Wenn die Versuche mit hinreichenden Abänderungen ange- stellt werden, so können p und q dem Versuche einer noch wei- teren Analyse unterworfen werden. So kann man bei Versuchen mit abgeänderten Hauptgrössen untersuchen, ob sich p oder g in einen dabei constanten und einen näch irgend einer Function von den Hauptgrössen abhängigen Theil zerlegen lassen. Bei einer Tast- versuchsreihe variirte ich die Fassung der Zirkel absichtlich so, dass ich einmal den Normalzirkel immer am Stiele, den Fehlzirkel an den Schenkeln, das anderemal immer umgekehrt fasste, und den Erfolg dieser Lagen mit dem verglich, wo beide Zirkel immer am Stiele, und wo beide immer an den Schenkeln gefasst wer- den, u. s. f. Alle diese Abänderungen hatten Einfluss auf die constanten Fehler. Specielleres darüber aber muss ich auf die »Massmethoden « versparen.
Während die constanten Fehler, die wir bei Ausführung der Massmethoden der Unterschiedsempfindlichkeiten erhalten, in an- gezeigter Weise zum Vergleiche der absoluten Empfindlichkeiten dienen können, insoweit der absolute Grund gültig ist, führen diese Methoden in früher angezeigter Weise durch Elimination der constanten Fehler zum Masse der Unterschiedsempfindlichkeit, wie sie unabhängig vom Lagenwechsel der Reize besteht. Wir bringen nämlich dabei entweder den Werth D auf einen Punct, dass D dem unabhängig vom constanten Fehler bestehenden eben merklichen Unterschiede d gleich wird, was die Methode der eben merklichen Unterschiede ist, oder wir bestimmen im mittleren Fehler e der Methode der mittleren Fehler einen Werth, welcher mit d in directer Proportion steht, oder im Werthe {= hD der Me- h thode der richtigen und falschen Fälle einen Werth, welcher mit d in reciprokem Verhältnisse steht, sofern h als der Unterschieds- empfindlichkeit direct proportional mit d umgekehrt proportional ist. Dabei ist in Rücksicht zu ziehen, dass dje nach dem Spiel- raume der Zufälligkeiten grösser oder kleiner ausfällt, wenn schon nicht allein hievon abhängt, ausgenommen beim idealen Maximum der Unterschiedsempfindlichkeit, so dass, wie mehrfach erinnert, die Masse der Unterschiedsempfindlichkeit nur insofern vergleichbar sind, als sie einen gleichen Spielraum der Zufälligkeiten voraus- setzen.
XXIX. Beziehung zwischen Contrastempfindungen und Empfindungssummen.
Unsere Seele wird eben so sehr durch empfundene Unter- schiede, Gontrastempfindungen, als absolute Empfindungen, be- stimmt.
Die Contrastempfindung ist als Empfindung eines Unter- schiedes eine Empfindung sui generis, welche, ohne irgendwie selbst als Summe oder als Function einer Summe absoluter Emme pfindungen erklärbar zu sein, zur Empfindungssumme, welche die Componenten des Unterschiedes gewähren, hinzutritt, und hiemit den Totaleffect für die Seele steigert.
Die absolute Empfindung ist, nach der Massformel, der Unter- schied zwischen absoluten Empfindungen, kurz Empfindungsun- terschied, nach der Unterschiedsformel, der besonders aufgefasste Empfindungsunterschied, kurz empfundene Unterschied, die Con- trastempfindung, nach der Unterschiedsmassformel und deren Ver- allgemeinerungen, den Lagenformeln, zu beurtheilen, und die hienach bestimmte Contrastwirkung zu der nach der Massformel und darauf gestützten Summenformel (Kap. XX) bestimmten Sum- menwirkung zu fügen, um die psychische Gesammtwirkung zu haben.
Diess so zu fassen, werden wir durch die Thatsache gend- thigt, dass überall, wo die Gleichförmigkeit eines Reizes stellen- weise oder zeitweise durch eine Verminderung, Gessation, Inter- mission desselben unterbrochen wird, die Seele sich stärker er- regt findet, als wenn der Reiz gleichförmig sich durch Raum oder Zeit forterstreckte. Da nun doch durch die stellen- oder zeitweise Verminderung oder Cessation des Reizes die Summe der davon abhängigen absoluten Empfindungen gegen den Fall abnimmt, dass der Reiz continuirlich fortwirkte, so muss die verstärkte Wirkung in der Seele auf einer Wirkung des Contrastes beruhen, welche nicht mit der Summenwirkung der Reize zusammenfällt oder darin aufgeht.
