Als Mass des Wärmereizes ß ist nicht die absolute Tempera- turhöhe, sondern die Differenz von derjenigen Temperatur, wo wir weder Kälte noch Wärme empfinden, anzusehen oder irgend eine Function dieser Differenz, da die Temperaturempfindung nach Massgabe der Entfernung von jener Mitteltemperatur zunimmt. Setzen wir nach einfachster Voraussetzung $=1—T, wo Tdie Temperatur bedeutet, bei der weder Wärme noch Kälte empfun- den wird, t die eben vorhandene Temperatur, so wird unter An- wendung des Weber’schen Gesetzes die Fundamentalformel diese i—-T Nun ist zu bemerken, dass das zweite Glied dieser Gleichung für den Mittelfall beider Empfindungen, wo t=[T ist, unendlich, also nach mathematischem Ausdrucke discontinuirlich wird. Die beiden, durch diesen Mittelfall getrennten, allgemeinen Fälle, wo i kleiner, und wo! grösser als die Mitteltemperatur 7 ist, lassen sich also nicht unter dasselbe Integral vereinigen, und erfodern jeder eine selbständige Bestimmung der Integrationsconstante.
Setzen wir nun anfangs voraus, dass sowohl die Wärme- als Kälteempfindung eine Schwelle hat, d. h. dass beide nicht allein bei der Mitteltemperatur T, sondern schon in einem gewissen Ab- stande jenseits und diesseits der Mitteltemperatur T merklich zu sein aufhören, und im Intervalle zwischen beiden Temperaturen weder Wärme noch Kälte empfunden wird, eineAnnahme, welche als die allgemeinere gegen die nachher in Betracht zu nehmende anzusehen, dass die Schwelle Null wäre, so werden wir, wenn wir die Schwellentemperatur. der Wärme c, die der Kälte c’ nen- nen, für Wärme und Kälte durch Integration folgende zwei For- meln erhalten, worin k das S.43 angegebene Verhältniss zu X hat: i—-T c—T y=klog Fr y=klog Da die Constante € —T negativ ist, während e—7' positiv ist, so unterscheiden sich die Ausdrücke für Wärme und Kälte durch einen Vorzeichengegensatz hinter dem Logarithmus- 44 zeichen, und werden übrigens gleich, wenn man c’ eben so weit unterhalb 7 als c oberhalb T annehmen will, was aber für die folgenden allgemeinen Folgerungen nicht nöthig.
Die erste dieser Formeln lässt richtig y gleich Null finden, wennc=[T, die zweite lässt = o finden, wenn T=c'. Die Formeln geben richtig reale Werthe für die Wärme y und ima- ginäre für die Kälte y', wenn £> 7; umgekehrt, wenn t< T; wie man leicht unter Rücksicht findet, dass der Logarithmus einer negativen Grösse imaginär ist. Die Formeln geben endlich richtig bewusste oder unbewusste, d. h. positive oder negative, Werthe für Wärme y, Kälte y', je nachdem die Zähler der Brüche unter dem Logarithmuszeichen grösser oder kleiner als die Nenner sind. Somit repräsentiren sie triftig alle allgemeinen Verhältnisse, wel- che zu repräsentiren sind.
Diess unter Voraussetzung von zwei, um eine gewisse Distanz auseinanderliegenden, Schweilentemperaturen c, c’ für Wärme und Kälte. Inzwischen kann sehr in Frage gestellt werden, ob diese Voraussetzung triftig ist. Zwar lehrt die Erfahrung, dass sich durch eine gewisse Breite von Temperaturen um die mittlere die Abwesenheit eines bestimmten Gefühles von Wärme oder Kälte forterhalten kann, und diess scheint für einen Abstand beider Schwellenwerthe jenseits und diesseits 7’ zu sprechen. Aber es ist in Rücksicht zu ziehen, dass diess auch auf dem Accommodations- vermögen der Reizempfänglichkeit oder Empfindlichkeitsschwelle der Haut beruhen könnte, und das wir jedenfalls aus anderen Gründen anzuerkennen haben. Die Versuche des 9. Kapitels ha- ben ergeben, dass es eine mittlere Temperatur von gewisser Breite zwischen Frostpunct und Blutwärme giebt, wo so kleine Tempe- raturdifferenzen noch mit dem Gefühle wahrgenommen werden, dass die zugehörigen Temperaturunterschiede am Thermometer fast in dieOrdnung der Beobachtungsfehler eintreten. Diess stimmt besser dazu, dass inmitten dieser mittleren Temperatur eine ge- meinsame Schwelle, also von der Höhe Null, für Wärme und Kälte, liegt, da sonst statt grösstmöglicher Empfindlichkeit, Unempfind- lichkeit in einer gewissen Temperaturbreite zu erwarten wäre. Sollten die Schwellentemperaturen für Wärme und Kälte dennoch auseinanderliegen, so könnte es nur um eine, für die Beobachtung als verschwindend anzusehende, Grösse sein, und so ist es wahr- scheinlicher, dass sie überhaupt nicht auseinanderliegen.
