de M. Descarths. Si point 5, comme par le point 7, de ayant tiré la ligne droite 7 8 parallèle à 5 6, du centre G je décris un autre cercle, dont le rayon eft égal à la ligne R 8, 5c ce cercle coupe celuy qui pafl'e par le point 7 au point 1, qu eft encore l’un de ceux de la même Ovale. Et ainfi on en peut trouver autant d’autres qu’on voudra, en tirant derechef d'au- tres lignes parallèles à 7 8, & d’autres cercles des centres F 5c G.
Pour la féconde Ovale il n’y a point de différence, ftron qu’au lieu d’AR il faut de l’autre côté du point A pren- 82 La GEOMETRIE eeluy qui eft décrit du centre F & quf pall'e par le point 5, foit égal à la ligne S 6, ou qu’il foit égal à S 8, fi c’dfc pour couper eeluy qui pafle par le point 7, 5c ainfi des autres; au moyen de quoy ces cercles s’entrecoupent aux points marquez 1, 2, qui font ceux de cecrc fécondé Ovale A z X.
Pour la troifiéme & la quatrième, au, lieu de la ligne A G il faut prendre A H de l’autre côté du point A, à fçavok du même qu’eft le point F. Et il y a icy déplus à obferver que cette ligne AH doit être plus grande que A F, laquelle peut même être nulle, en forte que le point F fe rencontre où eft le point A en la deferiprion de toutes ces ovales j après cela les lignes AR &, A-S étant v* M. Dbscartïs. Sj égales à A H, pour décrire la troifiéme ovale A 3 Y, je fais un cercle du centre H, dont le rayon eft égal à S 6, qui coupe au point 3 celuy du centre F qui palTe par le point 5; 5c un autre donc le rayon eft égal à S 8, qui coupe celuy qui paftc par le point 7 au point aulfi marqué 3, 5c ainfi des autres. Enfila pour la derniere ovale je fais des cer- cles du centre H, dont les rayons font égaux aux lignes R 6 R 8 & femblables, qui coupent les autres cercles aux points -marquez 4.
On pourroit encore trouver une in- finité d’autres moyens pour.décrire ces memes ovales, comme par exemple, «n peut tracer la première A V, 1er* D vj $4 L A GEOMETRIE qu'on fuppoie les lignes FA 8c A G être égales, fi on divife la c ute F G au point L, en forte que F L foit à LG comme A s à A <î, c’eft à dire qu’el- les ayent la proportion, qui me- fure les refra&ions. Pins ayant divifé A L en deux parties égales au point K, qu’on faiTe tourner une réglé comme F E autour du point F, en prefiant du doigt C la chorde E C, qui étant at- tachée au bout de cette réglé vers E » fc replie de C vers K, puis de K dere- chef vers C, & de C vers G, ou foa autre bout foit attaché? en f rte que Ja ’ongueur de cette chorde foit com- poiée de celle des lignes G A plus A L plus F E moins AF, èc ce fera le mou- vement du point C, qui décrira cette $>yale, à l’imitation de cc qui a été dit de M. Descartes. Î5 en la D oprriqiie de l’Ellipfe fk de l’Hyperbole; mais je ne veux pont m’arrêter plus long-temps fur c< fuet.
Or encore que toutes ces ovales fem- blent être prefque de même nat ure, elles font neanmoins de quatre divers genres, chacun defquels cont ent fous loy une infinité d’autres genres, qui derechef contiennent chacun autant de diverfes efpeces que fait le genre des Eilipfes, ou ctluy des Hyperboles; car fc/on que la proportion qui eft entre les lignes A 5, A 6 ou fembl b'es eft diffe- rente: le genre fubalttrne de ces ovales eft different. Puis félon que la propor- tion qui eft entre les lign s AF & A G ou A H eft: changée, les ovales de cha- *que genre fùbalterne changent d efpe- ce; Sc le Ion qu’A G ou À‘H eft plus ou moins grande, elles font diverfes en grandeur. Et fi les lignes A 5 8c A 6 font égales, au litti des ovales du pre- mier genre ou du troifiéme, on ne dé- crit que des lignes droites; mais au lieu de celles du fécond on a tou es les Hy- perboles pofïibles 8c au lieu de celles du dernier touresles Ellipiés.
