traverfant eft V 4 m m — Excepté quand 0 x eft nulle -, car alors le c<' té droit eft ”, & le traver&nteft fti, 5« La GeOMîTRIB i»: & ainfi il eft aifé de la trouver paf le troifiéme Problème du premier Li- vre d’Apollomus.
Démon- ^ ^cs démonftrarions de tout cecy ftration f°nr évidentes; car compofant un efpa- «le tout ce ce des quantitez que j ay aflignées pour qui vient Je côté droit, & le traverfant, & pour pli uV** ^ kgment du diamètre N L, ou O P, *>1<^ C‘ fuivant la teneur de l’n, du 12, & du J 3 Théorèmes du prenver Livre d’A- pollonius, on trouvera tous les mêmes termes dont eft compofé le quatre de la ligne C P, ou CL, qui eft appli- quée par ordre à ce diamètre. Comme en cet exemple ôtant 1 M, qui eft H- +, & cecy étanp multiplié par S_V 0 0 + mp 3 qui eft le côté droit de la figure, il vient yv tr* • / » • h- -+-2 mm: pour le re&angle, duquel il faut ôter un efpace qui foie B F. M. DE S CARTES. 51 au quarré de N L comme le côté droit eft au traverfant, & ce quarré de N L Z z pzz pzz 1 P X P P Z Z y o o ■+■ qu’il faut divifer par a a m & multiplier par p:^7, à caufe que ces termes expliquent la proportion qui eft entre le côté traverfant & le droit; o o m om -, i o »• p 1 ce qu’il faut ôter du reétangle prccep m pour le quarré de CL, qui par corfe- quenteft une ligne appliquée par o-.dre dans une Ellipfc, ou dans un cercle, au fegment du diamètre N L.
Et Ci on veut expliquer toutes les quantitez données par nombres, eu faifant par exemple EA^oj, A G Do 5, ABdoBR,BS *iBE, GBdoBT, CDdo|CR,CF ^oaCS^CHDOy C T, & que l’angle A B R (oir de 60 degrez; & enfin que le reétang’ e des deux C B, &c C F, foit égal au uûaa- 5i LaGeombtrii gle des deux autres C D & C H i car il faut avoir toutes ces choies afin que la queftion foit enfin déterminée, & avec cela fuppofant AB 3o*v, & C B 30 y, on trouve par la façon cy-defl'us expli- quée, y y %> xy — x y >4- 5 x — xx 5c Æ' lUIUMMUil»*)*"** P/*" étoit tantôt nommée £ eft r, celle qui étoit a eft V -i» cc^c (îu* étoit »» eft 1, celle qui étoit 0 eft 4, & celle qui étoic Digitized byjGoogle DE M, Desêartes. 55 p ed -, de façon qu’on a V pour I M, & y pour N M, & parce que a dm qui eft i eft icy égal à p &c que l’angle I L C eft droit., on trouve que la ligne courbe NC eft un cercle, te on peut facilement examiner tous les autres cas en même forte.
Au refte à caufe que les équations, Quel* qui ne montent que jufques au quarté, fonTiëi font routes comprifes en ce que je viens lieux d’expliquer i non feulement le Problè- P*anî • & me des anciens en trois & quatre lignes eft icy entièrement achevé; mais auffi dc tout ce qui appartient à ce qu’ils nom- trouver, moient la compofition des lieux fol ides j & par confequenr auffi à celle des lieux {dans, à caufe qu’ils font compris dans es folidcs. Car ces lieux ne font autre chofe, finon que lors qu’il eft queftion de trouver quelque point auquel il man- que une condition pour erre entière- * ment déterminé, ainfi qu’il arrive en cet exemple, tous les points d’une mê- me ligne peuvent être pris pour ccluy qui eft demandé. Et fi cette ligne eft droite ou circulaire, on la nomme un lieu plan. Mais fi c’eft une parabole, ou une hyperbole, ou une ellipfe, on la nomme un lieu folide. Et toutefois C iij 54 La Geomitris & quante^que cela eft, on peut venil à une équation qui contient deux quan- titez inconnues, & eft pareille à quel- qu’une de celles que je viens de rélou- drc. Que fi la ligne qui détermine ainfi le point cherché, eft d’un degré plus compofée que les feétions coniques, on la peut nommer, en meme façon, un lieu furfolide, & ainfi des autres. Et s’il manque deux conditions à la détermi- nation de ce po nt, le lieu où il fe trou- ve eft une fuperficie, laquelle peur être tout de même ou plate, ou fpherique, ou plus compofée. Mais le plus haut but qu’ayent eu les anciens en cette matière a été de parvenir à la compofition des lieux folides: 8c il fcmblc que tour ce , qu’Apollonius a écrit des ferions coniques n’a été qu’à deffein de la cher- cher.
