insbesondere mit p, das Verhältniss E wo 8’ > ß ist, mit @' be- zeichnet und für beidegemeinsam das Zeichen ® gebraucht werden.
Insofern ich im Folgenden mehrfach auf meine früher bespro- chenen Gewichtsversuche werde Bezug zu nehmen haben, ist der kleinere Reiz durch das einfache Hauptgewicht P, der grössere durch das Hauptgewicht plus dem Zusatzgewichte, also durch P+ D vertreten, wonach das Reizverhältniss 9 = & oder y=5 durch ana gegeben ist, der Art, dass D einesfalls die entgegengesetzte Lage als andernfalls hat. Sofern aber die Gewichtsver- suche folgends blos als Beispiele zur Erläuterung allgemeiner Ver- hältnisse dienen, können auch unter P und P + D Reize jeder anderen Art als Gewichte verstanden werden.
Insofern die zwei Reize, deren Unterschied es aufzufassen gilt, nach ihrer zeitlichen oder räumlichen Anbringungsweise ver- schieden sind, findet sich auch im Allgemeinen, dass der Unter- schied zwischen ihnen bei gleichbleibendem Verhältnisse @® doch als verschieden gross empfunden wird, je nachdem sie bei gleich- bleibender Lage die Grösse, oder bei gleichbleibender Grösse die Lage wechseln oder der Ueberschuss des einen über den anderen Reiz auf die eine oder andere Seite fällt, was nach Obigem nur Ausdrücke für dieselbe Sache sind.
So macht es bei den Gewichtsversuchen, von denen im ersa a u 0 Ba Ed ” „A, 59 Abe Zu ul sten Theile die Rede gewesen, einen Unterschied in der Grüsse des empfundenen Unterschiedes, ob die Gewichtszulage bei glei- chem Hauptgewichte P im erst- oder zweitaufgehobenen Gefässe, im links- oder rechtsstehenden Gefässe liegt. Trotz dem, dass sich das Reizverhältniss ® hiebei nicht ändert, fällt der empfun- dene Unterschied einesfalls von anderem Werthe aus, als ande- renfalls, oder, was dasselbe sagt, scheint uns das eine Gewicht das andere einesfalls mehr oder weniger zu überwiegen, als ande- renfalls.
Selbst ohne Dasein eines Mehrgewichtes D macht sich dieser Einfluss geltend; denn, wenn ich zwei gleiche Gewichte ohne D vergleichungsweise aufhebe, erscheint mir doch im Mittel so vieler Versuche, dass sich die unregelmässigen Zufälligkeiten ausglei- chen, das eine Gewicht constant schwerer oder leichter als das andere, je nach der Raum- oder Zeitlage der Aufhebung. Ich bin aber im Stande, diesen Einfluss dadurch zu compensiren, dass ich das Gewicht, welches leichter erscheint, mit einem hinreichenden Mehrgewichte versehe, und hiedurch zugleich im Stande, den Ein- fluss der Lage seiner Grösse und Richtung nach messend zu be- stimmen, indem ich ihn dem zur Compensation nöthigen D der Grösse nach äquivalent, der Lage nach entgegengesetzt setze. Mag dann auch ein anderes D und in anderer Lage angebracht werden, so wird man es doch immer so ansehen können, als wenn der Einfluss der Zeit- und Raumlage seinerseits durch jenes ideale, aber einem wirklichen gleich wirkende Mehrgewicht vertreten bliebe, wodurch es als gemessen angesehen werden kann, wel- ches nun aber als additiv oder subtractiv zur Wirkung des wirk- lichen Mehrgewichtes D hinzutritt, je nachdem es gleiche oder entgegengesetzte Lage hat als D, und eben hiemit den verschiede- nen Werth des empfundenen Unterschiedes je nach der Lage von D begründet.
Die Grösse, um welche solchergestalt durch den Einfluss der Zeit- oder Raumlage oder den vereinigten Einfluss derselben, ab- gesehen von D, das Gewicht P oder überhaupt irgend ein Reiz vergrössert oder vermindert erscheint, dieser ideale, doch einem wirklichen gleich zu achtende, positive oder negative Zuwachs dazu, bildet das, was man den constanten Fehler nennt, so- fern er sich in der vergleichungsweisen Schätzung der Reize wirk- lich als ein Fehler geltend macht und bei gleichbleibendem Einflusse der Zeit- und Raumlage der Reize constant begangen wird, " oder, insofern sich dieser Einfluss durch unregelmässige Zu- fälligkeiten abändert, im Mittel einer Mehrzahl von Versuchen herausstellt. Wie die constanten Fehler und hiemit das Mass des Einflusses der Zeit- und Raumlage genau zu bestimmen sind, ist bei Darstellung der Massmethoden der Unterschiedsem- pfindlichkeit angegeben worden.
