#4 — 42;* — igxx-b icéx— fzozoo pour vne équation en laquelle il y a quatre- racines, a fç auoir trois vrayes qui font it 3, 4,5c vne fauffe qui: eft y. -, • on peut ^ on vo*t euidemment de cccy, que la fbmme d'vne • ienombre c^uatioD’ Süi contient plufieurs racines peut toufiours des dî- e^rc diuifée par va binôme compofe de la quantité in- C^nnU®,inoins^a^eur^e^ vnct^es vraYes racines, la- quation quelle que ce foit- ou plus la valeur 3e l'vne dés fàufTés.- IVaToSi Au m°yea dc quoy ea diminue d'autant fes dimen- £ »d?c Et réciproquement que fi la femme dVneequatioo . £ d* - • Tl**- Côment on peot n Livre Troisième. 373 nepeuteftrcdiuiféeparvn binôme comjiofé de la quau- __ r titéinconnue^ ou*-- quelque autre quantité, cela tef- moigne que cete autre quantité n’eft la-valeur ë’aucune quantité de Tes racine$. Qommecetederniere - -cJJ3ya_ peut biencftre diuiféc, par x — 2., & par x « 3, & par ULlut' x — 4, & par x 4- 5; mais non point par x 4- où aucu- ne autrequantitc'. cequi monftre qu’élle ne peut auoir que les quatre racines £,3,4, & y.. ru »...On connoiftaufly de cccy combien il peut y auoir de Combicu- vraÿes racines, ôc combien de faufles en chafqucEqua- iuwrdt* tion. A fçauoir ily en peut auoir autant de vraies, que ^ lés fignes s’y trouuent de fois eftxe changes. &chafqu« autant de faufles qu'il s’y trouue de fois deux figues ou deux Agnes — qui s’entrefuiuentv Comme en la der- nière,a caufe qu’aprés 4-.1? 4 il ÿ a — 4** *,qui fcft vn chat*- gement du ligne -+- en *-,& apres — 19 xx ily a -4- lofiy, Dé plus il eft ayfètdé foire en Vfle méfinê Equation*. C6m«»î- que toutes les raçi^ç% qui éftoienfc faufles»,deuienent on fait vrayes, & par mefmempyenquetoutesceilesqui eftoiêt 2,uufl“ vrayes deuicnentfaulfes l ffç auoir en changeant tous Je s Agnes 4- ou — qui font qn la* fecpn.de, en la anation quatriefme, en la A^iefme. ^ ou.autres places qui fe deAgnent par les noipbrcfc pairs, fans changer ceux les vrayes de la premier*--, -de la troiAefme, de la cinquiefme uu cs‘ impairs- % •. < f A v 1 > w r ' 4* i à , impairs. Comme fi au lieu de ' *9^ • on a vne Equation en laquelle il n’y a qüVne vsaye ra- cine, qui èft y, &: trois faufles qui font 2, 5, & 4* 'Comcnt Que fi (ans conuoiftre la valeur de§ racines d'vne E- OD pcUC # - iiugmen- quation, on la veut augmenter, ou diminuer de Quelque minuer^1" connue, il ne faut qu’au lieu du terme inconnu les racines en fuppofer vn autre, quifoicpltw ou moins grand de ce- '■ te me fine quantité, &Ie fubftituer partout en là place du premier.
©ubieny » — iyy 1 y 4- 8 30 o. • où la vraye racine qui cftoit j eft maintenant S, a cauit du nombre trois qui luy eft aioufté.
Que fi on veut au contraire diminuer de trois la raci- ne de cete mefine Equation ^ il faut faire y -H 3 x>x. &cyy-i- 6 y -t* 920 xx. & amfi des autres de façon qu'au lieu de. 9, 10$ # — i20-30«' ^ on içct — 10 6y — 318 • «i — 110 t ' Et il eft a remarquer qu’en augmentant les vrayes ra- cines d’vne Equation, on diminue les faufles de la mef- tant les me quantitéj ou au contraire en diminuant les vrayes, on augmente les faufles. Et que li on diminue* foit les.vnes foit les autres, d’vne quantité qui leur foit ef&ale, elles f's.&aû deuienent nuHes, & que fi c'eft d’vne-quantite'qui les fur- contraire pafle, de vrayes elles deuienent faufles, ou de faufles ’ vrayes. Comme icy en augmentant de 3 la vraye racine quieftoit 3, on a diminué de 3 chafcune des faufles, çjr forte que celle qui eftoit 4 n’eft plus qu’ i, & celle <Jui cftoit 3 eft nulle, & celle qui eftoit x eft deuenue vraye & eft 1, a caufe que - 2 4- 3 fait 4- 1. c'eft pourquoy „ en cete Equation^ » - %yy — 17 4- 8 aooilny a plus que 3 racines, entre lefquellcs il y. eu a deux qui fopt vrayes, $y6 La GEOMETRIE.
