Es hängt aber mit dieser Formel durch infinitesimale Sum- mation eine andere zusammen, welche eine allgemeine Grössen- beziehung zwischen der, aus Reizzuwüchsen summirten, Reiz- grösse und der, aus Empfindungszuwüchsen summirten, Empfin- dungsgrösse aufstellt, in der Art, dass mit der Richtigkeit der ersten Formel unter Mitvoraussetzung der Thatsache der Schwelle solidarisch zugleich die Richtigkeit der letzten gegeben ist.
a 5 Kr ns, Kr er ee ee a ee 6 Ze N 44 Vorbehaltlich der späteren genaueren Herleitung suche ich zuvörderst den Zusammenhang beider Formeln wie folgt in allge- meiner Weise verständlich zu machen.
Leicht kann man bemerken, dass die Beziehung zwischen den Zuwüchsen dy und d# in der Fundamentalformel der Beziehung zwischen den Zuwüchsen eines Logarithmus und den Zuwüchsen der zugehörigen Zahl entspricht. Denn, wie man sich leicht, sei es aus der Theorie oder aus den Tafeln, überzeugen kann, so wach- sen die Logarithmen um gleich viel, nicht, wenn die zugehörigen Zahlen um gleich viel wachsen, sondern wenn dieselben um einen gleichen Verhältnisstheil wachsen; mit anderen Worten, die Zu- wüchse der Logarithmen bleiben gleich gross, wenn die relativen 'Zahlenzuwüchse gleich gross bleiben. So gehören z. B. folgende Zahlen und Logarithmen zusammen: Zahl. Logarithmus.
wonach die Vermehrung der Zahl 10 um 4 eine ganz eben so grosse Vermehrung des zugehörigen Logarithmus mitführt, als der Zahl 400 um 40 und der Zahl 1000 um 100. Ueberall beträgt der loga- rithmische Zuwuchs 0,0413927. Ausserdem gehen, wie schon frü- her zur Erläuterung des mathematischen Hülfsprineipes angeführt wurde, die Zuwüchse der Logarithmen den Zuwüchsen der Zahlen proportional, so lange sie sehr klein bleiben. Sonach kann man „sagen: es gelten für die Zuwüchse von Logarithmus und Zahl bezüglich zu einander ganz eben so das Weber’sche Gesetz und mathematische Hülfsprineip, als für die Zuwüchse von Empfindung und Reiz.
Nicht minder macht sich in der Beziehung zwischen Loga- rithmus und Zahl ganz eben so die Thatsache der Schwelle gel- tend, als in der Beziehung zwischen Empfindung und Reiz. Die Empfindung beginnt mit Werthen, die den Nullwerth übersteigen, nicht bei dem Nullwerthe, sondern bei einem endlichen Werthe des Reizes, dem Schwellenwerthe, und so beginnt ein Logarith- 12 mus mit Werthen, die den Nullwerth übersteigen, nicht bei dem Nullwerthe der Zahlen, sondern bei einem endlichen Werthe der Zahlen, dem Werthe 4, sofern der Logarithmus von 1 gleich Null ist.
Stehen nun nach Vorigem die Zuwüchse von Empfindung und Reiz in einem entsprechenden Verhältnisse, als die von Logarith- mus und Zahl, steht auch der Punct, von dem an die Empfindung merkliche Werthe anzunehmen beginnt, in einer entsprechenden Beziehung zum Reize, als der Punct, von dem an die Logarithmen positive Werthe erlangen, zur Zahl, so wird man erwarten dür- fen, dass auch Empfindung und Reiz selbst in einem entsprechen- den Verhältnisse stehen, als Logarithmus und Zahl, welche wie jene als aus successiven Zuwüchsen summirt betrachtet werden können.
Hienach wäre die einfachste Beziehung zwischen haklen, die wir aufstellen können, yalgß. & a In der That wird sich bald zeigen lassen, dass unter Wahl angemessener Einheiten von Reiz und Empfindung die functio- nelle Beziehung zwischen beiden auf diese einfachste Form zurück - kommt. Inzwischen ist sie nicht die allgemeinste, die sich auf- stellen lässt, sondern eben nur unter Voraussetzung bestimmter Einheiten von Empfindung und Reiz, wovon später, gültig, und für die vorige indireete und nicht strenge Ableitung eine directe und strenge zu verlangen.
Der Sachverständige übersieht sofort, wie diese zu bewirken ist, indem man nämlich die Fundamentalformel als Differenzial- formel behandelt und integrirt. Im folgenden Kapitel findet man diess ausgeführt; hier sei es als geschehen vorausgesetzt, und an Denjenigen, ‘welcher einer einfachen infinitesimalen Ableitung nicht zu folgen vermag, der Anspruch gemacht, das Resultat als mathematische Thatsache anzunehmen. Diess Resultat ist folgende Functionsformel zwischen Reiz und Empfindung, welche den Na- men Massformel führen und jetzt weiter discutirt werden soll.
y=k(logß—logb) (2). In dieser Formel bedeutet k wiederum eine, von den gewählten Einheiten und zugleich vom logarithmischen Systeme abhängige, Constante, und b eine zweite Constante, welche den Schwellen- werth des Reizes 8 bezeichnet, bei dem die Empfindung y beginnt und schwindet.
