93 ren Fehler die Augenmass- und Tastversuche unter, über die mir allein eigene Erfahrungen zu Gebote stehen. Die Bezeichnungen, die ich im Folgenden brauche, werden später überall bei Bezug- nahme auf die betreffenden Methoden wieder gebraucht werden.
d Specielles zur Methode richtiger und falscher Fälle, in Anwendung auf die Gewichtsversuche.
Die (im Jahre 1855 begonnenen) Versuche, auf deren Grund- lage die folgenden Ausführungen über die Methode der richtigen und falschen Fälle beruhen, wurden zuerst nur in der einfachen Absicht einer genaueren Prüfung des Weber’schen Gesetzes unter- nommen, später im Interesse der Ausbildung der Methode selbst fortgeführt und weiter ausgedehnt, nachdem sich gezeigt hatte, dass die Prüfung, die ich im Auge hatte, eine zuvorige Unter- suchung der Bedingungen der Genauigkeit der Methode, eine Aus- bildung ihrer experimentalen und Rechnungsseite erst foderte, welche zur Zeit noch nicht vorlag. Während mehreren Jahren be- trachtete ich es als eine Art täglicher Arbeit, ungefähr 4 Stunde lang Versuche in diesem Interesse anzustellen, und solche con- sequent in Bezug auf die Ermittelung dieses oder jenes bestimm- ten Verhältnisses eine grössere Zahl von Tagen hindurch fortzu- setzen. Hiedurch ist ein, in dieser Schrift bei Weitem nicht zu erschöpfendes, Material von Versuchen erwachsen, wovon die, in einigen der folgenden Kapitel vorkommenden, grossen Ver- suchszahlen, und die mehrfache Wiederholung von Versuchsreihen zur Feststellung wichtiger Puncte zu verschiedenen Zeiten und unter abgeänderten Umständen, Zeugniss geben, auch ist da- durch eine grosse Uebung in Handhabung der Methode entstanden.
Insofern es bei unserer Methode darauf ankommt, das Ver- hältniss der Zahl der richtigen Fälle zur Zahl der falschen Fälle oder zur Totalzahl der Fälle zu bestimmen, werde ich, unter vor- zugsweiser Anwendung des letzten Verhältnisses, die Zahl der richtigen Fälle mit r, die der falschen Fälle mit f, die Totalzahl der Fälle mit n bezeichnen, also das Verhältniss, mit dem wir uns hauptsächlich zu beschäftigen haben werden, mit. so aber, dass, wenn eine Versuchszahl bezüglich eines Beobachtungswer- thes in gleiche Fractionen getheilt wird, und diese besonders in 94 Rechnung genommen werden, r und n auf die Zahl der richtigen und gesammten Fälle einer jeden Fraction insbesondere geht, indess mit» die Anzahl der Fractionen bezeichnet wird, wo dann vn die Totalzahl der Fälle für den betreffenden Beobachtungs— werth ist. Bezieht sich die ganze Beobachtungsreihe, wie diess in der Regel der Fall ist, auf mehrere unter einander zu verglei— chende Beobachtungswerthe, so muss dann natürlich »n noch mit der Zahl derselben multiplieirt werden, um die Totalzahl der Fälle für die ganze Reihe zu erhalten.
Wo das Urtheil zweifelhaft bleibt, ist ein solcher Fall be- merktermassen halb den richtigen, halb den falschen Fällen zuzu— zählen. Um aber hieraus hervorgehende halbe Fälle zu vermeiden, rechne ich, weil es bei der Bildung des Bruches — nur auf Verhältnisse ankommt, jeden richtigen Urtheilsfall als zwei rich- tige, jeden falschen als zwei falsche Fälle; und jeden, wo das Urtheil zweifelhaft bleibt, als einen richtigen, einen falschen. Mit P wird das Hauptgewicht, d. i. das Gewicht eines jeden der vergleichsweise gehobenen Gefässe sammt Belastung ohne D, mit D das Zusatzgewicht (Mehrgewicht) bezeichnet werden, das beim Versuche angewendet wird, mit h ein Werth, welcher der Unterschiedsempfindlichkeit direet proportional, mithin dem Zu- satzgewichte D, das ein gleiches Z zu liefern vermag, umgekehr proportional ist, oder kurz das Mass der Unterschiedsempfindli keit, um das es zu thun ist.
