Nennen wir bv die Vollschwelle, 5 wie bisher schlechthin die Schwelle der Empfindung, so wird also das Verhältniss zwischen der Vollschwelle und Schwelle durch die Verhältnissconstante v gegeben sein. Schliessen wir solche Ungleichförmigkeiten der ab- soluten Empfindlichkeiten und der Zeit- und Raumlage der Reize aus, welche machen können, dass ein grösserer Reiz, als der kleinere erscheint, so wird v stets grösser als I sein, wenn £ >1, und also der Reiz vom Werthe b an noch im Verhältnisse v wach- sen müssen, um den Beginn des halbbewussten Zustandes der Empfindung in den vollbewussten überzuführen.
Insofern es überhaupt gilt, die Grundformeln des psychischen Masses zuerst für die einfachsten Voraussetzungen aufzustellen, und Alles, was als Abweichung kleiner Ordnung oder Complica- tion die Aufstellung der Grundformeln schon voraussetzt, anfangs zu vernachlässigen und erst nachträglich zu berücksichtigen, ist auch bei der Aufstellung der Unterschiedsmassformel und der sich daran knüpfenden Erörterung bisher ein Umstand nicht berück- Be sichtigt worden, der als eine solche Abweichung oder Complica- tion anzusehen ist, und darin besteht, dass das Dasein eines Rei- zes auf die Empfindlichkeit, mit welcher ein nachbarlicher Reiz aufgefasst wird, einen Einfluss hat, welcher bei ungleichen Reizen, wie sie in die Unterschiedsmassformel eingehen, ungleich für beide Reize ist. So, wenn Weiss und Schwarz neben einander sind, er- scheint das Weiss heller, das Schwarz schwärzer, als in conlinuo ohne den ungleichen Nachbarreiz, was man die Hebung der Ein- drücke durch den Contrast nennt. Nun ist diese Hebung der Ein- drücke von gewisser Seite unstreitig nur Sache eines Vergleichs urtheiles, dass wir nämlich das Schwarz gegen das Weiss, das Weiss gegen das Schwarz als Massstab halten, oder das eine als ein Plus, das andere als ein Minus gegen das Andere fassen; und macht insofern keine besondere Rücksicht bei Aufstellung unserer Formeln nöthig, da dieses Urtheil über das Verhältniss der abso- luten Empfindungen auf der Grösse und Richtung des empfunde- nen Unterschiedes erst beruht, dieser aber nicht von ihm abhängt. Ja man könnte geneigt sein, die ganze Hebung der Eindrücke durch den Contrast hievon abhängig zu machen. Ich werde in- zwischen später erfahrungsmässige Thatsachen beibringen, welche diess nicht gestatten, vielmehr nöthigen anzunehmen, dass, ab- gesehen von jenem Vergleichsurtheile, die Empfindlichkeit für das Licht auf dem Weiss durch Nachbarschaft des Schwarz erhöht, auf dem Schwarz durch Nachbarschaft des Weiss vermindert gegen den Fall ist, dass wir blos Weiss oder Schwarz im Gesichtsfelde haben, hiemit das Weiss wirklich absolut heller, das Schwarz dunkler erscheint, als in continuo allein ins Auge gefasst, so dass beide mit diesen abgeänderten Werthen zur Bestimmung des Ver- gleichsurtheiles selbst erst wirken. Dieser Umstand nun wird un- streitig ebenfalls einflusslos auf die Aufstellung und Verwendung der Unterschiedsmassformel werden, wenn wir dieselbe statt auf den Reiz auf die dadurch ausgelöste psychophysische Bewegung (nach dem dafür statt 8 in die Formeln zu substituirenden Masse) beziehen, weil die abgeänderte Empfindlichkeit für einen Reiz selbst durch eine andere Grösse von demselben auslösbarer psy- chophysischer Bewegung repräsentirt werden kann, und voraus- setzlich die Grundformeln des psychischen Masses eine reine und | strenge Gültigkeit bezüglich der von den Verhältnissen der psy- chophysischen Bewegung abhängigen Empfindungsverhältnisse ha- A ben. Und selbst ohne den Rückgang auf die psychophysische Be- wegung, die erst der inneren Psychophysik aufgehoben bleiben muss, würde es, wenn wir nur die Gesetze kennten, nach denen sich die Empfindlichkeit für die Reize durch Nachbarschaft der- selben ändert, hinreichen, demgemäss abgeänderte Werthe von ß, ß’ und mithin p, oder, was auf dasselbe herauskommt, v in die Unterschiedsmassformel zu substituiren, um sie dann wie früher zu verwenden; auch liegt hienach ein wichtiges Bedürfniss vor, diese Gesetze zu studiren. Auf dieses Studium werde ich später eingehen. So lange sie aber nicht bekannt sind, müssen wir uns begnügen, die Unterschiedsmassformel als eine doch approxima- tiv triftige in Fällen zu verwenden, wo kein Grund vorliegt, dem angegebenen Umstande einen erheblichen Einfluss zuzuschreiben, wie z. B. bei Schätzung der empfundenen Unterschiede zwischen Sternhelligkeiten, und übrigens der Richtung des Einflusses nur im Allgemeinen Rechnung tragen, denn unstreitig kommen viele Fälle vor, wo der betreffende Einfluss grösser ist, als dass er mit Fug vernachlässigt werden könnte.