13 Nach der im folgenden Kapitel gegebenen Ableitungsweise der Formel fällt die Constante k mit der Constante X der Fundamentalformel zusammen, wenn man sich natürlicher Logarithmen bedient; indess bei Anwendung gewöhnlicher Logarithmen k = 4 und K = kM ist, wo M der Modulus des ge- meinen logarithmischen Systemes in der S. 3 angegebenen Bedeutung ist.
Nach dem Satze, dass für den Unterschied der Logarithmen zweier Zahlen der Logarithmus ihres Quotienten substituirbar ist (vgl. S. 5. No. 5), kann man für obige Form der Massformel auch folgende, zumeist für Ableitung von Folgerungen bequemere, substituiren | Aus dieser Form fliesst, dass die Empfindungsgrösse y nicht als einfache Function des Reizwerthes f, sondern seines Verhältnisses zum Schwellenwerthe b, wo die Empfindung beginnt und schwin- det, anzusehen ist. Dieser verhältnissmässige Reizwerth £ soll künftig der fundamentale Reizwerth oder Fundamental- werth des Reizes heissen.
In Worte übersetzt, lautet die Massformel: Die Grösse der Empfindung (y) steht im Verhält- nisse nicht zu der absoluten Grösse des Reizes (ß), sondern zu dem Logarithmus der Grösse des Reizes, wenn dieser auf seinen Schwellenwerth (5), d. i. diejenige Grösse als Einheit bezogen wird, bei wel- cher dieEmpfindung entsteht und verschwindet, oder kurz, sieistproportionaldem Logarithmus des fun- damentalen Reizwerthes.
Beeilen wir uns, bevor wir weiter vorschreiten, zu zeigen, dass die Massformel diejenigen Beziehungen zwischen Reiz und Empfindung, aus denen sie abgeleitet ist, auch richtig als Folge- rungen wiedergiebt, und also rückwärts in denselben ihre Bewäh- rung findet, sofern sie sich in der Erfahrung bestätigen. Wir er- halten darin zugleich die einfachsten Beispiele der Anwendung der Massformel.
Die Massformel ist begründet auf das W eb er'sche Gesetz und die Thatsache der Reizschwelle; und beides muss also auch wie- der aus ihr fliessen.
Was nun das Weber’sche Gesetz anlangt, so lässt es sich unter der Form, dass gleiche Empfindungszuwüchse gleichen relam.
14 tıven Reizzuwüchsen -zugehören, durch die Differenzirung der Massformel gewinnen, sofern man dadurch auf die Fundamental- formel zurückkommt, welche den Ausdruck des ie in dieser Form enthält.
In der anderen Form, dass gleiche Empfindungsunterschiede gleichen Reizverhältnissen zugehören, lässt es sich ganz elementar wie folgt ableiten.
Seien zwei Empfindungen, deren Unterschied es zu betrach- ten gilt, y und y’, und die ihnen zugehörigen Reize 8 und #'. Dann haben wir nach,der Massformel Rey re Aus dieser Formel folgt, dass der Empfindungsunterschied y — y eine Function des Reizverhältnisses 5 ist, und gleich gross bleibt, welche Werthe auch #, #’ annehmen mögen, wenn nur ihr Ver- hältniss ungeändert bleibt, was die Aussage des Weber’schen Gesetzes ist.
In einem späteren Kapitel werden wir auf vorstehende For- mel, als eine der einfachsten Folgerungen der Massformel, unter dem Namen der Unterschiedsformel zurückkommen.
Was die Thatsache der Schwelle änlangt, welche darin ruht, dass die Empfindung nicht bei einem Nullwerthe, sondern endlichen Werthe des Reizes ihren Nullwerth hat, von wo an sie mit steigendem Reizwerthe erst merkliche Werthe anzunehmen beginnt, so liegt sie insofern in der Massformel enthalten, als y den Werth Null nach der Massformel nicht annimmt, wenn P=0, sondern wenn f gleich dem endlichen Werthe d ist, wie sich so- wohl aus der Form (2) als (3) der Massformel ergiebt, aus (2) un- mittelbar, aus (3) mit Rücksicht, dass, wenn f£ gleich 5 wird, log £ = log wird, und logi = o ist.
Natürlich werden nun auch alle Folgerungen des Weber’- schen Gesetzes und der Thatsache der Schwelle zugleich Folge- rungen unserer Massformel.
Br 15 Aus ersterem Gesetze fliesst, dass jeder gegebene Zuwachs eines Reizes nach Massgabe weniger Zuwachs der Empfindung giebt, als der Reiz, dem er zuwächst, grösser ist, und bei hohen Reizgraden gar nicht mehr erheblich empfunden wird, indess er bei niederen ausnehmend erheblich erscheinen kann.