Die Methode lässt sich in doppelter Weise anafohrent na einem ersten Verfahren so, dass man sich erst nach wiederh tem Hin- und Herwiegen der belasteten Gefässe entscheidet, we ches schwerer oder leichter ist; nach einem zweiten so, dass man sich unverbrüchlich nach er einzelnen vergleichsweisen Auf- hebung beider Gefässe entscheidet, oder bei Zweifel das Urtheil zu den unentschiedenen legt, welche halb den richtigen, halb den falschen beigezählt werden.
Früherhin habe ich immer das erste Verfahren angewandt; aber später alle damit angestellten Versuche verworfen, und ich ausschliesslich an das zweite gehalten, nachdem ich mich von d weit grösseren Vorzüglichkeit desselben überzeugt habe. nur lässt es sich gleichförmiger herstellen, als das erste, sondern es kann auch eine genaue Elimination und Bestimmung der, _ 95 von der Zeit- und Raumlage abhängigen Miteinflüsse, welche einen constanten Fehler begründen, nur nach dem zweiten Verfahren, durch angemessene Entgegensetzung dieser Einflüsse gegen ein- ander, erzielt werden, wie sich unten ergeben wird.
Natürlich begeht man nach dem zweiten Verfahren leichter einen Irrthum bezüglich der Richtung des Unterschiedes als ersten- falls, und die Zahl der unentschiedenen und falschen Fälle fällt unter Anwendung eines gleichen D bei gleicher Totalzahl der Fälle grösser aus, als nach dem ersten Verfahren, was aber die Methode nicht ungenauer macht, sofern diese ja auf der Begehung von Irr- thümern zu fussen hat, und was durch Anwendung eines grösse- ren D compensirt werden kann, um nicht zu kleine Verhältnisse —zu erhalten, welche eben so wenig als zu grosse vortheilhaft für das Mass sind. Von anderer Seite liefert die zweite Methode in gleicher Zeit viel mehr Fälle als die erste, und es kann dabei jede einzelne Doppelhebung mit der anderen ganz gleich oder ver- gleichbar hergestellt werden.
Eine Nichtkenntniss der Lage des Mehrgewichtes und mithin Zuziehung eines Gehülfen zur Bestimmung der jedesmaligen Lage desselben, um einen Einfluss der Einbildungskraft auf das Urtheil auszuschliessen, ist bei dem ersten Verfahren wesentlich, bei dem zweiten nach der unten zu beschreibenden Ausführungsweise desselben nicht nur nicht nöthig, sondern auch nicht einmal an- wendbar. Diess wird sich nach genauerer Darlegung der ganzen Sachlage der Methode bestimmter motiviren lassen.
Gemäss der Bemerkung $. 88 ist die Hebung der Gefässe im- mer successiv vorzunehmen, und eine Doppelhebung des zweiten Verfahrens, welche ein Urtheil begründet, entsteht also durch folgweise einmalige Hebung des einen und des anderen Gefässes, schliesst somit zwei einfache Hebungen ein. Inso- fern aber nach der S. 94 angegebenen Weise jedes Urtheil zu zwei Fällen gerechnet wird, wird die Totalzahl der Fälle durch die Zahl der einfachen Hebungen, nicht der Doppelhebungen bestimmt.
Wenn ich beide Gefässe mit derselben Hand hebe, so be- zeichne ich es als einhändiges Verfahren; wenn ich das eine mit der einen, das andere mit der anderen Hand hebe, als z wei- händiges. Auch das einhändige ist aber immer von mir mit beiden Händen insofern ausgeführt worden, als die Linke und 96 Rechte in wechselnden Versuchsabtheilungen angewandt wurden. Hiebei hat sich in jeder grösseren Versuchsreihe die Rechte etwas, doch wenig empfindlicher, als die Linke gezeigt; das einhändige Verfahren aber überhaupt nicht unerheblich empfindlicher, als das zweihändige. Die constanten Einflüsse der Zeit- und Raumlage der Gefässe sind nach einhändigem, zweihändigem, linkshändi- gem, rechtshändigem Verfahren sehr verschieden. Es ist jedoch hier nicht am Orte, in die Specialitäten einzugehen, die mir dar- über zu Gebote stehen, Besondere Rücksichten erfoderte die Einrichtung der Ge- fässe, welche mit den eingelegten Belastungsgewichten zusammen das Hauptgewicht P geben; und erst, nachdem ich viel Zeit durch Versuche mit unvollkommenen Einrichtungen verloren, bin ich bei der unten kurz zu beschreibenden Einrichtung mit einer dreh- baren Griffrolle und fixirten, mit den Gefässen so zu sagen einen zusammenhängenden festen Körper bildenden, Belastungsgewichten stehen geblieben, welche genügt hat.