XXV. Anwendung der Unterschiedsmassformel auf die Schätzung ‚ der Sterngrössen.
Die nachfolgende Anwendung der Unterschiedsmassformel kann als Beispiel der allgemeineren Anwendbarkeit, welche dieser Formel überhaupt in einfachsten Fällen zukommt, dienen.
Der Kürze halber nennen wir hier Helligkeit das Mass der Lichtempfindung, Intensität dasMass des physischen Licht- reizes, der die Helligkeit bewirkt, und nehmen die Helligkeits- unterschiede stets als besonders aufgefasste, deren Mass durch die Unterschiedsmassformel bestimmt wird.
Es sei p die Intensität des Theiles vom Himmelsgrunde, auf dem ein Stern erscheint, ohne Stern, i die dazu tretende Intensi- tät des Sternes, so dass $ = p + i die Intensität des Sternes plus des Grundes ist, v die Verhältnissconstante, & die Unterschieds- constante (vgl. Th.I. S.244). Wir nennen i die eigene, P$=p-+i die gesammte, _ die verhältnissmässige Intensität des Sternes.
Hienach wird die Unterschiedshelligkeit D des Sternes gegen den Grund, wodurch sich derselbe vom Grunde abhebt, bestimmt durch u air Die letzte Form ergiebt sich mit Rücksicht, dass v wenig von 1 abweicht, demnach für log v gesetzt werden kann Mw; wo M der Modulus des logarithmischen Systems.
Die Intensität des Grundes p setzt sich aus zwei Theilen zu- sammen, einem als merklich constant anzusehenden Theile a, welcher durch die Intensität des Augenschwarz repräsentirt wird, und einem variabeln Theile z, welcher vom äusseren Lichte, ins- besondere dem zerstreuten Lichte der Gestirne abhängt.
Durch Substitution von a + z für p geht dann die Formel a+z+i Diese Formel mit den daraus ableitbaren Formeln hat beson- ders insofern Interesse, als sie unter folgender Rücksicht auf die Grösse der Sterne bezogen werden kann.
Nach der gewöhnlichen Reihungsweise der Sterngrössen lässt man die Nummern derselben aufsteigen, während die Intensitäten absteigen, was jedoch die Auffassung der Beziehung zwischen Grösse und Intensität erschwert. Lassen wir demnach im Folgen- den die Grössen mit den Intensitäten aufsteigen, und nehmen den Nullwerth der Grösse an, wo ein Stern sich ununterscheidbar im Grunde verliert, so fällt die Grösse des Sternes mit seiner Unter- schiedshelligkeit D vom Grunde zusammen, und wir können die obige Formel unmittelbar als den allgemeinen Ausdruck für die functionelle Beziehung zwischen Sterngrössen und Intensitäten an- sehen, wobei uns noch freisteht, die Einheiten der Sterngrössen und Intensitäten so zu wählen, dass sich die Formel möglichst vereinfacht, worauf unten einzugehen. So führt die vorige Formel zu folgenden Folgerungen.
4) Die Grösse des Sternes hängt nicht blos von der eigenen Intensität des Sternes ab, sondern ist wesentlich mit abhängig von der Intensität des Grundes p=a-+z, und nimmt bei gege- bener eigener Intensität um so mehr ab, je mehr die Intensität des Grundes wächst, wie denn die intensivsten Sterne am Ta- geshimmel verschwinden, d. h. keine merkliche Helligkeits- differenz vom Grunde zeigen. Insofern ist es zweckmässig, wahre und scheinbare Grösse zu unterscheiden; indem wir über in = klog ———— f unter wahrer Grösse die Helligkeitsdifferenz von irgend einem normal festgesetzten Grunde, unter scheinbarer Grösse die von \ irgend einem anderen Grunde verstehen, welche zur allgemeinen Vergleichbarkeit erst auf die Helligkeitsdifferenz vom wahren Grunde zurückgeführt werden muss.
Als Normalintensität des Grundes soll hier das möglicherweise erreichbare Minimum, d.i. die Intensität a des Augenschwarz be- trachtet werden. Ein vollkommen nachtdunkler Himmel wird sich dem nähern, und namentlich durch Fernröhre gesehen, wo sich die zum Augenschwarz zutretende Intensität z des zerstreuten Himmelslichtes nach Massgabe der Vergrösserung schwächt, merk- lich damit zusammenfallen.
2) Wenn die eigene Intensität des Sternes so klein gegen die des Grundes ist, dass die höheren Potenzen von > gegen die erste zu vernachlässigen, mithin log (1 + +) nchS.5=M r gesetzt werden kann, so ist die Grösse des Sternes merklich d. h, proportional dem Ueberschusse der verhältnissmässigen In- tensität des Sterzes 5 über die Unterschiedsconstante @.