In der That führt der Zuwachs einer grossen Zahl 8 durch eine gegebene Grösse nur einen ohne Vergleich kleineren Zuwachs im zugehörigen Logarithmus y mit, als die Vermehrung einer klei- nen Zahl 8 um denselben Zuwachs. Wenn die Zahl 40 um 40 wächst, also auf 20 steigt, so wächst der zu”10 gehörige Logarith- mus 4 auf 4,3040. Wenn aber die Zahl 1000 um 40 wächst, so wächst der zu 1000 gehörige Logarithmus 3 nur auf 3,0043. Er- stenfalls hat sich der Logarithmus um etwa #, letzterenfalls nur etwa um „4, seiner Grösse vermehrt. 2 Mit der Thatsache der Schwelle hängt die Folgerung zusam- men, dass eine Empfindung um so weiter von der Merklichkeit entfernt bleibt, je mehr der Reiz unter seinen Schwellenwerth sinkt. Diese Entfernung der Empfindung von der Merklichkeit oder diese Tiefe derselben unter der Schwelle wird nach unserer Massformel eben so durch negative Werthe von y repräsentirt, wie die Erhebung über dieselbe durch positive.
In der That übersieht man aus der Form (2) unmittelbar, dass, wenn ß kleiner als b und mithin log £ kleiner als log wird, die Empfindung y negative Werthe annimmt; und dasselbe fliesst aus der Form (3) nach der Betrachtung, dass £ zu einem ächten Bruche wird, wenn # <b; der Logarithmus eines ächten Bruches aber negativ ist.
Insofern wir Empfindungen, welche zwar von einem Reize angeregt sind, aber nicht hinreichend, um das Bewusstsein zu af- fieiren, kurz unbewusste, diejenigen, welche es aflieiren, be- wusste nennen, werden also die unbewussten Empfindungen durch negative, die bewussten durch positive Werthe in unserer Formel repräsentirt. Auf diese Repräsentation werden wir wegen ihrer besonderen Wichtigkeit, und vielleicht nicht jedem unmit- telbar einleuchtenden Triftigkeit noch in einem besonderen Kapi- tel (Kap. 48) zurückkommen. Für jetzt will ich mich nicht weiter dabei aufhalten.
16 Unsere Massformel entspricht nach Vorstehendem der Er- fahrung:: 4) In den Gleichheitsfällen, wo ein Empfindungsunter- schied bei Aenderung der absoluten Stärke der Reize sich gleich bleibt (Weber’sches Gesetz).
2) Inden Gränzfällen, wo die Empfindung selbst, und wo ihre Aenderung bemerklich oder erheblich zu sein aufhört, Ersteres, wenn sie auf die Schwelle tritt, Letzteres, wenn sie so hoch gestiegen ist, dass ein gegebener Reizzuwachs nicht mehr erheblich gespürt wird.
3) Inden Gegensatzfällen zwischen Empfindungen, welche die Merklichkeit übersteigen und welche die Merklichkeit nicht erreichen, kurz bewussten und unbewussten Empfindungen.
Hienach dürfte sie als wohlbegründet anzusehen sein.
Für den ersten Anblick könnte man geneigt sein, zu glauben, nicht blos die Thatsache der Reizschwelle, sondern auch der Unterschiedsschwelle müsse sich aus der Massformel folgern lassen, weil diese darauf gegründet sei. In der That ist das Weber’sche Gesetz und hiemit die Hauptuuterlage der Massformel grossentheils nach der Methode der eben merklichen Unter- schiede aus Versuchen über das Gleichbleiben eines eben merklichen Em- pfindungsunterschiedes, welcher mit der Unterschiedsschwelle zusammen- hängt und nahe zusammenfällt, gefolgert. Aber, sehen wir näher zu, so ist es nur die gleiche Grösse dieses Unterschiedes bei gleichem relativen Reizunterschiede, nicht, dass die Merklichkeit erst bei einem endlichen | Werthe dieses Reizunterschiedes eintritt, was zur Begründung der Funda- mentalformel und hiemit Massformel gebraucht wird; daher auch der nur eben merkliche Unterschied bei dieser Begründung eben so gut durch einen durchschnittlich grösseren, als den eben merklichen, wie bei der Methode der richtigen und falschen Fälle, oder einen durchschnittlich kleineren, wie bei der Methode der mittleren Fehler, vertreten werden kann, insofern er eine Beurtheilung der Gleichheit zulässt. Von der anderen Seite tritt aber auch die Thatsache der Unterschiedsschwelle, richtig aufgefasst, nicht in Widerspruch mit der Massformel, sondern führt erforderlich berücksichtigt und in einen mathematischen Ausdruck aufgenommen, zu einer allgemeine- ren Formel (Unterschiedsmassformel), deren Begründung und Dis- cussion einem späteren Kapitel vorbehalten bleibt, einer Formel, welche für besonders aufgefasste (sog. empfundene) Unterschiede zwischen Empfindungen dasselbe leistet, als die Massformel für absolute Empfindungen » und deren Differenzen.