Die Rücksicht auf die hebende Wirkung des Contrastes (S. 406) ändert nichts in dieser Hinsicht; weil durch sie die Summe absoluter Empfindungen im Ganzen keinen Zuwachs erfährt. Wenn das Weiss durch Contrast mit Schwarz an Helligkeit wächst, so nimmt das Schwarz hingegen zugleich an Helligkeit ab, ja ich werde künftig*) erfahrungsmässig darthun und erklären, dass und warum die Vertiefung des Schwarz durch die Contrastwirkung im Allgemeinen spürbarer ist, als die Erhellung des Weiss. Insofern also eine Hebung der Eindrücke durch den Contrast stattfindet, verstärkt sich hiedurch nur die Empfindung des Unterschiedes, *) Entweder noch in einem späteren Kapitel oder in einer Abhandung der sächs. Societätsschriften, da meine Beobachtungen in dieser Hinsicht noch nicht redigirt sind.
2 u; die zur Summenwirkung zu fügen ist, wird aber nicht hiedurch erst begründet, und die Summe absoluter Empfindungen gewinnt nichts dadurch.
Thatsachen zur Erläuterung und zum Belege des Vorstehen- den bietet das gewöhnliche Leben in Menge dar.
Wenn man einmal eine ganz weisse Papierfläche, das andere- mal eine solche mit einer schwarzen Scheibe inmitten in das Auge fasst, so ist die Summe der absoluten Lichteindrücke wie Licht- empfindungen zweitenfalls kleiner als erstenfalls; aber die Seele findet sich vermöge des zutretenden Gontrastes zweitenfalls stär- ker als erstenfalls affieirt; um so mehr, wenn man gar ein Papier mit mehrfachen Abwechselungen von Weiss und Schwarz, wie z. B. ein Schachbretmuster, betrachtet, wenn schon die Summe der absoluten Lichteindrücke hier noch mehr vermindert ist, da sich dafür die Gontrastwirkung vervielfacht.
Auf mein sehr empfindliches Auge machen einzelne helle Son- nenflecke in der Stube einen so starken Eindruck, dass ich sie nicht wohl vertrage, aber ich kann im vollen Sonnenscheine auf der Strasse und selbst durch Schnee gehen oder in den hellen Him- mel sehen, ohne es lästig zu fühlen; ungeachtet doch hiebei die ganze Netzhaut mit derselben oder grösseren Intensität gereizt ist, als erstenfalls eine begränzte Stelle.
Eine plötzliche Pause in einer rauschenden Musik oder ein plötzlicher Paukenschlag nach einer Pause macht einen Eindruck, der nicht blos als Summe der Eindrücke der Componenten zu er- klären ist, da vielmehr erstenfalls die Wirkung der einen Compo- nente abgebrochen wird, letztenfalls der Eindruck im Momente des eintretenden Schlages unvergleichlich stärker, als in jedem Mo- mente des fortgehenden Paukenwirbels ist. Nun könnte man zwar letzteres daraus erklären, dass der erste Paukenschlag einer frischen Empfindlichkeit begegnet, die sich bei fortgesetztem Wirbel mehr und mehr abstumpft; und unstreitig hängt auch hieran etwas; aber derselbe Umstand kann erstenfalls nicht geltend gemacht werden, und bedingt daher auch unstreitig zweitenfalls nicht den Haupteffect.
Manche scheinbare Anomalieen erklären sich durch die dop- pelte Bestimmungsweise der Seele respectiv durch absolute und Contrasteindrücke.
Schwarz ist eine positive Empfindung, wie früher (Th. I.
.
$.165 f.) gezeigt, doch empfinden wir es wie einen Mangel. Tiefes Schwarz ist eine viel schwächere Liehtempfindung als Grau, und macht doch einen stärkeren Eindruck in der Seele als Grau. Wie reimt sich dieses? Man unterscheide die absolute Lichtempfindung des Schwarz von der Contrastempfindung seines Unterschiedes gegen die vorausgegangene, die umgebende oder die mittlere Hel- ligkeit, die wir in Erinnerung haben. Absolut genommen bleibt immer Schwarz eine positive Lichtempfindung, und wir werden das auch zugestehen, wenn wir es gegen das Nichtssehen des Fin- gers halten; und eine schwächere Lichtempfindung als Grau, was wir nicht minder zugestehen werden. Aber der Unterschied des Schwarz von der mittleren Helligkeit ist grösser, als der des Grau, was sogar ganz damit zusammenfallen kann; und diese grössere Differenz macht einen grösseren Eindruck ihrer Art in der Seele.
Mit der Kälte ist es anders als mit dem Schwarz, und es fin- det nur Analogie, nicht Gleichheit beider Fälle statt. Indess die absolute Stärke der Lichtempfindung mit Verminderung des Licht- reizes entschieden durch alle Grade der Vertiefung des Schwarz abnimmt, und blos der Contrasteindruck sich verstärkt, wächst dagegen die Empfindung von einem Puncte, wo wir es weder warm noch kalt finden, absolut mit zunehmender Kälte; und es kann uns starke Kälte eben so stark, nur ganz anders sinnlich affieiren, als starke Hitze. Diess hindert aber nicht, dass sich im Gebiete der Temperaturempfindungen eben so wohl auch Con- trasteindrücke von demselben Charakter geltend machen, als im Gebiete der Lichtempfindung. Und so kann uns eine warme Tem- peratur kühl gegen eine wärmere und eine kalte warm gegen eine kältere erscheinen.