Ist i gross genug geworden, dass p dagegen zu vernachlässi- gen, so wird D= klog a und ist endlich i gross genug, dass auch log vp gegen log i zu vernachlässigen, so ist D = klog i. Die beiden Formeln s und D= klogi bestimmen die Gränzfälle der Abhängigkeit der Grösse des Sternes von p und v. An der oberen Gränze wird die Grösse unabhängig sowohl von der Intensität des Grundes als der relativen Unter- schiedsempfindlichkeit, so dass Sterne von gleicher, nur hinrei- chend starker, eigener Intensität auf verschieden intensivem Grunde und bei verschiedenen Graden relativer Unterschiedsem- pfindlichkeit gleich gross erscheinen.
3) Bei der teleskopischen Betrachtung kommt Folgendes in Rücksicht. Die eigene Intensität i eines Fixsternes wird bei hin- reichender Oelfnung des Oculars und, abgesehen von der Licht- verschluckung durch die Gläser, im Verhältnisse der Flächengrösse 7 des Objectivs zur Flächengrösse der Pupille vergrössert. Allgemein sei F das Verhältniss, in welchem sie durch das Fernrohr verstärkt ist. Von der Intensität des Himmelsgrundes p = a + 3 bleibt der _ Theil a durch das Fernrohr unverändert, der Theil s nimmt nach Massgabe der Flächenvergrösserung G, die das Fernrohr gewährt, an Intensität ab, indem nach Massgabe, als ein Fleck des Himmels ein grösseres Bild im Auge giebt, das Licht dieses Fleckes mehr verdünnt wird. Hienach geht unter Anwendung des Fernrohres iinFundpina+ 5 über, und wir erhalten, wenn D,die durch das Fernrohr gesehene Grösse ist GFi wofür wir bei nicht zu unbedeutender Vergrösserung und finste- rem Himmel setzen können a+Fi va sofern dann z gegen aG zu vernachlässigen ist.
D,= klog Wird nun ein Stern von der eigenen Intensität ’’” mit dem Fernrohre und ein anderer mit der eigenen Intensität i ohne Fern- rohr betrachtet, so erscheinen sie gleich gross, wenn Bei sehr finsterem Himmel wird p nicht erheblich von a abwei- chen, wo dann 4 = F gesetzt werden kann, wogegen, wenn der Himmel ohne Fernrohr so dämmerig ist, dass er z.B. die doppelte Intensität des Augenschwarz hat, man das Verhältniss 7 nach dieser Gleichung blos halb so gross finden würde, als es wirk- lich ist.
Wenn die Helligkeitsverstärkung durch das Fernrohr so gross ist, dass a gegen Fi vernachlässigt werden kann, so erhalten wir die Formel wonach die Verstärkung durch ein gegebenes Fernrohr allen Ster- nen, schwachen und starken, einen gleichen Grössenzuwachs klog F zufügt. Wäre umgekehrt die Verstärkung so schwach und i so klein, dass Fi gegen a verschwindet, so würde das Fernrohr nichts zur Verstärkung wirken, und wäre sie endlich so beschaf- fen, dass a und Fi ein in Betracht kommendes Verhältniss zu einm ander haben, so würde der Grössenzuwachs durch dasselbe Fern- rohr variabel sein.
4) Nimmt man die einfache Differenz zweier Grössen D, D’, welche auf demselben Grunde p stehen, so verschwindet v, wo- mit man aber nur auf die in der Empfindung aufgehende Unterschiedshelligkeit derselben zurückkommt. Um den besonders aufgefassten oder empfundenen Unterschied derselben zu gewinnen, hat man nach directer Anwendung der Unterschiedsmassformel pP+i (p+i) worin jedoch v nicht denselben Werth haben dürfte, als wenn wir den Unterschied eines Sternes vom umgebenden Grunde in Be- tracht ziehen.
Diese Formel zeigt, dass die Grössendifferenz zweier Sterne nicht blos von dem Verhältnisse ihrer eigenen Intensitäten, sondern ihrer Gesammtintensitäten, mithin mit von der Intensität des Grundes p abhängt; wonach bei vollkommen nachtdunklem Him- mel zwei Sterne weniger in der eigenen Intensität zu differiren brauchen, als bei dämmerigem, um noch denselben Grössenunter- schied darzubieten. Die Verschiedenheit in dieser Hinsicht je nach Beschaffenheit des Grundes wird am stärksten bei den schwäch- sten, unmerklich bei sehr intensiven Sternen sein, so dass nicht blos die absolute Grösse der Intervalle zwischen den scheinbaren Grössen, sondern auch die Verhältnisse dieser Intervalle sich je nach der Intensität des Grundes ändern.
Der Ausdruck für den empfundenen Grössenunterschied zweier Sterne bei Anwendung des Fernrohres ist a+Ffi Dr— Dr = kl aa mn va+ Fi) woraus hervorgeht, dass der Grössenunterschied mit Fernrohr so lange mit abhängig ist von dem Verstärkungsfactor F, als a nicht gegen Fi und Fi’ vernachlässigt werden kann. Ist aber der Ver- stärkungsfactor F hiezu gross genug, so hängt der Grössenunter- schied blos noch von dem Verhältnisse > ‚ eben so wie bei starken Intensitäten ohne Fernrohr ab.