Vielleicht hat es einiges Interesse, wenn ich als ein Beispiel — und in der That ist es nur ein Beispiel — durch wie viel Kleinigkeiten man bei Ver- suchen dieser Art in Verlegenbeit gesetzt und aufgehalten werden kann, zu- vor etwas von jenen unvollkommenen Einrichtungen erwähne.
Anfangs wandte ich als Gefässe einfache hohle Holzcylinder an, d ie ic mit der Hand von oben umfasste. Aber bei schweren Hauptgewic) musste die Hand stark zusammengeknippen werden, damit die Gefässe nic! aus der Hand glitten, indess bei schwachen die Hand von selbst gen war, leise zuzugreifen. Auch liess sich die Gleichförmigkeit der Fas nicht wohl verbürgen. Dann liess ich die Gefässe mit Messingbügeln ver- sehen, die sich um Stifte drehten, welche an den entgegengesetzten Enden eines Diameters des Gefässes angebracht waren, damit die Gefässe sich beim i Heben von selbst nach der Schwere orientiren möchten. Aber diese Vo richtung wurde bald schlottrig. Dann liess ich die Bügel fest annieten; da sie aber$ um die Gefässe nicht durch sich selbst zu schwer zu machen, von dünnem Messingblech waren, zogen sie sich, wenn ich zu grösseren Haupt- gewichten übergieng und konnten nicht mehr für vergleichbar gelten. Nach- dem ich stärkere substituirt halte, habe ich, nach Verwerfung aller frühe- ren Versuche, mit diesem Apparate fast ein Jahr lang sorgfältige und müh- same Versuche angestellt, und diese zuletzt alle ebenfalls, wenn auch nicht geradezu, verworfen, aber als der Wiederholung und Controle bedürftig erach- di tet, die seitdem von mir so weit durchgeführt ist, dass alle jene früheren Versuche dadurch als überflüssig oder ihrerseits nur als zueiner beiläufgen Controle der Resultate der neueren dienlich gelten können; auch ist it Folgenden ganz davon abstrahirt. Diess hieng an folgendem Umstande. Die früher von mir angewandten, aus dem Verkehre genommenen und BR 97 Nachwiegen controlirten Belastungsgewichte hatten nach ihrer verschiede- nen Schwere auch verschiedene Grösse. Da nun die Gelässe weit genug sein mussten, dass auch die grössten darin Platz hatten, waren die kleinen und selbst grössere nicht vor Verschiebung beim Heben der Gefässe ge- sichert. Ich setzte voraus, dass der Druck doch immer mit der ganzen Schwere des Gefässes auf dieselben Puncte der die Bügel umfassenden Hand fallen müsse, also kein Nachtheil aus einer etwaigen Verschiebung der Gewichte in den Gefässen hervorgehen könne, unterliess aber bei der Menge sonst zu untersuchender und nach einander untersuchter Nebenumstände, welche von Einfluss bei dem Verfahren sein können, diess zum Gegenstande besonderer Untersuchung zu machen. Diese Vernachlässigung hat sich schwer gerächt. Denn als ich endlich doch der Sicherheit halber die Unter- suchung darauf richtete, indem ich absichtlich vergleichungsweise Versuche mit in der Mitte und ganz seitlich im Gefässe fixirten Belastungsgewichten an- stellte, zeigte sich, dass vermöge zwar nicht anderer Grösse, aber anderer Vertheilungsweise des Druckes die Erfolge beidesfalls ganz entschieden ver- schieden ausfallen, das Gefäss nämlich am schwersten erscheint, wenn das Gewicht die Mitte des Gefässes einnimmt, und dass der Unterschied sogar nicht unbeträchtlich ist, wenn man extreme Lagen in dieser Hinsicht ver- gleicht. Nun konnten allerdings bei meinen Versuchen nur viel geringere, und nach Wahrscheinlichkeit durch die grosse Menge Versuche sich in der Hauptsache compensirende Verrückungen stattgefunden haben, was sich auch theils durch die Uebereinstimmung der einzelnen grösseren Fractionen in den gewonnenen Zahlen, theils dadurch bestätigt hat, dass die späteren Versuche mit der vollkommeneren Einrichtung wesentlich zu ganz denselben Resultaten geführt haben; indess machten mir jene früheren Versuche keine Freude mehr, und die Schärfe und bindende Kraft derselben war, wenn nicht im Ganzen, aber in den Einzelbestimmungen, zu precär geworden, um nicht die Mühe einer Wiederaufnahme derselben mit einem neuen Apparate der Beruhigung bei den bisherigen vorzuziehen.
