber die hiebei (nach Ausscheidung des constanten Fehlers) erhaltenen reinen Fehlersummen oder mittleren Fehler in zwei Componenten zerlegen, deren eine, die ich die Volkmann’- sche Constante nenne*), bei den verschiedenen Normaldistan- zen constant, die andere, die ich die Weber'sche Variable nenne, im Sinne des Weber’schen Gesetzes den Distanzen proportional geht. Wahrscheinlich ist erstere auch bei den Versu- chen mit den grösseren Distanzen im Spiele, aber sie ist so klein, dass sie gegen die letztere, den Distanzen proportionale, Compo- nente bei grösseren Distanzen merklich verschwindet, und in der Unsicherheit von deren Bestimmung untergeht, indess sie bei ganz kleinen Distanzen den grösseren Theil der variabeln Fehlersumme bildet. Bei den allerkleinsten Distanzen von 0,2 und 0,3 Millim ter ward für Volkmann’s Auge der Fehler sach wie es gr durch Irradiation abnorm vergrössert.
Man sieht also, dass wir auch hier mit einer unteren Gränze des Gesetzes für deh Versuch zu thun haben; und wahrscheinlich würden sehr grosse Distanzen auch eine obere finden lassen.
Die Hauptresultate sind in Folgendem enthalten. Sie beziehen sich sämmtlich auf den reinen variabeln Fehler / in dem früher (S. 121) angegebenen Sinne, und geben überall die reine Fehlersumme Z4, zumeist auch (wo ich sie bestimmt habe) die reine Fehler- *), Sie ist nicht mit einem constanten Fehler in dem Sinne von S. 4 zu verwechseln, sondern so gut aus variabeln Fehlern erwachsen, als die an- dere Componente, und nur desshalb Constante ihr gegenüber genannt, weil sie, in obiger Weise bestimmt, constant bei Variation der Normaldistanz bleibt, nicht, wie die Weber’sche Variable, sich damit ändert.
u nach der Zeitperiode gemachten Fractionen von je m Beobach- tungen *), so dass die Totalzahl der Fehler, welche zu jeder Spe- cialsumme beigetragen haben, um ist. Die Zahlen u und m sind für jede Beobachtungsreihe besonders angegeben. Für die hori- zontalen Summen spalten gilt das doppelte «, sofern die Summen darin stets aus zwei Specialsummen, respectiv für L. und R. oder O. und U. zusammengezogen sind. Es wurden nämlich immer gleich viel Beobachtungen bei linker und rechter Lage der Nor- maldistanz (L. und R.), wenn.die Distanzen horizontal waren, oder bei oberer und unterer Lage (O. und U.), wenn sie vertical waren, angestellt, wofür die Ergebnisse speeificirt sind.
Nur die mikrometrische Reihe V ist mit verticalen Distanzen, d. i. zwischen horizontalen Fäden, alle übrigen mit horizontalen Distanzen, d.i. zwischen verticalen Fäden (wo Fäden angewendet wurden), angestellt.
Die Proportionalität mit den Distanzen kann man direct an den einfachen Summen 24 bewähren, ohne erst den mittleren Fehler &= er daraus abzuleiten. Die Fehlerquadratsummen kön- nen, wenn man will, zur Ableitung des quadratischen mittleren Fehlers, = a) dienen, wonach man sich von der Constanz um und dem Statthaben des Normalverhältnisses = Vz 2 so weit es die Zufälligkeiten zulassen, überzeugen kann, welche Untersuchung ich jedoch hier übergehe. Eben so können sie die- nen, zu beweisen, was leicht aus dem vorigen Verhältnisse zu fol- gern ist, und anderwärts ausführlicher von mir betrachtet wird, dass die Summe der Fehlerquadrate I(), dividirt mit dem Qua- drate der Fehlersumme (37)? und multiplieirt mit der doppelten Zahl der Beobachtungen, also hier mit 2um, approximativ die Ludolf'’sche Zahl »r giebt. Nur dass die Beobachtungen der Reihe I und II bei der kleinsten Distanz wegen eines hier zu übergehen- den Umstandes nicht wohl dazu taugen. Indess gehen uns diese Verhältnisse hier nicht näher an.