Quelle eft j}e p|u$ on vojc ]Cy qUe ce qllC j’ay e &ClT'C Pr‘s Pour Prem'cr genre des lignes plus fim- -courbes, n’en peut comprendre aucu- plc de nés autres que le cercle, la parabole, l’hy- toutes les perbole & 1’ellipfe, qui eft tout ce que j’avois entrepris de prouver.
Cui fer- *'Qu? 6 k queftion des anciens eft ▼ent en la propofée en cinq lignes, qui foient tou- «picftion tes parallèles, il eft évident que le point NtpxjÇft de M. Descartes. jj cherché fera toujours en une ligne droi- an- te. Mais lî elle eft propoféc en cinq li- ciens gnes, dont il y en ait quatre qui foient?ua^dc|)" parallèles, & que la cinquième les coup- pe à angles droits, 8c même que toutes çinq les lignes tirées du point cherché les gnc6, rencontrent aufli à angles droits, 8c en- fin que le parallelepipede compofé de trois des lignes ainfi tirées fur trois de celles qui font parallèles, foit égal an parallelepipede compofé des deux lignes tirées l’une fur la quatrième de celles qui font parallèles, 8c l’autre fur celle qui les coupe à angles droits, 8c d’une troifiéme ligne donnée, ce qui eft ce femblc le plus fimple cas qu’on puifle imaginer après le precedent; le point cherché fera en la ligne courbe, qui eft décrite par le mouvement d’une para- bole en la façon.cy-deffiis expliquée.
Soient par exemple les lignes cher- chées AB,IH,ED,GF,&GA, & • qu’on demande le point C, en forte que tirant CB, CF,CD,CH, &CM à angles droits fur les données, le paral- lelepipede des trois CF, C D, 8c C H foit égal à celuy des deux autres C B, & l ‘Il 5 S La GioMîtrii \ /; j.
V j \ 1 l.4=] < 0 n V * - Â* “■’î f - ESSE mm / parl’aiitrë, j’ay V — iayi — **y •+■ 2 43 égal au produit des trois autres qui eft axy. Après cela je confidere la li- gne courbe C E G, que j’imagine être décrite par l’interfe&ion de la Parabole Ç K N j qu’on fait mouvoir en telle forde M. Descartes. 57 fe que Ton diamenc K L eft toujours fur Ja ligne droite A B, & de la réglé G L qui tourne cependant autour du point G en telle forte qu’elle pafl'c tou- jours dans le plan de cette Parabole par le point L. Et je fais KL y> a, 8c le côté droit principal, c’eft à dire celuy qui fe rapporte a l’aifficu de cette pa- rabole, aufll égal à4,&GA,3oi*, & C B ou M A yo y, & CM ou AB Do x. Puis à caufe très triangles fembla- blcs G M C & CBL, GM qui eft la — ^,eftà MC qui eft x, comme C B qui eft y, eft à B L qui eft par cônfequent Et parce L K eft 4, B K eft 4 =*L, ou bien Lif Et 1 — y r n y enfin parce que ce même B K étant un fegment du diamètre de la Parabole, eft à B C qui luy eft appliquée par or- dre, comme celle-cy eft au côté droit qui eft a, fe calcul montre que y 3 — myy — 4 a y 1 4*, eft égal à a x y, & par confequcnt que le point C eft celuy qui étoit demandé. Et il peut être pris en tel endroit de la ligne C E G qu’on veuille choifir, ou aulfienfon adjointe e E G c qui fe décrit en même façon t C v 58 La GEOMETRIE excepté que le Commet de la parabole eft tourné vers l’autre côté, ou enfin en leurs contrepofées N I o, n I O, qui (ont décrites par l’interleétion que fait la ligne G L en l’autre côté de la p bole K N.