Das Parallelgesetz, nach welchem ein Empfindungsunterschied sich gleich bleibt, wenn sich die Reizbarkeit und hiemit der Schwellenwerth b für die verschiedenen Reize in demselben Verhältnisse ändert, ist eine Fol- gerung unserer Formel, wenn k dabei constant bleibt, nur dass nach einem u a 5 r 47 u a 5 r 47 richtigen Gange die Constanz von k hiebei selbst erst umgekehrt aus dem Parallelgesetze gefolgert werden kann, wie unten gezeigt wird.
MitderMassformelhat mannun einallgemeines, nicht mehr blos für Gleichheitsfälle der Empfindung gültiges, Abhängigkeitsverhältniss zwischen der Grösse des fundamentalen Reizwerthes und der Grösse der zugehörigen Empfindunggewonnen, wel- ches gestattet, aus Grössenverhältnissen des ersten das Wievielmal.des letzten zu berechnen, womit das Mass der Empfindung gegeben ist.
Eine n-mal so starke Empfindung y wird hienach nicht die sein, welche einem n-mal so grossen Werthe des äusseren oder äquivalenten inneren Reizes $ zugehört, sondern welche einem solchen Werthe von 8 zugehört, der nach der Massformel einen n-mal so grossen Werth von y giebt.
Gesetzt, die Empfindung 7 bei einem bestimmten Fundamen- talwerthe des Reizes ist gegeben, so wird y auf den n-fachen Werth steigen, wenn der fundamentale Reizwerth £ auf die nfache Potenz steigt, und auf - ihres Werthes herabkommen, wenn aus dem fundamentalen Reizwerthe die n-te Wurzel gezogen wird, Denn, was das Erste anlangt, so hat man, indem man auf beiden Seiten der Massformel mit n multiplieirt Da aber dem n-fachen Logarithmus einer Zahl der Logarithmus der n-ten Potenz der Zahl substituirt werden kann, so kann mian auch für n log $ substituiren log (5)° und erhält so: Nicht minder hat man, indem man auf beiden Seiten der Mass- formel mit n dividirt, oder, was auf dasselbe herauskommt, mit n multiplicirt; 1 sofern bekanntlich allgemein e==Y x. Fechner, Elemente der Psychophysik. I. 2 u, ug Ueberhaupt aber ist das Verhältniss zweier Empfindungen y, 7, die den Reizen 8, #’zugehören: 2. log fi Zins. 5 log # — logb m “ Y log r log#’—logb -- älse gleich, dem Verhältnisse der Logarithmen der fundamentalen Reizwerthe.
In der Massformel und ihren Ableitungen ist sowohl die Grösse des Reizes als der Empfindung jede auf eine Einheit ihrer Art zu beziehen. Denn da Reiz und Empfindung ganz heterogener Natur sind, so können sieyauch nur durch Einheiten ihrer Art besonders gemessen, nicht aber ihnen eine gemeinsame Einheit untergelegt werden. In der That erklären wir in unserem Masse der Empfin- dung diese nicht als ein Wievielmal des Reizes, sondern als ein Wievielmal einer als Einheit untergelegten Empfindungsgrösse derselben Art, und nur.die Beziehung der Empfindung zu ihrer Einheit wird nach der Beziehung des Reizes zu seiner Einheit be- stimmt, indem beide Beziehungen eine Function von einander sind, welche derartig ist, dass, wenn die eine Beziehung gegeben ist, die andere daraus zu folgern ist. Diese Function ist es, die durch unsere Massformel dargestellt wird.
Bei der an sich willkührlichen Wahl der Einheiten von Reiz und Empfindung können verschiedene Rücksichten bestimmen. Man kann die Eirfheiten von Reiz und Empfindung zusammentref- fen lassen, d. h. die Einheit der Empfindung bei dem Reizwerthe annehmen, den man als Einheit des Reizes annimmt, kann sie aber auch eben so gut auseinanderfallen lassen, d. h. die Einheit der Empfindung bei einem anderen Reizwerthe als der Reizeinheit annehmen, da gar keine Nothwendigkeit vorliegt, beide zusam- mentreffen zu lassen. Es ändern sich nur mit jeder anderen Wahl der Einheiten die Constanten der Formel und hiemit die absolute Grösse der Zahl, durch welche eine Empfindungsgrösse ausge- drückt wird, ohne dass aber die Grössenverhältnisse der Empfindung, auf die es beim Masse allein ankommt, andere da- durch werden.