Alle Reihen, die hier angeführt werden, führten mehr oder *) Es macht nach S. 1424 einen gewissen Unterschied in dem absoluten Werthe einer reinen Fehlersumme, ob sie aus Fractionen oder aus der To- talität im Zusammenhange abgeleitet wird.
weniger constante Fehler mit, deren Angabe an diesem Orte kein Interesse hat, aber in meinen » Massmethoden « stattfinden wird.
Reihe I. Fechner (9. Dec. 1856 bis 47. Jan. 4857).
5 horizontale Distanzen, durch die wenig vorragenden (Näh- nadel-) Spitzchen zweier übrigens verdeckter, vor mir neben ein- ander auf dem Tische liegender, Zirkel bestimmt, und aus deut- lichster Sehweite von ungefähr 1 par. Fuss betrachtet. Distanz- bestimmung mittelst eines Massstabes mit Transversalen, der Zehn- theile einer, hier die Einheit bildenden, halben par. Decimallinie (die selbst gleich 0,72 Duodecimallinie) giebt. Die Bedeckung der Zir- kel geschahe, um den Einfluss des Winkels bei der Schätzung aus- zuschliessen. Doch behält das Verfahren den kleinen Mangel, dass die vor der Decke vorragenden Zirkelspitzchen bei grösseren Di- stanzen schiefer stehen, als bei kleineren, ein Mangel, der bei den folgenden Versuchsreihen durch die Anwendung paralleler Fäden vermieden ist. Es scheint aber dieser Mangel einen wesentlichen Einfluss vielmehr nur auf die constanten Fehler, als den reinen variabeln Fehler geäussert zu haben, der sich, wie die folgende Tabelle zeigt, den Distanzen sehr genau proportional verhielt.
Um keinen Zweifel an der Deutung der Zahlen dieser Tabelle zu lassen, gebe ich die der ersten besonders an, wonach man alle übrigen leicht wird deuten können.
Bei der Distanz D=10, welche nach Vorigem 40 halbe paris. Deecimallinien, = 3,6 duod. Linien betrug, wurde bei der Lage der Normaldistanz zur Linken (L.) eine reine Fehlersumme 34 = 20,27 erhalten; d. h., wenn man alle (L.) bei D=10 erhalte- nen positiven und negativen der Summe nach gleichen reinen Fehler nach absolutem Werthe zusammenrechnet, so kommt die Summe von 20,27 halben par. Decimallinien heraus. Die Angabe m=60, u=?% über der Tabelle bedeutet dann, dass diese Feh- lersumme, eben so wie alle anderen in den Columnen L., R., sich aus 2.60 = 120 Einzelfehlern zusammensetzt; dass aber jede solche Fehlersumme nicht im Zusammenhange aus den 120 Beob- achtungen abgeleitet ist, sondern aus zwei Fractionen & 60 Beob- achtungen besonders; für deren jede die mittlere Fehldistanz und hiegegen die reinen Fehler besonders bestimmt wurden.
m=60, u=2. Einheit 4 par. Decimallinie.
Reihe II. Volkmann (22. März bis 4. April 4857).
8 horizontale Distanzen, bestimmt durch drei parallele, mit- telst Gewichten gespannte, und an einem dagegen senkrechten, horizontalen Massstabe verschiebbare weisse, gegen einen schwar- zen Hintergrund betrachtete, Fäden von 220 Mill. Länge in 800 Mill. Abstand des Auges. Der Massstab giebt direct Millimeter, wozwischen geschätzt wird.
Ich gebe die Summen 3/7 hier nach doppelter Berechnung, fürm=48, u=1, undm=16, u=3, was Gelegenheit giebt, sich von dem hieran hängenden Unterschiede zu überzeugen zul | „u te ee a re u. 108,92 FR 4,86) 11,06) 23,58| 42,40| 58,45| 77,23] 96,20| 440,20 | 453,68 Summe| 41,99] 48,65] 43,66] 81,89]438,90]180,88]182,60| 249,12 | 902,69 Man sieht, dass der Unterschied beider Berechnungsweisen bei den meisten Werthen sehr gering, bei D=40 R. und D= 160 R. aber sehr bedeutend ist, was mit einer im Detail der Reihe nachweislichen starken Variation constanter Fehler zusammenhängt, die hier stattgefunden hatte*). Da diese Variation sich durch die Fractionirung besser eliminirt, so verdient die Berechnung 2. vor 4. den Vorzug.