i, &8, &vnefaufTequieftaafly i. &en cetê autre im k,i y 4 4- i5 y ’ -h 7r - 4 y -- 41^ 30 « il n’y en a qu’vné vrâye qui eft 2, a caufcque -f- y ~ $ fiât -h 2, &troisfauflé$ quifont y,'d, &7. ccmeaf Or par cere façon changer la valeur des racines ortc/îc Cms les connoîftre, on peut faire deuxchôfes,qui auront fécond Cy apr^s quelque vfage: la première eft qu’on pent toü- d vncE- Cours ofter le fécond terme de l’Equation qu’on exami- *}iuuon. ne^ a fçaU0I* r en diminuant les vrayes racines, de la quan- tité connue de ce fécond terme diuifée par le nombre des dimenfions du premier, C l’vn de ces deux termes eftantmarque'du figne-f-, l'autre eft marque du Cgntf—; oubien en l’augmentant de la meftne quantité', s’ils ont tous deux le Cgne •+-, ou tous deux le Cgnc —. Comme pour ofter le fécond terme de la demiere Equâtiô qui eft y - ■+■ l6y ’ -h ylyy — 4 y — 4 lo 30 0 4 v< J68 ^ — 4 15 ■* 420 3 $6 30 9.
ou la vraye racine qui eftoit 2, eft 6, a canfc qu’elle eft augmentée de 4; & les fâufles qui eftoient y, 5, &7,ne font plus que 1,2, 8c 3,, a caufe quelles font diminuées, chafcunede4.
Wt -hkaaZ?~ai Z~t- •1« '■KV te *-œtt •* & fi on trouue apres la valeur de ç, en luyadiooffant U*.
La fécondé choie, qui aura^y appes quelque vfâge, ot) p«« MCC ?eft, qu’on peut toufionrs en augmentant la valeur des fa,re<ïuc *t?qtt:‘ COU CCS vrayes racines, cTvne quantitequifoit plus grande qqe,cs£ju(rcs n’eft celle d’aucune des fàufles, faire qu’elles deuienent ”vmT * toutes vrayes.en forte qu’il n’y ait point deux fi eues -K Ecpaâo» quantité connue du troifiefme fertile foit plus grande, (*" v^yt* qnelequarrddclamoitie'de celle db fécond. Gar en- deuicncc core que cela fe face, lorfque ces fàufles racines font faulIcs‘ inconnues, ileftayfoneaumoiusdeiugera peu pfe de leur grandeur, & de prendre vne quantité', qui le$fur- paflfe d’autant, ou de plus j qu’il n’cftreqaiC a cet effedh Commefiona • - - u »:, ‘ ' *•>' Mi" vid * 'liwt dljklcîmA Bbb i...x* a •» y $.78 \ La Giomztrie.
- -■ a. • Ou il eft raatiifefte, que 704 nn, qui eft la quantité connue du troifielme terme eft plus grande, que le quar- re'de n, qui eft la moitiè'de telle du fécond. Et il n'y a point de cas, pour lequel la quantité, dont on augmen- te les vrayes racines, ait belom a cet effeâ:, d'eftre plu* grande, a proportion de celles qui font données, v que Cornent On fait que tou* tes les places d’vne E- [uation ioient pour cetuy cy.: Mais acaufe que le dernier terme s'y trouue nul, fi on, v. ne déliré pas que cela loi^il faut encore augmenter tant foit peu la valeur des racines j Et ce ne fçauroit eftre de fi peu, que ce ne foit afleiPonr cet efFe&. Non plus que lorfqu’on veut aperoiftre le nombre des dimenfions de cempkes. quelque Equation, & faire que toutes les places de lès termes foient remplies. Comme fi au lieu de x **** (, —6 ao 0, on veut auoir vue Equation, en laquelle la ..^quantirè'inconpire ait fir$menfions, & dont aucun des. termes ne foit nul, il faut premièrement pour * b*J*;3bo tir ~ h 7*»S®° . Ou ileft manifefte que tant petite que la quantité a foit :w fijppolèe Livre Troisiesme. $7> iuppôfée toutes les places de l'Equation ne IaifTent pat d'eftre remplies.