Outre cela en chacune d ces ovales il faut confiderer deux parties qui ont Les pro pncicx de cesovales couchant les refle- xions, & les refra- âious.
16 La GEOMETRIE diverfes proprietez; à fçavoir en la pi «2 miere la partie qui eft vers A, fait que les rayons qui étant dans l’air vien- nent du po-nt F, fc retournent tous vers le point G, lorsqu’ils icncontrent là Superficie convexe d’un verre, dont la Superficie eft i Ai, & dans lequel les refraétions Se font telles que. Suivant ce qui a été dit en la Dioptrique, elles peuvent toutes être mefurées par la proportion qui eft entre les lignes A $ & A 6 ou Semblables, par l’aide de(^ quelles on a décrit cette ovale. • Mais là partie qui eft vers V, fait que les rayons qui viennent du point G fe r^fléchiroient tous vers F, s’ils y rencontraient la Sup -rficie coricave d’un miroir, dont la figure fût i V », & qui fût de telle matière qu’il diminuât la force de ces.raygus, Selon fa propoi- B *• M. D X S C A R. T E S. tf tïon qui< eft entre les lignes A 5 & A 6» car de ce qui a été démontre en 1b Dioptriquc, il eft évident que cela pofe les angles de la refléx’on feroient iné- gaux, aufli-bien que font ceux de la refraéVion, 8c pourroient être mefures en même forte.
En la féconde ovale la partie 2 A t fert encore pour les réflexions dont on fuppofe les angles être inégaux > car étant en la fuperficic d’un miroir com- pofé de même matière que le prece- dent, elle féroit tellement réfléchir tous les rayons qui viendraient du point G, qu'ils fembleroient après être réfléchis venir du point F i & il eft à remarquer qu’ayant fait la ligne A G beaucoup» plus grande que A F, ce miroir feroit convexe au milieu vers A, & concave aux extrêmitez: car telle eft la figure de cet-e ligne, qui en cela reprelente plûtô’ un cœur qu’une ovale.
. Mais 'on autre partie X z fert pour les refra&ions, & fait que les rayons qui étant dans l’air tendent vers F fe détournent vers G, entraverfanr lafù- petficie d’un verre qui en air la figure..
ba rt oifiémeov ata fert toute aux ré- fractions, 8c fait que les rayons qui 18 La GEOMETRIE c ant dans l’air tendent vers F » Ce vont rendre vers H dans le verre, après qu’ils ont trave.-fé fa fuperficie, dont la figure eft A 3 Y 3, qui efl convexe par tout, excepté vers A où elle eft un oeu con- cave, en forte qu’elle a la figure d un cœ ir aulfi bien que la precedente. Et la difFerence qui eft entre les deux par- ties de cette ovale, co fifte en ce que le point F eft plus proche de l’une que n’eft le point H, 6c qu'il eft plus é(0!gné de l’autre que ce même poiry. H.
En même façon la derniere ovale ferc toute aux réflexions, & fait que fi les. ravons qui viennent du point H ren- conrio’Vnt la fuperficie concave d’un * miroir de même matière que les précé- dée, 6c dont la figure fut A 4 Z 4, ils fe refl chiroienr tous vers F.
De f, çon qu’on peut nommer les poinrs F & G ou H, les points brûlans de ces ovales à l’exemple de ceux des Eüipfes 3c des Hyperboles qui onr été ainfi nommez en la Dioptr que.
J’obmets quanriré d’aut es refraétions 6c réflexions qui font réglées par ces mêmes ovales-, car n’étanr que lescon- verfes ou les contraires de celles cy, elles en peuvent facilement être déduj-t à dï M. Descartes. $9 tes. Mais il ne faut pas que j’obmette Ja démonftration de ce que j’ay dit*, & à cer effet prenons par exemple le point C à difcretion en la première partie de la première de ces ovales *, puis tirons la ligne droite C P qui coupe la tourbe au point C à angles droits, ce Dcmon- ftration de* pro- ptietczdc ces ova- les tou- chant les réflexions & réfra- ctions.