Reihe III. Volkmann (6. und 47. Dec. 4857).
Diess ist eine spätere Wiederholung der vorigen Reihe unter gleichen Umständen, blos mit Weglassung der beiden kleinsten Distanzen.
Nicht ohne Interesse wird man in vorigen Reihen die grosse Uebereinstimmung zwischen L. und R. in den verticalen Schluss- summenspalten erblicken; ein Beweis, dass die reinen variabeln Fehler von der Lage L. und R. unabhängig sind, indess die con- - stanten Fehler, die hier nicht mit angeführt sind, sich sehr davon r abhängig zeigten, und grosse Verschiedenheiten in die rohen Feh- lersummen L. und R. brachten.
Diese drei Reihen zeigen übereinstimmend die Proportionalität von 24 mit den Distanzen, welches sich am leichtesten übersieht, wenn man die Summen mit den Distanzen dividirt, wo jede Reihe eine merkliche Constanz der Quotienten zeigt. Man erhält so aus | den Summen für L. und R. (in der zweiten Reihe nach m=16, v=3) folgende Werthe für Ze | = *), Dass einige Werthe der Tabelle 4. ein wenig kleiner sind als der Ta- belle 2., hängt an besonderer Vertheilungsweise der Fehler.
Um den Durchschnittsfehler zu gewinnen, den man für die Einheit der Distanz bei einer Beobachtung begeht, oder den Bruchtheil der Distanz, welchen der Fehler durchschnittlich bei einer Beobachtung bildet, kann man das Mittel aus vorigen Wer- then für jede Reihe mit der Zahl der Beobachtungen dividiren, die zu einem Werthe beigetragen haben, wozu man das Product aus dem m und « über den Beobachtungstabellen doppelt zu nehmen hat, da das zw daselbst für L. und R. besonders gilt, hier aber beide zusammengefasst sind. Da indess die grösseren Fehlersum- men bei grösseren Distanzen genauere Werthe versprechen, als bei kleineren, wird man genauer verfahren *), wenn man sämmt- liche Fehlersummen addirt, welche Addition sich schon in den verticalen Schlusssummenspalten vorgenommen findet, dieSumme derselben mit der Summe’ sämmtlicher Distanzen dividirt, wo- durch man die Fehlersumme für die Distanzeinheit erhält, und diese mit 2 um dividirt. So erhält man Hienach schätze ich selbst durchschnittlich eine Distanz um unge- fähr 75, Volkmann bei seinen früberen Versuchen (ll) um un- gefähr „';, bei seinen späteren (III) um ungefähr „4, falsch, und dieses Verhältniss bleibt sich für die verschiedensten Distanzen gleich. Wenn man will, kann man aus diesem mittleren Fehler den wahrscheinlichen Fehler durch einfache Multiplication mit 0,845347 ableiten, d. h. den Fehler, der eben so oft überschrit- ten, als nicht erreicht wird, welcher desshalb kleiner ist, als der mittlere Fehler, weil kleinere Fehler häufiger gemacht werden, als grosse, aber das angegebene Normalverhältniss dazu hat, wor- über Näheres in meinen » Massmethoden. « Man sieht, dass die Genauigkeit der Schätzung bei Volk- *) Die Methode der kleinsten Quadrate giebt eine principiell noch etwas genauere, aber umständlichere Bestimmungsmethode an die Hand, deren Resultat aber so wenig von dem obigen abweicht, dass es nicht der Mühe lobnt, darauf einzugehen.