45 ‚E.H. Weber stimmt hiemit überein, indem er bei einem Vergleiche der Licht- und Wärme-Empfindung (Programmata collecta p. 469) sagt: »Sensus caliginis est sensus deficientis lucis ad cernendum necessariae. Quae cum nunquam plane deficiat, gradu tantum differunt sensus lucis et sensus caliginis. Hinc fit, ut crescente aut decrescente luce sensim paula- timque alter sensus in alterum transeat, neque gradus medius existat, quo neque lucis neque caliginis sensu aflieimur. Contra talis medius gradus tem- periei corporum nos tangentium, quo nec frigore nec calore aflicimur, vere existit, arctissimis vero terminis circumscriptus est. Causa in eo posita est, quod corpori nostro calor a calidioribus corporibus communicatur, a frigi- dioribus autem detrahitur, lux autem nunquam oculis detrahitur, sed sem- per communicatur. Frigus et calor igitur se habent ut numeri positivi et ne- gativi, inter quos medium est punctum indifferentiae, lux et caligo contra ut numeri positivi minores et majores.« Wenn übrigens die Frage, ob die Schwellen für Wärme und Kälte absolut in einem Schwellennullpuncte zusammenfallen, ihr theoretisches Interesse hat, so würden doch für den Versuch je- denfalls die Schwellen immer als merklich zusammenfallend an- gesehen werden können, und die genaue Bestimmung der Con- stanten c, c’ unmöglich fallen. Daher muss in jedem Falle eine an- dere Wahl der Constanten bei der Integration zweckmässig er- scheinen; die, sollten die Schwellen genau zusammenfallen, sich von selbst nöthig machen würde. Nachdem nun das allgemeine Integral der Formel dieses ist: y=klg(tt—TN)+C wird man die Constante C am zweckmässigsten durch Bezug nicht zu der Temperatur, woy= 0, sondern wo (willkührlich) y = A gesetzt wird, bestimmen, was für den Fall der Wärme bei einer Temperatur über, für den Fall der Kälte bei einer Temperatur unter T ist, Lassen wir jetzt c, c’ diese beiden Temperaturen be- deuten, so wird sich © respectiv für den Fall der Wärme und Kälte durch die Gleichungen bestimmen: 1=klog(c—T)+C A=klog (’—-T)+C. Die hieraus folgenden Werthe für C, in die allgemeine Gleichung substituirt, geben t—T yaklg + 1 ‚ T—t Es ist wichtig zu bemerken, dass die Einheit für Frost an sich keinen Grössenvergleich mit der Einheit für Hitze zulässt, da viel- 46 a5 mehr beide Einheiten unabhängig von einander anzunehmen sind. Wir werden also trotz unseres Massprincipes, ja im mathemati- schen Geiste desselben, niemals sagen können, ob und wenn wir eben so sehr frieren, als warm sind; oder noch einmal so sehr frieren, als-warm sind, indess die prineipielle Möglichkeit damit gegeben ist, zu sagen, wie vielmal stärker wir im einen als im anderen Falle frieren oder warm sind; es müssten sich denn noch allgemeinere mathematische Bezüge zwischen Empfindungen ver- schiedener Gattung entdecken lassen, als bis jetzt vorliegen.
Nachdem aber die Werthe c, c’, für welche wir die Einheit der Temperaturempfindungen annehmen wollen, willkührlich sind, liegt es auf der Hand, dass wir nicht besser thun können, als sie symmetrisch zu T, d. h. c’ eben so weit unterhalb, als ce oberhalb anzunehmen. Auf diese natürlichste Annahme lässt sich dann al- lerdings auch ein Vergleich zwischen Wärme und Kälte gründen, welcher Anspruch hat, für naturgemäss zu gelten, wenn er auch nicht mathematisch nothwendig ist. Hiemit wird c— T=T—.c' und der Gegensatz von Wärme und Kälte reducirt sich darauf, dass für —T in der Formel für Wärme 7—t in der Formel für Kälte tritt, reducirt sich also wiederum auf einen Gegensatz der Vorzeichen unter dem Logarithmuszeichen.