Für den ersten Anblick scheint es, dass das Princip, die nach der Unterschiedsmassformel oder Lagenformel berechnete Con- trastempfindung zu der Summe der nach der Massformel berech- neten absoluten Empfindungen zu fügen, um die Totalwirkung der Reize zu haben, der Erfahrung nicht genügt, sofern sich die Thatsache danach nicht folgern lässt, dass man durch Contrast zwischen einem stärkeren und schwächeren Reize eine stärkere psychische Gesammileistung erzielen kann, als wenn beide Reize dem stärkeren gleich wären. Denn die auf die Massformel gegrün- dete Summenformel giebt für zwei Reize $, 8’ mit den Schwellen- werthen b, b’ die Empfindungssumme 158 Von un BB 158 Von un BB bb Die Unterschiedsmassformel oder Lagenformel giebt für den em- pfundenen Unterschied klog klog 5 unter Stellung des grösseren Reizes in den Zähler*), wobei v stets grösser als 4 ist, so lange wir mit keinen verkehrten Empfindun- gen (S. 124) zuthun haben. Addiren wir nun beide Ausdrücke, so erhalten wir wogegen der Werth, welchen man durch die blosse Summenformel für den Fall erhält, dass beide Reize dem grösseren £ gleich sind, ist BB bb Dieser Werth aber ist grösser als k log #6, sofern v grösser als 1 ist.
Nun ist das Princip, beide betreffende Masse einfach durch Addition zu verbinden, um die psychische Gesammileistung von Summen- und Contrastwirkung zu erhalten, an sich nicht so evi- dent, dass nicht eine andere functionelle Verbindungsweise ange- nommen werden könnte, falls solche der Erfahrung besser genügte; aber wir werden nicht nöthig haben, auf fernliegende Voraus- setzungen in dieser Hinsicht einzugehen, da eine einfache, ganz nahe liegende Voraussetzung hinreicht, die vermisste Ueberein- stimmung mit der Erfahrung herzustellen; nämlich dass die Con- trastwirkung nicht einfach zwischen beiden Reizen, sondern her- über und hinüber zu berechnen ist, da sie in der That herüber und hinüber besteht**), sich also für zwei Reize nicht minder aus zwei Gliedern zusammensetzt, als die Summenwirkung.
Diess vorausgesetzt, hat man, insoweit die Empfindung von der Summe abhängt klog *) Das Resultat ändert sich nicht, wenn man den kleinen Reiz in den Zähler stellt, und dann den empfundenen Unterschied durch klog hu im Sinne Pr v **) So kann man sich auch bei der Gravitation des Quadrat des Abstan- des, was in das Gesetz eingeht, dadurch entstanden denken, dass man den Abstand herüber und hinüber in Betracht zieht.
(108 4 trier E = klog 6b, insoweit sie vom empfundenen Unterschiede Wr mithin im Ganzen 4 Das heisst, die totale psychische Leistung, die durch den Zu- tritt des Contrastes zur Summenwirkung erzielt wird, ist um klog stärker, als die, welche man durch die blosse Summen- formel für den Fall erhält, dass beide Reize dem stärkeren gleich sind.
Es wird nützlich sein, zu bemerken, ‚dass wir dadurch, dass wir hier den empfundenen Unterschied u = klog Ar = klog (5) setzen, indess wir in dem Kapitel über die Unter- schiedsmassformel und Lagenformeln u = klog 5 setzten, nichts Widersprechendes setzen, indem wir den früheren Werth k log 5 eben nur als den einseitig aufgefassten Unterschied anzusehen, oder dem %k jener Formeln den doppelten Werth als dem %k der Massformel beizulegen nöthig haben. In der That unterscheiden sich die Ausdrücke Klo und klog (5) nur dadurch, dass der eine Ausdruck das Doppelte des anderen ist, da k 108 (7 ) ob wir den einen oder Er verwenden, so lange wir blos mit dem Ver- gleiche empfundener Unterschiede unter einander zu thun haben, ohne sie in Bezug zur Summenwirkung zu betrachten, da sich die Verhältnisse der empfundenen Unterschiede nicht ändern, mögen wir sie durch den einen oder anderen Ausdruck messen. Eben desshalb liess sich auch bei unserer Aufstellung der Unterschieds- massformel und Lagenformeln kein Bestimmungsgrund finden, die zweiseitige von der einseitigen Auffassung des Contrastes vor- zuziehen. Ein solcher liegt nun aber in der angeführten That- sache, welche die Verbindung der Summen- und Contrastwirkung betrifft, und es ist daher dieser Thatsache eine fundamentale Be- deutung beizulegen.