paraparat»eM- Descartes. 5$ les lignes nrées du point C vers elles y ce point C ne laifleroic pas defe trou- ver toujours en une ligne courbe, qui feroit de cette même nature. Et il s'y peut auffi trouver quelquefois, encore qu’aucune des lignes données ne foient parallèles. Mais fi lorfqu’il y en a qua- tre ainfi parallèles, & une cinquième qui les traverfe: &c que le parallelepipede de trois des lignes tirées du point cher- ché, l’une fur cette cinquième, & les deux autres fur deux de celles qui f, nt parallèles; foit égal à celuy, des deux fîrées fur les deux autres parallèles, & d’une autre ligne donnée. Ce point cherché efï en une ligne courbe d’une autre nature, à fçavoir en une qui eft telle, que toutes les lignes droites ap- pliquées par ordre à Ion diamètre étant égales à celles d’une fe&ion conique, les fegmens de ce diamètre, qui font entre le fommet & ces lignes, ont mê-r me proportion à une certaine ligne don- née, que cette ligne donnée a aux feg- mens du diamètre de la fe&ion conique, aufquels les pareilles lignes font appli- quées par ordre. Et je ne fçaurois vé- ritablement dire que cette ligne foit moins fimple que la precedente, laquel- Cvj Cvj La Geometrie le j’ay ciu toutefois devoir prendre pour la première, à eaufe que la defeription & le calcul en font en quelque façon plus faciles.
Pour les lignes qui fervent aux au- tres cas, je ne m’arrêteray point à les diftinguer pat efpeces, car je n ay pas entrepris de dire tout; &c ayant explique la façon de trouver une infinité de points par où elles paflent, je penfe avoir aflez donné le moyen de les décrire.
O.elles Meme 11 eft à ProPos de remarCIuer » foncTcs qu’il y a grande différence entre cette lignes façon de trouver plufieurs points pour courbes tracer line ligne courbe, & celle dont qu on dé- on fe ferr pour ia ppiralc } & fes fcmblatrouvant blés, car par cette derniere on ne trouve plufieurs pas indifféremment tous les points de la de leurs Jjgne qu’on cherche, mais feulement points, ceux qUj. peuvent être déterminez par ▼enc^trc quelque mefure plus fimple, que celle icceucîs qui eft requife pour la compoler, &C en Geo- ain(J à proprement parler on ne trouve pas un de fes points -, c’eft à dire pas un de ceux qui luy font tellement pro- pres, qu’ils ne puiffent etre trouvez que par elle: Au lieu qu’il n’y a aucun point dans les lignes qui fervent a la queftion propofée j qui ce. fe puifîe rencontrer de M. Descar. t a s. 6t entre ceux qui fe déterminent par la façon tantôt expliquée. Et parce que cette façon de tracer une ligne courbe, en trouvant indifféremment plufîcurs de fes points, ne s’étend qu’à celles qui peuvent auiH être décrites par un- mouvement régulier & continu, on rre ✓ la doit pas entièrement rejetter de la Geometrie.
Et on n’en doit pas rejetter non plus Qudiai celle où on fe fert d’un fil, ou d’une font aufE corde repliée, pour déterminer l’éga- celle» Iité ou la différence de deux ou plufieurs ^u.on lignes droites qui peuvent ette tirces unc cor_ de chaque point de la courbe qu’on dt, qu» cherche à certains autres points, ou fur peuvent certaines autres lignes à certains an-yéircre* gles, ainfi que nous avons fait en la ’ Dioptrique pour expliquer l’ellïpfe & Fhyperbole: car encore qu’on n’y puifTe recevoir aucunes lignes- qui femblent à des cordes, c’eft à dire qui deviennent tantôt droites 2c tantôt courbes, àcau- fe que la proporrion qui eft entre les droites & les courbes n’étant pas con- nue, & même je croy ne l'e pouvant être par les hommes, on ne pourroit rien conclure de là qui fut exAQ 8c afluré. Toutefois à caufc qu’on ne fi: (Si La GEOMETRIE fert de cordes en ces conftruétions, que pour déterminer des lignes droites, dont on connoît parfaitement la lon- gueur, cela ne doit point faire qu’on les rejette.