So weit führt die Theorie unter Voraussetzung, dass das W e- ber’sche Gesetz gilt, und k gemeinsam für Wärme und Kälte ist. Ich habe nun schon angeführt, dass nach dem Frostpuncte zu das Weber’sche Gesetz seine Gültigkeit verliert; indess ist anderseits bemerkt worden, dass die Abweichungen vom Weber'schen Ge- setze bei Einwirkung äusserer Reize nicht nothwendig auch in Bezug auf die dadurch ausgelösten psychophysischen Bewegungen stattfinden; so dass die vorigen Betrachtungen in Bezug auf diese immerhin ihre Bedeutung behalten können. Die Hauptabsicht der vorigen Erörterung war aber überhaupt nicht sowohl, die Mass- function für die Temperaturempfindung festzustellen, wozu in der That noch mehr experimentale Voruntersuchungen nöthig sind, als bis jetzt vorliegen, als die mathematische Auffassung eines Gegensatzes von Empfindungen, wie ihn Wärme und Kälte dar- bieten, im Allgemeinen darzulegen.
#7 XIX. Bezugsweiser Gang von Reiz und Empfindung.
Die Empfindung steigt mit dem Reize auf, aber keinesweges demselben proportional auf. Vielmehr wissen wir, dass, während der Reiz bis zum Schwellenwerthe ansteigt, die Empfindung über- haupt noch nicht bemerklich wird, und auch höher hinauf nicht in einem einfachen, sondern logarithmischen Verhältnisse dazu wächst. Es hat sein Interesse, die Hauptverhältnisse dieses Gan- ges noch etwas genauer zu verfolgen, als es durch die blosse Un- terscheidung und Inbetrachtnahme der drei Hauptfälle, welche unter der Formel begriffen sind, bisher geschehen ist. Hiezu ist dieses Kapitel bestimmt.
Zu einfacherer Ableitung des bezugsweisen Ganges von Reiz und Empfindung soll die Massformel folgends auf ihre einfachste Form 7=log ß reducirt gedacht werden, wobei der Schwellen- werth 5 als Einheit des Reizes gilt, und die Reizwerthe 8 die Be- deutung von Fundamentalwerthen in dem S. 43 angegebenen Sinne annehmen. Mit e soll wie immer die Grundzahl der natürlichen Logarithmen 2,718...bezeichnet werden.
Allgemein entspricht jedem positiven Empfindungswerthe bei einem gegebenen Reize $ ein gleich grosser negativer beim reci- proken Reizwerthe 7; nach der allgemeinen Beziehung (S. 5 Formel 2), dass log Lou log #, wonach den beiden Reihen der f} Reizwerthe zwei Reihen dem absoluten Zahlausdrucke nach gleich grosser Empfindungswerthe zugehören, der ersten eine Reihe positiver, der zweiten eine Reihe gleich grosser negativer Empfindungswer- the, welche bei dem Schwellenwerthe des Reizes 4 im Nullwerthe oder Schwellenwerthe der Empfindung zusammentreflen. Hienach hat man überhaupt nur nöthig, den Gang der Empfindung bezüg- lich zum Reize für Werthe von &, welche grösser sind als 4, zu verfolgen, um nach voriger Beziehung den Gang bezüglich der Reizwerthe, welche kleiner sind, daraus zu finden.
Sowohl die Reihe der positiven als negativen Empfindungs- werthe läuft nach Massgabe als man 8 im Werthe y = log ß oder 48 y=log = ins Unendliche wachsen lässt, in eine unendliche re- spectiv positive oder negative Grösse aus; wovon erstere eine un- endlich starke Empfindung, letztere das absolute Unbewusstsein einer Empfindung bezeichnet. Was aber das Erste anlangt, so darf man nicht vergessen, dass unsere Formel blos so lange gilt, als das Weber’sche Gesetz gilt, und dass dieses nach der Einrichtung unseres Organismus bei zu starken Reizeinwirkungen gültig zu sein aufhört; daher sich die Empfindung durch Steigerung des Reizes im Menschen nicht so ins Unbestimmte steigern lässt, wie es nach abstracter Geltung der Formel der Fall sein würde. Hin- gegen hindert nichts, vorauszusetzen, dass, wenn die psychophy- sische Bewegung ins Unbestimmte gesteigert werden könnte, auch die Abhängigkeit der Empfindung davon ins Unbestimmte der For- mel folgen würde.
Die ganze Reihe der negativen Empfindungswerthe von der negativen Unendlichkeit bis zur Schwelle entspricht dem verhält- nissmässig kleinen endlichen Intervalle der Reizwerthe von 0 bis 4, indess die Reihe der positiven Empfindungswerthe von der Schwelle bis zur unendlich starken positiven Empfindung dem unendlichen Intervalle der Reizwerthe von 1 bis oo zugehört.
Verfolgen wir des Weiteren nun den Gang der positiven Em- pfindungswerthe.
