Mefme il eft a remarquer touchant la derniere fom- •me, qu'on prent a difcretion, pour remplir le nombre ■des dimenfions de l'autre fomme, lorfqu 'il y en man- que comme nous auons pris tantoft y'Hrfy 'rhggjy-trh'y-bkyÿ que lesfignes -f ypeuuent eftrefuppofés tels, qu’on veut, fans que la li- gne v, ou A P, le trouue diuerfe pour cela, comme vous pourre's ayfemcnt voir par expérience, car s’il falloit que ie m’areftalfe a demonftrer tous les theorefmes dont ie fois Livre Second. jji fus quelque mention, ie ferois contraint d’eicrire vn vo- lume beaucoup plus gros que ie ne defire. Mais ie veux bien en pafTant vous auertir que l’inuention de fuppofer deux équations de mefme forme, pour comparer fepa- rfement tous les termes de l’vne a ceux de l'autre, & ainfi en foire naiftre plufieurs d'vne feule, dont vous aués vû icy vn exemple, peut fcruir a vne infinité d'autres Pro- blefmes, & n'eft pas l'vne des moindres de la méthode dontie me fers* le n'adioufte point les conftrnftions, par lefquelles on * peut defcrireles contingentes ou les perpendiculaires cherchées, en fuite du calcul que ie viens d’expliquer, a caufe qu'il eft toufiours ayfede les trouuer: Bienque fou- uenton ait befoin d’vn peu d’adrefie, pour les rendre courtes &fimples.
B H\ \ \ \ \ w 10- ‘ A le, & B H la réglé: |>,errac*cn . en forte que tou- choidc. tes les lignes droi- tes qui regardent vers A, & font compri fès entre la courbe CD, &Ia droite B H, com- me DB &C E, fbientefgales: Et qu’on veuille trouuer la ligne C G qui la couppe au point C a angles droits.
On pourrait en cherchant, dans la ligne B H, le point par où cete ligne CG doit palier, félon la méthode icy.
Explica* tton de 4 nouuc- aux gen- res d'O- ualcs, qui feruent a TOpri- flc.
3 ji La GEOMETRIE, expliquée, s’engager dans vn calcul autant ou plus long qu'aucun des precedens: Et toutefois la conftru&ion,qui deuroit apres en eftrededuite,eft fort fîmple. Car ilne faut que prendre C F en la ligne droite C A, & la faire efgale à C H qui eft perpendiculaire fur H B; puis du pointFtirerF G, parallèle à B A, & efgale à EÀ: au moyeu de quoy on a le point G, par lequel doit palier C G la ligne cherchée.
Au refte affiu que vous fçaehiées que la confidcration des lignes courbes icypropofée n’cft pas fans vfâge, & quelles ont diucrfès propriétés, qui ne cedent en riert a celle&des fé&ions coniques,ie veux encore adiouftericy l’explication de certaines Ouales, queveusverrés eftre très vtiles pour la Théorie delà Catoptrique, &dela Dioptriquc. V oycy la façon dont ie les deferis.