Man ersieht leicht aus Vorigem, dass der constante Fehler weder seinem Dasein, noch seiner Grösse und Richtung nach von der Grösse und Lage von D abhängt, vielmehr unabhängig davon besteht, und nur insofern eine Verschiedenheit des empfundenen Unterschiedes je-nach der Lage von D mitführt, als er in einer Lage desselben mit ihm in gleichem, in der entgegengesetzten im entgegengesetzten Sinne wirkt, also erstenfalls den von D abhän- gigen Unterschied, welcher in die Empfindung fällt, vergrössert, zweitenfalls verkleinert.
Es kann selbst der Fall eintreten und tritt oft genug bei Ver- suchen über die Unterschiedsempfindlichkeit ein, dass vermöge des Einflusses der Zeit- und Raumlage der kleinere Reiz als der grössere erscheint und der empfundene Unterschied vielmehr zu- als abnimmt, wenn D verkleinert wird, und hiemit beide Reize sich der Gleichheit nähern, was ich einen empfundenen Unter- schied in verkehrtem Sinne nennen werde. Wie leicht be- greiflich, tritt ein solcher Fall nothwendig dann ein, wenn der constante Fehler als positiver Zuwachs zum kleinern Reize hinzu- tritt und das D des grössern Reizes so weit überwiegt, dass der eben merkliche Unterschied überschritten wird.
So ist in meinen Gewichtsversuchen bei hinreichend schwe- rem Hauptgewichte das erstaufgehobene, also in Betreff der Zeit- lage vorangehende, Gewicht, abgesehen von Zufälligkeiten, stets als das leichtere erschienen, wenn schon das Mehrgewicht D bei demselben war, so lange dieses Mehrgewicht nicht über eine ge- wisse Gränze stieg. Vergrössert man freilich das Mehrgewicht hin- länglich, so wird der von der Lage abhängige constante Fehler dadurch überwogen, und es tritt statt des verkehrten Sinnes der richtige Sinn des empfundenen Unterschiedes ein. So lange aber der verkehrte Sinn besteht, besteht auch der Umstand, dass sich der empfundene Unterschied vielmehr vergrössert als verkleinert, wenn sich die Reize der Gleichheit mehr nähern.
Aus der Bedingung, dass der constante Fehler als positiver Zuwachs des kleineren Reizes das D des grösseren Reizes um mehr als den eben merklichen Unterschied überschreiten muss, damit der Unterschied in verkehrtem Sinne empfunden werde, folgt übrigens, dass nicht nothwendig ein verkehrt empfundener Unterschied entsteht, wenn ein positiver constanter Fehler am kleineren Reize das D des grösseren Reizes übersteigt, weil eben nicht blos D, sondern auch der eben merkliche Unterschied da- durch noch überschritten werden muss, widrigenfalls die Empfin- dung des Unterschiedes, anstatt sich für das Bewusstsein zu ver- kehren, unbewusst bleibt.
Der Grund, dass je nach der verschiedenen Lage des Reiz- überschusses der empfundene Unterschied grösser oder kleiner, oder gar in verkehrtem Sinne erscheint, kann ein doppelter sein. Indem die beiden Reize £, 8’ von verschiedenen Theilen eines empfindenden Organes aufgefasst werden oder als successiv ein- wirkende in verschiedene Zeiten fallen, können dieselben mit ver- schiedener absoluter Empfindlichkeit aufgefasst werden, und ih- nen demgemäss verschiedene Schwellenwerthe b, b’ zukommen. Nun haben wir aber früher (S.95) gesehen, dass der bei Verschie- denheit von b, b’ durch die Unterschiedsschwellenformel bestimmte wirkliche Unterschied der Empfindungen bei gleichem ® grös- ser oder kleiner ist, je nachdem der grössere oder kleinere Reiz mit grösserer Empfindlichkeit (welcher ein kleinerer Schwellen- werth entspricht) aufgefasst wird, wonach er unterübrigens gleichen Umständen auch hienach stärker oder schwächer in die Empfin- dung fallen wird. Abgesehen davon aber könnte auch z. B. ein früherer Reiz, ungeachtet in der Gegenwart mit gleicher Empfind- lichkeit aufgefasst, als der jetzige, doch beim Vergleiche mit dem jetzigen durch die Erinnerung vergrössert oder verkleinert in den empfundenen Unterschied eintreten, wo dann erstenfalls der em- pfundene Unterschied kleiner oder grösser ausfallen würde, je nachdem der frühere Reiz der kleinere oder grössere war, letzte- renfalls umgekehrt. Nicht minder könnte möglicherweise die Relation in der räumlichen Lage des grösseren und kleineren Reizes, abgesehen von der verschiedenen Empfindlichkeit, womit beide aufgefasst werden, für die Grösse des empfundenen Unterschiedes mitbestimmend sein.