5) Der arithmetischen Reihe der Sterngrössen gehört eine geometrische der Gesammtintensitäten der Sterne zu, sofern dem gleichen Unterschiede D— D’ zwischen den auf einanderfolgenden Gliedern der Grössenreihe ein gleiches Verhältniss 5 der zugehö- D-Dekigh = kl; a Ewa 12 rigen Intensitätenreihe entspricht. Sei der Exponent der Intensi- tätenreihe, welche der arithmetischen Sterngrössenreihe 0, 1, 2, 3...zugehört, E, so wird man, um von der Grösse D = 0 zur Grösse 1 überzugehen, die Intensität vp, bei welcher die Nullgrösse angenommen wird, mit Z zu multipliciren haben, um die dazu gehörige Gesammtintensität $ zu finden. Substituirt man nun in den allgemeinen Ausdruck D= klog vB 4 für D und Evp für ß, so erhält man 1=klogE 4 k= Ing und woraus sich ergiebt, dass man für k substituiren kann 4 u i log E mithin schreiben kann 4 D= jogE log & 6) DieReihe der eigenen Intensitäten i, welche einer arith- metischen Grössenreihe D zugehört, ist keine streng geometrische, sondern es entsprechen sich: B=i+p= w Evp Ev’p Ev’p Ev’p...Ev"p il=(v—-4)p (Ev—Alp (Ev?—1)p (Ev’—1)p (Ev’—A)p...(Ev"—A)p Jedoch fällt von so grossen Intensitäten an, dass 4 gegen Ev” ver- nachlässigt werden kann, die Reihe der eigenen und Gesammt- intensitäten merklich zusammen, und es kann der Exponent E der letzten zugleich für den der ersten gelten, 7) Die Einheit der Grösse kann entweder als Fundamental- einheit so bestimmt werden, dass k = 4 wird, oder so, dass dem seither angenommenen Grössenintervalle entsprochen wird, mit- hin auch der Exponent der zugehörigen Reihe Gesammtintensitä- ten dadurch wiedergegeben wird, also blos der Ausgang und die Richtung der bisherigen Grössenfolge, nicht aber die Abstände der Grössen von einander und Verhältnisse der zugehörigen In- tensitäten sich ändern.
Es ist nun äusserst merkwürdig, dass unter Anwendung na- türlicher Logarithmen beide Bedingungen sich in Verbindung so nahe, dass man der Abweichung von wirklicher Genauigkeit nicht sicher sein kann, erfüllen.
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In der That, nach der ersten Bedingung muss in dem Aus-. drucke für die Grösse p+i D2 der Werth et bei der Grösseneinheit der Grundzahl der ange- wandten Logarithmen gleich sein (vgl. S. 49), und diese Grund- zahl zugleich der allgemeine Exponentder Reihe der Gesammtinten- sitäten sein, welche der Grössenreihe mit der Differenz 4 zuge- hört, da sie der Exponent des ersten Verhältnisses dieser Inten- sitätenreihe bei D= 0 und D= ist. Nun ist die Grundzahl der natürlichen Logarithmen = 2,7184..., und nach der Th. 1. S. 161 ge- gebenen Zusammenstellung hat der Exponent der Intensitätenreihe, welche den heute angenommenen Grössen zugehört, beinahe die- sen Werth. Die Abweichungen der bisherigen Bestimmungen davon können an Puncten hängen, welche ich in einer Abhandlung in den Berichten der sächs. Soc. (1859. $S.58 ff.) näher besprochen habe.
Um die Formel hienach auch noch dureh angemessene Wahl der Intensitäteneinheit möglichst zu vereinfachen, hat man als Intensitäteneinheit vp zu nehmen, welche, da v wenig von der Einheit abweicht, mit der Intensität des Himmelsgrundes p, und wenn man diese auf vollkommenes Nachtdunkel oder normales Augenschwarz redueirt denkt, mit a nahehin übereinkommt. Die somit möglichst vereinfachte Formel ist D=1lgßf=log(p-+ ) wonach die Zahl, welche die Grösse eines Sternes misst, dem Lo- garithmus der gesammten Intensität des Sternes gleich ist.