= imann erheblich grösser war, als bei mir. Diess kann entweder daran gelegen haben, dass die Abstände zwischen drei parallelen Fäden sich leichter vergleichen lassen mögen, als zwischen den Spitzen zweier neben einander liegender Zirkel, oder an einer wirklich grösseren Schärfe des Augenmasses als bei mir, welche in der That stattzufinden scheint, oder an beidem zusammen; was zu entscheiden weitere vergleichende Versuche erfodert haben würde. Und unstreitig wird eine ausgedehntere Untersuchung über Extreme und Mittelwerthe der Schärfe für eine grössere An- zahl Individuen und für verschiedene Umstände der Beobachtung, je nachdem man den seitlichen Faden, wie bei Volkmann’s Ver- suchen geschehen, oder den Mittelfaden verschiebt, je nachdem man blos ein oder beide Augen bei der Beobachtung verwendet, je nachdem man verticale, horizontale oder Winkel-Distanzen zwischen Puncten, zwischen Linien, und der Grösse nach kreisförmige, qua- dratische Umringe und Flächen u. s. w. dem Versuche unterwirft, ein nicht geringes Interesse darbieten; wobei überall auf die Grösse und Art der constanten Fehler sorgfältig mit Rücksicht zu nehmen. Hier jedoch galt es blos, den Gegenstand in Bezug auf das Gesetz, was uns jetzt beschäftigt, zu verfolgen.
Wenn die zweite Beobachtungsreihe Volkmann’s einen nicht unerheblich geringeren Durchschnittsfehler, und mithin grössere Präcision als die erste ergeben hat, so kann der Unterschied auf einen Erfolg der Uebung geschrieben werden; da zwischen der 1. und 2. Reihe gar manche Reihen Augenmassversuche, u. a. alle folgends anzuführenden mikrometrischen, gelegen haben, obschon sich in der fractionsweisen Behandlung der 4. Reihe für sich ein solcher Fortschritt nicht gezeigt hat, wie die Sonderuntersuchung der Fractionen ergiebt.
Vielleicht kann man es von Interesse finden, dass der Durch- schnittsfehler Volkmann’s für die extensive Seite der Gesichts- empfindung merklich mit dem eben merklichen Unterschiede der intensiven Seite bei ihm übereinstimmt; doch kann man in einer solchen Uebereinstimmung nichts Allgemeingültiges sehen.
Ich habe die Zahlen „4, 315; #5 im Rohen angegeben, indem die vorher angegebenen genauer erscheinenden Zahlen ar u.s.f.
selbst noch nicht als genau und als ganz vergleichbar gelten kön- nen, weil ein verschiedenes m bei ihrer Ableitung untergelegen hat, und dieses m überall ein endliches ist. Nach der Bemerkung S. 124 aber erhält man um so kleinere Fehlersummen und mithin mittlere Fehler, aus einem je kleineren m man die Ableitung vor- a Den Beleg dazu giebt u II, wo man nach 1) 0,01487 oder —— =. jgg) mach 2) 0,010808 = bir als mittleren Fehler für die Distanzeinheit erhält. Beiden Bestimmungen liegen dieselben Beob- achtungen unter, die aber bei 4) in Fractionen von m = 48, bei 2) in Fractionen von m=16 Beobachtungen getheilt waren, aus welchen die Ableitung erfolgte. Man sieht, der Unterschied im Ergebnisse ist nicht bedeutend, aber immerhin vorhanden und zu berücksichtigen.