De plus on peut, fans connoiftre la valeur des vrayes Commet racines dvne Equation, les multiplier, ou diuiler tou* main- tes, par telle quantité connue qu’on veut. Ceqüi Te §îuYf«*c« en fuppofant que la quantité inconnue eftant multipliée, racine» oudiuifee, par celle qui doit multiplier, ou diuifèr les [J0n*n1^. racines, eft efgale a quelque autre. Puis multipliant, ou diuifant la quantité' connue du fécond terme, par cete raefme qui doit multiplier, ou diuifèrles racines; 8c par Ton quar ré, celle du troifiefme; 5c par fon cube, celle du quatriefme; 8c ainfi iufques an dernier. Ce qui peut fer- on°rTSk uirpourreduire a des nombres entiers Scrationaux, les1” *om* fractions, ou fouuent auffyles nombres fours, qui fè^Viww trou tient dans les termes des Equations. Comme fi on a E9“atio* 8c qu’on vèuille en auoir vne autre en fà place, dont tous les tèrmës s’expriment par des nombres rationauxj il faut fuppofer y æ * V 3, 8c multiplier par if 3 la quantité connue du fécond terme, qui eft aufly V ^, & par fon ^quarré qui eft 3 celle du troifiefrae qui eft |f, &par foi» cube qui eft 3 V~ \ celle du dernier, qui eft î|,ï,ce qui fait •r y~$x>o U, ii r ~ vyy » * k m Puis fi on eu Veut auoirencorë'vné autre eu la place de - _ celle cy, dont les quantités connues ne s'expriment que par des nombres entiers; il faut fuppofer z ao 3 y, 8c mul- tipliant 5 par 3, Y par 9, & f par 17 on çrouue * V -“9^^-+~^^-2430 0, où les ricin es eftant:ii:j,* 8c °n connoift de là que celtes dé l’autre d’auparauant t Bbb 2 eftoient SUi.îp.
Mt.
cftoient J, i, & f, &quc celles de la première eftoieot 3^ 3>t^ 3. & 3*. „ oifrTndh Oete °Pcrat‘on Peut aufly feruir pourrendre la quan- quantitc titccopnuë de quelqu'un des termes de l’Equatiô cigale d^iwn a quelque autre dounëe, comme fi ayant Equation On veut auoiren fa place vne autre Equation, eu laquel- c^ale a le la quantité connue, du terme qui occupe la troifiefrae qU*onUtrC placera fçauoir celle qui eft icy b bfoxt ]a a,\ 1 faut fuppo- Que les Au relie tant les vrayes racines quelesfaulïès ne font tant fra- pas toufiours réelles; mais quelquefois feulement irnagi- naifesj c’eft a dire qu’on peut bientoufiours en imaginer pcuucnc autant que iay dit en chafque Equation; mais qu'il n’y, a jC«rCQudr quelquefois aucune cpiantitd, qui correlponde a. celles imaginai- qu’on imagine, comme ënepre qu’on en puifle imagi- rcs- ncr trois en ccllb cy.v * - <s * * -k 1 3.v ~ 1 o 30 0, jj.. D’y- en a toutefois qu vne reelle, qui eft 2, & pour les deux autres, quoy.qu onJesaj^gmente.ou diminue, ou multi- +T.plie en la façon que ic viens d’e,\pliqucr, on ne fçaurok les rendreâücres qu'imaginaires. -j Larda- Or quand pour trouuer la conftruëlion de quelque Raaadfi's probîefme,on vient a vne Equation, eu laquelle la quan- cuDiqucs tite' inconnue a, trois, dimenfionsj, premièrement fi les prouicf- quantités connues, qui y font, çootienent quelques nombres rompus^ il les faut réduire a d’autres entiers, par la multiplication tantoft expliquée. Et s’ils encontie- ncntdefours il fapt aufTylesrcduire ad’autres ratio- naux, autant qu*il ferapoffible,taut par çete mcfme miOy jdJfi tiplication.