Der Kürze halber und in Ermangelung passenderer Bezeich- Din nungen soll der Grund, dass @ bei gleicher Grösse andersrals 9’ empfunden wird, sofern er im ersten Sinne auf einer Verschie- denheit der absoluten Empfindlichkeiten für #, 8’ beruht, der absolute genannt werden, sofern er aber im zweiten Sinne auf der zeitlichen oder räumlichen Relation von ß, ß’, abgesehen von dem Verhältnisse von b, 5’ beruht, der relative. Das Vorhan- densein und die Wirksamkeit des absoluten Grundes ist Thatsache, was den relativen anlangt, so ruht er jetzt noch in der Hypothese, und es bedarf erst noch experimentaler Untersuchungen, die bis jetzt nicht vorliegen, um zu entscheiden, ob er überhaupt besteht.
In der That kann es noch sehr fraglich sein, ob wirklich nach einem für die Erinnerung bestehenden Gesetze eine constante Neigung stattfinde, den früheren oder späteren Reiz als den grösseren in Vergleich zu ziehen, ob nicht vielmehr der Unter- schied, gleichviel, ob der vorangehende oder folgende Reiz der grössere ist, überhaupt nur undeutlicher wird, so dass er nach Zufälligkeiten eben sowohl durch Erinnerung vergrössert als ver- kleinert erscheinen kann, was keinen constanten Fehler, sondern nur einen Einfluss auf die, von der Zeitdistanz unstreitig mit ab- hängige, Grösse der relativen Unterschiedsempfindlichkeit be- gründen und bedeuten würde. Noch weniger lässt sich überse- hen, inwiefern der relative Grund bei einem Wechsel der Raum- lage des grösseren und kleineren Reizes in Betracht kommen könnte, ‚wenn schon zu völliger Sicherstellung desshalb nöthig wäre, durch directes Mass der absoluten Empfindlichkeit der Theile, auf welche die Reize ß, 8’ fallen, nach den dazu geeigne- ten Methoden sich zu überzeugen, dass die constanten Fehler ihrer Grösse nach. durch Verhältnisse dieser Empfindlichkeiten gedeckt werden können.
Für das Folgende ist die Frage, inwiefern der erste oder zweite Grund vorzugsweise oder allein im Spiele sei, insofern überhaupt nicht wesentlich, als die folgenden Betrachtungen und Formeln für die eine und andere Ursache gleich gültig bleiben, ohne eine Unterscheidung nöthig zu machen, indess sie doch auch eine Ein- führung der Unterscheidung gestatten, sofern sich solche nach Erfahrung bewirken lassen sollte.
Wenn der Unterschied zwischen zwei Reizen verschieden gross erscheint, je nachdem von den zwei verschieden angebrachten Reizen der eine oder andere im Verhältnisse ® den Zäh- _ \ ler bildet, so wird es, welches auch das Mass dieser Empfindung sei, eine Empfindung mittler Grösse zwischen beiden Empfindun- gen geben, welche U’ sei. Der positive und negative Zuwachs +«& und — «, welchen diese mittlere Empfindung je nach dem Wech- sel der Lage des grösseren und kleineren Reizes erfährt, wird das sein, was in der Empfindung von diesem Wechsel abhängt, und auf die mittlere Empfindung selbst, welche wir die Normal- empfindung nennen wollen, als eine, von dem Lagenwechsel der Reize unabhängige, die Unterschiedsmassformel in der frühe- ren Aufstellungsweise bezogen werden können. Ihr Mass nach dieser Formel sei U = klog Fr indem wir hier das früher in der Massformel gebrauchte p und v durch ® und A ersetzen. Insofern A der Werth des Verhältnisses ® ist, bei dem die Normalempfindung verschwindet, können wir den Ausdruck Normalschwelle dafür brauchen. Unten wird gezeigt werden, wie sie durch Erfahrung zu bestimmen ist.
Seien nun allgemein u und uw’ die vom Lagenwechsel mit ab- hängigen Empfindungen, und zwar u oder wu’, je nachdem es der Reiz ß oder ß’ ist, welcher als der grössere in den Zähler tritt, so ha- ben wir, so lange u, w’ mit Wachsthum von ® wachsen, d.h. der empfundene Unterschied im rechten Sinne stattfindet*), welches bei hinreichend grossem ® stets der Fall ist u=klgt+a u = klog x a Nun hindert nichts, der Grösse « eine beliebig andere Form zu geben. Setzen wir also « = klog B, indem wir B die demgemässe Grösse geben, so erhalten wir folgende Formeln, die wir kurz die Lagenformeln nennen: Oder, indem wir 4 = r und BA = v setzen: Ku ae E u=klgr;u=klg, *) Die Aufstellung der Unterschiedsmassformel selbst setzte nämlich diesen Sinn voraus.