Premièrement ayant tiré les lignes droites F A, & A R, qui s’entrecouppent au point A, fans qu’il importe a quels.angles, ie prens en l’vnc le point F a diferetion, c’eft a dire plus ou moins elloigné du point A félon que Livre Second. 3T5 ie veux faire ces Onales plus ou moins grandes, &dece point F comrtie centre ie deferis vn cercle, qui pafle quelqaepeu au delàdu point A, comme par le point r, puis de ce point j ie tire la ligfie droite f 6, qui cooppe l'autre au point 6, en forte qu* A 6 foit moindre qu* A j-, félon telle proportion donnée qu'on veut, a fçauoir fé- lon celle qui mefure les Réfractions fi on s’en veut fer- uir pour la Dioptrique. Après celaie prens aûfly le point G, en la ligne F A,dupoftèoù eft le point j-,a di/crction, c eft a dire en faifant que les lignes A F & G A ont entre elles telle proportion donne'e qu’on veut. Puis ie fais R A efgalc à G A en la ligne A 6. & du centre G deferi- uant vncercle, dont le rayon foit elgal à R 6t il couppe l’autre cercle de part & d’autre au point x, qui eft l’vn de ceux par où doit pafler la première des Ouates cher- chées. Puis derechef du centre F ie deferis vn perde, qui pafle vn peu au deçà, ou au delà du point r, comme par le point 7, & ayant tire’ la ligne droite 7 3 parallèle a $ 6, du centre G ie deferis vn autre cercle, dont le rayon eft efgalala figne R 8. & ce cercle cooppe ccluy qui pafle.par le point 7 au point 1, qui eft encore l’vn de cemc delamefme Ouale. Èt ainfi on en peut troiHier ju- tant d'autres qu’on voudra, en tirant derechef dai^- tres lignes parallèles à 7 8, & d’autres cercles des centre* F, & G.; Pour la fecopde Ouale il n’y a point de diflfereoce, fi- non qu’au lieu d* À R il faut de l’autre coflé du point A preudre A Sefgalà A G, &que le rayon du cercle de- fcrit du centre G, pour coupper cçlyy qui eft deferit dp centre F St qui: pafle par le point 7 * foit efgafafo ï, * Yy ligne KgneStf; ou qu’il fait cfgal à S 8, fi c’cft ponr coupper celuyqui pallèpar le point 7. & ainlî des autres, au moyen dequoy ces cercles s’entrecouppent anx poins marqués 2. z, qui font ceux de cete fécondé Ouale Pôdr la troifiefme, & là quatrieûne,un fieu de la ligne A G il faut prendre A H de l’autre cofté du point A, à ‘ fçauoir du mefme qu’eft le point F. Et il y a icy de plàs • a obfêruer que cete ligne A H doit eftre plus grande que A F: laquelle peut mefme eftre nulle, en forte que le point F fe rencontre où efHe point A, en la defeription detoutescesouales. Apres cela les lignes A R, & A S cftant efgales à AH, pour deferire la troifiefme ouale A3 Y, refais vn cercle du- centre H„ dopt le rayon eft -V** ■ X*. -. efgal Livib Secono.
■ t Hf efgal à S (S, qui couppe au point 3 ccluÿ du centre F, qui pafle par le point r} & vn autre dont le rayon eft efgal a $ 8, qui couppe celuyqui pafle par le point 7, au point aufly marque' y, Scainfi des autres. Enfin pour la derniere me A j àA G. c'eftà dire qu'elles ayent la proportion,, qui mefure les refra&ions. Puis ayant diuiftf A L en deux parties efgales au point K, qu'on face tourner vne reigle, comme F E, autour du point F, en prefFant du doigt C, la chorde E C, qui eftant attachée au bout de cete reigle vers E, fo replie de C vers K, puis de K derechef vers C, & de C vers G,oufbn autre bout foit attaché, en forte que la longeur dè cete chorde fbit compofée de celle des ligues G A plus AL plus PE moins AF. & ce fera lemouueraentdu point C, qui deferira cete ouale, a l’imitation deeequi aefte'diten laDioptriq; de l’Elliplè, s!st o - L -. * » / & 3f6 La GEOMETRIE.
ouale ie Eus des cercles du centre H, dont les font efgaux aux lignes R é,*R 8, & femblables, qui coup- pertt les autres cercles aux poins marqués 4.
On pourrait encore trouuer vne infinité d'autres moyens pourdeferire ces mefmes ouales. comme par exemple, on peut tracer la première AV, Iorfqu'on fup- pofè les lignes F A & A G eftre efgales, fi on diuife la toute F G au point L, en forte que F L Voit a L G, com- Livre Second: * ffj' & de l’Hyperbole, maisie ne veux point m’arefter plus longtems fur ce fuiet.
Or encore que toutes ces oualesfemblent eftre quafi demefme naturelles font neanmoins de 4 diuers gen- res, chafcun defqucls contient fous foy vne infinité d’au- tres genres, qui derechef contienent chafcun autant de diuerfes efpeces, que fait le genre des Ellipfes, ou celuy des Hyperboles. Car félon que la proportion, qui eft en- tre les lignes A j-, A 6, ou femblables, eft differente; le genre fubalternc de cesouales eft different. Puis félon que la proportion» qui eft entre les lignes A P, & A G,ou A H, eft changée, les ouales de chafque genre fubalter-, ne changent d’efpece. Et félon qu’ AG,ou A H eft plus ou moins grande, elles font diuerfes en grandeur. Et li’ les lignes A j & A 6 fontefgales, au Iieü des ouales du premier genreoudutroificfme, on ne defcrit que dess lignes droites; mais an lieu de celles du fécond on a tou- tes les Hyperboles poffibles; & au lieu de celles du der- nier toutes les Eliipfos.