Alle Versuche, auf die ich mich folgends zu beziehen haben werde, sind nach dem zweiten Verfahren (S. 9%) unter sehr gleichförmigen Umständen ausgeführt, welche ich hier als Nor- malumstände oder Normalverhältnisse beschreibe, Ne- benpunete dabei übergehend, die ich in den »Massmethoden « nachzutragen mir vorbehalte. Von diesen Normalverhältnissen wurde nur insofern abgewichen, als der Erfolg solcher Abände- rungen selbst zum Gegenstande der Untersuchung gemacht werden sollte.
Die Gefässe bestanden nach der Einrichtung, bei der ich zu- letzt stehen blieb, nur in einer Art Gestellen, aus & verticalen, unten durch ein horizontales Kreuz verbundenen, Messingstäben, zwischen welche die, genau einpassenden rechteckigen, nur in Fechuer, Elemente der Psyehophysik. 7 SIRLIGTHECA REGIA MONAUENSIS ke 98 der Dickedimension verschiedenen, Gewichte (theils von Blei, theils Zink) eingelegt wurden, so dass sie eine feste Lage darin hatten und sich bei den Hebungen nicht verschieben konnten. Das Ge- fäss mit dem eingelegten Gewichte und einem darauf aufgelegten Deckel, auf dessen Mitte ein kleines offenes Kästchen aufgelöthet war, bildete zusammen das Hauptgewicht P, welches sorgfältig gleich für beide Gefässe gemacht wurde. In das Kästchen des Deckels des einen beider Gefüsse ward dann das Zusatzgewicht D gelegt, das solchergestalt auch seinen festen Platz, auf der Mitte des Hauptgewichts, behielt. Der Handgriff der Gefässe war eine, um-eine horizontale Axe drehbare, hölzerne Rolle von I par. Zoll Durchmesser, welche mit der ganzen Hand umfasst wurde. Jedes Gefäss hatte je nach Anwendung eines leichteren oder schwereren Deckels, mit diesem zusammen, 300 oder 400 Gram— men Gewicht, so dass 300 Grammen das kleinste Hauptgewicht P war, was angewandt werden konnte, wenn nämlich unter An- wendung des leichten Deckels keine weiteren Belastungsgewichte zugefügt wurden. Als grösstes Hauptgewicht habe ich 3000 Gram- men gebraucht; eine schwerere Last hätte der Apparat vielleicht nicht auf die Dauer vertragen. Wo es nicht galt, die Erfolge der Anwendung verschiedener Hauptgewichte zu prüfen, habe ich gewöhnlich 4000 Grammen als Hauptgewicht angewandt. Als Zusatzgewichte dienten meist die Grössen 0,04 P und _ Ungeachtet beide Gefässe ganz gleich construirt waren, W.
doch, um einen Einfluss einer etwa unbemerkt gebliebenen V schiedenheit zu compensiren, in jeder Versuchsreihe D eben so « im einen als anderen Gefässe unter sonst gleichen Umständen an- gebracht. 2 Die Hebungshöhe wurde durch ein, in einiger Höhe über dem Versuchstische angebrachtes horizontales Bret begränzt, so dass sie 2 Zoll 9 Lin. paris. betrug. u Die Hebungen geschahen mit unbekleidetem Arme, in blossen Hemdärmeln. - 1.
Der Modus der Hebungen war der, dass, wenn bei einer ersten Doppelhebung beispielsweise das linke Gefäss zuerst auf- gehoben ward, bei der zweiten diess mit dem rechten geschahe, und so fort im Wechsel. 32 solchergestalt im Wechsel hinter-— einander vollführte Doppelhebungen oder 64 einfache Hebungen 99 welche eben so viel Fälle begründen, fasse ich als Versuchs- abtheilung zusammen, während welcher D immer in demsel- ben Gefässe liegen blieb. In der Mitte jeder Abtheilung, d. i. nach 32 einfachen Hebungen, ward aber jedesmal die Stellung der Gefässe von Links zu Rechts gewechselt. Auf der 4fach verschie- denen Zeit- und Raumlage, welche das Mehrgewicht D hiedurch erhält, beruhen die unten näher zu besprechenden sog. 4 Haupt- fälle der Methode, deren jeder demnach mit 146 einfachen He- bungen oder Fällen in jeder Versuchsabtheilung vertreten war. Soleher Abtheilungen von je 64 Fällen wurden unter Abänderung der zu untersuchenden Verhältnisse (P, D u. s. w.) meist 8 bis 12 an jedem Versuchstage hinter einander angestellt und bei den grösseren Versuchsreihen meist 4 Monat durch fortgesetzt.