” rn 7 Wie man sieht, sind wir hiemit zur Form der Unterschieds- massformel zurückgelangt, nur dass je nach der entgegengesetzten Lage des grossen und kleinen Reizes die Verhältnissschwelle einen verschiedenen Werth respectiv v und v’ angenommen hat, von denen ersterer anzuwenden ist, so lange 8 > f’, letzterer, wenn #' > ß. Wir nennen sie die Lagenschwellen.
Die Lagenformeln sind das Allgemeinere der Unterschieds- massformel, indem diese den besonderen Fall derselben darstellt, wo B= 4, was dem Falle entspricht, wo der Einfluss des Lagen- wechsels verschwindet. Auch hätten sich die Lagenformeln mit ihren Specialschwellen, wie S. 400 gezeigt worden, gleich aus all- gemeinen Grundgleichungen ableiten lassen, ohne erst den beson- deren Fall der Unterschiedsmassformel dargestellt zu haben.
Die Normalschwelle A findet sich als geometrisches Mittel der beiden Lagenschwellen v, v’, sofern v= 5 v = BA, mithin vv’ = A’ und Yyvv’ =A. Diess giebt das erfahrungsmässige Mittel an die Hand, A durch Versuche über Unterschiedsempfindlichkeit mit constanten Fehlern zu bestimmen. Man sieht zu, bei welchen Werthen 9, @ der empfundene Unterschied verschwindet, je nachdem die eine oder entgegengesetzte Lage des grösseren Reizes statt hat, und nimmt das geometrische Mittel dieser beiden Werthe.
Des Näheren sieht man, dass jede der Lagenschwellen v, v’ aus zwei Factoren besteht, dem Factor A oder der Normalschwelle, welcher bei Verwechselung der Zeit- und Raumlage des Reizüber- schusses constant bleibt, und einem anderen n oder B, welcher die Fehlerschwelle heissen mag, und der beim Lagenwechsel den reciproken Werth annimmt. Wenn A= 1 sein sollte, welches dem Maximum der Normalempfindlichkeit entspräche, so würden letztere allein den Werth v und v’ bilden.
Der in solcher Richtung richtig empfundene Unterschied, dass ß grösser als 8’ erscheint, wird nach Formel (1) bemerklich zu werden beginnen, wenn ß > v zu werden anfängt, der in der entgegengesetzten Richtung richtig empfundene nach Formel (2), wenn 5 > v’ zu werden anfängt; mithin der erste, wenn > vf, der zweite, wenn P < 5. In dem Intervalle von # = vß’ bis ß = 5 oder, was auf dasselbe hinauskommt, im Intervalle von = £ bis 8’ = v’ß oder endlich, was abermals dasselbe ist, im Intervalle von? = 5 Pf bis$ß= j4 bleibt der empfundene Unterschied im Unbewussten. s Wenn ein Unterschied in verkehrtem Sinne empfunden wird, so dass der grössere Reiz als der kleinere erscheint, und mit Wachsthum von ® der Werth « abnimmt, mit Abnahme von ® wächst, so sind die obigen Lagenformeln noch eben so verwend- bar, nur dass dann das Vorzeichen, was sie für den empfundenen Unterschied auswerfen, in entgegengesetztem Sinne zu deuten ist. Diess ergiebt sich theils aus einer näheren Betrachtung der Weise, wie der verkehrt empfundene Unterschied mit dem richtig em- pfundenen zusammenhängt, theils, und mit Strenge, bei einer Ableitung der Lagenformeln aus den Grundgleichungen (vgl. S.100).
Des Näheren stellt es sich so damit, Alle Fälle, wo nur richtig empfundene Unterschiede möglich sind, wer- den nach unseren Formeln dadurch gedeckt, dass sowohl v als v’ grösser als 4 ist, indem der richtig empfundene Unterschied voraussetzt, dass # grösser als 8° erscheine, so lange # grösser als 8’, mithin > 4 ist, und dass 8° grösser erscheine, als #, so lange 8’ grösser, als #, mithin @° > 1 ist, bis zur Erreichung des Schwellenwerthes von ®; von wo an der empfun- dene Unterschied unbewusst wird; also müssen alle Werthe von p sowohl als g' bis zur Erreichung von v und v’, und v und v’ selbst alsGränze, grös- ser als 4 sein. Hingegen werden die Fälle, wo ein Unterschied in verkehr- tem Sinne empfunden werden kann, dadurch gedeckt, dass blos die eine von beiden Schwellen v, v’ einen Werth grösser als 4, indess die andere zugleich einen Werth kleiner als 4 hat, In der That, sei # der Reiz, welcher grösser erscheinen kann, als der andere, trotz dem, dass er kleiner ist, so wird er natürlich um so mehr grös- ser erscheinen, wenn er ihm gleich ist, oder wenn er gar irgendwie grösser ist, wonach ein Schwellenwerth von = f4 überhaupt bei keinem Werthe über 1 und nicht einmal bei 4 selbst, alla der Gleichheit von £ mit #' entspricht, erreicht werden kann; der Reiz #° muss erst grösser als # wer- den, damit scheinbare Gleichheit eintrete. Also muss der Schwellenwerth v, welcher gilt, so lange # > ß’ ist, kleiner als 4, der Werth v’, welcher dem Werthe #° > $ entspricht, grösser als 4 sein, womit der Bedingung entspro- chen wird, dass jener Werth nicht erreicht werden kann, dieser erreicht werden kann.