meeft plan Livre Troisisbme. tiplication* qué par diuers autres moyens, qui font a faciles a troüuer. Puis examinant par ordre toutes les quantités, qui peuuentdiuiferfimsfra&ion le dernier terme, il faut voir, fi quelqu'vne d’elles, iointc auec la quantitc'inconnuc' par le ligne -f- ou -, peutcompofer vn binôme, quidiuife toute lafomme } 8c fi cela elHe Problefme eft plan,. c’eft a dire il peut eftre conftruit ’ auec la reigle & de compas j Car oûbien la quantité connue de cebinofme eft la racine cherchée j oubien l’Equation eftantdiuifee par luy, fe reduift a deux di- menfions, en forte qu’on en peut trouuer apres la racine# par ce qui a elle' dit au premier liure.
Par exemple fi on a ^ ^ ledernier terme, qui eft 6/4, peut eftre diuife fans frat- étionpar 1, 2, 4, 8, lé, 32, & 6^-t C’eft pourquoy il Faut examiner par ordre fi cete Equation ne peut poinj: eftre diuifée par quelqu’vndes binômes, y y — 1 ou y y -f* 1 tyy — 2 ou y y -f* 2 %yy - 4 &c.&on trouue qu’eL - le peut l’eftre parj, y — 1 6, en cete forte.
•+* y 4 T fyy ♦ le commencepar le dernier ternie, & diuile — 64. par Jca — xé, ce qui fait -f- 4, que i’eferis dans le quotient, puis vncEqua- ie multiplie -f- 4 par -f-^y,ce qui fait.-h WiCjeft pour- 2o- / quoyi'efcris— <£y yen lafomme, qu’il font diuifer.car il y mc sni -, • O • Bbb 3 faut racine.
382 LA GEOMETRIE faut toujours efcrire le ligne H- ou — tout contraire a celuy queproduift la multiplication. & joignant — 124^ auec — 4.yy, iay— 1 z 8 yy, queiediuife derechef par — 16, & iay -H 8^, pour mettre dans le quotient & en le mul- tipliant par \yjay -- 8 y 4,pour joindre auec le terme qu’il faut diuifer, qui eftauflÿ — 8^4, & ces deux enfemble fout— \6y 4, que ie diuife par — 16, ce qui fait -f-i y* pour le quotient, & — xy <5pourioindreauec-+-i^f, cc- ( ' qui fait 0, &monftre que ladiuifion eft achcuefe. Mais s’il eftoit refte quelque quantité, oubien qu'on n’cuft pû diuifer fans fraction quelquVn des termes precedens, on euft par la reconnu, quelle ne pouuoit eftre faite.
':!> ' -J* < . 1 cc T * —mme* te dernier terme fe peut diuifer fans fra&ion par *• «a, 4- rr, a* H- tfrr,&femblables. Mais il n'y en a que deux qu’on ait befoin de confiderer, a fçauoir aa 8c m 4- U -, car les autres donnant plus ou moins de dimen- fions dans le quotient, qu’il n*y en a en la quantité con- nue du penultiefme terme, empefeheroient que la diui- fion ne s'y pûft faire. Et notés, que ie ne conte icy les dimenfions d'j' que pour trois, acaufe qu*il uy a point d\y%nyd'^’, nyd’^ en toute la fomme. Or en exami- * nant le binéme^y — aa—cc 30 o,on trouue que la diuifion ie peur faire par luy en cete forte.
Ht lapreuue en eft ayféea faire parla multiplication.
Mais lorfquonne trouue aucun binôme, qui puiflc Qsel* ainfi diuilèr toute lafbinme de l’Equation propofc'e, il mes fo« èft certain que IeProblefme qui en dépend eft folide. Et ce n'eft'pas vne moindre faute après cela, de tafeher a le l’Equa-' conftruire fans y employer que des cercles & des lignes « droites, que ce feroit d'employer des féétions coniques f conftruire ceux aufqucls on n’a befoin que de cercles, car enfin tout ce qui tefmoigne quelque ignorance s ap- pelé faute.