Verlangt man die einfachstmögliche Form der Massformel y=looß (8) in welcher b= 4, k = 1, so kann man dieEinheiten von Reiz und Empfindung nicht auf denselben Punct verlegen. Denn, um b=1 -- f ch Me il BE u i 19 zu setzen zeist an an den Schwellenwerth des Reizes als Eiakeit.. „=, gebunden; duf welghen man nicht zugleich die Einheit der Em- pfindung fallen lassen kann, da die Nullempfindung darauf fällt, h welche keine Einheit gewährt. Man erhält aber die einfachste» Form, wenn man die Reizeinheit beim Schwellenwerthe” nimmt, wodurch alle Reizwerthe zu fundamentalen werden, d® Empfin- dungseinheit aber bei einem fundamentalen Reizwerthe, dessen Logarithmus 1 ist, d,i. der gleich der Grundzabl der Er Tun Logarithmen ist, also unter Anwendung gemeiner Logarithmen bei dem 40fachen, unter Anwendung natürlicher bei dem e-fachen (2,718...fachen) des Schwellenwerthes. 7 Dass k = 1 wird, wenn man die Empfindungseinheit bei einem funda- mentalen Reizwerthe gleieh der Grundzahl der angewandten Logarithmen setzt, findet sich "leicht so: Sei allgemein die, in irgend einem Systeme ge- nommene, Grundzahl a, so hat man, indem man die Empfindungseinheit bei £ = a Setzt, also hierbei y = 1 setzt, nach Substitution dieser Werthe in die Massformel e. mithin “ RR RA log a Da nun in jedem Systeme der Logarithmus der Grundzahl also loga = 14 ist, so erhält hiedurch k den Werth 4.
Diese Einheiten von Reiz und Empfindung, Welche 5 = I und k=41 machen und hiemit auf die einfachstmögliche Form der Massformel y=logß zurückführen, sollen künftig die Funda- h mentaleinheiten heissen, und zwar gewöhnliche oder 1 ä natürliche, je nachdem man dabei gewöhnliche oder natürliche Logarithmen voraussetzt. Die Reizeinheit bleibt beidesfalls die- selbe; aber die Empfindungseinheit ändert sich nach dem loga- rithmischen Systeme im Verhältnisse von 10:2,718...Unter Voraussetzung der Fundamentaleinheiten kann man einfach sagen, die Stärke der Empfindung sei der Loga- rithmus der Stärke des Reizes, und man wird zwar je nach dem angewandten logarithmischen Systeme den Zahlaus- druck für die Grösse der Empfindung verschieden, dieab- solute Grösse aber in Rücksicht der dabei unterliegenden ver- 2 schiedenen Einheit gleich gross finden, wie man ja auch für die Länge 4 dieLänge 42 setzen kann und mit der letzteren Zahl keine rn - 20 geössere Länge bezeichnen wird, als mit der ersteren, wenn man unter 42 zwölf Zolle und unter 4 einen Fuss versteht. Hienach wird z. B. unter Anwendung gewöhnlicher Fun- "damentaleinheiten eine Verdoppelung der Empfindung 1 stattfinden, wenn derReiz sich verzehnfacht, da log 10=1, log 100=2. Aber man würde Unrecht haben, zu sagen, dass überhaupt jede Empfindung sich verdoppelt, wenn sich der Reiz verzehnfacht, sondern eben nur jene Empfindung 1, die dem Werthe?= 40 zu- gehört, d. i. einem Reize, der 10mal so gross als sein Schwellen- werth ist. Sollte die Empfindung 2 sich verdoppeln, welche zum Reize 100 gehört, so würde diess bei einem Reize stattfinden, des- sen Logarithmus 4 ist, d. i. bei 10000, also hier der Reiz sich nicht verzehnfachen, sondern verhundertfachen müssen, u. s. f. Auch wird, wenn die Empfindung 4 unter Änwendung ge- wöhnlicher Fundamentaleinheiten sich bei Verzehnfachung des Reizes verdoppelt, diess nicht mehr stattfinden, wenn man natür- liche Fundamentaleinheiten anwendet, weil die Empfindung 4 hier einem niederen Reizgrade, nicht dem 10fachen, sondern 2,718...- fachen des Schwellenwerthes zugehört, und mithin einer geringe- ren absoluten Grösse der Empfindung entspricht. Diese wird sich verdoppeln, wenn der Reiz auf das 2,718...fache steigt.
Will man die Empfindungseinheit und Reizeinheit in demselben Puncte zusammentreflen lassen, so wird man die der vorigen nächst einfache Form der Massformel erhalten, wenn man die Reizeinheit und die Empfindungs- einheit zugleich bei einem fundamentalen Reizwerthe nimmt, welcher gleich der Grundzahl der angewandten Logarithmen ist. Diese Form der Massfor- mel ist y=logp+i (9).
In der That, die Bedingung, dass y = 4 ist, wenn £ = a, giebt durch Substitution dieser Werthe in die Massformel A=xkloga d.i.k= 4, weillogga = A.
Die Bedingung ferner, dass y und £ zugleich 4 sind, giebt dureh Sub- stitution von 4 sowohl für y als # in.die Form der Massformel (2) und Setzung vnk=4 N 4 = log — logb.
Da aber log = 0, so erhält man — logb = +1.
Substituirt man endlich diese Werthe k = 4 und — logb = + 1 in die allgemeine Form der Massformel y = k (logß — logb), so erhält man die obige Form.