So wie Empfindungen über der Schwelle und unter der Schwelle nach früherer Auseinandersetzung nicht zu addiren, sondern beson- ders in Betracht zu nehmen sind, sofern sie als besondere bestehen, kann man auch in dem Falle, wo der empfundene Unterschied unter die Schwelle fällt, sei es, dass v zu gross oder £_ zu klein wird, von der Combinationsformel der Summen - und Contrastempfindung keinen Gebrauch mehr machen, sondern, wo ein solcher Fall ein- tritt, bedeutet es, dass der jetzt nicht empfundene Unterschied nichts zum Bewusstseinszustande mehr beiträgt, und es bleibt klog BE allein noch übrig, die positive Empfindung zu reprä- sentiren.
Eine Folge davon ist, dass, wenn ein Reiz sich continuirlich in Raum oder Zeit ändert, die Contrastwirkung zwischen einander nahen Puneten vernachlässigt werden kann, und dass die Total- wirkung sich da, wo die Aenderung nicht zu rasch erfolgt, über- haupt auf die Summenwirkung redueirt, indem sie dann auch zwischen fernen Puncten zu vernachlässigen ist, was von Wich- tigkeit ist, wenn man den Versuch macht, Empfindungen als Function elementarer Bewegungen oder Aenderungen mittelst der S. 30 gegebenen Formeln zu construiren.
Wenn wir früher das Resultat erhielten, dass ein Reiz bei gleichförmigster Vertheilung über der Schwelle das Maximum der Empfindungs sum me gewährt, so geht aus Vorigem hervor, dass er damit doch nicht das Maximum der Empfindungsleistung gewährt, sofern bei so ungleichförmiger Vertheilung, dass ein Gon- trast sich geltend machen kann, der Contrast eine neue Empfin- dungsleistung zur Empfindungssumme fügt.
Wir haben im Vorigen die Betrachtung auf den einfachsten Fall beschränkt, dass man mit blos zwei unterschiedenen Reizen zu thun hat, was genügte, die Verhältnisse im Allgemeinen über- sehen zu lassen, welche für die Verbindung der Contrastwirkung mit der Summenwirkung gelten. Eine weitere Frage ist, wie die Verhältnisse der Gesammtwirkung da zu beurtheilen sind, wo sich Contrastwirkungen zwischen mehr als zwei Reizen geltend machen; wo es also gilt, ausser den absoluten Empfindungen auch Con- trastempfindungen zu summiren. Da es hier z. B. bei drei Reizen ß, ß', $” nicht blos den Contrast von £:ß’ und 8:8", sondern auch von 8:ß” gilt, und bei n Reizen überhaupt die Zahl der solei ie a a Ze ua De 7.
chergestalt in Betracht zu ziehenden Verhältnisse n (n — 1) ist, falls wir jedes Verhältniss herüber und hinüber, also doppelt, rechnen (sonst halb so gross), so fragt sich, wie die Summation hiebei zu bewirken ist. Hiefür liegt mir bis jetzt kein ganz evidentes Princip vor; doch vermufßbe ich, das folgende werde massgebend sein, da es rationell und mit der Erfahrung verträglich scheint.
Da keines jener Verhältnisse vor dem anderen einen anderen Vorrang betreffs der Empfindung hat, als der durch die Verhält- nissschwelle gegeben ist, so wird man zuvörderst alle empfunde- nen Unterschiede zu summiren haben, die den n(n—4) Verhält- nissen einzeln zugehören. Diese Summe werde durch & ausge- drückt. Nun sind aber nur n Zeit- oder Raumpuncte vorhanden, auf welche die Empfindung fällt, oder welche zur Empfindung beitragen; mithin wird jene Summe im Verhältnisse F: — 1) zu re- duciren sein, d. i. mit n—1 zu dividiren sein; mithin den Werth haben u Führen wir diess für drei Reize, ß, ß’, 8”, nach absteigender Ordnung der Grösse genommen, aus, und geben k den doppelten Werth gegen das k der Massformel, um jedes Verhält- niss blos einfach einzuführen, so haben wir wenn v,, V,,, v, die den drei Verhältnissen zugehörigen Verhält- nissschwellen sind, deren Indices den Indices der Reize, wofür sie gelten, entsprechend genommen sind. Diese Schwellen können unter Umständen gleich 4 gesetzt, und unter Umständen als gleich angenommen werden, so bei drei Lichtern, die auf einem gleich- förmigen Grunde die Spitzen eines gleichseitigen Dreiecks bilden. Im allgemeinen Falle aber sind v,, v’,, v, als verschieden von 14 und von einander anzunehmen. Gleichviel, welche Werthe sie haben, so geht durch Verwandlung der Summe der Logarithmen in den Logarithmus des Productes obiger Ausdruck über in ai ‚ 7 = al =k [1os 5 _ log (uvawa)t] Nun wäre ohne Zufügung des mittleren Reizes 8’ der empfundene Unterschied gewesen was in dem Falle, dass v‚v‘, = v,, mit dem obigen Ausdrucke übereinkommt;; wonach bei drei Reizen, deren Verhältnissschwel- Fechner, Elemente der Psychophysik. II. MA len diess Verhältniss haben, die Contrastsumme eben so gross wäre, als bei zweien ohne Zufügung des mittleren. Wo hingegen alle drei Schwellen gleich sind, wozu es, wie oben bemerkt, Bei- spiele giebt, ist die Contrastsumme bei drei Reizen kleiner, als zwischen den zwei extremen für sich.