Outre cela en chafcune de cesouales il faut confiderer Les pro- deUX parties, qui ont diuerfes propriétés; a fçauoir çn la ojjlie* première, la partie quieft vers A, fait que les rayons, qui jonchant eftaut dans l’air vienent du point F, fe retournent tous vers le point G, lorfqu'ils rencontrent la fupcrficie con- ^Jo^fra' uexed’vn verre, dont la fuperficie eft 1 A 1, & dans le- quel les refraâion s fe font telles, qne fuiuant ce qui a efté dit en la Dioptrique, elles peuuent tontes eftre me- furcespaT la proportion, qui eft entre les lignes A; & Y y 3 Mais m\ * VT J •# * Mais la partie, qui eft versV, fait que les rayons qui viencnt du point G fe reflefchiroient tous vers F, s'ils y rencontroient la fuperficie concaue d'vn miroir, dont la figure fiift i V i, & qui fuft de telle matière qu’il di- minuait la force de ces rayons, félon la proportion qui eft entre les lignes A y & A 6: Car de ce qui a efté démon - ftref en la Dioptrique, il eft euident que cela pofë, les an- gles de la reflexion feraient inefgaus, aufly bien que font, ceux de la refra&ion, & pourraient cftre mefure's en mefme forte.
En la féconde ouale la partie 2 A t fett encore pour les •eflexions dont on fuppofe les angles eftre inefgaux. car eftant en la fuperficie d’vn miroir compofë de mefine matière que le precedent,elle ferait tellement reflefehit tous les rayons, qui viendraient du point G, qu’ils fem- bleroient apres eftre reflefcliis venir du point F# Et il eft a remarquer, qu’ayant fiuc la ligne A G beaucoup plus .Livre Second* 35-p plus grande que AF, ce miroir ferait conuexe au milieu, vers A, & concaue aux extremitez: car telle eft la figure decete ligne, qui en cela reprefente plutoft vn coeur qu'vncouale. • Mais fon autre partie X 2 fort pour les refra<ftions,& fait quç les rayons, qui eftant dans l’air tendent vers F,fé détournent vers G, en trauerfànt lafuperfiae d'vn ver- re,. qui en ait la figure.
La troificfme oualcfert toute aux réfractions, & fait que les rayons, qui eftant dans l’air tendent vers F, fè, vont rendre vers H dans le verre, après qu’ils ont trauer- fd fa fuperficie, dont la figure eft A 3 Y 3, qui eft conue- xe par tou t,excepté vers A où elle eft vn peu concaue, en forte quelle a la figure d’vn coeur aufly bien que la pre- cedente. Et la différence qui eft enrre les deux, parties deceteouale, confifteencequelepoiDt F eft plus pro- che de l’vne, que n’eft le point H; &: qu’il eft plus e/lojgnd de l’autre, que ce mefrae point H.
En mefme façon Iaderniere ouale fert toute aux res» flexions, & fait que fi les rayons, qui vienent du point H, rencontraient la foperficie concaue d’vn miroir de me£ me matière que les precedens, & dont la figure fuft A 4: Z 4, ils fc reflefchiroient tous vers F..