Diese Formel entspricht der natürlichen Grössenerscheinung, aber erscheint insofern unbequem, als wir nicht die Gesammt- intensität p + i, sondern die eigene Intensität i messen und mit- hin kennen. Berücksichtigt man aber, dass bei den hellen Ster- nenclassen, etwa den 3 höchsten, p gegen? merklich vernachläs- sigt werden kann, und nicht nur die unsichtbaren, sondern auch schwächer sichtbaren Grössenclassen teleskopisch betrachtet zu werden pflegen, wobei durch hinreichende Verstärkung der Stern- intensität die Intensität des Grundes ebenfalls merklich zum Ver- schwinden gegen die eigene Intensität des Sternes gebracht wer- den kann, so wird man, wenn man principiell die Grössenbestim- mung überall bei hinreichender natürlicher oder teleskopisch verstärkter Intensität vornimmt, dass die Intensität des Grundes D=klog Fechner, Elemente der Psychophysik. II. 8 m.
nicht mehr merklich in Betracht kommt, die Formel D= log i mit D=log (p +) merklich gleichbedeutend halten und zur Ver- knüpfung der Grössen und Intensitäten allgemein verwenden kön- nen, nachdem man nur zuvor die teleskopisch bestimmten Inten- sitäten und Grössen auf die nicht teleskopisch bestimmten redueirt hat, wozu der obige Ausdruck D, = klog +" Anhalt gewährt. Setzen wir nämlich die Intensitätsverstärkung durch das Fernrohr stark genug, dass a gegen Fi und log va gegen log Fi zu vernachlässigen ist, und k = A, so ist D;= log Fi = logi + log F also die teleskopische Intensität Fi im Verhältnisse von F zu re- dueiren, um sie auf die wahre i herabzubringen, von der telesko- pisch geschätzten Grösse D, aber log F abzuziehen, um sie auf die zum wahren i zugehörige zu bringen.
Auch hindert dann nichts, statt der im Verhältnisse der Ver- hältnissschwelle gesteigerten Intensität des Grundes vp die reine Intensität des schwarzen Himmelsgrundes oder normalen Augen- schwarzes a als Einheit anzunehmen, bei welcher die Nullgrösse statt hat. Da nun nach den Erörterungen S. 76 die Intensität des Augenschwarz nicht unwahrscheinlich das e-fache des Schwel- lenwerthes ist, und e zugleich der Exponent der Intensitätenreihe, so würde der Nullpunct der Sterngrössen gerade um eine Grösse höher als der absolute Nullpunct der Lichtempfindung liegen, und könnte selbst, wenn man wollte, mit diesem zur Coincidenz ge- bracht werden.
Allerdings werden bei dem hier vorgeschlagenen Systeme die niederen Classen der noch sichtbaren Sterne dann ohne Fern- rohr für das freie Auge nicht mehr um gleiche Helligkeitsunter- schiede differiren, wohl aber mit Fernrohr, was an sich prakti- scher erscheint, da sie für astronomische Zwecke gewöhnlich mit Fernrohr beobachtet werden.
Unstreitig hat man die Bedingung, die Grössenabstände so zu schätzen, dass nur die eigenen Intensitäten der Sterne mass- gebend werden, was überall fodert, dass die Intensität des Grun- des gegen die natürliche oder künstlich verstärkte eigene Intensi- tät des Sternes verschwindend klein werde, bei den lichtschwä- cheren sichtbaren, und namentlich bei den kleinsten teleskopischen Sternen bisher nur unvollständig erfüllt, und ohne das Prineip ee eegREREEEEEEEEREEEEEE der Erfüllung klar vor Augen zu haben; auch liegt vielleicht für die Astronomie kein hinreichendes Interesse vor, auf mühselig genaue Bestimmungen in dieser Beziehung einzugehen. Indess er- klären sich daraus wohl auch abgesehen von den Schwierigkeiten einer vergleichbaren Schätzung durch das Auge die Schwankun- gen in der Grössenbestimmung der kleinen Sterne, die man bei Astronomen findet; und werden die Exponenten der Intensitäten- reihe, welche aus den verschiedenen Untersuchungen fliessen, auf eine gewisse Weise dadurch influirt und in der Genauigkeit be- nachtheiligt sein. Ohne neue Untersuchungen mit Rücksicht auf vorstehende Principien scheint mir dieser Gegenstand nicht ins Reine und Klare zu bringen, eine solche Untersuchung aber den Astronomen zu überlassen, falls sie Interesse genug für sie haben sollte.
XXVI. Die höheren Unterschiedsmassformeln.
Die einfache Unterschiedsmassformel liess eine Verallgemei- nerung in doppeltem Sinne zu, einmal sofern wir, statt auf ein- fache Unterschiede, auf Unterschiede zwischen Unterschieden Rücksicht nahmen, zweitens, sofern wir, statt die Schwellen- werthe für die verschieden angebrachten Reize als gleich anzu- nehmen, eine mögliche Verschiedenheit derselben, bei welcher ein Grössenwechsel der Reize einen Einfluss auf das Resultat gewinnt, berücksichtigten. Die Unterschiedsinassformel lässt eine entspre- chende Verallgemeinerung in doppeltem Sinne zu, indem sie sich ebenfalls einmal von einfachen Unterschieden auf Unterschiede zwischen Unterschieden, zweitens von dem Falle, wo der Grös- senwechsel der Reize das Resultat nicht ändert, auf den Fall, wo er dasselbe ändert, ausdehnen lässt. Die Verallgemeinerung im ersten Sinne wird in diesem Kapitel, die Verallgemeinerung im zweiten Sinne im folgenden Kapitel behandelt werden.