Geht man zu 4 Reizen über, nennt sie nach absteigender Ordnung der Grösse #, 8’, #”, 8", und das Product der 6 Schwel- len, die hier in Betracht kommen, ®, so verschwinden die mittle- ren Reize nicht mehr aus dem Ausdrucke der Contrastsumme und wir erhalten dafür Bei etwa versuchter Anwendung dieser Formeln ist in Rück— sicht zu ziehen, dass man, wo es sich z.B. um die Contrastsumme- handelt, welche Sterne am Himmel gewähren, nicht blos den Con- trast der Sterne gegen einander, sondern auch vom schwarzen Himmelsgrunde in Betracht zu ziehen hat, der hiebei unstreitig die Hauptwirkung gewährt.
Wenn Lichtpuncte zuLLichtflächen zusammenfliessen, so min— dert sich nothwendig ihre Contrastsumme gegen den Grund, weil die stärkste Contrastwirkung, mithin kleinste Verhältnissschwelle, unstreitig zwischen jedem Lichtpuncte und dem nächsten Theile des schwarzen Grundes besteht, welcher aber für die im Innern einer Lichtfläche liegenden Puncte durch gleiche Lichtpuncte er— setzt sind. Ueberhaupt muss hienach die Vertheilungsweise der contrastirenden Reize gegen einander grossen Einfluss auf die Contrastsumme gewinnen.
Auf weitere Ausführungen und Rechnungen will ich jedoch hier nicht eingehen, da zuzugestehen bleibt, dass das hier zu Grunde gelegte Rechnungsprincip weder a priori, noch durch Er- fahrung bis jetzt hinreichend sicher gestellt ist.
Nicht ohne Interesse ist, dass der Himmel, der uns schon früher die schönsten und einfachsten Belege zu den Fundamental- thatsachen und Gesetzen der Psychophysik geliefert hat, auch das- schönste und einfachste Beispiel sowohl für eine Summen - als Contrastwirkung liefert. In der That werden wir keine reinere zugleich und erhabenere Summenwirkung der Empfindung ohne Contrast erhalten können, als durch einen rein blauen Tageshimmel, und keine einfachere und erhabenere Contrastwirkung, als durch einen sternenhellen Nachthimmel. Dazu giebt der Wechsel von Wolken, Morgen- und Abendröthe auch einen unerschöpflichen Wechsel von Contrasten, die sich in der Zeit entwickeln.
XXX. Frage nach Empfindungsproducten. Beziehung zwischen Höhe, Stärke und periodischem Element in der Tonskala.
Wir haben Empfindungssum men und Empfindungsunter- schiede in Betracht zu ziehen Anlass gefunden; es entsteht die Frage, ob nicht auch dem Begriffe eines Empfindungsproductes Bedeutung beizulegen sei.
Verständigen wir uns aber zuvor über den Begriff eines Pro- ductes und nehmen, um uns nicht in unklare Abstractionen zu verlieren, zum Anhalt ein bestimmtes Beispiel der Geometrie.
Wenn wir ein Rechteck haben, dessen eine Seite 2, die an- dere 4 lang ist, diese Zahlen bezogen auf irgend eine Lineareinheit, so giebt das Product zwar nicht beider Seiten, denn ein solches giebt es nicht*); aber der Zahlen, wodurch ihre Länge gemessen wird, das Mass des Rechteckes bezüglich einer Flächeneinheit, welche mit der Lineareinheit in Beziehung steht.
Wenn man das Rechteck nach der Richtung einer Seite allein verlängert oder verkürzt, indess man die andere constant lässt, so fallen die verhältnissmässigen Grössenänderungen des ganzen Rechteckes mit denen der Seite, in deren Richtung die Aenderung geschieht, zusammen, und da man in Wirklichkeit mit keinen ab- solut einfachen Linien operiren kann, so wird das, was man ideal von Linearverhältnissen aussagt, in Wirklichkeit doch nur an Rechtecken, Cylindern u. dgl. von constanter Dicke nachzuwei- sen sein, Nun fragt sich, ob auch einer Empfindung zwei in verschie- denem Sinne quantitativ bestimmbare Seiten oder Dimensionen zugeschrieben werden können, nach deren jeder sie für sich un- abhängig von der anderen der Steigerung und Verminderung fähig ist, nach deren jeder sie durch eine der betreffenden Dimension homologe Einheit gemessen werden kann, und ob das Empfin- *) Wenigstens nicht nach der Convention des strengen mathemati- schen Sprachgebrauches; obwohl es nur eine Sache der Definition ist, Pro- duct zweier Seiten den Flächenraum zu nennen, der zum Masse das Product der Masszahlen beider Seiten hat, wie denn diess auch oft genug geschieht.