De façon qu’on peut nommer les poms F, & G, ou HP lespoinsbruflans de ces ouales, a l'exemple de ceux des Ellipfes; & des Hyperboles, qui ont efté ainfi nommés ; en la Dioptrique. < l’omets quantité d’autres refra&ions, St réflexions; qui font rcigldés par ces mefmes ouates: car n’eftant que les conuerfes, pu les contraires de celles cy, elles en.
flk: i / * \6o lA GEOMETRIE, DcmoH- peuuent facilement eftrc déduites. Mais il ne faut pas d« pro- qnei’omettélademonftrationde ceqoeiaydit. &acet pnctcs de effeâ, prenons par exemple le point C a difcrction en la touchant première partie de la première de ces ouaIes; puis tirons les refle- — la liane droite aïons 6c. ' r> t> refra- C P» COUP* a°ns' n pe la courbe au point C à an- gles droits, ce- qui eft facile • par le problefme precedent; Car prenant b pour AG, c pour A F, c -f- 1 pour F C; & fuppofant que la propbr- •tionqui eft entre dite, que ic prendray icy toufîours pour celle qui mefure les refra&ions du verre propofij’, defigne aufly celle qui eft entre lès lignes A f, 8c A 6, ou (femblables, qui ont ferai pour defenre cete ouale.cé qui donne b — -ÿç pour G C: on trouue que la ligue A Pejft " bde±cJd*idz.:."L' qu “ a efte monftrè' cy deflus.
De plus du point P ayant tire'P Q^a angles droits fur la •droite F C, & P N aufly a angles droits fur G C,confide- _ • « comme les lignes qui mefurent les refra&ions du verre conuexe A C, le rayon qui vient du point F au point C, doit tellement s’y courber en entrant dans ce verre, qu'il •s'aille rendre après vers G: ainfi qu’il eft très eoidentde cequi a efté dit en la Dioptriqne. Puis enfin voyons par Je calcul, s'il eft vray, que P Qfoit à PNj comme rfeft à é. JLes triangles redangles P Q F, & C M F font fenj- • • blables; 1 Livre Second. jsi blables; d’où il fuit que CFeftàCM, comme F P eft a P Q; &parconfequent que F P, eftant multipliée par Cm’& diuifée par C F, eft efgale a P Tout de met me les triangles re&angles PNC, & C M G font fem- blablcs; d’où il fuit que G P, multipliée par C M, & diui- fe'e par C G, eft efgale a P N. Puis a caufe que lés mul- tiplications, ou diuifions, qui fe font de deux quantités par vne raefme, ne changent point la proportion qui eft entre elles; fi F P multipliée par C Mj &diuifoéparCF, eft à G P muitiplie’c aufly par CM & diuifée par CG; commeéeftàr,endiuifantlVne& l'autre de ces deux foinmesparCM, puis les multipliant toutes deux par C F,& derechef par C G,il refte F P multipliée par C G, qui doit eftre à G P multipliée par C F, comme éeftàe* OrparlaconftruûionFPeftt itu<baU*ddi--iïï bdt ^ edd dd£ ^ ibcddfy buÀA * bbddz. * beddt. — bedtz - ccdtx. — bdM -- 'dtt\.
7 bdt -»£i fibienque multipliant G P par C F, il vient Et pourceqne la première de ces fommes diuifée par^ eft la mefme que la fécondé diuifée par e, il eft manifefte, que F P multipliée par CG eft a G P multipliée par CF; Zz c’eft % 9. >, 36» La G b omet rie.
c’eft A dire que P Qcft à P N, comme d eft à *, qui eft tout Ce qu’iljkalloit demonftrer.
Et fçachcs, que cete mefme demonftration s.'eftend a tout cequi a efte' dictes autres refraétions ou refle- xions, qui fefont dans les ouales proposes j lâns qu’il y faille changer aucune choie, que les lignes -f- & — du calcul, c’eft pourquoy chafcun les peut ayfement exa- miner de foymefme, fans qu’il foit beloin que ie m'y areûc.
Mais il faut maintenent, que ie lâtisface a ce que iay omis en la Dioptrique,lorfqu’apre$ auoir remarque' qu’il peut y auoirdes verres de pîufieurs diuerfes figures, qur fâcent aufly bien l’vn que l’autre, que les rayons venans d’vn mefme point de l’obiet, s'affcmblent tous en vn au- tre point âpre* les auoir trauerfes. & qu’entre ces verres» ceux qui font fort conuexes d’un coite’, & concaues de. l'autre, ont plusdeforce pour brufler, que ceux qui font également conuexes des deux coftds. au lieu que tout au contraire ces derniers font les meilleurs pour leslune- tes. ie me fuis contente d’expliquer ceux, que i’ay crû eftre les meilleurs pour la prattiquc.en fuppolant la diffi- culté que les artilans peuuent auoir a les tailler. C’efc pourquoy,affin qu’il ne refte rien alounaitertpuchant la théorie de cete fcience, ie doy expliquer encore icy la fi- gure des verres, qui ayant l’vne de leurs foperficies au- tant conuexe, ou concaue, qu’on voudra, ne lailTenrpas de faire que tous les rayons, qui vienent vers eux d’vu mefme point, ou parallèles, s’alTerablent après en vn mefme point j & celle des verres qui font le femblable, eftantefgalement conuexes des deux coites, oubienla *. • conue- Livre Second.