Berechnet man unter Zugrundelegung eines beliebigen loga- rithmischen Systemes nach der Formel y = log die Werthe y, welche den von der Schwelle 4 an wachsenden Werthen 8 zuge- hören, so findet man, dass y anfangs in rascherem Verhältnisse als # wächst, wie sich darin zeigt, dass das Verhältniss 7 = Iogf anfangs wächst. Steigert man aber 8 immer mehr, so nimmt das zugehörige Verhältniss Z wieder ab. Kurz: steigert man den Reiz von seinem Schwellenwerthe an, so steigt die Empfindung anfangs rascher als der Reiz, über eine gewisse Gränze hinaus aber lang- samer.
Da die Empfindung beim Schwellenwerthe selbst Null’ ist, jeder endliche Werth aber unendlichemal so gross als Null, so ge- schieht die Steigerung der Empfindung bei Ueberschreitung des Schwellenwerthes um eine noch so kleine endliche Grösse in un- endlich starkem Verhältnisse. Setzen wir anderseits den idealen 49 Fall einer unendlichen Stärke des Reizes unter Forterhaltung der Gültigkeit der Formel, so wird ein endlicher Zuwachs des Reizes in keinem merklichen Zuwachse der Empfindung mehr gespürt. Der Uebergang von einer Gränze zur anderen, wo die Empfindung in unendlichem Verhältnisse und wo sie gar nicht mehr merklich durch einen gegebenen endlichen Zuwachs des Reizes wächst, _ wird nun eben dadurch vermittelt, dass sie bis zu gewissen Gränzen rascher, über gewisse Gränzen hinaus langsamer als der Reiz wächst.
Hiezwischen muss es nothwendig einen ganz bestimmten Mit- telfall geben, wo die Empfindung weder rascher noch langsamer als’der Reiz, sondern (streng genommen nur innerhalb eines un- endlich kleinen Intervalls) demselben proportional wächst. Und nachdem bis zu diesem Mittelfalle der Werth Z =!%&# mit Wachs- thum von 8 zunimmt, darüber hinaus abnimmt, muss dieser Fall dem Maximum von entsprechen.
Diese Bedingung giebt zugleich den Weg an die Hand, den Reizwerth 8 zu bestimmen, bei dem dieser Wendepunct eintritt. Nach bekannten Regeln der Differenzialrechnung (durch Nullsetzung des Differenziales von. findet man, dass der Werth ß, welchem das Maximum Iogß entspricht, gleich e, d. i. gleich der Grundzahl der natürlichen Logarithmen ist. Wenn also der Reiz das 2,718...fache seines Schwellenwerthes ist, und sich von da um ein weniges ändert, so ändert sich die Empfindung der Aenderung des Reizes genau proportional.
Steigt der Reiz weiter über diesen Werth, so wächst zwar die Empfindung noch absolut genommen, aber nimmt ab im Verhält- nisse zum Reize. Sinkt er merklich darunter, so sinkt die Em- pfindung zugleich absolut und relativ zum Reize.
Der Punct, wo dieses relative Maximum der Empfindung eintritt, soll der Cardinalpunct heissen, und der Reizwerth, bei dem es eintritt, also das efache des Schwellenwerthes, und die zugehörige Empfindung der Cardinalwerth des Reizes und der Empfindung.
Wenn also ein Reiz in der efachen Stärke seines Schwellen- werthes oder mit seinem Cardinalwerthe wirkt, so giebt er das verhältnissmässige Maximum der Empfindungsleistung oder die Fechner, Elemente der Psychophysik. II. 4 Kae 50 Cardinalempfindung. Und wenn man es daher in seiner Gewalt hat, ein gegebenes Reizquantum mehr concentrirt oder mehr ver- theilt zu verwenden, so wird man, um die grösstmögliche Em- pfindungsleistung dadurch zu erhalten, dasselbe so zu vertheilen haben, dass es mit der efachen Stärke des Schwellenwerthes oder | als Cardinalreiz wirkt. Concentrirt man es mehr, so wird die Empfindung intensiver; aber es wird eine so viel geringere Menge solcher intensiven Empfindungen entstehen, dass doch im Ganzen an Empfindungsleistung verloren wird; vertheilt man es mehr, so wird die grössere Menge der Empfindungen den Verlust durch die geringere Intensität nicht zu compensiren vermögen. Später, bei den Vertheilungsformeln der Empfindung, werden wir auf einem anderen Wege uns zu demselben Resultate geführt finden.
Da um jeden Maximumwerth die Werthe sich nur langsam ändern, so wird auch Z um seinen Maximumwerth beinahe con- stant bleiben, und also nicht nur bei dem Cardinalwerthe des Reizes, sondern auch in der Nähe desselben die Empfindung merk- lich proportional mit dem Reize wachsen.