Um nun sämmtliche Werthe auf den Normalfall zurückzufüh- ren, dass der Beobachtungen unendlich viele wären, hat man nach der Correctionsformel, die ich S. 126 kurz angegeben, und in mei- nen »Massmethoden« theoretisch begründen werde, jeden der vorhin erhaltenen Werthe mit + zu multiplieiren, wodurch Sollte diese Correction vollkommen ausreichen, so müssten bei Reihe II die Resultate I) und 2) dadurch zu vollkommener Ueber- einstimmung gebracht sein. In der That sieht man, dass sie sich so nahe kommen, dass man den Unterschied nicht mehr sehr beachtenswerth finden wird, und geneigt sein könnte, ihn darauf zu schreiben, dass diese Correction keine absolut genaue und sichere, sondern nur eine auf Wahrscheinlichkeitsgesetzen fus- sende ist, welche nach Zufälligkeiten kleine Unterschiede übrig lassen kann. Jedoch ist der Unterschied in der That nicht zufällig, wie mich eine hinreichende Untersuchung anderer analoger Fälle gelehrt hat, indem er sich stets in derselben Richtung findet*), *) Sollte man desshalb Misstrauen in obige Correction setzen, so be- merke ich, dass die von allen Mathematikern und Astronomen acceptirte Correction des quadratischen mittleren Fehlers, welche ich S. 425 angab, und diess hängt, wie ich ebenfalls nachweisen kann und schon im 8. Kapitel kurz bemerkt habe, daran, dass unsere Correction die nie ganz fehlenden Variationen des constanten Fehlers nicht mit trifft, welche bei grösserem m den reinen variabeln Fehler verunreinigen. In dieser Hinsicht wird der corrigirte Werth #7 bei m = 16 dem Werthe sr bei m= 48 vorzuziehen sein. Da der constante Fehler bei meinen Beobachtungen in Reihe I keine beträchtliche Grösse hatte, werden auch etwaige Variationen desselben das Resultat nicht sehr influirt haben, so dass man den corrigirten Werth ur als genau genug wird ansehen können. Auf eine ganz specielle Untersuchung darüber bin ich nicht ein- gegangen.
Ich gehe jetzt über zur Darlegung der Resultate der mikrome- trischen Reihen. Alle diese Reihen sind angestellt mit einem mikro- metrischen Schraubenapparate, der durch Ablesungen am Schrau- benkopfe Theile von 0,01 Millimeter giebt, wozwischen noch Zehn- theile geschätzt worden, die in folgenden Tabellen die Einheit bil- den, so dass also 0,001 Mill. folgends überall die Einheit ist, und 2. B. eine Distanz gleich 300 eine wirkliche Distanz = 0,300 Mil- limeter, eine Fehlersumme gleich 265 eine solche gleich 0,265 Mil- limeter bedeutet. Wo noch Bruchtheile vorkommen, die übrigens ziemlich müssig sind, sind sie durch Zurückführung der rohen Fehler auf reine entstanden.
Die Distanzen in diesem Apparate*) sind durch drei feine par- allele Silberfäden von 0,445 Mill. Dicke und 44 Mill. Länge be- stimmt, welche bei verschiedenen Sehweiten, die überall in gan- zen Millimetern angegeben werden, gegen den Milchglasschirm einer Lampe oder den hellen Himmel betrachtet wurden.
In den Volkmann’schen Reihen findet man die Werthe bei den allerkleinsten Distanzen eingeklammert, als solche, die aus dem Gesetze der Reihe heraustreten, daher bei der nachfolgenden Berechnung nicht mit in Rücksicht gezogen sind. Der Grund die- ser Abweichung lag darin, dass die Irradiation sich hier so stark geltend machte, und die Fäden so nahe dem Verfliessen kamen, dasselbe Ungenügen aus demselben Grunde zeigt, wie ich ebenfalls nach Er- fahrungen hinreichend belegen kann und belegen werde. *, Näher beschrieben in den Berichten der sächs. Soc. 1858. p. 140.
dass Volkmann auch während der Versuche selbst die gegen die übrigen Distanzen unvergleichbare Unsicherheit der Sel.“ätzung empfand. Bei Appel’s sehr scharfen und mit Irradiation sehr wenig behafteten Augen hat sich ein solcher Ausschluss nicht als nöthig dargestellt.
Ausser den hier mitgetheilten mikrometrischen Reihen liegen noch zwei dergleichen vor, die ich übergehe, weil sie mit zu we- nigen und einander zu nahe liegenden Distanzen angestellt waren, und in sich zu discordante Werthe enthalten.
Reihe V. Volkmann (April bis im Juni 1857).
6 Verticale Distanzen. Sehweite 333 Mill. Diese Versuche mit vertiealen Distanzen sind mit der Brille angestellt, da bei der hier schwierigeren Schätzung sonst keine hinreichende Deutlichkeit stattfand, indess alle Versuche mit horizontalen Distanzen ohneBrille angestellt sind.
Reihe VI. Appel (Mai und Juni 4857). 7 horizontale Distanzen. Sehweite 370 Mill.