Livre Second.
conuexitcdel'vnc de leurs fuperficies ayant la propor- tion donnée à celle de l’autre. • Pofonspourlc premier cas, que lespoins G, Y, C, &F on peut eftant donnes, les rayons qui vienent du point G, oubien qui font parallèles à GAfe doiuent aflembler au point tant con- F, après auoir trauerfe' vn verre fi coucaue, qu’ Y eftant le* milieu de fa fupcrficie intérieure, l’extremitc en foitcn l vDC’ au poiatC, en forte que 1a chorde CMC «clafleehe ^ Y M de l’arc C Y C, font données. La quellion va Ia,.qu 0n que pteroierement il tant confiderer, de laquelle des'»^ ouales expliquées, la fuperficie du verre Y C, doit auoir icmblc a la figure, pour faire que tous les rayons, qui eftant dedonné. - dans tendent vers vninefme point, comme vers H, qui toutes n'eft pas encore connu, s’aillent rendre vers vn autre, a qui vie- ■ fçauoirversF, aprésen eftre forcis. Car,1 n'y a aucun effedt touchant le rapport des rayons change par refle- p0iDt xion, ou refraaioud'vn point a vn autre, qui ne puifle donné.
eftre caiife" par quelqu'vne deccs ouales.' on voit ayfementque cetuycy le <peut eftre par lapaftkl de la troifiefmc Ouale, qhi a tantoû eiftè anarqiace J A }, ou par ceUede la mefiuc, qui a eftè marquée 5 Y PU enfin par la partie de la fécondé qui a efte marquée, 2. X i. lit poureeque ces trois tombant icy fous méfmé calcul, ondoit tant’ pouP^vnei, que pounTgutiie fendre Y pour xjd '• Zzi leur 3*4 La GEOMETRIE, leur fotnmet, C pour Tvn des poins de leur circonféren- ce, & F pour Tvn de leur^poins bruflans } apre's quoy it nerefte plus a chercher que le point H, qui doit cftre l'autre point bruflant. Et on îe trouue en confideranf, que la différence, qui eft entre les lignes F Y & F C,doit eftre a celle, qui eft entre les lignes H Y & H C, comme deft à e, c’eft a dire,comme la plus grande des lignes qui mefurent les refra&ions du verre propofe' eft à la moin- dre* ainfi qu’on peut voir manifeftement de la deferi- ption de ces ouales. Et poureeque les lignes F Y & F C font données, leur différence l'eft aufly, & en fuite celle qui eft entre H Y & H C * poureeque la proportion qui eft entre ces deux différences eft donnée. Et de plus a caufe que Y M eft donnée, la différence qui eft entre M H,& H C, l’eft aufly;& enfin poureeque C M eft don* nce, il de refte plus qn'à trouucr M H le cofté du triangle re&angleC MH, dont on a l’autre cofté CM, & on a auffy la différence qui eft entre C H la baze, & M H le coftédemande' d’où il eft ayfédele trouuer. car fi on prent >^pour l’excès de C H fur M H, & » pour la longeur ,. ■ i t * m H y} de laligne C M, on aura xK Pour M H. Et aprefc auoir ainfi le point H^’ilfotroune plus loin du point Y, \\\ t que LlVRE SECOND. 3$jr que n’en eft le point F, la ligne C Y doit eftre la premiè- re partie de i’oualc du troifiefme genre, qui a tantoft efté nommée 3 A 5: Mais fiHYcft moindre que F Y, oubien elle furpaffe H F de tant, que leur différence eft plus grande a raifon de la toute F Y, que n’eft e la moindre des lignes qui mefurent les refradfc ions comparée auec d la plus grande, c’eft a-dire que faifant H F x> c, & HYxf •+-£, ^Aeftplus grande que zee-\-eb, & lors C Y doit eftre la fécondé partie de la mefme ouale du troifiefme genre, qui a tantoft eft énomée 3 Y 3 jOubien ^Æeftefgale, ou moindre que rce-\reh: & lors CY doit eftre la féconde partie de l'ouale du fécond genre qoiacydefTusefie'nomme'e 2X2. Et enfin file point H eft le mefme que le point F, ce qui n’arriue que lorfque F Y & F C font efgales ccte ligne Y Ç eft vn cercle.