Die einfachste Form der Massformel y = log@ kann überall - i 21 dienen und wird überall die einfachste Ableitung der Resultate gestatten, wo der Schwellenwerth des Reizes constant bleibt, in- dem man es dann immer in seiner Macht hat, die Fundamental- einheiten AR TEN also die Einheit des Reizes constant bei b, und die der Empfindung bei dem fundamentalen Reizwerthe gleich der Grundzahl der angewandten Logarithmen zu nehmen. Wo je- doch Veränderungen der Reizbarkeit eintreten, oder die Möglich- keit derselben berücksichtigt werden soll, kann b nicht allgemein = I gesetzt werden; und wir werden uns daher in der Folge zwar häufig, aber nicht immer, der einfachsten Form der Massfor- mel bedienen.
Wie leicht zu erachten, führt die Abhängigkeit der Empfin- dung vom Reize von selbst die umgekehrte Abhängigkeit des Rei- zes von der Empfindung mit, nicht insofern der Reiz seinem Da- sein nach in Abhängigkeit von der Empfindung stände, aber in- sofern die Grösse des Reizes, welche nöthig ist, eine gegebene Empfindung zu erwecken, in Abhängigkeit von der Grösse der Empfindung steht. Dieses Abhängigkeitsverhältniss drückt sich mittelst Umkehrung der Massformel aus durch zZ ß=bak (10) wo a die Grundzahl der angewandten Logarithmen ist, welche Formel sich unter Anwendung der Fundamentaleinheiten zu fol- gender vereinfacht: P=ar (am). Die Formely = klogß führt nämlich zuvörderst zu 10 = = diese Y nach $. 4 zu £ = a # und diese zu p= bak. ‚ In Betreff der Bedeutung und Verwendung der Massfornel sind folgende Bemerkungen wichtig.
Sie ist eine Formel, welche nach ihrer Begründungsweise unmittelbar nur als massgebend für die Abhängigkeit der In- tensität oder Stärke der Empfindung von der Intensität oder Stärke des Reizes gelten kann, wenn ein Reiz an einem Puncte oder in gleichem Verhältnisse an allen Puncten, wo er besteht, ab- oder zunimmt. Wenn wir von Messung der Em- pfindung durch den Reiz mittelst der Massformel sprechen, ist daher auch stets die Messung der Intensität der Empfindung nach der Intensität, nicht nach der Quantität des, über eine BL 22 gegebene zeitliche oder räumliche Ausdehnung sich erstreckenden Reizes damit gemeint.
Soll die Empfindung einfach als Function des Reizes mittelst der Massformel gemessen werden, so muss der Schwellenwerth des Reizes b bekannt und ebenso wie k bei den verschiedenen Reizgraden constant sein. Nun bleibt zwar k durch Reizeinwir- kung ungeändert, wie ich unten besonders zeige, nicht aber b, in- dem sich durch Reizeinwirkung die Reizbarkeit ändert. Je mehr sie sich aber abstumpft, ein um so grösserer Werth des Reizes gehört dazu, die Empfindung auf die Schwelle zu heben, um so mehr steigt also b. Inzwischen hebt dieser Umstand die Anwend- barkeit der Massformel nicht auf, sondern erweitert sie vielmehr. Denn es zeigt sich hiemit, dass sie nicht blos massgebend ist für die Abhängigkeit der Empfindung vom Reize, sondern auch vom Grade der Empfindlichkeit, womit er aufgefasst wird. Eben so, wie wir in die Formel ein variables $# einführen und die davon abhängige Aenderung von y verfolgen können, können wir ein va- riables b einführen und bienach die Aenderungen von y verfolgen.
Diess fodert natürlich dazu auf, das Gesetz der Aenderungen von b durch Reizeinwirkung genauer zu studiren, um dann b als Function der Stärke und Dauer des Reizes in die Formel einfüh- ren zu können. Zu diesem Studium eines an sich wichtigen Ver- hältnisses aber bietet die Massformel selbst den geeignetsten An- halt dar. Wie es scheint, kommt b bei jedem nicht zu heftigen Reize mit verlängerter Dauer desselben zu einem Gränzwerthe, oder, bei rascher periodischer Wiederkehr desselben, zu einem mittleren Werthe, welche mit der Grösse des Reizes und der Dauer der Periode in einer, jedoch noch nicht ermittelten, gesetzlichen Beziehung stehen; und es werden durch Substitution einestheils des Anfangswerthes, anderntheils jenes Gränzwerthes oder mitt- leren Werthes in die Massformel Hauptfälle ihrer Anwendung ge- deckt sein.
Wo der Schwellenwerth 5 nicht bekannt ist, mithin ein ab- solutes Mass der Empfindung durch die Massformel nicht stattfin- den kann, lässt sich aber doch dieselbe zum Masse von Empfin- dungsunterschieden benutzen, indem, wenn man dieselbe für zwei verschiedene Empfindungen aufstellt, und den Unterschied der Ausdrücke nimmt, der Schwellenwerth 5 aus diesem Unterschiede F Sn an 23 verschwindet, wie man schon S.14 hat bemerken können, und in einem späteren Kapitel noch weiter wird erörtert werden.