Wenn eine bewusste Empfindung y nur nach Massgabe stalt- finden kann, als der zugehörige Reiz 8 (oder die von ihm reprä- sentirte innere psychophysische Thätigkeit) eine gewisse endliche Grösse b übersteigt, und ein empfundener Unterschied y—y' = u, nur nach Massgabe als das zugehörige Reizverhältniss = Q, eine gewisse endliche Grösse v, übersteigt, wobei wir die Buchstaben u, Q, v mit einem Index wegen der Beziehung zum Folgenden bea Zu a Zu zeichnen, so ist vorauszusetzen und bestätigt sich durch Erfah- = rung, dass auch ein Unterschied zwischen zwei Empfindungsun- terschieden u — u’ = u, nur nach Massgabe empfunden, als be- sonderer in das Bewusstsein treten kann, als das zugehörige hö- here Reizverhältniss na = 9,, d.i. Verhältniss zwischen zwei 2 Verhältnissen 5 5 eine gewisse endliche Grösse v, übersteigt, u.s. f., so dass wir, unter beliebig weiter Fortsetzung dieser Hievon entspricht die Formel für «, der einfachen Unterschieds- massformel; die anderen, welche wir höhere Unters chieds- massformeln nennen können, lassen sich in analoger Weise als diese ableiten. Beschränken wir uns hier, nur die empfundenen Unterschiede zweiter Ordnung u, des Näheren in Betracht zu ziehen.
Ihre Inbetrachtnahme ist nicht müssig, weil sie wirklich in Betracht kommen. Die Erkenntniss der Unreinheit eines Toninter- valles ist vielleicht der einfachste und zur einfachen Erläuterung geeignetste Fall eines empfundenen Unterschiedes u,. In der That ist die empfundene Unreinheit eines Tonintervalles nichts anderes als der empfundene Unterschied zwischen zwei Intervallen, dem reinen und dem unreinen; jedes dieser Intervalle aber als empfunde- nes der empfundene Unterschied zwischen zwei absoluten Tonhöhen. Soll nun die Unreinheit wirklich empfunden werden, so muss der Unterschied zwischen dem reinen und unreinen Intervalle eine gewisse Grösse übersteigen. Ausserdem ist selbstverständlich, dass, um einen Unterschied zwischen Unterschieden zu empfin- den, wir diese Unterschiede selbst empfinden müssen; dazu aber gehört, dass sie ihrerseits eine gewisse Grösse übersteigen müs- sen; aber endlich auch die Höhe jedes Tones für sich muss eine gewisse Grösse übersteigen, soll er als Ton empfunden werden, und mithin die Empfindung eines Unterschiedes dafür möglich sein, so dass also das Zustandekommen eines Bewusstseinsphäno- #4 4 - nn mens höherer Ordnung mit dem Uebersteigen der höheren Schwelle das Uebersteigen jeder niederen voraussetzt.
Nicht blos die Empfindung der Unreinheit eines Toninterval- les, auch der musikalische Eindruck, den die Folge der reinen Intervalle in der Melodie und noch mehr ihrer Complexe in der Harmonie macht, ist Sache empfundener Unterschiede höherer Ordnung, und zwar spielen hiebei Unterschiede viel höherer als der zweiten Ordnung eine Rolle mit.
Nicht minder hat man bezüglich der Stärke der Empfindung empfundenen Unterschieden höherer Ordnung eine Bedeutung bei- zulegen. Der Eindruck des crescendo und descrescendo, des ver- vielfältigten Wechsels zwischen dem piano und forte der Musik beruht hierauf und unterstützt den Eindruck der Melodie und Har- monie, wenn schon er für sich aus unbekanntem Grunde keines entsprechenden ästhetischen Eindruckes, als Melodie und Harmo- nie für sich, fähig ist. Das Gebiet der Lichtempfindung gewährt uns andere Beispiele. Wenn wir drei Sterne #, 8’, 8” von ver- schiedener Helligkeit oder sog. Grösse haben, so kann man fragen, ob der Unterschied z. B. zwischen 8 und ß’ grösser sei, als der Unterschied zwischen #’ und 8”, oder, bei 4 Sternen, ob der Un- terschied zwischen $ und ß’ grösser sei, als zwischen 2” und ”. Um sich zu entscheiden, wird der Unterschied zwischen den Un- terschieden, die man vergleicht, wieder eine gewisse Grösse über- steigen müssen, die sogar bei Sternintensitäten, wir wissen wie- der nicht warum, verhältnissmässig viel grösser sein muss, als bei Tonhöhen; doch fodert die astronomische Schätzung von Stern- grössendifferenzen solche Vergleiche.
Ziehen wir nun die, für die empfundenen Unterschiede zwei- ter Ordnung gültige, Unterschiedsmassformel zweiter Ordnung u, = klog ”> näher in Betracht, indem wir dabei den allgemeinsten Fall zu Grunde legen, dass wir 4 Reize, Tonhöhen, Sterngrössen oder was es sei, haben, $, ß', 8", 8"; dass zwischen den beiden Unter- schieden von ß zu 8’ und von ß” zu 8” der Unterschied aufgefasst werden soll, dass # > $’und 8" > ß” sei, so werden wir uns das Zustandekommen dieser Formel des Näheren so erläutern können.