Après celail faut chercher CAC Pautre fuperficie de ce verre, qui doit eftre vne El lipfe, dont H foit le point bruflant,fi on fuppofé que les rayons qui tombent defTus foiêt parallelesj & lors il eft ayfé de latrouuer.Mais fi on fuppofe qu’ils vienët du point G,ce doit eftre la première partie d’vne ouale du premier genre,dont les deux poins bruflans foiêt G & H, & qui paffé parle point C:d’où on trouue le point A pour le fommet de cete ouale, en confi- derât,qne GCdoit eftre plus grade que GA, d'vnequan- tite,qui foit a celle dont H A furpaffe H C,comme dàe* car ayant pris ^pour la difference,qui eft entre C H,& H M,fi on fuppofe* pour AM,on aura,* — pour la diffé- rence qui eft entre AH, & CH; puis fi on prent g pour celle, qui eft entre G C, & GM, qui font données, on aura^+tf pour celle, qui eft entre GC, & G A j 3c Z z 3 pour- La GEOMETRIE.
■ComniCt on peut faire vn verre, qui aitlc met me cffc'dl que le precedfr, & que la connexi- té del’vne de fes fu- pcrficics aie la pro- portion donnée au ce celle afclautrc.
pour la ligne xt ou A M, par laquelle ou détermine Je point A qui eftoit cherché.
Pofons maintenent pour l’autre cas, qu’on ne donne que les poins GC.&F, auec la proportion qui eft entre les lignes A M, & Y M, & qu’il faille trouuer la figure du verre A C Y, qui face que tous les rayons, qui vienent du point G s’alfemblent au point F.
On peut derechef icy fe fèruir de deux ouales dont Fvne, A C, ait G & H pour les poins bruflans; & l’autre.
C Y,ait F& H pour les fiens.Et pour les trouuer premiè- rement fuppofanq le point H qui eft comrpun a toutes deux eftre connu, ie cherche A M par les trois poins G,C,H,en la façon tout maintenent expliquera fçauoir preuant ^pour la différence, qui eft entre CH, &HM; te g pour celle qui eft entre G C. &GM: &ACeftant la première partie de l’Onale do premier genre, iay ^7, pour AM: puis ie cherche auflyM Y par les trois poins F, C, H,en forte que C Y foi t la première partie d’vue ouale du troifiefîne genre; éprenant y pour M Y, • - — te Livre Second. jé7 &/*ponr la différence, qui eft entre C F, & FM, i’ay /’-F-y, pour celle qui eft entre CF, &FY: puis ayant dé- fia ^pour celle qui eft entre C H, & H M,iay \j\-y pour celle qui eft entre C H, & H Y, que ie fcay deuoir eftre à,f jry comme e eft à d, à caüfe de l’Ouale du troifiefme genre, d où ictrouue quejr ou MY eft puis joi- gnant enfemble les deux quantités trouuces pour A M, & M Y, ie trouue '■ a;pour la toute A Y; D’où il fuit que de quelque cofte'quefoitfuppofe'le point H, cete ligne A Yeil toufiours compofée d’vnc quantité, qui eft a cel- le dont les deux enfemble G C, & C F furpaflent la tou- te G F,Commce,la moindre des deux lignes qui feruent a mefurer les refra&ions du verre propofé, eft à d~ e, la différence qui eft entre ces deux lignes, cequîeft vnau fésbeautheorefme. Or ayant ainli la toute A Y, ilia faut couper félon la proportion que doiucnt auoir fes parties A M & M Y; au moyen de quoy pource qu’on a défia le point M, on trouue aufly les poins A & Y,• & en fuite le point H, par leproblefme precedent. Mais au- parauant il faut regarder, fi la ligne A M ainfi trouuée eft plus grande que plus petite, ouefgale. Car fi elle eft plus grande, on apprent de là que la courbe A C doit eftre la première partie d’vne ouale du premier genre; & C Y la première d’vne du troifiefme, ainfi qu’elles ont cfté icy fuppofees: au lieu que fi elle eft plus petite, cela monftre que c'eft C Y, qui doit eftrela première partie d’vne ouale du pfemier genre; & que AC doit eftrela première d’vnê du troifiefme: Enfin fi AM eft efgale à 3*8 3*8 La GEOMETRIE.