Que fi on a vne Equation dont la quantité inconnue u rcdir ait quatre dimenfions, il faut en mefrae façon, apres en ftîo» des auoiroftc'lcs nombres (buts, & rompus, s'ily en a, voir fi qui on pourra trouuer quelque binôme, qui diuife toute la ont^ua- Fomme,enlecompofantdervnedes quantités, qui di-*"^fions> uifent (ans fraétion le dernier terme. Et fi on en trouue,or^,ucef lc vn, oubien la quantité connue de ce bindme elt laracine me cft cherchée; on du moins apres cete diuîfiôn, il ne refte en l'Equation, que trois dimenfions, en fuite dequoy il ceux oui faut derechef l’examiner en la mefine forte. Mais Jorf- ^ oü" qu’il ne fe trouue point de rel binôme, *1 faut en au- gmentant, ou diminuant la valeur de laracine, oftérle fécond terme de la fomme, en la façon tantoft expli- quée. Et après la réduire a vne autre, qui ne contie- ne que trois dimenfions. dequi fe fait eh «etc forte.
Au lieu de -h.v 4 *.pxx. qx. r Àj,".
•eu H- p en la precedente Equation, il faut mettre encel- lecy H- 2p, ou s’il y a eu - />, il faut mettre — 2 p. & au contraire s’ily a eu -f- r, il faut mettre — 4 r, ou s'il y a eu — r, il faut mettre -f- 4 r. & (oit qu’il y ait eu q, ou •■q, il faut toufiours mettre — qq,ôc -h pp. au moins fi onfuppofe que.v4, & y 6 font marqués du lignes -f-, car ce feroit tout le contraire fi on y fuppofoit b fi.
^ gne — Par exemple fi on a-f- x ♦* — 4**— x -H jy no* il faut eferire en fon lieuy 4 ~ 8y 4 — u+iy— $430*. car .la quantité" que iay, nommée p eftant — 4, il faut mettre -;8y4pour*^y4. & celle, que iay nommée r eftant jy, il fout mettre *î*0yy, c'eft a. dire - 114 yy, au lieu de * îîjjy* & enfin y eftant 8, il faut mettre —64, pour — qq., Car î4cft double de 17, & 313 en cft le quarré iQintau quadruple de 6, & 400 eft le quarrd de 10.
Tout de mefmeaufly au lieu de II faut eferire : 4< «« *• 1 te jOTgAZ r.
— Apres que l’Equation eft ainfi réduite a trois dimen- fions, il faut chercher Ja valeur d yy par la méthode défia •explique^ Et fi celle ne peut eftre trouuée, on n’a point J befoin f Livre TkfcrsiESME. j&ÿ befoin de paflèr outre } car il fuit de là infàîliblemenr, que le problefme eft folide. Mais fi on la trouue, on peut diuifèr par Ton moyen U precedente Equation en •deux autres, en chafcime defquelles la quantité' incon- nue n'aura que deux dirtienfions, & dont les racines fe- ront les mefmes que les fienes. A fçauôir, au lieu de H-* x. p x X. g x • r 30ç, « il faut eferire ces deux autres ?
vin Et pour les lignes -h & — que iay omis., s’il y a ■+* p en l'Equation précédente, il faut mettre enchafçune mettre 4~;encellcoùilya—y*;&--^;, en celle où il y a -by-x* lorfqu ’il y a 4- q en la première. Et au con* traire s*ilya — y, il faut mettre — ^, en celle où il y a — y X; & -+-^,enceiIeoiHlya -byx. En faite deqüoy il eftayfë de connoiflrc toutes les racines de l’Equation •propose, & par confèquent de conftruire le problefme* dont elle contient la folution, fans y employer que des cercles, & des lignes droites.