Der empfundene Unterschied erster Ordnung zwischen $ und ß' sei = klog * Der empfundene ee gleicher: Ordnung zwischen 8” und ß"' werde in Betracht der gleichen Ordnung auch durch ein Stri- chelchen unten bezeichnet, in Betracht der anderen Reize aber, zwischen denen er besteht, durch ein Strichelchen oben vom vo- rigen unterschieden, und sei mithin u, = klog &: So wird zuvörderst der in der Empfindung aufgehende Unter- schied zwischen beiden empfundenen Unterschieden die einfache Differenz beider sein, d. i.
In der That kann ein Unterschied zwischen empfundenen Unter- schieden eben so gut empfunden als nicht empfunden sein, letzte- res z.B. wenn die beiden empfundenen Unterschiede sich in zwei verschiedenen Menschen finden, oder zwischen ihnen in demsel- ben Menschen eine zu lange Zwischenzeit besteht, oder sie zu wenig differiren. Soll nun der Empfindungsunterschied Ya 02 pıyı zum empfundenen Unterschiede werden, so muss der Werth des Reizverhältnisses zweiter Ordnung eine gewisse Grösse erreichen, die wir V nennen wollen, bei welcher der Nullwerth des empfunde- nen Unterschiedes zweiter Ordnung eintritt, was für den Aus- druck des empfundenen Unterschiedes u, giebt 4 Indem wir aber für = den einzigen pkrälhen Y, und für - Tr 4 klog 4— Diese Formel führt zu einer Verallgemeinerung des Weber'- schen Gesetzes in einer seiner Ausdrucksweisen. Nach dem We- ber’schen Gesetze wird ein Unterschied zwischen zwei Reizen als gleich gross empfunden, wenn das Verhältniss zwischen den Rei- zen, die den Unterschied geben, gleich gross ist. Nach voriger Formel wird ein Unterschied zwischen zwei Reizunterschieden als gleich gross empfunden, wenn das Verhältniss zwischen den zugehörigen Reizverhältnissen gleich gross ist. Denn 9, und 9,', welche den Quotienten 9, bilden, stellen ja die Reizverhältnisse [.R #,, dar. Man darf aber nicht übersehen, dass die Gültigkeit des Weber’schen Gesetzes wie dieser Verallgemeinerung an eine Bedingung gebunden ist. Das Weber'sche Gesetz setzt eine Con- stanz der Schwelle v,, wie die jetzige Verallgemeinerung desselben eine Constanz der Schwelle v, voraus.
Das Gebiet der Musik bietet uns im Zusammenhange einen bemerkenswerthen Beleg eben so für die Gültigkeit dieser Verall- gemeinerung des Weber'schen Gesetzes, als für eine, auf der Va- riation von v, beruhende, Abweichung von der Gültigkeit dar, welche ihre gemeinsame Repräsentation in unserer Unterschieds- massformel zweiter Ordnung finden.
In der That, die Unreinheit eines Tonintervalles wird in ver- schiedenen Octaven gleich leicht erkannt; diess entspricht unse- rer Verallgemeinerung; sofern zur Auffassung der Unreinheit gehört, dass der Unterschied zweier Tonintervalle, wozu zwei verschiedene Schwingungsverhältnisse gehören, erkannt werde. Sei das reine Schwingungsverhältniss n, das unreine v, so wird die Unreinheit erkannt werden, wenn r den Werth v, erlangt; aber eben so auch, wenn ” den Werth v, erlangt; es kommt also auf die absolute Grösse von 2» und 2n nicht dabei an, indem v, davon nicht abhängt.
Hingegen wird die Abweichung einer Quinte von der Rein- heit verhältnissmässig leichter als die irgend eines anderen Inter- valles derselben Octave erkannt, und bestehen überhaupt in dieser Hinsicht Unterschiede zwischen den verschiedenen Inter- vallen (vgl. Th. I. S, 261). Diess entspricht einer Abweichung von der Verallgemeinerung des Weber’schen Gesetzes und be- weist, dass, indess die Gonstanz von v, für die gleichen Intervalle verschiedener Octaven stattfindet, diese Constanz nicht für die verschiedenen Intervalle derselben Octave besteht, wie denn hiezu keine aprioristische Nothwendigkeit vorliegt.
Substituiren wir in unsere Unterschiedsmassformel zweiter Ordnung für p, und @', ihre Werthe, so haben wir u, = klog +) P* 2 a.
und setzen wir hierin #’= f”, welches dem Falle entspricht, dass wir die 4 Reize auf drei in der Ordnung ß, £’, #” reduciren, und den Unterschied von 8 zu ß’ mit dem von ß’zu ß’" vergleichen, so haben wir, indem wir statt 8” nun ß” einführen: A = klog (fr;,) welches zeigt, dass der empfundene Unterschied zwischen zwei solchen Unterschieden auf die Schwelle tritt, wenn der Quotient aus dem Quadrate des mittleren Reizes in das Product der äusse- ren Reize einen gewissen Werth v, erlangt.