Commet on peut appliquer cequia cité dit icy des lignes courbes defe rites fur vne (upcrfkie place, à celles qui fedefen- uéc dis vn xfpacc qu. a trois di- ■KieufioDs.
On pourroit eftendre ces deuxproblefraes a vne infî- nite'd autres cas, que ie ne ra'arefte pas a déduire, à caule qu’ils n’ont eu aucun vfage en la Dioptrique.
On pourroit auflypafler outre, & dire, lorfque l’vne des fuperficies du verre efc donne'e, pouruô qu'elle ne foit que toute plate, ou compofce de levions Coniques, oudecerclesj comment on doit faire fon autre fuperfi- cie, affin qu’il tranfmette tous les rayons d'vn point don- ne', a vn autre point aufly donné, car ce n’efc rien de plus difficileque cequeie viens d’expliquer; ou plutoftc’efc chofe beaucoup plus facile, à caufe que le chemin en elc ouuert. Mais i'aymc mieux, que d’autres le cherchent, affinques’ils ont encore vn peu de peine à le trouuer, ce- la leur Éace d'autant plus eftimer l'inuention des choies qui font icydemonftrces.* Au refte ie n’ay parle en tout cccy,que des lignes cour- bes, qu’on peut deferire fur vne fuperficie plate • mais il eltayfé de rapporter ceque i’en ay dit, à toutes celles qu’on fçauroit imaginer eftre formeei, par le mouue- ment régulier des poins de quelque cors, dans vn elpace qui atroisdimenlions. A fçauoir en tirant deux perpen-. diculaires,de chalcun des poins de la ligne courbe qu'on veut confiderer,lur deux plans qui s’entrecouppent a an- glesdroits, l’vne lùrl’vn, & l'autre fur l’autre, car les ex- trémités de ces perpendiculaires déferaient deux autres lignes courbes, vne fur chafcun de ces plans, defquelles ou peut,en1a façon cy delfusexpIiquée,detennHicrtous :• ‘:. ^ les Livre Second. 3<îp • les poins,&Ies rapporter a ceux de la ligne droite, qui eft commune a ces deux planés, au moyen <Jequoy ceux de la courbe, qui a trois dimenfions, font entièrement détermines. Mefme fl on veuttirervne ligne droite, qui couppecete courbe au point donne a angles droits: il faut feulement tirer deux autres lignes droites dans les deux plans, vne en chafeun, qui couppent a angles droits ^ les deux lignes courbes, qui y font, aux deux poins, où tombent les perpendiculaires qui vienent de ce point donne', car ayant efleuddeux autres plans,*vn fur chak cune de ces lignes droites, qui couppe a angles droits le plan où elle elt, on aura l’interfe<ftion de ces deux plans pour la ligne droite cherchée. Et ainfi ie penfè n'auoir, r rien omis des elemens, qui fout neceffaires pour la con- noiflance des lignes courbes.
L A T.
G E O M E T R ï E..
LIVRE TROISIESME., Ji,' [ ^De U lonftruttiondes cProble[mes, cjui * font Solides, ou plufque Solides, De quel- EN c o rb que toutes les lignes courbes, qui peuuent eftre deferites par quelque mouuement régulier, on peue doiuent eftre receuës en la Geometrie, ce n’eft pas a di- (c (?ta>T, re qu’il foit permis de fe feruir indifféremment de la pre- ftiuftiou miere quife rencontre, pour la conftrudhon de cbafqûe , • Aaa pro-mc.