3 ni eft facile par le Problème prece- ent; car prenant b pour A G, c pour AF, c -t- z pour F C; & fuppofant que la proportion qui eft entre d & t que je prendray icy toujours pour celle qui mefure les refraétions du verre propo- fé, defigne aufli celle qui eft entre les lignes A 5 & A 6 ou fcmblables, qui ont fervi pour décrire cette ovale, ce qui donne b '—z pour GC:on trouve que ligne A P eft — rainfi qu’il a été montré cy-deflus. De plus du point P ayant tiré P Qà anfo La Geometrti gles droits fur 1a dioite F C & P N anflT à angles droits fur G C, confiderons que fi P Q_eft à P N, comme </eftàr, c eft à dire comme les lignes qui me- furent les réfractions du verre convexe A C, le rayon qui vient du point F au ' point C, doit tellement s'y courber en enrrant dans ce verre, qu’il s’aide rendre après vers G, ainfi qu’il eft tres- évident de ce qui a été dit en la Diop- trique. Puis enfin vovons par le calcul s’il eft vray que P Qjoit à P N, com- me d eft à e j les triangles rettangle* C M G font femblables, d’où il fuir que G P multipliée par CM & divifée par C G eft égale à P N. Puis à caufc que les multiplications ou divifions qui iê font de deux quantitez par une même, ne changent point la proportion qui eft entre elles, fi F P multipliée par C M divifee par C F eft à GP mul- tipliée suffi par C M & divifee par C G» comme d eft à e, en divifant l’une 5t Di I M M. Descartis. 9S Tautrc de ces deux Tommes par CM, puis les multipliant toutes deux par C F & derechef par CG, il refte F P multipliée par C G, qui doit être à G P multipliée par C F,< comme d eft à e. Or par la conftruétion F P eft r - OU JO ' ■.
Puis G P eft b,,, ou bien GP 30 £i (te CF eft c -+• a. -, fi bien que multi- pliant G P par C F, il vient ~d.’—l,r.cdf.
Et parce que la première de ces Tom- mes diviTée par d eft la même que la fécondé diviTée par e, il eft maniTefte que F P multipliée par. C G eft à G P multipliée par CF, c’eft à dire que ¥ Q^cft à P comme d eft à e, qui eft 1)1 LaGeombtrie tout ce qu’il falloir démontrer.
E (çachz que cette même démott^ ftratio i s’étend à iout ce qji a été Hic ' des au res rcfraétions ou réflexions qui fe fgnt d.ms les ovales propolées, fans qu’il y faille changer aucune choie que les Agnes Sc — du calcul * c’elt pour» quoy chacun les peut aiiétnent exami- ner de foy même, fans qu’il foit bcfoin que je m’y ariête.
Kl.is *1 Lut maintenant que je làris^ fafle à ce que j’ay obmis en la Dioptri- que, lorfqu’aprés avoir remarqué qu’il peut y avoir des verres de pluficurs diverfes figures qui fiflent aufli-bien l’un que l’autre, que les rayon» venans d’un même point de l’objer, s’aflem- blenr tous en un aurre pomr après les avoir traverfez, & qu’entre ces verres, ceux qui font fort convexes d’un côté & concaves de l’autre ^ ont plus de for- ce pour bmler que ceux qui font éga- lement convexes des deux cotez, au lieu que tout au contraire ces derniers font les meilleurs poup les lunetes. Je me fuis conrenté d’expliquer ceux que j’ay cru être les meilleurs pour la pra- tique j en fuppofant ja difficulté que les asrifans peuvent avoir à les tailler; ç’eflr r> î M. Dfscartîs. 9$ pourquoy afin qu’il ne rcfte rien à fou- haiter touchant la théorie de cette feitn- ce, je dois expliquer encore icy la figure des verres, qui ayant l’une de leurs Tuperfices autant convexe ou concave qu’on voudra, ne laifl’cnt pas de faire que tous les rayons qui viennent vers eux d’un même point ou parallèles, s’afiemblenr après en un mime point; ôc celle des verres qui font le fembla- b!e étant egalement convexes des deux coftez, ou bien la convexité de l’une de leurs fuperficies ayant la proportion donnée à celle de l’autre.