—— dungsresultat, was beide Seiten im Zusammentreffen geben, sein Mass eben so im Producte der Masszahlen finden kann, die beiden Seiten insbesondere zugehören, als das Rechteck im Producte der. Masszahlen seiner Seiten.
Zu Gunsten einer solchen Auffassung scheinen sich nament- lich Stärke und Höhe eines Tones als Seiten desselben darzubie- ten. Und ich will zunächst das anführen, was sich in diesem Sinne geltend machen lässt.
Sowohl Stärke als Höhe unterliegt dem Masse durch unsere Massformel insbesondere. Nun macht allerdings die qualitative Verschiedenheit von Stärke und Höhe nöthig, jede auf eine Ein- heit ihrer Art zu beziehen, und diess begründet einen Unterschied vom geometrischen Producte, wo für beide auf einander senkrechte Seiten die gleiche Lineareinheit zu Grunde liegt. Aber da nicht die verschiedenen Qualitäten, sondern nur die darauf bezogenen abstracten Masszahlen zu multiplieiren sind, scheint mir darin um so weniger ein principielles Hinderniss zu liegen, als man durch die verschiedene Qualität von Stärke und Höhe des Schalles die verschiedene Richtung der Seiten eines Rechteckes vertreten hal- ten kann. Ist.die Einheit für beide Seiten der Empfindung einmal willkührlich gewählt, so wird jedenfalls nichts hindern, die dar- auf bezogenen Masszahlen eben so mit einander zu multiplieiren, und die verschiedenen so gewonnenen Producte mit einander zu vergleichen, als wenn man die Masszahlen zweier auf einander rechtwinkligen Seiten multiplieirt. _ Die wesentliche, die Hauptfrage ist nur, ob auch beide Seiten wirklich ein derartiges gemeinsames Empfindungsresultat geben, dass das Mass durch das Product der Masszahlen der Seiten etwas bedeutet und dem Zusammenhange der Thatsachen entspricht. Ist diess der Fall, so kann kein mathematisches Bedenken mehr stattfinden.
In der That scheint sich hiefür Manches anführen zu lassen.
Es ist gewiss, dass der Totaleindruck eines hohen Tones durch seine Stärke vergrössert wird, und der Totaleindruck eines star- ken Tones in gewissem Sinne durch seine Höhe erhöht wird. Der Ton wird so zu sagen um so einschneidender, je höher er wird*). Auch verdient der Umstand Beachtung, dass es bekannt- *) Hiebei-erinnere ich gelegentlich an Versuche von Desprez (Pogg.
lich schwer ist, von der Gleichheit der Stärke verschiedener Töne bei verschiedener Höhe zu urtheilen, indem das Urtheil zwischen dem Masse des Gesammteindruckes und dem reinen Masse der Stärke zu schwanken scheint.
Also scheint wirklich im Gesammteindrucke eines Tones et- was Messbares vorzuliegen, dessen Mass durch das Zusammen- wirken beider Seiten, Stärke und Höhe, bestimmt wird.
Zur bestimmteren Unterscheidung nun bezeichnen wir fol- gends stets dieGrösse des Eindruckes, insofern sie blos von Am- plitude der Schwingungen abhängt, als Stärke, die Grösse des- selben, sofern sie blos von Schwingungsdauer oder Schwingungs- zahl abhängt, als Höhe, die Grösse des Eindruckes aber, sofern sie von beiden zugleich abhängt, als Intensität oder als Grösse des Gesammteindruckes.
" Gesetzt hienach, die Masse der empfundenen Schallstärke und Schallhöhe s und Ah seien für sich genommen respectiv s=k log ie h = Klo, = K log = wo ß die von der Amplitude abhängige physische Schallstärke, n die Schwingungszahl, z die Schwingungsdauer, b, n,, 7, die zu- gehörigen Schwellenwerthe, k, k’ Gonstanten bedeuten, so würde das Mass der Intensität oder des Gesammteindruckes nach voriger Auffassung sein sh = kk' log £ log = oder, wenn wir die Schwellenwerthe 1 setzen = kk’ log ß log welcher Ausdruck sich nach Analogie dann auch auf Farben er- strecken könnte.
Sofern wir die physische Stärke eines Lichtes oder Schalles durch das Quadrat der Amplitude als gemessen ansehen, welche a heisse, wird sich «a* für $ in vorigen Gleichungen substituiren lassen, und, da loga? = 2loga, der vorige Ausdruck übergehen in 2kk’logalogn, oder, indem wir auch 2%kk’ durch Wahl dem- gemässer Einheiten gleich 1 annehmen, einfacher in log a log.n.
Ann. LXV. 445), welche beweisen, einen wie starken und sogar lästigen Eindruck die noch höchsten vernelimbaren Töne sehr kurzer Stimmgabeln machen können.