37® La Gbometrtb.
problefrrffc: mais ilfaut auoir foin de choifir toufioursla plus fimpiellpar laquelle il foie poflîblc de le refoudre. Et mefmc il eft a remarquer, que par les plus fimples on ne doit pas feulement entendre telles, qui pcuuentle plusayfementeftredefcrites, ny celles qui rendent la conftruétion, ou la demonftration du Problefme propo- - fé plus facile, mais principalement celles, qui font du plus fimple-genre,qui puiflè feruir a déterminer. la quao- titéqui eft cherchée. - Exemple touchant l’inucntiô de plu-.* itcurs moycnes propres tioneUes.
Comme par exemple ie ne croy pas, qu’il y ait aucu~. ne façon plus facile, pour trouuer autant de moyennes proportionnelles, qu’on veut, nydont la demonftration lbit plus euidente, que d’y employer les lignes courbes, n qui iè deferiuent par l'inftrument X Y Z cy delfus expli. qué. Car voulant trouuer deux moyennes proportion- nelles entre Y A & Y E, il ne faut que deferire vn cercle, dont le diamètre foit Y E} 6c poqrce que ce cercle coup- 4 ' • pe la courbe A D au point D, Y D ell l’vne des moyennes • proportionneHes cherchées. Dont la demonft rarion fe voltal'œilpar la feule application de cet infiniment fur Ja ligne Y D. car comme Y A, ou Y B, qui luy eft efgaie eft a Y C; ainfi Y CeftaYD; & YDa YÉ.
Toutdemefme pour crouuer quatre moyennes pro- portionelles entre Y A & Y G; ou pour en trouuer fix en- tre Y A & Y N, il ne faut que tracer le cercle Y F G, qui couppant A F au point F, détermine la ligne droite Y F, qui eft l'vne de ces quatre proportionnelles; ou Y H N, qui couppant A H au point H, détermine YH l’vne des fix, & ainfi des autres.
Maispourcequc la ligne courbe AD eft du fécond genre, & qu’on peut trouuer deux raoyenes proportio- nelles par les ferions coniques, qui font du premier; & aufly poureequ'on peut trouuefr quatre ou fix moyenes proportionellcs, pardcslignesquinelontpas de genres fi compofe's, que font A F, & A H, ce feroit vne faute en Geometrie que de les y employer. Et c’eft" vne faute aufly d’autre cofté de fe trauailler inutilement a vouloir conftruire quelque problefme par vn genre de lignes plus fimple, que fa nature ne permet.
Or affin que ie puifle icy donner quelques reigles. De b n«- pour euiter l’vne & l’autre de ces deux fautes, il faut que £ r^c6ss ie die quelque chofe eu général de la nature des Equa- tionsjc’eft a dire des fommes compofdbs de plufieurs ter- * mes partit connus, & partie inconnus, dont les vos font » eîgaux aux autres, ou plutoft qui confiderés tous enfem-.. ' ble font efgaux a rien, car ce fera fouuent le meilleur de les conliderer en cete forte, > j*': ► - ^ ‘WL. Aaa 2 Scachcs tr CorabiÉn *,, ^ il peut y Scacnes donc qu en chafque Equation, autant que JJSàçf* quantitéinconnueade diraenfions, autant peutily en chafq, auoir de diuerfes racines, c’eft a dire de valeurs de céte 1-quauô. quantité car par exemple fi on fuppofe*efgalea2; ou- bien i efgal a rien * & derechef * oo 3. oubien x — 3 ao ojen multipliant ces deux équations x — t 3o0, &.V-3 30o, J'vne par l'autre, on aura xx» fx-j-ô^o oubien xx 6, qui eft vue Equation en laquelle la quantité at vaut 2 & tout enfemble vaut 3. Que ft dere- i chcfon fait x — 4 no 0, & qu'on multipliecete fbmme par ËiuiTcs ra- nés font faufles, ou moindres que rien, comme fi on fuppofe que *defigne auTTy le defaut dVoé quantité quifoit y,ona x-j- y 30 0, qui eftant multipliée par Ni-9xx-h26x-~2^x>ofait -.f*