Auch im jetzigen Falle aber werden die Gränzen des Intervalles, in welchem die Empfindung des Unterschiedes unbewusst wird, durch die ist (weil v’ > 4 ist), so ist # an beiden Gränzen < #’, und das Intervall der Fechner, Elemente der Psychophysik. II. 9 unbewussten Werthe des empfundenen Unterschiedes fällt ganz auf die Seite, wo 8° > #. Solange # > vß’, hat der empfundene Unterschied einen be- wussten Werth in der einen Richtung, sinkt # unter yr so nimmt er die ent- gegengesetzte Richtung mit bewusstem Werthe an; das Intervall, in wel- chem der empfundene Unterschied verkehrte Werthe annimmt, ist das von 8 = #' bis $ = vß'. In diesem Intervalle ist nämlich # < #’, weilv< 1; aber trotz dem erscheint der Unterschied noch in erster Richtung, in welcher er bei Uebergewicht von # über #° erscheint.
Um das Mass der verkehrten Empfindungswerthe in dem Intervalle zu erhalten, wo & fälschlich grösser als 8’ scheint, haben wir die für @’ gültige Formel (2) zu verwenden, weil wirk- lich #’> ß ist, aber das negative Vorzeichen von u’, was wir hiebei erhalten, in das positive umzukehren, oder, statt auf Unbewusst- sein zu deuten, aufBewusstsein einer Empfindung von verkehrtem Sinne zu deuten, indem der empfundene Unterschied in diesem Intervalle zwar wirklich in dem Sinne von w unbewusst ist, wie es dem negativen Vorzeichen entspricht, aber in das Intervall bewusster Werthe entgegengesetzten Sinnes reicht.
Diess ist keine willkührliche Regel, weil sich bei der fundamentalen Begründung der Formeln (S, 100) zeigt, dass die Formel (2) im Falle ver- kehrter Empfindung überhaupt durch die Formel u = k(log v’— logg‘) zu ersetzen ist, welche den Ausdruck unserer Regel der Vorzeichendeutung unmittelbar enthält.
Achten wir in der Aufstellung der Formeln auf den Wechsel der Zeitlage und Raumlage besonders, so löst sich damit nach einer entsprechenden Herleitung, als für den bisher betrachteten einfachen Fall, die vom Wechsel abhängige Fehlerschwelle B oder 3 welche als Factor in die Lagenschwelle v, v’ eingeht, ihrer- seits in zwei Factoren auf, einen von der Zeitlage abhängigen z, welcher bei Verwechselung der Zeitlage den reciproken Werth ” annimmt, und einen von der Raumlage abhängigen r, welcher bei Verwechselung der Raumlage den reciproken Werth annimmt, so dass wir statt blos zweier Fehlerschwellen B und + jetzt, je nach der vierfach möglichen Verwechselung der Zeit- und Raum- lage des grösseren und kleineren Reizes, wie sich solche durch die 4 Hauptfälle unserer Gewichtsversuche (Th. I. S. 113) erläu- tert, vier Fehlerschwellen erhalten, womit die Normalschwelle A respectiv zu multiplieiren ist, um die zu jeder Lage des Mehrge- \ a - „zu nen Vi Fe h wichtes oder Untergewichtes (die natürlich zusammenhängen) ge- hörige Lagenschwelle zu geben. Seien F,, F,, F,, F, diese 4 Feh- lerschwellen, und ihre gemeinsame Bezeichnung F, so haben wir, wenn die eine dieser Schwellen sr ist, für die anderen - EZ, so dass je zwei derselben einander reciprok sind. Dabei ist es natürlich gleichgültig, welche derselben wir mit F,, F, etc. be- zeichnen wollen, so wie es auch an sich gleichgültig ist, für wel- chen Hauptfall wir die eine oder andere dieser allgemeinen Be- zeichnungen verwenden wollen, nur dass wir die anderen conse- quent verwenden, indem sich, von welcher Verwendungsweise der Werthe z, r wir auch ausgehen mögen, dieselben