Que pour Or ce*a **eu^ qu,°n fçait k rapport, trouver qu’ont tous les points d’une ligne cour- touics les be à tous ceux d’une ligne droite, en proprie- ]a faç0n qUe j’ay expliquée > il eft aifé eiks CS ' trouver au® Ie rapport qu’ils ont à courbes, tol,s lcs autres points & lignes données: il lufSt de & enfuite de connoître les diamètres fçavoir le les aiflîeux, les centres, & autres li- cm’on” £ncs oa P°'nts a «chaque ligne cour- tous leurs ‘3e aura quelque rapport plus particit- points à lier ou plus Ample qu’aux autres: &C ceux des ainfi d’imaginer divers moyens pour les droites & c^cr‘re » & d’en choifir les plus faciles, la façon ^t m^me on Peut auflî Par Cela feul de tirer trouver quafi tout ce qui peut être dé- d'autres terminé touchant la grandeur de l’efpa- lef c” CC cîu,c^es comprennent, fans qu’il foie pcnt'cif" ^ef°in que j’en donne plus d’ouverture, tous ces Et eufîn pour ce qui eft de toutes les points à autres proprietez qu’on peut attribuer angles, aux lignes courbes, elles ne dépendent «ous. qlic ja grancieur des angles qu’elles font avec quelques autres lignes. Mais lorfqu’on peut tirer des lignes droites -Bigitized by Googl -Bigitized by Googl DH M. Discart^. 6$ qui les couppent à angles droits, aux points où elles font rencontrées par celles avec qui elles font les angles qu'on veut mefurer, ou ce que je prens icy pour le même, qui couppent leurs con- tingentes; la grandeur de ces angles n’eft pas plus mal-aiféeà trouver, que s’ils étoient compris entre deux lignes droi- tes. C’eft pourquoy je croiray avoir mis icy tout ce qui eft requis pour les cle- mens des lignes courbes, lorfque j’au- ray generalement donné la façon de ti- rer des lignes droites, qui tombent à angles droits fur tels de leurs points qu’on voudra choifir. Et j’ofe dire que c’eft cecy le Problème le plus utile, 6c le plus general non feulement que je fçache, mais même que j’aye jamais de - firé de fçavoir en Geometrie.
F A M P Çr Soit C E la ligne courbe, & qu’il fail- Façon le tirer une ligne droite par le point C, gc‘>eralc qui failè avec elle des angles droits. Je“j^rvcr des lignes droiccs, qui coup, pent les courbes données, - ou leurs contin- gentes, à angles droits.
<?4 Ia GeomitRië fuppofe la chofc déjà faite, & que la li- gne cherchée eft CP, laquelle je pro- longe jufques au point P, où elle ren- contre la ligne droite G A, que je fup- pofe être celle aux points de laquelle on rapporte tous ceux de la ligne C E: en forte que faifant MA ou CB Do y,Ôc C M, ou B A 3o x, j’ay quelque équa- tion, qui explique le rapport, qui eft entre x Ôc y. Puis je fais PC Do r, Sc P A Do ^ > ou P M Do v — y, & à cau- fedu triangle reétangle P M C j’ay s s% qui eft le quarré de la bafe égal à x x vv — iv y -y- yj, qui font les quar* rez des deux cotez \ c’eft à dire j’ay x y) y s s- — vv -y- z v y. — y y, ou bien yy>v~y-yss^-~xx, & par le moyen de certc équation, j’ôte de l'au- tre équation qui m’explique le rapport qu’ont tousdes points de la courbe C E à ceux de la droite O1 A, l’une des deux quanritez indéterminées x ou y, ce qui eft aile à faite en mettant par tout y s s — vv -y- xv y — yy au lieu tfx, Ôc le quarté de cette fomme au lieu <$’*• *■, & fon enbe au lien d’x*, Sc ainfi des autres, fi c’eft x que je veuille ôter} en bien.fi ce {ty, en mettant en fon lien cube, &c. de certe fomme, au lieu d 'yy> ou y 5 &c. De façon qu’il refte toujour* après cela une équation, en laquelle il n’y a plus qu’une feule quantité indé- terminée, x ou y.
i Comme fi CE efl: une Ellipfe, & >qne M A foit le fegment de fon diamè- tre, auquel C M foit appliquée par or- dre, & qui ait r pour fon côté droit, & ej pour le rraverfant, on a par le ij theor. du r. liv. d’Apollonius, x x ¥> ry -y J j d’où ôtant xx, il refte ou bien y y — égal à rien j car il eft mieux en cet enr droit de confiderer ainfî enfemble tou- te la fomme, que d’en faire une partie égale à l’autre.