C Pofons pour le premier cas, que les Com- points G, Y, C, & F étant donnez, les mcnt °.n rayons qui viennent du point G, ou J£utfaire bien qui font parallèles à G A fe doi- au Jn"* vent affemblcr au point F, apres avoir convexe traverfé un verre fi concave, qu’Y OUCOnca~ étant le milieu de fa fuperficie inre- *c c,n 1 r " rieure, 1 extrémité en foit au point C, fupe'fi-'* £n forte que la chorde CMC & la cicsqu on icrablc^' <lue^^on va ^ ’ <luc premièrement il un point ^auc confidcrer de laquelle des ovales <kmuc, expliquées la fuperficie du verre Y G tous les doit avoir la figure, pour faire que rayons tous jCs ray0ns qUÎ eftant dedans tenqui vien-. « 1 nent d'un <*ent vers un meme point, comme vers autre H qui n’eft pas encore connu, s’aillent poiut tendre vers un autre, à fçavoir vers F, donné, après en être fortis j car il n’y a aucun effet touchant le rapport des rayons changé par rcfléxion ou refraéfcion d’un point à un autre, qui ne puiffe être caufé par quelqu’une de ces ovales; & on voit aifément que celuy-cy le peut être par la partie de la troifiéme Ovale, qui a tantôt été marquée $ A $, ou par celle de la même qui a été marquée 3 Y j, ou enfin par la partie de la fécon- de qui a été marquée i X z. Et parce que ces trois tombent icy fous même calcul, on doit tant pour l’une que pour l’autre prendre Y pour leur fbm- met-i C pour l’un des points de leur circonférence, & F pour l’un de leurs points brnlans, après quoy il ne refte plus à chercher que le point H, qui doit être l’autre point brûlant; & on le trouve en.confiderant que la différence DEM. DlSCARTfS.
DEM. DlSCARTfS.
«Jui jeft enire les lignes F Y & F C doit être à celle qui eft encre les lignes H Y & H C, comme d eft à t, c’eftà dire comme la plus grande des ligues qui me furent les refra&ions du verre pro- pofé eft à la moindre, ainfi qu’on peut voir manifeflement de la defcription de ces ovales; Sc parce que les lignes F Y &: F C font données, leur différence 1 eft auffi, & enfuite celle qui eft entre H Y & H C, parce que la proportion 3ui eft entre ces deux différences eft otinée. Et de plus à caufequc YM eft donnée, la différence qui eft entre MH & H C l’eft auffi -, & enfin parce que C M eft donnée, il ne refte plus qu’à trouver M H le côté du triangle C coïc C M, 8c on a auffi la différence qui eft entre C H la bafc, & M H le ico é demandé, d où il eft aifé de le -trouver; çat fj Pd prend ^ pour l’ej-' cfS La Geoms tîlii cés de C H fur M H j & « pour la lon- gueur de la ligne C M, on aura n~ — 1 ^ pour M H; & apres avoir ainfi le point H, s’il Ce trouve plus loin du point Y que n'en eft le point F, la ligne C Y doit être la première partie de l’ovale du troifiéme genre, qui a tantôt etc nommée j A $; mais fi H Y eft moindre que F Y » ou bien elle furpafle H F de tant, que leur différence eft plus grande à raifon de la toute F Y, que n’eft e la moindre des lignes qui mefurent les refraétions comparée avec d la plus grande, c’eft à dire que faifant HF^o c,8c H Y Do c, d h eft plus gran- de que zc e -+• e h, & lors C Y doit être la féconde partie de la même ovale du troifiéme genre, qui a tantôt été nommée j Y 3, ou bien dh eft égale ou moindre que ice-+- eh, & lors C Y doit être la fécondé partie de 1 o- vale du fécond genre qui a cy-defius été nommée 2X2. Et enfin fi le point H eft le même que le po nt F, ce qui n’arrive que lorfque F Y & FC font égales, cettejigne Y C eft un cercle.
Apres cela il faut chercher CAC l’autre fuperficie de ce verre, qui doit être Dï M. De § c ARf t$ï 97 eftre une Ellipfe, dont H foie le point brûlant, fi on fuppofe que les rayons qui tombent deffus foient parallèles, & lors il eft aife de la trouver; mai* fi on fuppofe qu’ils viennent du point G > ce doit être la première partie d’une ovale du premier genre, dont les deux points biûlans foient G & H, ôc qui parte par le point C, d’où on trouve le point A pour le fommet de cette ovale, en confiderant que G C doit être plus grande que GA d’une quantité qui foit à celle dont HA furparte H C, comme d à e; car ayant ‘pris ^ pour la différence qui eft entrfc ‘CH Sc HM, fi on fuppofe x pour A M, on aura x — k. » pour la diffé- rence qui eft entre AH Sc CH, puis fi on prend g pour celle qui eft entre G C & G M qui font données, on aura g -+- x pour celle qui eft entre G C & GA, &c parce que cette der- nière g •+• * eft à l'autre x — k_> com- me d eft à e, on à ge-+-exy>dx — di^t ou bien pour la ligne x, ou AM, par laquelle on détermine le point A qui étoit cherché.