immer so bestimmen lassen, dass sie der Erfahrung genügen. Setzen wir demnach folgends or die 4 a: Ä so haben wir mit diesen Werthen von F,, F, ete. dieNormalschwelle A zu multiplieiren, um die, den 4 Lagen des grösseren und klei- neren Gewichtes gegen einander zugehörigen Lagenformeln zu erhalten; wonach die Empfindung u respectiv für die 4 Hauptfälle folgende Werthe annimmt: u= klog ®7; = klog 9; uU= klog ©; „= klog (3) Durch Addition dieser 4 Empfindungen, und Division mit 4, nachdem man die Summe der Logarithmen in den Logarithmus des Productes verwandelt hat, erhält man wieder die von der Zeit- und Raumlage unabhängige Empfindung U= klog 4 Unter den vorigen Lagenformeln sind diejenigen, welche nach Zeit und Raum zugleich entgegengesetzten Lagen des Mehrgewich- *) Unstreitig wäre es formell an sich zweckmässiger (wenn schon in der Sache gleichgültig), die Werthe F,, F, etc. nach ihren Indices so zu ord- nen, dass je zwei reciproke Werthe hinter einander stehen. Indess habe ich die obige Ordnung angenommen, um sie mit der bei den Gewichtsversuchen des ersten Theils S. 443 eingehaltenen in Beziehung zu erhalten, welche von mir gewählt wurde, ehe mir noch die Gesichtspuncte einer zu treffenden Wahl klar vorlagen, und später, nachdem schon viele Versuchsreihen nach dieser Ordnung behandelt waren, nicht ohne Uebelstand wieder aufgegeben, und ohne zu grosse Gefahr von Versehen in eine andere übersetzt werden konnte, 9* tes entsprechen, dadurch charakterisirt, dass sie reciproke Werthe der Fehlerschwellen enthalten, also die für w, und u,, so wie für u, und u,. Sie mögen bezüglich zu einander conjugirte heissen.
Anstatt, wie bisher, das Reizverhältniss ® bei allen Lagen- veränderungen unverändert zu denken und den Einfluss der Lage auf Abänderung des normalen Schwellenwerthes A durch Multi- plication mit der Fehlerschwelle zu beziehen, kann man nach der Bemerkung $.495 und der Form der Formeln (1), (2), (3) den Einfluss der Lage eben so gut auf Abänderung des Reizverhältnis- ses ® durch Multiplication mit dem reciproken Werthe der Feh- lerschwelle bezogen denken, indess man die Normalschwelle A als unveränderte Schwelle behält. Erstenfalls denken wir uns ein durch die Lage der Reize ungeändertes Reizverhältniss je nach der Lage der Reize mit verschiedener Empfindlichkeit aufgefasst, letz- tenfalls ein Verhältniss von Reizen, die je nach ihrer Lage in ab- geänderter Weise wirken, mit einer von der Lage unabhängigen Empfindlichkeit aufgefasst. Beide Vorstellungsweisen hängen durch den Gesichtspunet zusammen, dass eine gegen den Normalfall ab- geänderte Empfindlichkeit für ein Reizverhältniss dem Empfin- dungseffecte nach immer durch ein abgeändertes Grössenver- hältniss der Reize beim Normalfalle vertreten werden, und selbst von einem abgeänderten Verhältnisse psychophysischer Bewegungen, welche durch dieselben Reize hervorgerufen wer- den, abhängig gemacht werden kann. Obwohl nun hienach die ıweite Auffassungsweise nur formell von der ersten verschieden ist, verdient sie doch, namentlich wegen der Repräsentation der constanten Fehler, die sich dadurch ergiebt, und des Bezuges, den sie hiemit zu den Massmethoden der Empfindlichkeit gewinnt, eine besondere Betrachtung, wobei wir gleich den allgemeine- ren Fall, dass ein Einfluss der Zeitlage und Raumlage zugleich in Rücksicht kommt, zu Grunde legen.