Tout de même fi CE eft la ligne 44 La Géométrie courbe décrue par le mouvement d’une Parabole en la façon cy-defliis expli- quée, Sc qu’on ait pofé b pour GA, c pour K L, & d pour le côté droit du diamètre K L en la parabole: l’équ tioa -t-iv y — y y, & remettant en ordre ces termes par le moyen delà multiplication, — i c d'y 7J — dd s if dd v vJ Même encore que les points de la ligne courbe ne fe rapportaftênt pas en la façon que jray dite à ceux d’une li- gne droite, mais en toute autre qu’on fçauroit imaginer, on ne laide pas de pouvoir toujours avoir une telle équa- tion. Comme fi CE eft une ligne, qui ait tel rapport aux trois points F, G, 8c A, que les lignes droites tirées de chacun de fes points comme C, jufque» au point F, furpadênt la ligne F A d’u- ne quantité qui ait certaine proportion donnée à une autre quantité dont G A furpade les lignes tirées des mêmes points jufques à G. Faifons G A y> b, A F jo c, 8c prenant à diferetion le point C dans la courbe, que la quanti- té dont C F furpade F A, foit à celle dont G A furpade G C, comme d à e, çn forte que fi cette quantité qui eft int €% La GEOMETRIE déterminée fe nomme ^,FCeftf + ^t t i tft ~,zxh — yy puis ôtant le quarré de F M du quarté de F C, on a encore le quarre de C M en d’autres termes, à fçavoir ^,7 te a — icy — y y, 8c ces termes étant égaux aux precedens, ils font connoître y, ou MA qui eft *T Ta 8c fubftituant cette fomme au lieu d’y dans le quat re de C M, on trouve qu’il s’exprime en ces termes: bdazz -4- ceezz -4- î beddz — ibrdez, •Dtgitized t>ïM. Discarti!. €f lieu d’y fubftitué la fomme qui luy eft égale, il vient ^±4 ~ 1 tiïlZ que nous cherchions.
Or après quon a trouvé une telle équation, au lieu de s’en fervir pour connoître les quantitez X ou y ou t, qui font déjà données, puifque le point C eft donné, on la doit employer à trouver v ou s, qui déterminent le point P, qui eft demandé. Et à cet ef- fet il faut confiderer que fi ce point P eft tel qu’on le defire, le cercle dont il fera le centre, & qui palïèra par le point C, y touchera la ligne courbe C E, fans la coupper: mais que fi ee point P, eft tant (oit péu plus proche ou plus éloigné du point A, qu’il ne doit, ce cercle coupera la courbe, non feulement au point C, mais auffi necefi. fairement en quelque autre. Puis il faut auflî confiderer que lorfque ce cercle couppe la ligne courbe C E, l’équation par laquelle on cherche la quantité x ou y, ou quelque autre femblable, en fupr pofant P A & P C être connues > cpn- 73 La Geomeui! tient neceflairement deux racines qui font inégales. Car par exemple fi ce cercle couppe la courbe aux points C & E, ayant tiré E Q. parallèle à C M, les noms des quantitez indéterminées * 6c y, conviendront auflï bien aux li- gnes E Q^, & Q_A, qu a C M, & M A; puis PE dl égale à PC, à caufe du cercle, fi bien que cherchant les lignes E QJk Q_A, par P E & P A qu’on fup- pofe comme données, on aura la même équation, que fi on chcrchoit CMK MA par PC, P A; d’où il fuit évi- demment que la valeur d'x ou d’y, ou de telle autre quantité qu’on aura fjp- pofée, fera double en cette équatio i, c'eft à dire qu’il y aura deux racines / inégales entre el’es -, & donc l’une fera CM, l’autre E Q^, fi c’eft a: qu’on cherche -, on bien l’une fera M A, 8c l’autre QJV, fi c'eft y, & ainfi des au- tres. Il eft vray que fi le point E ne fe trouve pas du même côté de la courbe que le point C » il n’y aura que l’une de ces deux racines qui foit vraye, & l’autre fera renverfée ou moindre que rien: mais plus ces deux points C & E font proches l’un de 1 autre, moins il y a de différence entre ces deux racines •, & enfin elles font entièrement égales, s’ils font tous deux joints en un; c’eft à dire fi le cercle qui paffe pat C, y louche la courbe C E fans la couper.