Par exemple a caufc que fai fant * ûe Ccc A autres ïr 38 s La Géométrie.
tirant les racines de ces deux Equations,, on trouue tou- tes les mefmes i que fi on les tiroit de celle où eft x*, a fçauoiï dn en trouue vnevraye, qui eft V q -+- 2, & trois fauflès, qui font /7~2, iH- ^ 2, &2- ^2.
tait 7. Et poureequ on ne trouue aucune racine, ny vraye, nyfaufle,en ces deux dernieres Equations * on connoiftdelà que les quatre de l'Equation dont elfés procèdent font imaginaires; & quç le Froblefme, pour lequel on l’a trouuée,. eft plan de fa nature. mais qu'il ne fçauroit en aucune Façon eftreconftruit,acaufè que les quantité^ données ne peuuehtfe joindre.
oubicn J V aa -hcc — ^ ~£aa-{- £ cc -4- \aY aa-hcc. Et pourceque nous auions fait cy deflus %-h \ a x>x, nous apprêtions que la quantité*, pour la connoifTancc de laquelle nous auons fait toutes ces operations, ell Exemple de l'vuge de ces ré- ductions.
Maisaffin qu’on puiffe mieux conqoiftre 1 vtilite de cete reigle il faut que ie l’applique a quelq; Problefœe.
Si le quarré A D, & la ligne B N eftant donnes, il faut prolonger le colle’ A C iulques à E, en forte qa E F, tirée d’E vers B, foit efgale a NB. On apprent de Pappus, qu’ayant premièrement prolongé B D iüfques à G, en forte que D G foit efgale à D.N, & ayant deferit vn cer- cle dont le diamètre foit B G, fi on prolonge la ligne droite AC, elle rencontrera la circonférence de ce cer- cle au point E, qu’on demandoit. Mais pour ceux qui ne fçauroiët point cete côftru&ion «file feroit affiis difficile à rencôtrer,& en la cherchât par la méthode icy propo- se, ils ne s’auiferoiêt iamais de prêdre D G pour la quâ- tité inconnue, maisplutoft CF, ou F D » a caulè que cc »., Ccc 2 font jâ8 ^ La GEOMETRIE, font elles qui conduifent le plus ayfement a l'Equatio; & lors ils en trouüeroiët vne qui né feroit pas facile ajdeme- ilér, fans la rcigte que ie viens d’expliquer. Carpofimta pour B"D ouCD,&f pour EF,&*pourDF, on a CF 30 a & côme C F oU <r~ *,eft àF E ou r,ainfi F D ou x, % ex > hiy de labaze, qui eft — —; —,de façon que mulri- pliant le tout par xx—zax-ir aa, on trouue que l’E- quation eftx* — zaxl-i-zaaxx~ za* x-h a*70cc xx, connoift par les reigles precedentes, que fa racine, qui eft la longeur de la ligne D F, eft «x a *+- V^aa+^cc . Que fi on pofoit B F, ou C E, ou B E pour la quantité inconnue,, on viendrait derechefà vnfc Equation, en la- quelle il y aurait 4 dimenfions, mais qui feroit plus ayfëe a de'mdlcr, & on y viendrait aflVs ayfement; au lieu que ii c’eftoit D G qü on fiippofaft on viendrait béancoüp plus difficilement a l'Equation, mais aüfly elle forait très- firapk. Ceque ie mets icy pour vous auertir, que lorf- que le Problefme propofe n’eft point folide» fi en le cher- chant parvn chemin on vient avne Equation fort cota- pof«eronpeut ordinairement venir a'vne plus firnpîe, crf le cherchant parvn autre. - * le pourrais encore aioufter diuerfes reigles pour dé- mefier les Equations, qui vont au Cube, ou an Quatre iafii ’ > i.oi). « rie de quarrd, mais elles feroient fcperftocs j car lorfque les. Problefmcs fout plans, on en peut toujours trouuer la eonftruélion par celles cy, le pourrois aulTy en adioufter d’autres pour les Equa- Rcgîc rions qui montent iniques au furfolide, ou au Quarré de cube, ou au delà, mais i'ayme mieux les comprendre «luire 1rs- toutes en vne, & dire en general, que lorfqu’on atafehef s de les réduire a mefme forme, que celles d’autant de di- ^ menfions,quivienent delà multiplication de deux an- C très qui en ont moins, & qu’ayant dénombré tousjes. moyens, par lefquels cete multiplication cft poflïble, la choie n’a pû fucceder par aueun, on doit s’aflurer qu'el- les ne fçauroient eftre réduites a de pins fimples. En for- te que li la quantité inconnue a 3 on 4dknenfions,le Pro- blefme pour lequel on la cherche eft folide,- & fi elle en a 5,on d,il eft d’vn degré plus compofd; & ainfi des autres» Au relie i’ay omis icy les demonftrations de la plus A part de ce que iay dit a caufe quelles m’ont lèrriblé fi fâ- ciles, que pourvûque vous preniés la peine d'examiner méthodiquement fi iay failly,elles fe prefenteront a vous d’elles mefme: & il fera plus vtile de les apprendre en ce- te façon, qu'èn les lilànt.