Stellt man in der Massformel die Constante 5 als Function der anderen Grössen auf, so erhält man aus der Formel 414 die folgende k a wenn a die Grundzahl der angewandten Logarithmen ist, wonach b dem Reize $ proportional ist, der eine gegebene Empfindung y mitführt. Hienach kann der reciproke Werth von b, d.i.
geradezu als Massstab der absoluten Empfindlichkeit oder der im Sinne von Th. I. S. 151 verstandenen Reizbarkeit gelten, sofern auch diese nach früherer Begriffsbestimmung dem Reize reciprok ist, der eine gegebene Empfindung auslöst.
Hiebei ist vorausgesetzt, was in folgender Einschaltung be- wiesen wird, dass k sich nicht mit b ändert.
Stellt man in der Massformel % als Function der anderen Werthe auf, so erhält man Kenn winken log. £ log# — logb (13) wonach k der Empfindung y proportional ist, die durch ein gegebenes fundamentales Reizverbältniss T hervorgeht. Nun liesse sich allgemein gesprochen als möglich denken, dass, wenn der Schwellenwerth des Reizes 6 sich vermöge Abänderung der Reizbarkeit ändert, auch das fundamentale Reizverhältniss £& sich ändert, bei welchem eine gegebene Emplindungsgrösse y entsteht. In diesem Falle würde voriger Formel zufolge der Werth k sich mit dem Werthe b ändern, davon abhängig sein, und man also einen constanten Werth von k in der Massformel nur so lange anwenden dürfen, als die absolute Empfindlichkeit oder Reizbarkeit, von welcher b abhängt, dieselbe bleibt. Von der anderen Seite aber ist allgemein gesprochen eben so denkbar, dass, wie auch derSchwellenwerth 5 sich ändere, doch die Empfindung dieselbe bleibt, wenn nur das fundamentale Reizverhältniss £ dasselbe bleibt. In diesem Falle ist k unabhängig von der Reizbarkeit und kann bei den verschiedensten Werthen von 5 dasselbe k in der Massformel angewandt werden, Nur die Erfahrung kann diese wichtige Frage entscheiden, und sie ent- scheidet für die letzte Annahme, In dem Kapitel über das Parallelgesetz hat sich gezeigt, dass ein Unterschied zwischen zwei Reizen gleich deutlich er- scheint, mögen sie mit ermüdeten Organen, wodurch der Schwellenwerth b sich ändert, oder mit nicht ermüdeten aufgefasst werden. Seien nun ersten- falls die zu einander gehörigen Werthe der Constanten b’ und k’, letztenfalls 24 24 b und k, und beidesfalls die Reize, deren Unterschied aufzufassen ist, # und P,, so ist erstenfalls der Empfindungsunuterschied wovon sich die zweite Form ergiebt, indem wir die Differenz der Logarith- men in den Logarithmus des Quotienten umsetzen. Zweitenfalls ist der Em- Pfindungsunterschied Sollen nun beide Unterschiede gleich sein, wie es die Erfahrung zeigt, so muss k’ = k, d. i. der Werth von k unabhängig vom Werthe d sein *).
Man sieht hienach, dass das Parallelgesetz eine wesentliche Ergänzung.
des Weber'schen Gesetzes in der Feststellung der Massformel ist.
Hienach lässt sich aus der Massformel folgender beachtens- werthe Satz ableiten: Wenn der Reizwerth b, bei welchem eine Empfindung auf die Schwelle tritt, sich in gegebenem Verhältnisse vergrössert oder verkleinert, so vergrössert oder verkleinert sich jeder Reizwerth, durch welchen eine Empfindung gegebener Stärke erzeugt wer- den soll, in demselben Verhältnisse. Wenn also z.B. Jemand, der sich der Taubheit nähert, einen nmal so starken Schall braucht, um denselben überhaupt noch zu hören, als ein Anderer mit ge- sunden Ohren, so wird er auch einen nmal so starken Schall brauchen, um ihn gleich stark als dieser zu hören, gleichviel, welche Stärke man hiebei zu Grunde legen mag. Denn wir haben S. Soll nun bei nfachem Werthe von b der Werth von y noch gleich gross ausfallen, als bei ein- fachem, so muss auch das n fache $ angewandt werden.
Wir haben kein directes Mittel, die Stärke von Empfindungen bei verschiedenen Individuen zu vergleichen. Aber man sieht nicht ohne Interesse, dass wir durch Bestimmung des Schwellen- werthes b bei verschiedenen Individuen ein indirectes Mittel er- halten, welches für die ganze Skale der Empfindungsstärken auf einmal ausreicht.
Uebrigens zeigt die Form der Massformel, dass es für die Grösse der Empfindung auf dasselbe herauskommt, ob man ß in einem gegebenen Verhältnisse verringert oder b in demselben nach der Massformel y = k log *) Ein später zu machender Unterschied zwischen Empfindungsunter- schieden und empfundenen Unterschieden wird in dieser Deduction nichts wesentlich ändero.