De plus, il faut confiderer que lorf- qu’il y a deux racines égales en une équation, elle a neceftairement la mê- me forme que fi on multiplie par foy- m&ne la quantité qu’on y fuppofe être inconnue moins la quantité connue qui luy eft égale, &c qu’aprés cela fi. cette dernière fomme n’a pas tant de dimen- fions que la precedente, on la multi- plie par une autre fomme qui en ait autant qu’il luy en manque, afin qu’il puifiê y avoir fcparcment équation en- tre chacun 4cs termes de l’une, & fi La Giomitru m chacun des termes de l’autre.
Comme par exemple, je dis que la première équation trouvée cy-deffus, à doit avoir la même forme que celle qui fe produit en faifant e égal à y, & multipliant y — e par foy même, d’où il vient y y — iey*-eete n forte qu’on {îeut comparer feparément chacun de eurs termes, & dire que puifque le premier qui eft y y eft tout le même en l’une qu’en l’autre > le fécond qui eft q — 9 cond de l’autre qui eft — iey, d’ou cherchant la quantité v qui eft la ligne ?
à caufe que nous avons fuppofé e égal i^onavjoy^^ + jr. Et ainû du M. Dïscartiî. 75 «ipfi on pourroit trouver s par le troi- ? — J parce que la quantité v détermine af- fez le point P, qui eft le feul que nous cherchions, on n’a pas befoin de palfer outre.
Tout de même la fécondé équatio» trouvée cy-delfus, à fçavoir, — l c d~) H- d dv "tO -H k 4 7 e ck de façon que de ces deux équations j’en tire fix autres, qui fervent à con- noître les fix quanticez f, g, h,l^>vSc r. D’où il eft fort aifé à entendre que de quelque genre que puifl'e êcre la ligne D * « 74 LaGeometri* courbe propofée, il vient toujours par cette façon de procéder autant d’é- quations, qu’on eft obligé de fuppofer de quantitez qui font inconnues. Mais pour démêler par ordre ces équations, & trouver enfin la quantité v, qui eft la feule dont on a befoin, & à l’occa- lion de laquelle on cherche les autres: il faut premièrement par le fécond ter- me chercher/, la première des quanti- tez inconnues de la derniere fomme, &c on trouve/;» i e — i b.
Puis par le dernier il faut chercher ^ la derniere des quantitez inconnues de la même fomme, tk on trouve b 2o bheedd. e e Puis par le troifiéme terme il faut chercher g la fécondé quantité, & on a g g 20 $ee' — 4 be — icd-+- bb -+- d d. Puis par le pénultième il faut cher- cher h la pénultième quantité, qui eft y y>, Et ainfi il «3 il faudtoit continuer fuivant ce même ordre jufques à la derniere, s’il y en avo’t davantage en cette fomme; car c’eftehofe qu’on peut toû.ours faire en même façon.
©I M. DîSCARTfl l\ 'Puis par le terme qui luit en ce même ordre, qui eft ici le quatrième, il faut chercher la quantité v, & on a a eeeî lieu d’f qui luy eft égal, on a d d d d ad d J / yy y* r AP.
Et ainfi la troifîcme équation, qui eft D ii 7 6 La Geometrih d’où on connoîc que la quantité v eft C’eft pourquoy compofant la ligne ï A JM P O A P de cette fomme égale à v dont tou- tes les quantitez font connues, & tirant du point P ainfi trouvé une ligne droite vers C j elle y coupe la courbe C E i angles droits, qui eft ce qu’il falloir faire; & je ne voy rien qui empêche ?[u’on n’étende ce problème en même açon à toutes les lignes courbes, qui tombent fous quelque calcul Géomé- trique.