Or quand on eft allure', que le Problefiqe propofé eft folide, fort que l’Equation par laquelle on le cherche pourcon- monte au quarre de quarre, loïc qu elle ne monte que tous |cs hifques au cube, on peut toufiours en trouuer la racine Probl^ par l’vne des trois ferions coniques, laquelle que ce fpit <jcs. «- ou mefme par quelque partie de l' vne d’elles, tant petite du,tsEa' qu'elle puifle eftrej en ne fe feruât au relie que de lignes quattf. do droites,&:de cercles. Mais iemc contenteray icy de .,.. Ccc t- donuer-menfions.
iVrç/W. * donner vne reigle generale pour les trouner contes par le r moyen d'vue Parabole, a caufc qu'elle ellen quelque fa- çon la plus fimple. - Premièrement il faut ofter le fécond terme de l’Equa- tion propofee, s’il n’eft défia nul, & ainfi la réduire à tel- le forme, ^ ’ ao *. a p ^. a aq, fi la quantité' inconnue n’a que trois dimenfionsj oubien à telle, ao *. aaq * * d>r,fi elle en a quatre;oubien en prenant* poarj’vnité à telle, ç ’ ao *. p qt & à telle îï- * • • - d> - * jji — ï * 4 Livre TroMïESME. $srt Apr«celafuppolàntqueIa Parabole F AG eft défia rfefcrite, & que Ion aiffieu eft A C D K L, & que Ibn co-. fte/ droit eft a, ou i, dont A C eft la moitié, & enfin que le point C eft au dedans de cete Parabole, & que A en eft.* le (ommetj 11 faut faire CD» ~pt & la prendre du met me cofté, qu’elt le point A au regard du point C, s’il y a -H p en l’Equationj mais s’il y a — p il faut la prendre de l’autre cofte. Èt du point D, oubien, fi. la quantité peftoit nulle, du point C il faut efleuer vne ligne a an- gles droits iniques a E, cn quelle loit efgale a 5^.
Et enfin dû centre faut defcrire le cercle F G, dont '• Je.
ledemidiametre foit AE, fi l'Equation n’eft que cubique, en forte que la quanti- té’ r foit nulle. Mais quand il y a -h r il fout dans cete ligne A E prolongée, pren- dre d'vn colté A R efgale à r, & de 1 autre AS efgale au coftd droit de la Parabole qui eft i, & ayantde- forit vn cercle dont le diamètre foit R S, il faut faire A H perpêdiculaire fur A E, laquelle A H rencontre ce cer- cle R H S au point . H, qui eft celuypar où l’autre cercle F H G doit palier* Et quand ily a -r ' il faut après auoir ainfi trou uc la ligne A H, inferire A I, qui luy fbitelgale,* dans vn autre cer^ , dont A E foit le diamètre,■ 6c lors te point F,’ * qne / •que doitpafler F I G le premier cercle cherche'. • Or ce cercle F G peuctoupper, ou toucher la Parabole en i, • ou 2, ou 3, ou 4 poius, defquels tirant des perpendiculai- res fur laiflieu, ou a toutes les racines de l'Equation tant vrayes, que faufles. A fçauoir fi la quantité ÿ ell marquce du ligne -+-, les vrayeyacines feront celles de ces per- pendiculaires, qui fe trpuucront du mefme collé delà parabole, que E le centre du cercle, comme F L; & les autres, comme G K, feront faufles: Mais au contraire fi cete quantité <7 ell marquée du ligne — les vrayes feront ctl les de l’aqtre collé; & les faufles, ou moindres que rien feront du coftc'ou eft E le centre du cercle. Eten- fin fi cecercle ne couppe.ny ne touclie la Parabole en au- cun point, cela tefmoigne qu'il n’y a aucune racine ny vraye nyfaufle en FEquation, & qo'elles font toutes imaginaires. En forte que cete reigle ell la plrfs genera- le, & la plus accomplie qu’il foit poflîble de fou- haiter.