ı Reihe VII. Appel (October 1857). 6 horizontale Distanzen. Sehweite 300 Mill. Die Berechnung von ZZ folgt hier doppelt, für «=? und u=6.
Ueberblickt man die Resultate dieser Reihen, wobei die ein- geklammerten Werthe aus angegebenem Grunde ein- für allemal ausser Beachtung fallen mögen, so sieht man nicht nur zwischen den Reihen desselben Beobachters, sondern auch beider verschie- denen Beobachter den übereinstimmendsten Gang, d. h. ein An- steigen der Fehlersummen mit den Distanzen, aber ein viel lang- sameres als in Proportion derselben, und auch die zwei hier über- gangenen Reihen zeigen sich in diesem allgemeinen Resultate mit den übrigen ganz einstimmig. Wie bemerkt jedoch kann man die Fehlersummen repräsentiren als Resultanten aus zwei Componen- ten, deren eine constant bei den verschiedenen Distanzen ist und unter dem Namen der Volkmann’schen Constante mit F beer zeichnet werden soll, indess die andere den Distanzen proportional ist, und unter dem Namen der Weber’schen Variable für die Einheit der Distanz mit W bezeichnet werden soll, wonach W noch mit der Distanz D zu multiplieiren ist, um für jede Distanz den derselben proportionalen Werth WD zu geben.
Die Zusammensetzung der reinen Fehlersumme I4 für jede gegebene Distanz aus beiden Componenten V und WD ist jedoch nach der Theorie, wie sich die Wirkungen von Fehlerquellen com- biniren, nicht durch eine einfache Addition beider Componenten zu repräsentiren, d. h. man kann nicht setzen Z4=V+-WD sondern die Summe der Quadrate beider Componenten ist dem Quadrate von 34 gleich zu setzen, so dass man hat mithin Da das Quadrat einer Fehlersumme, d. i. (I)? nach der Fehlertheorie ein a priori bestimmbares Verhältniss zur Summe der Fehlerquadrate (4) hat; so kann man statt der Quadrate der Fehlersummen Summen der Feh- lerquadrate in vorigen Gleichungen substituiren. Das physiologische Interesse, auf das ich unten komme, dürfte sich aber mehr an erstere Form knü- pfen, die ich daher zunächst dem Folgenden zu Grunde gelegt habe.
In der That lässt sich leicht theoretisch nachweisen und dazu durch Erfahrung bewähren, dass, wenn zwei von einander unab- hängige Fehlerquellen gegeben sind, deren eine für sich eine Feh- lersumme A, die andere eine Fehlersumme B erzeugt haben würde, aus ihrem Zusammentreffen nicht eine Fehlersumme A+B hervor- gehen kann, sondern nur eine kleinere Fehlersumme, weil durch- schnittlich eben so oft Fehler von entgegengesetztem Vorzeichen als von gleichem Vorzeichen aus beiden Ursachen zusammentref- fen, aber nur letztere einen resultirenden Fehler gleich ihrer Summe, erstere einen solchen gleich ihrer Differenz geben; die Theorie der Fehler aber zeigt, dass die Summe der Fehlerquadrate der Componenten normalerweise (d. i. streng für eine unendliche Zahl unter ‚vergleichbaren Umständen gewonnener Fehler) gleich der Summe der resultirenden Fehlerquadrate, so wie, dass die Summe:-der Quadrate der einfachen Fehlersummen normalerweise dem Quadrate der resultirenden Fehlersumme gleich ist, und eine Bestätigung dieses Resultates der Theorie durch Erfahrung kann man leicht finden, wenn man die Fehler zweier von einander un- abhängiger irgendwie gewonnener Fehlerreihen als Componenten durch algebraische Addition zu resultirenden Fehlern zusammen- setzt, wodurch man ein Aequivalent für das Zusammentreflen des Erfolges von einander unabhängiger Fehlerquellen erhält. In der That habe ich mich auf diese Weise von der Bestätigung des theo- retischen Resultates sowohl bezüglich der Fehlerquadratsumme als des Quadrates der Fehlersumme durch mehrfache Proben über- zeugt und werde anderwärts die Belege dazu geben.