Anstatt also, wie früher, die Normalschwelle A mit den 4 Fehlerschwellen F,, F,, F,, F, zu multiplieiren, multiplieiren wir nach der jetzigen Auffassungsweise das Reizverhältniss ® mit den reciproken Werthen dieser Fehlerschwellen, welche wir respectiv mit $,, Ba, Ba, Fu, allgemein mit {} bezeichnen wollen, so dass wodurch wir natürlich nur in anderer Form zu den Formeln (3) Ai f" zurückgeführt werden, deren weitere Erläuterung sich wieder an unsere Gewichtsversuche knüpfen mag. Bei diesen Versuchen, wo das Reizverhältniss ® allgemein durch er gegeben ist, hat D nur einen kleinen Werth gegen P, und z und r, so wie 4 und 4 weichen wenig von der Einheit, erstere in einem, letztere in entgegengesetztem Sinne ab, da durch die constanten Fehler das wahre Gewichtsverhältniss doch nur in kleinem Verhältnisse abgeändert erscheint. Setzen wir also z = 1 +& undr=1-+-.e, so werden £ und e nur kleine positive oder negative Zuwüchse zu 4 sein, deren höhere Potenzen und Producte zu vernachlässigen sind, und 4, r durch 1— &, 1 — eg vertreten werden können, insofern bei Ausführung der durch. und Ta angezeigten Division und Vernachlässigung der Potenzen von & und e, welche die erste übersteigen, der Werth 41 — £ und 4 — e als Quotient bleibt *). Substituiren wir nun in die Ausdrücke für u,, % ete. den Werth — für ® und die Werthe 1 + Z und ten wir: u = klog an lol Ama etc.
Sofern wir aber auch das Product der Grössen {, g wegen ihrer Kleinheit vernachlässigen können, geht diess bei Ausführung der Multiplication über in u, = klog P+D wire (C+e) etc. der Art, dass sich die Werthe für w,, us, %, nur durch andere Vorzeichen vor £, g vom Werthe u, unterscheiden.
Erinnern wir uns nun, dass, im Falle kein Einfluss der Zeit- und Raumlage stattgefunden hätte, die Empfindung nach der Unterschiedsmassformel gewesen wäre u= klog ER so ist (P+D) (C+g) die Grösse, um welche durch diesen Einfluss *) Aus gleichem Grunde kann _P_ durch PZ° und _?_ durch 2 c P+c pP PB ersetzt werden, wenn c klein gegen Pist, wovon man mehrfach Gelegenheit findet, Gebrauch zu machen.
das Gewicht P+D, oder, was auf dasselbe herauskommt, das \ Mehrgewicht D in seiner Wirkung auf die Empfindung abgeändert erscheint; indess das Gewicht P als constant erscheint, das ist eben nichts Anderes, als der von der Zeit- und Raumlage abhängige constante Fehler des Gewichtes, bei dem sich D befindet.
Der constante Fehler setzt sich nach seiner doppelten Abhän- gigkeit zusammen aus dem von der Zeitlage abhängigen Theile (P+D)Z und dem von der Raumlage abhängigen Theile (P+D)o, die wir früher mit p, q bezeichnet haben und ferner so bezeichnen wollen. Sie können Componenten des constanten Fehlers heissen; insofern man sie aber selbst constante Fehler nennt, ist der Feh- ler, dessen Theile sie sind, als constanter Gesammtfehler zu bezeichnen. Der Kürze halber mögen wir sie als Zeitfehler und Raumfehler unterscheiden.
Durch Substitution von p, q für (P+D)Z und (P+D)o erhal- ten wir nun statt der Gleichungen (3) folgende Gleichungen: Da durch Versuche sich p und g bestimmen lassen, da auch A nach $.128 bestimmbar ist und P und D gegeben sind, endlich k beliebig = 1 gesetzt werden kann, weil die Einheit von u be- liebig ist, so ist hiemit Alles gegeben, was zum Masse des em- pfundenen Unterschiedes im Falle constanter Fehler nöthig ist.
Nennen wir den constanten Gesammt-Fehler, gleichviel wo- von er abhängt und ob er positiv oder negativ ist, allgemein c, so sind vorstehende 4 Lagenformeln nur besondere Fälle der allge- meinen Formel P+D+c worin c je nach der 4fach möglichen Zeit- und Raumlage des Rei- zes, zu welchem D hinzutritt, einen vierfach verschiedenen Werth, respectiV C,, Ca, Cg, C, annimmt, entsprechend den 4 Fehlerschwel- len und Lagenfactoren. Insbesondere haben wir hienach 07 Was a Aa DIE Ban)! Saal 3 wonach c, und c,, sowie c, und c, bei gleicher Grösse ein entge- gengesetztes Vorzeichen haben. Sie können bezüglich zu einander u =klog a FE - EEE ER conjugirt heissen, sofern sie den conjugirten Gleichungen im Sinne von $. 432 zugehören.
Man darf übrigens nicht vergessen, dass die Gleichungen (6) nur insofern gültig sind, als z und r wenig von der Einheit ab- weichen, mithin { und g kleine Bruchtheile sind, d. i. wenn der Zeit- und Raumfehler nur wenig im Verhältnisse zu P-+D beträgt; widrigenfalls in den Ausdruck von c,, c, ete. auch Potenzen und Producte von p, q mit eingehen; wie man leicht findet, wenn man die vorigen Entwickelungen vornimmt, ohne etwas zu vernachläs- sigen.