Das functionelle Verhältniss zwischen Reiz und Empfindung schliesst also einige Specialfälle von einer gewissen bevorzugten Bedeutung im bezugsweisen Gange beider ein, den Schwellen- punct und Cardinalpunct. Beim Schwellenpuncte ist die Empfin- dung Null, beim Cardinalpuncte hat sie das relative Maximum zum Reize. Der erste bezeichnet im Aufsteigen des Reizes den Punct, wo die negativen Werthe der Empfindung in positive über- | gehen, der zweite den Punct, wo die relative Zunahme zum Reize in relative Abnahme übergeht. Beim ersten steigt die Empfindung unendlich schnell verglichen mit dem Steigen des Reizes, beim h zweiten steigt sie proportional mit dem Steigen des Reizes. | Hiezu kommt nun noch der formell wichtige Umstand, dass nach den Bestimmungen auf S.49 der Schwellenwerth als Einheit des Reizes und der Cardinalwerth als Einheit der Empfindung | die einfachstmögliche Form der Massformel (y=logß), welche die Beziehung zwischen Reiz und Empfindung ausdrückt, für den Fall natürlicher Logarithmen geben, deren System eine mathematisch bevorzugte Bedeutung vor jedem anderen Sy- steme hat.
Hier folgt eine kleine Tabelle, welche für die Voraus- 51 setzung der Reizeinheit beim Schwellenwerthe, und Empfindungs- einheit beim Cardinalwerthe die zu einander gehörigen Werthe des Reizes und der Empfindung bei wachsendem Reize und wach- sender Empfindung giebt, auf Seite I. so, dass zu den gegebenen Reizgrössen die zugehörigen Empfindungsgrössen, auf Seite II. umgekehrt angegeben sind. Seite I. ist mittelst natürlicher Logarithmen nach der Formel = lo oder, was äquivalente Werthe giebt, ah gemeiner nach der Formel log# _ berechnet; Seite II. nach der Formel B=e.
In Betreff der beigefügten Werthe 7 ist zu bemerken, dass ihre absolute Grösse keine Bedeutung hat, da sie an den willkühr- lichen Einheiten von Reiz und Empfindung hängt, sondern nur der davon unabhängige Gang oder die gegenseitigen Verhältnisse dieser Werthe mit Aufsteigen von y und ß.
I. I.
EAFSEIRZE Man sieht nun auf der Seite I, dass dem Reize Null ein nega- tiv unendlicher Werth der Empfindung entspricht, d. h. der tiefst mögliche Grad des Unbewusstseins®, das absolute Unbewusst- sein. Während der Reiz von Null bis 4 steigt, wo die bewusste Empfindung beginnt, durchläuft die Empfindung alle mögliche ne- gative Werthe, indem nach der Formel die in der Tabelle nicht 52 mit angeführten negativen Empfindungen für den Reiz 4, #4, # 5 u. s. f. den positiven für den Reiz 2, 3, u. s. f. im absoluten Zahlwerthe entsprechen. Wenn der Reiz über seinen Schwellen- werth 4 steigt, so wächst gemäss dem Angeführten die Empfin- ‚dung anfangs in rascherem Verhältnisse als der Reiz; indem das Verhältniss Z mit dem Wachsthume von 8 anfangs wächst. Bei ß=e= 2,718, d. i. dem Cardinalwerthe des Reizes, zeigt sich das Maximum von Z = z = 0,36788, und um diesen Werth, vonß=2bis $# = 4 steigt die Empfindung merklich im Verhält- nisse des Reizes, indem das Verhältniss 7 hier nahe constant bleibt; indess es bei weiterem Wachsthume des Reizes immer au- genfälliger abnimmt.
Hier folgen noch nach voriger Tabelle für die aufeinanderfol- genden Differenzen der Empfindung y, wenn sie von 0 immer um die gleiche Grösse I wächst, die zugehörigen Differenzen des Reizes ß.
- .svzw1ou»uw=o Während also der Reiz, um die Empfindung von 0 bis zum Car- dinalwerthe oder der natürlichen Fundamentaleinheit wachsen zu lassen, blos um 1,7483 über seinen Schwellenwerth 4 zu steigen hat, muss er, um die Empfindung von 9 bis 40 wachsen zu las- sen, um 13923 steigen.
Es giebt einen sehr einfachen Fall, auf den man den vorigen Gang in Wirklichkeit beziehen kann. Wenn man sich einem dauernden Geräusche von constanter Stärke successiv nähert, so werden, wenn diess aus unend- licher Ferne her geschieht, alleGrade des Unbewusstseins von der negativen Unendlichkeit an durchlaufen, bis bei einem gewissen Puncte die Merklich- ' “ keit und hiemit der Schwellenwerth des Geräusches eintritt, von dem an 5 dann der in der Tabelle verzeichnete Gang der Empfindung in positivem Sinne befolgt wird.