Pi A u TE Jedoch halte ich die vorige Auffassung nicht nur nicht für bindend, sondern für nicht triftig, und nach alsbald zu erör- ternden Gründen als Mass des psychischen Gesammteindru- ckes u der Intensität eines Bo leebehn Tones statt der Form 2Kk’ log —. log.- die Form klog 7 für triftiger, wenn unter Z die, vn "Ampiiehde und Schwingungszahl oder Schwingungs- dauer zugleich abhängige, lebendige Kraft der Schwingungen und unter / deren Schwellenwerth verstanden wird. Für Farben machen sich besondere Betrachtungen geltend, auf die ich unten komme.
Nun kann Z als gemessen angesehen werden durch das Quadrat des Productes an oder des Quotienten =, wozu die Schwellenwerthe a,n, und = “ seien; wonach der Ausdruck für das Mass der psychischen Gesammtstärke des Eindruckes, den ein einfacher Ton erzeugt, wäre an a & klog (;-)" =2klog =2klog-- oder unter Wahl solcher Einheiten, "wodurch 2, u ‚N,, 7, gleich 4 werden logan = loga + logn oder log 2 = loga — log.
So würde statt des vorhin erhaltenen Productes der Logarith- men der Werthe, a, n, der Logarithmus des Productes dieser Wer- the, oder, was dasselbe ist, die Summe der Logarithmen dieser Werthe als Mass des psychischen Gesammteindruckes auftreten.
Grailich in seinen sonst so schätzbaren Abhandlungen über das Zu- standekommen zusammengesetzter Farben in den Sitzungsberichten der Wie- ner Akademie 4854. XII. S. 783. XIII. 204 setzt die lebendige Kraft der Lichtschwingungen, wovon der Empfindungseflect abzuleiten, demQuotienten aus der einfachen Schwingungsdauer in das Quadrat der Amplitude, oder, was dasselbe ist, dem Producte aus der einfachen Schwingungszahl in das Qua- drat der Amplitude, also dem Werthe an? proportional, indess Seebeck in seinen Abhandlungen über die Verhältnisse des Schalles (Poggend. Ann. LXII. 572. LXVIII. 461), eben so wie es hier geschieht, die lebendige Kraft der Schwingungen proportional n?a* setzt. Letzteres ist unstreitig triftiger*), und der Punct, wo Grailich geirrt hat, leicht anzugeben.
*) Dass Grailich von Lichtschwingungen, Seebeck von Schallschwingun- gen handelt, kann begreiflich keinen Unterschied im betreffenden Gesichts- puncte machen.
Die lebendige Kraft einer Schwingung ist (XII. S. 805) von Grailich triftig gesetzt fa) wo r die Dauer einer Schwingung, - die Geschwindigkeit, t die Zeit ist, was durch Integration giebt nı®a® im 23 wenn man für = als Geschwindigkeit diejenige Function der Zeit t substituirt, welche in einer Schwingung statt hat, wenn a die Amplitude, # die Ludolf- sche Zahl. Nun kann aber die lebendige Kraft einer Schwingung nicht massgebend sein für die lebendige Kraft, welche durch Schwingungen wäh- rend einer gegebenen Zeit entwickelt wird, um was es sich doch handelt, wenn die lebendige Kraft verschiedener Töne, Farben verglichen wird; son- dern sie muss ausserdem der Zahl der Schwingungen in dieser Zeit direct, also mit r reciprok genommen werden, wodurch statt r vielmehr r* in den Nenner, oder das damit reciproke n* in den Zähler kommt.
Es ist Schade, dass die mühsamen Rechnungen bezüglich der Intensi- tätswerthe in Grailich's Abhandlungen (Berichte Th. XIII. S. 230 ff.) da- durch ihre Triftigkeit verloren haben. Doch wird sein allgemeines Princip, ‚die zusammengesetzten Farben zu erklären, dadurch nicht aflicirt.
Die Gründe, die letzte Auffassung der ersten vorzuziehen, sind folgende: Unstreitig haben wir Stärke und Höhe eines Tones nicht als etwas äusserlich Zusammengebrachtes anzusehen; sondern es liegt die Aufgabe in der Natur der Sache vor, den Eindruck der Stärke und Höhe im Zusammenhange aus den Grundbeziehungen der Empfindung zur Bewegung abzuleiten; und die einfachstmöglichen Voraussetzungen in dieser Beziehung werden uns im 32. Kapitel vielmehr auf einen Massausdruck des Gesammteindruckes eines Tones von der Form log an als log a logn führen.
Abgesehen hievon spricht die Erfahrung direct gegen die Form log a logn. Nach dieser Form giebt es einen festen Punct der Stärke, bei welchem der Ton aufhört, hörbar zu sein, gleich- viel, welche Höhe er habe, und einen festen Punct der Höhe, wo er aufhört, gehört zu.werden, gleichviel, welche Stärke er habe. Denn ist a oder n auf den Schwellenwerth, der in der Form loga logn gleich 1 gesetzt ist, herabgekommen, so ist das Product loga logn in jedem Falle null, wie sich auch der andere Werth verhalte. Nicht so bei der Form logan. Hier kann Stärke durch Höhe und umgekehrt betrefis der Hörbarkeit vertreten werden; es besteht innerhalb der Gränzen der Höhe, die überhaupt nach der Einrichtung unseres Gehörorganes pereipirt zu werden ver- mögen, für jede andere Schwingungszahl n eine andere Amplitude a, bei welcher sie hörbar wird und umgekehrt. Der Ton wird hörbar, wenn das Product an den, hier kurz = 4 gesetzten, Schwellenwerth a,n, erreicht. Diess wird bei kleinem a sein, wenn n gross ist, und umgekehrt. So entspricht es aber der Erfahrung.