Bei den zur Erläuterung untergelegten Versuchen, welche nach dem Schema meiner Gewichtsversuche angestellt und behan- delt werden, wird das Mehrgewicht D successiv in die 4 möglichen Lagen gebracht, so dass es bei jeder mit positivem Vorzeichen zum Hauptgewichte hinzutritt, dessen Lage man ins Auge fasst, und der constante Fehler c wird stets auf das hiedurch vergrös- serte Hauptgewicht bezogen. An sich aber hindert nicht nur nichts, sondern es kann auch unter Umständen formelle Dienste leisten, wie sich gleich zeigen wird, den constanten Fehler auf das kleinere Gewicht zu beziehen, welches sich in entgegengesetzter Lage als das grosse befindet, also ein entgegengesetztes c hat, wozu dann nur nöthig ist, das grössere Gewicht als Hauptgewicht P in den Nenner voriger Formeln einzuführen, und das D im Zähler negativ zu nehmen, da natürlich d&s kleinere Gewicht eben so viel Untergewicht gegen das grössere, als dieses Uebergewicht gegen das kleinere hat. Unter dieser Voraussetzung hat man in Fällen, wo das positive Mehrgewicht D dieselbe Lage beibehält, wie es inner- halb eines und desselben Versuches, so wie Hauptlalles der Ver- suche der Fall ist, immer die Wahl, beliebig die eine oder andere der conjugirten Gleichungen anzuwenden, deren eine dann immer auf das grössere Gewicht, die andere auf das kleinere Gewicht zu beziehen ist, wobei der ganze Werth D+c bei gleicher Grösse ein entgegengesetztes Vorzeichen für das grössere und kleinere Gewicht annimmt, und der Werth von P zwischen dem Werthe des kleineren und grösseren Gewichtes wechselt.
Macht man sich nun zur Regel, von je zwei conjugirten Glei- chungen stets diejenige zur Bestimmung des Werthes u anzuwen- den, in welcher D-++c positiv ist (was bei negativem D der Fall ist, wenn c zugleich positiv und > D ist), so tritt dadurch P+ D-+c u wi überall an die Stelle des grösseren Reizes, P an die des kleineren Reizes der Unterschiedsmassformel; und kann man es ganz so an- sehen, als wenn man u nach dieser Formel bestimmte, welche keine besondere Regel wegen Umkehr des Vorzeichens im Falle verkehrt empfundener Unterschiede nöthig macht. Wir erhalten vielmehr so in jedem Falle ein positives Vorzeichen von u für ei- nen bewussten, ein negatives für einen unbewussten Werth. Die verkehrt empfundenen Fälle unterscheiden sich aber dann von den richtig empfundenen dadurch, dass die verkehrt empfunde- nen der Anwendung des negativen D, die richtig empfundenen der des positiven D entsprechen.
Sollten beide Reize gleich sein, so würden die vorigen For- meln immer noch dienen können, den Werth der Empfindung je nach der Zeit- und Raumlage der Gewichte zu bestimmen, indem wir D gleich Null setzen, und den Reiz in den Zähler setzen, des- sen constanter Fehler positiv ist, um positive Werthe von u be- wussten Werthen der Empfindung entsprechend zu finden.
Nach dem Bisherigen lässt sich die Lagenformel für einen und denselben empfundenen Unterschied % unter drei verschiedenen Formen aufstellen, je nachdem man den Einfluss der Lage durch die Lagenschwelle F, oder den ihr reciproken Lagenfactor ‘5, oder den functionell damit zusammenhängenden BER Fehler c darstellt, nämlich unter Rücksicht, dass ® = Ir na D durch "p+D a u= klog zy PA -F u= klog —,— went a Aus der Aequivalenz dieser Gleichungen ergiebt sich das functio- nelle Verhältniss zwischen c und F oder $. Denn man hat danach mithin = AMD _ (-1)(P+D) He P+D+ec Fa pp 0 = SPD Für die 4 Hauptfälle speeifieiren sich diese Formeln, indem, wenn F, $ respectiv die Werthe F,, %, ete. annimmt, zugleich c den Werth c, etc. annimmt; welcher nach 8.134 durch p + gegeben ist u. 5. f.
Aue ee > Diese functionellen Beziehungen bleiben gleich gültig, mag der Einfluss der Lage beträchtlich oder unbeträchtlich sein, mit- hin c ein grosses oder kleines Verhältniss zu P-++-D haben; nur dass blos bei kleinem Verhältnisse von c gegen P+D, welches einer geringen Abweichung der Werthe F und % von 4 entspricht, die einfache Zusammensetzung von c stattfindet, welche durch die Gleichungen (6) gegeben ist. Im Falle eines kleinen c kann man P+D dann auch (nach $. 433 Anmerk.*) für den Ausdruck F= Bis, schreiben: F= rn