Même il eft à remarquer toucha^j^a xr de M, Descartes. 77 dcrmerc femme qu’on prend à dif- crecion pour remplir le nombre des di- menfions de l’autre fommedorfqu’il y en manque, comme nous avons pris tantôt -+■ fyi -+- ggyy -+■ fa y ky; que les lignes -+- 6c — y peuvent être fup- pofez tels qu’on veut, fans que la ligne v ou A P fe trouve diverfe pour cela, comme vous pourrez aifément voir par expérience; car s’il falloit que je m’ar- rètaflè à démontrer tous les Théorè- mes dont je fais quelque mention, je feroi» contraint d’écrire un volume beaucoup plus gros que je ne defire. Mais je veux bien en paflant vous aver- tir que l’invention de fuppofer deux équations de même forme, pour com- Farer feparément tous les termes de une à ceux de l’autre, ainfi en faire naître plufieurs d’une feule, dont vous avez vû icy un exemple, peut fervir à une infinité d’autres Problèmes > & n’eft pas l'une des moindres de la mé- thode dont je me fers.
Je n’ajoute point les conftruébions par lefquelles on peut décrire les con- tingentes ou les perpendiculaires cher- chées, enfuite du calcul que je viens d’expliquer, à caufe qu’il eft toujours D üj 7? La Geomhtrii arfé de les trouver, bien que Couvent o* ait befo n d’un peu d’adreflè pour le» rendre courtes 6c fimples.
Comme par exemple fi D C eft la Exemple première conchoïde des anciens » dont de la con- A Coit le pôle, 6c B H la réglé j en ftruaion furte que routes les lignes droites qui decepr°- rdent vers A, 6c font coraprifes la con-' entre la courbe CD, 6c la droite B H-, choïdc. comme D B 6c C E foient égales, 8c qu'on veuille trouver la ligne C G qui la coupe au point C a angles droits. On pourroit en cherchant dans la ligne B H le point par où cette ligne CG doit pafTer, félon la méthode icy ex- pliquée, s’engager dans un calcul au- tant ou plus long qu’aucun des ptecet> £ M. Descartes. 79 tiens; & toutefois la confttudion qui di’vioic après en être déduite eft fort fimple. Car il ne faut que prendre CF en la ligne droite CA, & la frire égale à CH qui eft perpendiculaire fur H B; puis du point F tirer F G, paral- lèle à B A, & égale à E A, au moyen de quoy on a le point G, par lequel doit pafter C G la ligne cherchée.
Au refte afin que vous fçaehiez que Explica- la conftderation des lignes courbes icy tion «le {•ropofée n’eft pas fans ufaee, 8c quel- 4 nou~ es ont diverfes proprietez qui ne ce- rcs dent en rien à celles des fedions coni- d’Ovales, ques je veux «jouter encore icy l’explica- qui fer- tion de certaines Ovales que vous ver- v,cm rez être tres-utilcs pour la Théorie de la 1 Caroptrique & de la Dioptrique. Voicy la façon dont je les décris.
Premièrement ayant tiré les lignes D iiij To La GEOMETRIE s droites F A &: A R qui s’entrecoupent au point A, Tans qu’il importe à quels angles, je prens en l’une le point F à difer tion, c’tft à-dire plus ou moins éloigné du point A félon -que je veux faire ces Ovales plus ou moins grandes,, & de ce point F comme centre je décris un cercle qui pafle quelque peu au delà du point A, comme par le point 5, puis de ce po;nt 5 je tire la ligne droite s 6, qui coupe l’autre au point 6, en forte qu’A 6 (oit moindre qu’A 5, félon telle proportion donnée qu’on veut, à fça- vo r (don celle qui melure les Refrac- tions fi on s’en veut fervir pour la Dioprtique. Apiés cela je prens auflîle point G en la ligne F A du côté où eft le po:nt 5 à discrétion, c’eft-a-dire en fafant que les lignes AF & G A ont entre elles telle proportion donnée qu’on veut. Puis je fais R A égale à GA en la ligne A 6, & du centre G décrivant un cercle, dont le rayon foit égal à R 6 y il coupe l’autre cercle de partfic d’autre au point 1, qui eft l’un de ceux par où doit pafter la première des Ovales cherchées. Puis derechef du centre F je décris un cercle qui j>a£Te un peu au deçà, ou au delà du de M. Descarths. Si