Insofern nun für das Auge eine von den Distanzen unabhän- gige und eine von den Distanzen im angegebenen Sinne abhängige Fehlerquelle existiren sollte, wird auch das Vorige auf die davon abhängigen Componenten Anwendung finden müssen, und wer- den die obigen Gleichungen dadurch begründet werden. Ob aber die Voraussetzung solcher Fehlerquellen triftig sei, wird aus den Beobachtungen selbst zu ermitteln sein, sofern sich im Falle der Triftigkeit derartige Werthe V, W daraus berechnen lassen müs- sen, dass die Beobachtungswerthe rückwärts wieder dadurch nach obigen Formeln repräsentirt werden können.
Zu solcher Berechnung von V, W reichen an sich die Beobach- tungen bei zwei verschiedenen Distanzen aus. Nehmen wir in Reihe IV die Fehlersummen für D= 800 und D= 1400, respectiv 1541,5 und 2275,7, indem wir L. und R. zusammenfassen, so haben wir anzusetzen hieraus sind V? und W? leicht als zwei durch zwei Gleichungen bestimmte Unbekannte zu finden, wonach eine Wurzelausziehung V und W selbst giebt.
Insofern Versuche bei mehr als zwei Distanzen zur Bestim- mung zu Gebote stehen, kann man V und W aus mehreren der- artigen Combinationen berechnen, wo dann die Statthaftigkeit der Voraussetzung sich auch noch vor Rückwärtsberechnung der Feh- lersummen nach V und W dadurch rechtfertigen muss, dass die Werthe von V, W, welche man aus den verschiedenen Combina- tionen erhält, nahe genug übereinstimmen, um die Abweichungen, welche übrig bleiben, auf unausgeglichene Zufälligkeiten der Beob- achtung schreiben zu können. Durch Mittelziehung aus mehreren so bestimmten Werthen kann man dann V und W genauer be- stimmen.
Dieses Verfahren hat nur den Uebelstand, dass die Wahl zwischen den Beobachtungswerthen, welche man zu je zwei com- biniren will, willkührlich ist, und jede andere Gombinationsweise ein etwas anderes Definitivmittel finden lässt; obschon, wenn die Beobachtungen wirklich genau genug zur Voraussetzung stimmen, die Unterschiede des Definitivresultates hienach so kleiv sind, dass ein Werth so gut als der andere gebraucht werden kann. Inzwi- schen bleibt jedenfalls die Berechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate vorzuziehen, welche alle Willkühr aus- schliesst, und das genauestmögliche Resultat finden lässt, was überhaupt aus der Beobachtungsreihe abzuleiten ist. Sie hat mir nach den vereinigten Summen für L. und R. ohne Reduc- tion auf gleiches m und auf gleiche Sehweite, welche erst un- ten folgt, unmittelbar folgende Resultate gegeben *), wobei der wahrscheinliche Fehler der Bestimmung mit + beigefügt ist, und das 4 das für die Zusammenfassung von L. und R. gültige, also doppelt so gross als das g. über den Beobachtungstabellen ist.
Werthe von V und W für die unreduecirten Fehler- summen, nach der Gleichung V? + D? W? = (Z4)?.
W Um nun hienach zu entscheiden, ob sich unsere Voraussetzung der Volkmann’schen Constante und Weber’schen Variable im angegebenen Sinne bestätigt, können wir zuvörderst auf die *) Dieselbe wurde so angewandt, dass die Gleichungen in der Form v”” + D* W* = (Z4)* angesetzt wurden, welche unmittelbar linear ist, so- fern V*, W* als Unbekannte gesucht werden. Aus: den so erhaltenen Werthen Y*, W* sind dann Y, W durch Wurzelausziehung abgeleitet. Die wahrscheinlichen Fehler von Y, W sind nach den Abweichungen der be- rechneten von den gefundenen (24)? für V? und W* berechnet, und nach den Prineipien der Fehlerrechnuug durch Division Re mit2y, 2W auf die von V, W redueirt.
Fechner, Elemente der Psychophysik. 15