Die durch einen Zähler regulirte Zeit jeder Hebung eines Ge- fässes betrug 1 Secunde, die jeder Niedersetzung 4 Secunde, die Zwischenzeit zwischen Niedersetzen des einen und Heben des an- deren Gefässes auch 4 Secunde, also die Zeit jeder Doppelhebung, welche einen Vergleich oder 2 Fälle begründet, genau 5 Secun- den. Eben so viel Zwischenzeit, d. i. 5 Secunden, liess ich zwi- schen einer und der je nächsten Doppelhebung, während welcher die Aufzeichnung des Resultates stattfand. Beim einhändigen Verfahren geschahe die Aufzeichnung stets mit der müssigen Hand; beim zweihändigen nach den Versuchstagen wechselnd mit der einen oder anderen Hand.
Man übt sich bald auf einen ganz mechanischen Vollzug die- ser Operationen nach dem Zähler ein, und auch die Application der Aufmerksamkeit wird bald ganz mechanisch und gleichförmig, so dass sie sich, wie ich aus meinen Vesuchszahlen selbst bewei- sen kann, zu Ende der täglichen Versuchsstunde nicht merklich geschwächt zeigt; die, durch das Mehrgewicht D, die constanten Miteinflüsse der Zeit- und Raumlage, und die unregelmässigen Zu- fälligkeiten gemeinsam bestimmten, in der Richtung unregelmässig wechselnden Urtheile: rechts schwerer, linksschwerer, zweideutig, fallen so zu sagen mit objectivem Charakter bei den Doppelhe- bungen in die Hand, ohne dass man Wahl und Besinnen nöthig hat, was bei dem ersten Verfahren allerdings der Fall ist.
Wie die Aufzeichnungsweise einzurichten sei, um sich nicht - zu verwirren, und die bei den 4 Hauptfällen erhaltenen richtigen 7“ Fälle leicht gesondert zusammenzählen zu können, wird näher in den » Massmethoden « angegeben.
So viel vorläufig von den äusseren Verhältnissen der Ver- suche. Hienach gehe ich zu den allgemeineren Verhältnissen der Methode über.
Die allgemeine Aufgabe der Methode ist, unter den verschie- denen Umständen, unter denen die Unterschiedsempfindlichkeit für Gewichte vergleichsweise geprüft werden soll, für jeden der zu vergleichenden Umstände durch eine hinreichende Zahl Versuche einen Werth n oder, unter Theilung der Versuchszahl in » Fraction, » Werthe - zu gewinnen, und hieraus das Mass der Unterschiedsempfindlichkeit abzuleiten, womit noch die Nebenauf- gabe in Beziehung gesetzt werden kann, die Grösse und Richtung der bei den Versuchen mitwirkenden constanten Nebeneinflüsse zu bestimmen.
Nun scheint sich von vorn herein eine fundamentale Schwie- rigkeit darzubieten.
Wir en, dass unter sonst gleichen Umständen das Ver- hältniss 7 — mit der Empfindlichkeit für den Gewichtsunterschied wächst; aber ein doppelt so grosses — entspricht nicht | doppelt so grossen Unterschiedsempfindlichkeit, wenn wi von uns aufgestellten Massbegriffe derselben treu bleiben v sondern ein halb so grosses Zulagegewicht D, was ein gleich giebt, entspricht der doppelten Empfindlichkeit; und schon aus allgemeinem Gesichtspuncte lässt sich Folgendes bemerken.
die Zulage Dimmer so gross im Verhältnisse zu? nehmen könn dass fast alle oder wirklich alle Fälle richtig werden, un leuchtet ein, dass auch die stärkste Vermehrung de Emp lichkeit dann keine Vergrösserung des Verhältnisses — „ milf hre kann; dass also in diesem Verhältnisse, da es bei ach geänder-. ter Empfindlichkeit nahe oder ganz constant bleiben kann, kein geeigneter allgemeiner Massstab der Empfindlichkeit zu suche wäre; wogegen man bei der sehr verstärkten Empfindlichkeit mit einem viel geringeren Zulagegewichte ausreichen wird, di Verhältniss z auf gleiche Approximation zu - zu bringen, u hienach die Verstärkung der Empfindlichkeit zu beurtheilen, so dass man schon durch die Natur der Sache auf das von uns auf- gestellte Mass gewiesen wird. Aber wie soll es bei unserer Me- thode Platz finden?