In der That, tiefe Töne erfodern eine grosse Schwingungs- amplitude, um noch hörbar zu sein, und hohe Töne können bei sehr geringer Stärke noch gehört werden.
Diesen Umstand hat besonders Dove hervorgehoben, in Zusammenhang mit einer auf die Farben bezüglichen Thatsache, von welcher unten die Rede sein wird, die jedoch mindestens theilweise einen anderen Grund haben muss. Um hier zunächst bei dem, was sich im Tongebiete auf die Compensation geringer Stärke durch vermehrte Höhe, oder geringer Höhe durch ver- mehrte Stärke bezieht, stehen zu bleiben, so erinnert Dove daran, »wie die Saiten des Gontrabasses weiter schwingen müssen, als die der Violine;...wie wir in höherem Tone sprechen, wenn wir obne grosse Anstrengung gehört sein wollen; wie, wenn die tiefe, durch das Sprachrohr verstärkte, Stimme des Seemannes im Sturme verhallt, noch der schrillende Ton der Bootspfeife durch das Brausen der Wogen und das Geräusch des Windes hindurch- dringt; und wie Savart mittelst der Speichensirene gezeigt hat, dass die Gränze der Wahrnehmbarkeit der Töne nach der Tiefe hin durch die Stärke der Töne erweitert werden kann. « Auch folgender Umstand verträgt sich gar nicht mit der Form log a log, indess er in die Form log a.+ logn wohl hineintritt..
Wenn die Empfindung der Stärke oder Höhe ohne Rücksicht auf das andere Element allein sich ver-m-facht, so kann man diess nach jeder Voraussetzung durch mloga oder mlogn dar- stellen, Nun tritt im Producte logn loga der Factor logn oder log a an die Stelle von m, und hienach müsste man erwarten, falls anders mathematische Consequenz bestehen soll, dass damit die Empfindung der Stärke im Verhältnisse von logn und die derHöhe im Verhältnisse loga wachse, also eine. wechselseitige Steigerung der Stärke und Höhe eintrete, man also bei vermehrter Höhe eines Tones zugleich einen vermehrten Eindruck der Stärke, und bei vermehrter Stärke den Eindruck einer vergrösserten Höhe erhalte, was aber nicht der Fall ist. Bei der Form loga + logn tritt diese Schwierigkeit nicht ein.
Allerdings steht der Form log an die Schwierigkeit as dass, wenn man. mit der Vertiefung des Tones über eine gewisse Gränze geht, keine Verstärkung des Tones mehr hinreicht, ihn hörbar zu machen, und eben so gar zu hohe Töne nicht mehr hör- bar sind, während doch nach der Form log an jede Verkleinerung von n durch eine Vergrösserung von @ compensirt wird, und der Eindruck des Tones mit wachsender Höhe ins Unbestimmte zu- nehmen müsste.
Gewiss ist diess als eine Abweichung von der Gültigkeit der Formel log an an der unteren und oberen Gränze der Hörbar- keit der Töne anzusehen, wie wir aber schon sonst gewohnt sind, eine untere und obere Gränze für die Gültigkeit unserer Grund- formeln zu finden, welche Gränzen doch voraussetzlich nur für die äussere, nicht für die innere Psychophysik bestehen, insofern die äusseren Reize nur innerhalb gewisser Gränzen, in denen sich der gewöhnliche Sinnesgebrauch hält, proportionale psychophy- sische Bewegungen auslösen, auf welche die Grundformeln eigent- lich zu beziehen sind, also auch nur innerhalb solcher Gränzen diese vertreten können.
In der That ist der Gehörapparat des Menschen unstreitig blos geeignet, Schwingungen innerhalb "gewisser Gränzen der Höhe aufzunehmen und bis zu gewissen Gränzen der Stärke zu erzeu- gen, und die Unhörbarkeit noch so starker tiefer oder hoher Töne beruht hienach nicht darauf, dass sehr langsame oder schnelle psychophysische Osecillationen selbst bei grösster Amplitude un- hörbar sind, sondern dass sie im Menschen gar nicht in erfoder- licher Stärke zu Stande kommen, wenn schon äussere Schwin- gungen dazu da sind.
Schon das Trommelfell mit seinen annectirten Theilen kann bei zu grosser Höhe oder Tiefe die Dienste versagen *); ja durch ein von Wollaston angegebenes Mittel sogar künstlich taub gegen tiefe Töne gemacht werden **).