Da die Stärke des Schalles # in umgekehrtem Verhältnisse des Quadra- tes der Entfernung steht, so möge sie 4 bei der Einheit der Entfernung sein, und als diese Einheit die Entfernung gesetzt werden, wo der Schall eben merklich zu werden beginnt. Dann ist die Stärke des Schalles r in der Ent- fernung D. Sei ferner die Einheit der Empfindung beim Cardinalwerthe, so j wird der Gang der Empfindung bei natürlichen Logarithmen durch y= log 5 = — 2logD gegeben. Die positiven Werthe von y entsprechen hier Werthen von D, welche kleiner als die Schwellendistanz, mithin Bruchwerthe sind; was log D negativ und — log D positiv macht.
Man kann in der obigen Tabelle als eine Eigenthümlichkeit bemerken, dass das Verhältniss Z bei $ = 2 unterhalb des Car- dinalpunctes mit dem Verhältnisse bei 4 oberhalb dieses Punctes ganz übereinstimmt, nämlich beidesfalls 0,34657 ist, und dass zugleich das Verhältniss dieser Reize $ = 2 und? = 4, mit dem Verhältnisse der zugehörigen Empfindungen 0,6931 und 1,3863 übereinstimmt.
Das Letzte ist eine natürliche Folge des Ersten, denn, wenn 8 so ist nothwendig zugleich Das Erste aber leitet man leicht aus der Massformel ab.
Wenn nämlich y = log #, so ist IL. Setzt man nun nach einan- der& = 2 und $ = 4, so hat man log 2 fürß = 2...Sm log 4 5 Indem aber log 4 = log 2? = 21log2, sind beide Werthe von 7 identisch.
#2 f te f} Man kann aber weiter bemerken, dass keineswegs allge- mein das Verhältniss der Empfindung mit dem Verhältnisse der zugehörigen fundamentalen ‚Reizwerthe übereinstimmt. Diess u würde unter Anwendung der Fundamentaleinheiten fodern, dass [a log was nicht allgemein statt hat, wenn man für $, $’ beliebige Zah- len setzt. Doch ist das angegebene Gleichheitsverhältniss auch “ nicht auf jenen einzelnen Fall der fundamentalen Reizwerthe 2 ta 54 und 4 beschränkt, diess vielmehr nur ein besonderer und beson- ders ausgezeichneter Fall unter unendlich vielen dergleichen Fällen. Allgemein entspricht jedem gegebenen Werthe Z oberhalb des Cardinalpunctes ein gleicher unterhalb des Gardinalpunctes, wie umgekehrt, und allgemein stimmt hier das Verhältniss der fundamentalen Reizwerthe mit dem der Empfindungswerthe über- ein. Die so zu einander gehörigen Werthe sollen correspondi- rende heissen und die correspondirenden fundamentalen Reiz- werthe insbesondere mit &, y bezeichnet werden. Es hat einiges Interesse, ihre Verhältnisse festzustellen, sofern sie zwei Intensi- täten bezeichnen, bei denen ein gegebenes Reizquantum dieselbe Empfindungsleistung giebt, wenn es durch angemessene Verthei- lung auf diese Intensitäten gebracht wird. Je weiter beide aus- einander und vom Cardinalwerthe abweichen, desto geringer ist die Leistung des Quantums bei diesen Intensitäten. Im Cardinal- werthe selbst treffen beide correspondirende Werthe in einem gleichen Maximum zusammen.
Die Herleitung der Verhältnisse, um die es sich handelt, ist diese: Wenn & und y die correspondirenden Reizwerthe und y, y’ die zugehö- rigen Empfindungen sind, so haben wir _ ERS Indem aber y = log, y’ = log y, folgt daraus @ log & — win y Jlogy Setzen wir nun 7 = n und substituiren yn für & in vorige Gleichung, so erhalten wir log ny log y nlogy = logny log y” = logny vn „Th n—4)logy=logn 1 Iog y = WER — lognr»—1 1 yanr-!
zwenyen Allgemein finden nach vorstehender Herleitung für die corre- 55 spondirenden Reizwerthe folgende merkwürdige, einander äqui- valente, Beziehungen statt: av = y® Bar log x Yy log y woraus, wenn man 2 =n setzt, folgende Bestimmung von @ und y fliesst: Giebt man sich also irgend ein beliebiges Verhältniss ” =n, in welchem die correspondirenden Reizintensitäten stehen sollen, so kann man nach vorigen Gleichungen die correspondirenden In- tensitäten, y selbst finden, wobei die Reizeinheit der Schwel- lenwerth, die Empfindungseinbheit beliebig ist.