Gesetzt, ich will beispielsweise die Empfindlichkeit der lin- ken und rechten Hand für Gewichtsunterschiede vergleichen, und stelle bei demselben Hauptgewichte P und demselben Zusatzge- wichte D einmal Hebungen beider Gefässe mit der Linken (L.), ein anderes Mal mit der Rechten (R.) an, so erhalte ich doch zu- nächst nur ein verschiedenes z für L. und R., was mich auf die grössere oder geringere Empfindlichkeit der einen oder anderen Hand schliessen lässt, aber damit kein vergleichbares Mass dieser Empfindlichkeiten; und es fragt sich, wie komme ich dazu, die verschiedenen Grössen der Zulage D zu finden, welche das- selbe Verhältniss L für L. und R. geben würden.
Aehnlich, wenn ich die Empfindlichkeit einer und derselben Hand, oder beider Hände im Durchschnitte, bei verschiedenem P untersuchen will. Dieselbe Zulage D giebt nach Erfahrung bei kleinem P ein grösseres Verhältniss ” als bei grösserem, aber es handelte sich vielmehr darum, das verschiedene D zu finden, wel- ches dasselbe - für die verschiedenen P's giebt, um im reciproken Werthe dieser D das Mass der Unterschiedsempfindlichkeit bei den verschiedenen Werthen von P zu haben.
Die Methode der richtigen und falschen Fälle in der seither bekannten Anwendung war aus diesem Gesichtspuncte in der That nur geeignet, eine Anzeige des Mehr und Weniger, aber nicht ein vergleichbares Mass der Empfindlichkeit zu gewähren. Doch lässt sich die Methode dahin ausbilden, ein solches zu gewähren, Zunächst bietet sich der Weg des Tatonnements dar. Man kann die Gewichtszulage unter den verglichenen Umständen so lange abändern, bis man dasselbe - damitzerhält,. Aber da nur aus einer grossen Menge Versuche überhaupt ein sicheres Resul- tat selbst für ein und dasselbe D gezogen werden kann, so ist diess Verfahren, was eine grosse Menge Versuche für jedes der probirten D’s fodert, nicht nur unsäglich langwierig, sondern führt auch nach mühsamstem Probiren zu keiner Genauigkeit.
Kassa Kassa Allerdings kann man zwischen nahe liegenden Werthen in- terpoliren; und längere Zeit habe ich mir auf diese Weise zu hel- fen gesucht; doch ist der Uebelstand der Umständlichkeit und Ungenauigkeit dadurch nur sehr unvollständig zu heben. Glück- licherweise aber ist er einfach und vollständig zu heben, Nach einer principiell genauen und durch Versuche von mir wohl bewährten, zwar auf mathematische Analyse gegründeten, aber leicht ins Praktische zu übersetzenden, Regel lässt sich aus jedem En was bei einem gewissen D.erhalten worden ist, finden, welches D bei demselben P und übrigens gleich gehaltenen Um-— ständen erfoderlich gewesen sein würde, ein beliebiges anderes z, zu geben, also auch das, was man als festes unterlegen will, wofern nur das Z, nach dem man schliesst, aus einem hinrei— chend grossen n gewonnen ist. Ja man kann direct, ohne Rech- nung, aus jedem - dem ein hinreichend grosses n unterliegt”), nach einer Tabelle das Mass der Unterschiedsempfindlichkeit, um das es zu thun ist, so finden, dass es dem von uns aufgestellten Begriffe dieses Masses entspricht; und es soll sofort gezeigt wer- den, wie diess zu bewirken ist, nachdem nur zuvor einige Worte über.den Weg, der dazu geführt hat, vorausgeschickt sind. Bei einem Studium der Wahrscheinlichkeitsrechnung, zu ich mich immer von Neuem durch das Interesse der Ausbild unserer Methoden getrieben fand, bot sich mir die Betrachtum dar, 1) dass nach der Sachlage unseres Verfahrens das Mass der Empfindlichkeit für Unterschiede durch den, gewöhnlich mit bezeichneten, Werth vertreten werden könne, der nach Gau das Mass der Präcision von Beobachtungen bietet, sofern bei ver- gleichbar gehaltener Modälität des Verfahrens die Präcision nur noch von der Empfindlichkeit, womit der Unterschied aufgefasst wird, abhängt; 2) dass zwischen dem durch die Versuche gebotenen - und dem Producte jenes Masses A in das Zulagegewicht den einzelnen Fractionen an Genauigkeit, hier: aber solche dann wie de durch Zusammenlegung der Resultate der Fractionen. (Vgl. 8.88), mathematische Beziehung stattfinden müsse, welche eine Ablei- tung von AD aus 2 und hienach durch Division mit D das Mass der Unterschiedsempfindlichkeit A finden lassen müsse.