25 25 Verhältnisse vergrössert denkt. Diess führt zu einer doppelten Repräsentation einer abgeänderten Reizbarkeit, und es kann unter Umständen sachgemässer sein, sich der einen oder anderen zu be- dienen. Man kann eine verminderte Reizbarkeit ebensowohl durch eine verminderte Reizeinwirkung £ bei gleichem Schwellenwerthe b repräsentiren, als durch einen erhöhten Schwellenwerth 5 bei gleicher Reizeinwirkung 8. Ersteres kann man als Abstumpfung der Reizeinwirkung oder des Reizes, Letzteres als Abstumpfung der Reizbarkeit bezeichnen. Bei Uebersetzung des Reizes in die davon abhängige psychophysische Bewegung, welche aber erst in der inneren Psychophysik Platz zu greifen hat, ist nur die erste Repräsentation anwendbar, sofern eine verminderte Reizbarkeit voraussetzlich nur darin ruht, dass eine verminderte psychophy- sische Wirkung des Reizes stattfindet, die wir dann durch ein vermindertes 8 auszudrücken haben werden. Aber in der äusse- ren Psychophysik, auf deren Boden wir jetzt stehen, haben wir, um ohne Voraussetzung nur die factischen Verhältnisse durch die Formel zu repräsentiren, den Reiz $ in seiner wirklichen Grösse in die Formel einzuführen, und die Variabilität seiner Wirkung nach Abänderung der Reizbarkeit durch eine Variation der Gon- stante 5 darzustellen, wobei wir also auch im Folgenden zunächst stehen bleiben.
Nennen wir B den Werth von?, bei welchem die Einheit der Empfin- dung y angenommen wird, so werden wir in den allgemeinen Ausdrücken, welche bisher für 6 und k gegeben wurden, den Werth von y = 4 zu setzen haben, wenn wir zugleich # = B setzen. So erhalten wir diese Constanten als Function des erfahrungsmässigen Werthes B, nämlich B ak ge ee Diese Werthe für b und k lassen sich dann auch beliebig in die Massformel substituiren. Bei Substitution des Werthes von 5 hat man B a* nF) ak.
w_ 26 ug ai 8 4 Die Substitution von FE für loga * in dieser Herleitung, welche auf das er S. 20 gefundene Ergebniss zurückführt, begründet sich dadurch, dass logak = + loga, und dass loga = 1, weil a die Grundzahl. Bei Substitution des Werthes von k findet man leicht ß gg (Im Inzwischen wird man die einfache Anwendung der Buchstaben b und k in der Massformel im Allgemeinen bequemer zur Ableitung von Folgerungen finden.
Zu den bei der Anwendung der Massformel zu berücksichti- genden Umständen gehört wesentlich das Vorhandensein innerer Empfindungsreize. Sofern solche vorhanden sind, ist ihre Grösse der Grösse der äusseren Reize hinzuzufügen, um den Werth von ß zu erhalten, welcher in die Formel einzuführen ist. Es kann aber ihr Dasein und ihre Grösse überhaupt nur aus dem Vorhan- densein und der Stärke von Empfindungen bei Abwesenheit von äusseren Reizen erschlossen und nach Vergleichung mit deren Wirkung in einem Aequivalente berücksichtigt werden. So haben wir zu jedem äusseren Lichtreize eine kleine Grösse hinzuzufügen und den so vermehrten Reiz in die Formel als $ einzuführen, um das Resultat der Lichtempfindung vollständig zu erhalten, sofern sich nach mehrfacher früherer Erörterung schon ohne äusseren Reiz eine schwache Lichtempfindung im Dasein des Augenschwarz geltend macht, welche das Vorhandensein einer inneren Ur- sache der Lichtempfindung voraussetzt, die wir-kurz als inneren Reiz bezeichnen. Lässt sich nun diese Zusatzgrösse zum äusseren Reize nicht genau bestimmen, so muss doch ihr Dasein berück- sichtigt werden, da sie bei schwachen äusseren Lichtreizen den wichtigsten Einfluss gewinnt, und müssen verhältnissmässig da- gegen starke äussere Lichtreize angewandt werden, wo ihr Ein- fluss vernachlässigt werden soll.
Von der anderen Seite ist in Rücksicht zu ziehen, dass manche Reize, abgesehen von der Abstumpfung der Reizbarkeit, die sie mitführen, einen ihre Einwirkung beschränkenden Mechanismus 27 auslösen, dessen Wirkung mit der Stärke der Reize wächst. Min- destens gilt diess von demLichtreize, sofern sich die Pupille durch den verstärkten Lichtreiz verengert, und es wäre sehr möglich, dass beim Gehöre und vielleicht auch bei anderen Sinnen etwas Entsprechendes stattfände, Natürlich kann der Reiz nur mit Rück- sicht auf diese Beschränkung in die Massformel eingeführt wer- den, welcher man beliebig durch eine demgemässe Reduction von 8 oder Steigerung von b genügen kann.
Jeder Reiz irradiirt in einem gewissen Umkreise und jeder klingt während einer gewissen Zeit nach, nachdem sein Eindruck einmal geschehen ist. Auch hieraus können zu berücksichtigende Zuwüchse zu dem direct und momentan wirkenden Reize hervar- gehen.