Hier folgt eine kleine, nach diesen Formeln berechnete, Ta- belle; auf deren zweiter Seite die Potenzwerthe der ersten Seite in ihre Zahlwerthe aufgelöst sind.
Man sieht aus dieser Tabelle, dass, je höher die Intensität des einen correspondirenden Reizes steigt, um so schwächer die des anderen ist, welche ihm in derselben relativen Empfindungslei- stung die Wage hält, so dass z. B. einem Reize, welcher das 104,8- fache seines Schwellenwerthes ist, ein Reiz darin cerrespondirt, der nur das 1,048fache seines Schwellenwerthes, also „45 des vorigen ist, und man mit demselben Reizquantum dieselbe Em- pfindungsleistung erzielt, wenn man es in dieser oder jener Stärke 56 56 verwendet, indem die demgemässe Ausbreitung des Reizes den Verlust seiner Intensität ersetzt. Auch hierauf werden uns die späteren Vertheilungsformeln der Empfindung auf einem anderen Wege zurückführen.
Man kann nun bemerken, dass die correspondirenden funda- mentalen Reizwerthe 2 und 4, welche den Cardinalwerth e ziem- lich in der Mitte haben, und zwischen denen - fast constant bleibt, also Empfindung und Reiz einander merklich proportional wach- sen, zugleich die einzigen sind, welche in ganzen Zahlen sich ausdrücken, dass sie die möglichst einfachen Verhältnisse in geraden Zahlen zum Schwellenwerthe 1 darbieten, und der obere das Doppelte und Quadrat des unteren ist. Sie haben also eine mathematische Auszeichnung vor allen übrigen, welche mit ihrer realen Bedeutung dahin zusammentrifft, ein Intervall von secun- därer Bedeutung, nächst dem Hauptintervall zwischen Schwellen- punct und Cardinalpunct, abzugränzen, das Intervall merklich - proportionalen Fortschrittes von Reiz und Empfindung;. welches man das Cardinalintervall nennen könnte, indess man jenes das Fundamentalintervall nennen mag.
Sucht man die mittlere Grösse der Empfindung in diesen zwei Haupt- intervallen, so findet man, unter Voraussetzung des Cardinalwerthes der Empfindung als Einheit, als mittlere Empfindung des Fundamentalintervalls mittlere Empfindung 4 erhält man für das Intervall vom Schwellenwerthe bisszum fundamentalen Reizwerthe e?, und der allgemeine Ausdruck für den Mittelwerth einer Empfindung im Intervall vom fundamentalen Reizwerthe x bis y ist y.lognat.y— wlognat. x Re u Der Mittelwerth der Empfindung in dem Intervall zwischen zwei Reiz- werthen x, y kann nämlich unter der Voraussetzung vonk=14,b=14 durch [rem 1. rbeD y-ı dargestellt werden; welcher Werth durch Integration zu obigen Bestimmun- gen führt.
4, . Auf demzweiten- Seite der Tabelle S. 51 ist, abgesehen von den einschaltungsweise zugefügten Empfindungswerthen 1,5 und 2,7183, die Reihe der Empfindungen als eine arithmetische mit der Differenz 4 dargestellt. Man sieht, dass ihr eine geometrische der Pr 57 Reizwerthe entspricht, indem jeder folgende Reizwerth aus dem früheren durch Multiplication mit dem Exponenten e = 2,7183 hervorgeht.
Dieses Resultat des Zusammengehörens der arithmetischen Empfindungsreihe und geometrischen Reizreihe ist nicht an die besonderen Einheiten geknüpft, die hier gewählt sind; sondern allgemein entspricht jeder arithmetischen Reihe von Empfindungen, auch beianderen Einheiten und anderer Differenz, eine geometrische der Reizwerthe. Und zwar ist der Exponent einer Empfindungsreihe mit der Differenz 1 allgemein gleich dem fundamentalen Reizwerthe, bei dem man die Einheit der Empfindung setzt, im Falle unserer Ta- belle e, bei irgend einer anderen Differenz aber gleich der Potenz dieses fundamentalen Reizwerthes, welcher durch die Differenz bezeichnet wird. So hat man nach unserer Tabelle für die Reihe der Empfindungen 4, 3, 5..., wo die Differenz 2 ist, eine geome- trische Reihe der Reize mit dem Exponenten e*.
Man kann die Massformel noch unter einer etwas anderen Form, als früher nach der Betrachtung aufstellen, dass sich der Reiz 8 als aus einem der Schwelle gleichen Theile 5 und einem positiven oder negativen Zuwachse « dazu, je nachdem der Reiz über oder unter dem Schwellenwerthe ist, bestehend ansehen, also #=b-+ « setzen lässt, wodurch die Massformel übergeht in So stellt sich y als Function des Verhältnisses dar, welches der Zuwachs zur Schwelle gegen die Schwelle hat, indess die frühere Form y als Function des Verhältnisses gab, welches der gegebene Reiz zur Schwelle hat.