Es galt nur noch, diese Beziehung erstlich theoretisch fest- zustellen, zweitens durch den Versuch zu bewähren, drittens für unsere Massmethode praktisch zu verwerthen. Diese drei Auf- gaben glaube ich befriedigend gelöst zu haben, womit die Methode der richtigen und falschen Fälle erst die Bedeutung einer wirk- lichen Massmethode erlangt haben dürfte.
Was die mathematische Deduetion anlangt, so gebe ich sie, da es für die praktische Anwendung der Methode nicht nöthig ist, davon Einsicht zu nehmen, in folgender Einschaltung. Die experimentale Bewährung kommt wesentlich darauf heraus, experimental zu zeigen, dass, wenn man bei constanter Empfindlichkeit einen gewissen Werth I bei einem gewissen Werthe D erlangt hat, der nach unserer mathematischen Bezie- hung berechnete Werth = für ein anderes D, was zu jenem in bestimmtem Verhältnisse steht, sich durch Versuche richtig wiederfindet, unter Gestattung natürlich so kleiner Abweichun- gen, als auf nicht ausgeglichene Zufälligkeiten zu schreiben; — oder, was nur eine andere Form derselben Bewährung ist, dass die, bei gleicher Empfindlichkeit aber verschiedenem D durch den Versuch erhaltenen Verhältnisse z nach der, auf unsere mathematische Beziehung gegründeten Tabelle Werthe von hD geben, welche proportional mit D sind.*) Zum Belege hievon aber stehen mir sehr ausgedehnte Beobachtungsreihen zu Gebote, die ich in den »Massmethoden« mittheilen werde. Auch werden wir auf einige derselben im 9. und 12. Kapitel von selbst geführt werden.
Hienach wird sich der Gegenstand rein praktisch so darstel- len lassen, dass Jeder auch ohne Einsicht in die Gründe der zu gebenden Regeln und selbst ohne mathematische Vorkenntnisse sich der Methode messend bedienen kann. Auch wird man diess *) Da die Unterschiedsempfindlichkeit, um die es sich hier handelt, mit P (aber nicht mit D, so lange D klein bleibt) variabel ist, so wird zu Ver- suchen mit gleichbleibender Empfindlichkeit ein constantes P erfodert.
mit Zutrauen thun können, nachdem sich. die theoretische Ablei- tung derselben der Controle durch eine berühmte mathematische Autorität zu erfreuen gehabt, und die Gontrole durch die Erfah- rung ebenfalls entscheidend gewesen ist.
Mathematische Aufstellung und Deduction der Rechnungsregel der Methode der richtigen und falschen Fälle.
Indess bis jetzt kein aprioristisches Princip vorliegt, wie je nach der Grösse des Hauptgewichtes P sich das Verhältniss bei constantem Zusatz- n gewichte D ändern muss, vielmehr diess nur als Sache eines durch das Ex- periment zu constatirenden Gesetzes anzusehen ist, so ist dagegen möglich, nach den Principien der Wahrscheinlichkeitsrechnung a priori anzugeben, wie sich das Verhältniss -_ ändern muss (ein grosses n vorausgesetzt), wenn n bei gleichbleibendem Hauptgewichte P und überhaupt gleichbleibender Un- terschiedsempfindlichkeit h das Zusatzgewicht sich ändert, oder überhaupt der Einfluss sich ändert, welcher das scheinbare Uebergewicht bestimmt, und der hier ein- für allemal durch D vertreten werden mag. Es sind näm- lich hiebei dieselben Principien massgebend, nach welchen man auch, gleichbleibende Präcision der Beobachtung vorausgesetzt, die Aende der verhältnissmässigen Zahl der Beobachtungsfehler nach den konder ihrer Grösse bestimmen kann. Die Beziehung zwischen " und Dh, n es sich hier handelt, ist jedoch nicht durch einen endlichen Ausdruck, dern nur durch einen Integralausdruck darstellbar, der zur praktische z werthung der Beziehung tabellarisch repräsentirt werden muss, wie unte geschehen wird.
Der folgends mit © zu bezeichnende Integralausdruck, welcher ins Spiel kommt, ist derselbe, durch welchen die relative Zahl oder scheinlichkeit der Fehler in gegebenen Gränzen der Grösse bestimmt w nur dass an Me! Stelle des, gewöhnlich mit 4 bezeichneten, Fehlers das ha Mehrgewicht 2 T tritt, nämlich Vrje d Vrje d wo zdie Ludolf’sche Zahl, e die Grundzahl der natürlichen Logarithmen, tmhd=. h das Präcisionsmass im Gauss’schen Sinne ist. Der Werth. von t, welcher einem gegebenen Werthe von © zugehört, findet sich ar manchen Orten tabellarisch repräsentirt, so im Berlin. astronom. Jahrb. f.