Man kann aus unseren höheren Formeln folgern, was die Er- fahrung bestätigt, dass das Bewusstsein eine um so grössere In- tensität erlangen muss, je höherer Ordnung die Unterschiede sind, die von demselben gefasst werden sollen, so dass z.B. ein Unter- schied zweiter Ordnung nur mit einer Intensität ins Bewusstsein treten kann, welche diejenige erreicht oder übersteigt, die einer einfachen Empfindung beim Werthe 8 = bv,v, zugehört. Denn man darf nieht meinen, dass der empfundene Unterschied u,, in- dem er beim Werthe 9, =v, auf die&chwelle tritt, stets mit einem Nullwerthe des Bewusstseins überhaupt auf die Schwelle tritt, sondern nur mit einem Nullwerthe des Bewusstseins zweiter Ord- nung auf die Schwelle zweiter Ordnung, wogegen das Bewusst- sein der Unterschiede w,, u,’, wozwischen er besteht, gleichviel ob der höhere Unterschied dazwischen empfunden wird oder nicht, die Schwelle bei v, schon überschritten haben kann. Dieses Ueber- schreiten oder mindestens Erreichen, so wie das der Reizschwelle b ist, wie schon oben erörtert, in jedem Falle die Voraussetzung des Bewusstseins der höheren Ordnung w,. Es lässt sich aber wie folgt zeigen, dass in der That hiezu ein entsprechender Be- wusstseinsgrad gehört, als wenn ein einfacher Reiz oder die ent- sprechende psychophysische Thätigkeit den Werth bv,v, erreicht.
Drücken wir die Formel für w, wie folgt aus CA a a ig Damit u, bewusst empfunden, mithin die Schwelle zweiter Stufe überstiegen werde, muss die Grösse unter dem Logarithmuszeichen grösser als I sein, mithin En f>pn | Es ist aber auch nöthig, dass die Unterschiede erster Stufe beide bewusst empfunden werden, mithin nicht nur 2 sondern auch r Fa > v, sei, wenn mit v, gemeinsam die zugehörige Schwelle be- zeichnet wird, was für die vorige Ungleichung giebt £ > VıYa und mithin B> vvß Endlich muss aber auch jeder der Reize £, $’ dieSchwelle b über- stiegen haben, was für die vorige Ungleichung giebt ß> bvw Eben so wie die Unterschiedsmassformel erster Stufe eine Massformel für das Vollbewusstsein einer einfachen Empfindung erster Stufe als besonderen Fall einschliesst, können wir auch aus der Unterschiedsmassformel zweiter Stufe eine Massformel für ein einfaches Vollbewusstsein zweiter Stufe ableiten; und wie das erste dadurch charakterisirt ist, dass wir die Empfindung nicht | blos haben, sondern uns auch bewusst werden können, dass wir sie gehabt haben, wird das zweite dadurch charakterisirt sein, “s dass wir uns bewusst werden können, wir haben dieses Bewusst- sein gehabt. Wir erhalten diese Formel, indem wir zuvörderst den empfundenen Unterschied u, als Unterschied zwischen einem bewussten Unterschiede v, und einem Nullunterschiede betrachten, der beim Werthe des Reizverhältnisses ir = v, eintritt; was giebt u= k log (# Vw indem wir zweitens den Unterschied u, als Unterschied betrachten zwischen einer bewussten Empfindung und einer Nullempfindung, welche dem Reize #’° = b’ zugehört, wodurch wir erhalten y= klog PAR wonach man in Uebereinstimmung mit dem, was wir vorhin fan- den, sieht, dass eine einfache Empfindung, um auf gleiche Stufe, als ein empfundener Unterschied zu steigen, das Product aller Schwellen bis zu dieser Stufe inclus. übersteigen muss.
Be.
XXVIL. Die Lagenformeln. Anwendung derselben auf die Beurtheilung der Verhältnisse constanter Fehler.
Sofern es im Folgenden zwei Reize in verschiedener zeitlicher oder räumlicher Lage gegen einander zu bezeichnen gilt, wird der in einer Weise angebrachte Reiz mit 9, der in anderer Weise an- gebrachte mit ß’, ihr Grössenverhältniss mit @ oder @' in solcher Weise bezeichnet werden, dass der grössere Reiz immer in dem Zähler verwandt wird, wonach die Buchstaben ß, #’ ihre Lage im Zähler und Nenner eben so zu vertauschen haben, wenn die zwei gegebenen Reize bei gleichbleibender Grösse die Lage vertauschen, als wenn sie bei gleichbleibender Lage die Grösse vertauschen, was auf dasselbe herauskommt, wenn beide Reize sich in Nichts als der Grösse unterscheiden, wie hier vorausgesetzt wird.
Das Verhältniss 5, worin also nach Vorigem # > ß’ ist, soll