Die jetzige Form zeigt sich bequem, folgende Resultate abzu- leiten.
So lange der Reiz den Schwellenwerth nur sehr wenig über- steigt, also z ein sehr kleiner Bruch ist, klein genug, dass die höheren Potenzen gegen die erste zu vernachlässigen, kann man nach S. 5 für log (' + 3) substituiren M“-, wo M der Modulus.
b b’ Wonach eine Empfindung, so lange sie sehr schwach ist, im directen Verhältnisse von 1. steht und steigt. Ist hingegen der Reiz so gross, dass 4 gegen + zu vernachlässigen, so steigt die Em- 58 pfindung proportional mit log — = log @ — log b, und ist sie endlich so gross, dass auch log b gegen log @ zu vernachlässigen, so | steigt sie proportional mit log @, und wird unabhängig vom Schwellenwerthe. | Die Weise, wie nach der Massformel mit dem Wachsthume des Reizes die Empfindung steigt, kann leicht graphisch durch die logarithmische Curve repräsentirt werden, indem man die Grösse des Reizes durch Abscissen, die zugehörigen Werthe der Empfindung durch darauf rechtwinklige Ordinaten darstellt.
XX. Summation von Empfindungen.
Es ist von fundamentaler Wichtigkeit, den Fall, wo zu einem Reize auf gegebenem Puncte ein Zuwachs erfolgt, so dass dadurch die Intensität derReizung und Empfindung vermehrt wird, von dem Falle zu unterscheiden, wo der Reizzuwachs auf andere dis- eret von jenem empfindende Puncte fällt, so dass dadurch die Zahl der gereizten und empfindenden Puncte, hiemit die Exten- sion der Reizung und Empfindung, vermehrt wird. Wie schon S. 21 bemerkt, tritt nur der erste Fall direct unter die Masslor- mel, als welche nur für die Abhängigkeit der Empfindung von der Intensität des Reizes unmittelbar massgebend ist; es hindert aber nichts, das, was Aus der Massformel für die einzelnen Puncte nach der Stärke ihrer Reizung folgt, in Summen zusammenzufas- sen und diese Summen zu vergleichen. Niemand wird Anstand nehmen, wenn die Netzhaut gleichförmig beleuchtet ist, zu sagen, dass die ganze Netzhaut doppelt so viel Empfindung giebt, als jede ihrer Hälften; und wenn ein Ton gleichmässig durch eine gewisse Zeit ausgehalten (und mit constanter Empfindlichkeit aufgefasst) wird, dass in der ganzen Zeit doppelt so viel als in der halben empfunden wird. Es hat also mit Rücksicht auf die räumliche oder zeitliche Extension, durch welche ein Reiz und die dadurch erweckte Empfindung reicht, einen Sinn von grösseren und kleine- ren Empfindungssummen zu sprechen, und solche selbst nach ih- rer Grösse unter einander zu vergleichen. Der Kürze halber mö- gen wir dabei Raumsummen und Zeitsummen der Empfin- “dung unterscheiden, je nachdem wir die Empfindung für verschie- dene Raumpuncte oder Zeitpuncte summiren.
59 Unter Punceten, Raum- oder Zeitpuncten (Momenten) ver- stehen wir folgends überall keine mathematischen Puncte, sondern im Allgemeinen (gleich gross gedachte oder nach ihrer relativen Grösse in Rechnung genommene) Raum- oder Zeitelemente der Art, dass der Empfindungsbeitrag, den eine sich durch sie hin- durcherstreckende Reizeinwirkung liefert, für jedes Element als von constanter Intensität angesehen werden könne; indess die Intensitäten für verschiedene Puncte verschieden sein können.
Wenn hienach eine gegebene Fläche gereizt, z. B. eine gege- bene Fläche der Netzhaut beleuchtet ist, so ist das Quantum der Empfindung, was wir haben, als Summe der Empfindungen, wel- che die einzelnen Puncte oder Flächenelemente des beleuchteten Theiles gewähren, aufzufassen, diese Empfindungssumme aber nicht nach der Gesammtsumme des auf diesen Theil einwirken- den Lichtreizes mittelst der logarithmischen Massformel im Gan- zen zu berechnen, sondern die Berechnung für jeden einzelnen Punct (Element) nach der Stärke seiner Reizung besonders vor- zunehmen, und dann die Summe dessen zu nehmen, was für die einzelnen Puncte oder Elemente gilt.