1834 S. 305 ff. bist = 2,0; und in einer besonders erschienenen, jetzt nich > mehr im Buchhandel zu habenden lithographirten Tabelle bis = 3,0;850 dass man, wenn © nach r gegeben ist, hiemit zugleich t oder A TeR D gegeben halten kann, Be | BE jo Du r, Nun werden alsbald folgende, für unsere Methode fundamentale, Glei- chungen bewiesen werden, mittelst.deren 9 aus ” ableitbar ist. d n DS A EN Kr. AR ARE und hienach ie n n Von diesen Beziehungen reicht es hin, die zwischen = und @ wie folgt in Anwendung und Betracht zu ziehen. Man leitet aus dem beobachteten Ya n den Werth © nach der Gleichung a — 1= 6 ab, sucht in einer Tabelle des Integrals ® den Werth t = nd dazu auf, und dividirt ihn mit 2 ‚umh zu erhalten, oder mit D, wenn man, wie von uns geschehen soll, das h der Methode der richtigen und falschen Fälle blos halb so gross nimmt, als das der Feblertheorie. Um aber nicht erst aus dem durch die Beobachtung gefundenen - jedesmal erst den Werth 2”. — 4 besonders bilden zu müssen, habe ich die Tabelle des Integrals ©, wo die Beziehung zwischen © = a n — 4 und t gegeben ist, in eine solche umgesetzt, wo sie gleich zwischen LT n und i gegeben ist. Diess giebt die unten folgende Fundamentaltabelle. , Die mathematische Ableitung vorstehender Beziehung zwischen = und 6 hat die Prüfung des Herrn Prof. Möbius, dem ich sie vorgelegt, bestan- den, wonach man sie mathematischerseits als einwurfsfrei ansehen kann. Er hat aber die Gefälligkeit gehabt, meiner etwas unbehülflichen Ableitung eine kürzere und präcisere, übrigens zu demselben Ziele führende, zu sub- stituiren, die ich demnach vorziehe, statt der meinigen im Folgenden mit- zutheilen.
Die Möbius’sche Ableitung legt als Beispiel statt der Abweichung zweier Gewichte von der Gleichheit die Abweichung zweier Theile einer geraden Linie von der Gleichheit unter. Das Princip ist aber eines- und andernfalls dasselbe. hd a Yale ad o Es sei allgemein die Wahrscheinlichkeit, dass der bei einer Messung einer Grösse begangene Fehler innerhalb der Gränzen von — 4 und + 4 fällt, in welchem Ausdrucke h wie oben das Mass der Präcision der Messung, x die Ludolf’sche Zahl.
Seien nun beispielsweise: 4 CB drei Puncte in einer geraden Linie; C sehr nahe, aber doch nicht ganz in der Mitte zwischen A und B gelegen. Bei n Beobachtungen nach der Methode der richtigen und falschen Fälle halte ich amal dafür, dass C dem 4 näher liegt, als dem B; mithin CB> CA; n—a=bmal dafür, dass C dem B näher liegt, als dem A, mithin CB< CA. Hienach verhalten sich die Wahrschein- lichkeiten für CA< CB und für CB< CA, wie a und b, und diese zwei Wahrscheinlichkeiten selbst sind und 2, n n Sei nun in der Linie A CM B M der wirkliche Mittelpunct von AB, und C liege von M etwas Weniges nach Azu, so ist amal mein Urtheil ein richtiges gewesen, und bmal habe ich mich geirrt. Ich habe nämlich db mal den Punct C zwischen M und B liegen geglaubt; habe also bei jeder dieser bSchätzungen den Punct um mehr als die kleine Linie CM irrig, und zwar über M hinaus nach B zu angenommen, habe also jedesmal einen Fehler, > CM, nach einerlei Seite hin, begangen.
00 4 Die Wahrscheinlichkeit dafür ist einerseits =. anderseits = Va e 3 h,cM wo CM als eine ae Grösse zu es ist. Nun ist k Schliesslich also: a 4 z Ka A EN he!
er _ IC Sr mern Me Ta RE ae re 2 j; n 2 Vr 6 ya ie Vr _h.cH “ Diese zwei Formeln für * und > könnte man auch so erläutern: Bein- n n r