Pofons maintenant pour l’autre cas Com- ment on peut faire un verre qui ait le même ef- fet que le prece- dent, 8e que la convexi- té de l’u- ne de Tes fuperfi- cics ait la propor- tion don- née avec celle de l’autic.
’çS T'a Geomethié qu’on ne donne que les points GG éc F, avec la proportion qui cft entre les lignes A M & Y M, 8c qu’il faille trouver la figure du verre A C Y * qui fafie que tous les rayons qui viennent du point G s’afl’emblent au point F.
: On peut derechef icy fe fervir de deux ovales, dont l’une AC ait G & H pour fes points brûlans, 8c l’au- tre CY ai£ F & H pour les fiens j & C pour les trouver, premièrement fûp- pofant le point H qui cft commun à toutes deux être connu, je cherche A M par les trois points G C H en la façon tout maintenant expliquée, à fçavoir prenant k pour la différence qui ett entre CH&HM; 8ç g pour celle qui eft entre G C Sc GM.&AC étant la première partie de l’Ovale du première genre, j’ay ' pour A M: puis je cherche auffi M Y par les trois poinrs F C H, en forte quç fi* M. DïSCAnft^ 99 C Y fbit la première partie d’une oval® du troiüémc genre j & prenant y pour MY Se f pour la différence qui eft entre C F 3c FM, j’ay /-+- y pouc çelîe qui eft entre GF & F Y; puia ayant déjà é. P°ur celle qui eft entre • CH & HM, j’ay k+y pour celle qui eft entre CH,& HY que je lçay devoir ctre i f-*~ y comme e eft à à, à caufe de l'O- vale du troifîéme genre, d’où je trouve que y ou M Y eft puis joignant cnfcmble les deux quantitez trouvées pour AM & M Y, je trouve pour la toute A Y: d’où il fuit que ce quelque côté que Toit fuppofé le point H, cette ligne A Y eft toujours çompofée d’une quantité qui eft à celle dont les deux enfemble G C & C F furpaffènt 1a toute G F comme e, la 4 moindre des deux lignes qui fervent à mefurer les refraétions du verre pro- pofé eft à d — e, la différence qui eft entre ces deux lignes, ce qui eft un affez beau theorême. Or ayant ainfi la toute AY, il la faut couper félon la proportion que doivent avoir lès parties AM & MY, au moyen de i®0 La Geometrîé quoy parce qu’on a déjà le point #. oii trouve auflî les points A 6c Y, ÔC enfuite le point H par le problème ptc<* cedent *, mais auparavant il faut re- garder fi la ligne A M ainfi trouvée, eft plus grande que ou plus petite, ou égale •, car fi elle eft plus g-ande, on apprend de- là que la courbe A C doit être la première partie dune ovale ■* du premier genre, & C Y la premier» d’une du troifiéme, ainfi quelles ont etc icy fuppofées; au lieu que fi elle eft plus petite, cela montre que c’eft CY qui doit être la première partie d’une ovale du premier genre, & que A C doit être la première d’une du troifiéme: enfin fi A M eft égale à les deux courbes AC & CY doivent être deux hyperboles.
On pourroit étendre ces deux pro- blèmes à une infinité d’autres cas que je ne m’arière pas à déduire, à caufe qu’ils n’ont eu aucun ufage en la Dioptrique.
On pourroit auflî paflèr outre, & dire lorfque l’une des fupcrficies du verre eft donnée, pourvu qu’elle np Î5Ï M. DbSCàXTES. ÏÜ* foit que toute.plate ou compofée de ferons coniques ou de cercles, cont- inent on doit faire fon autre fuperfi- cie, afin qu'il tranfmetre tous les rayons d’un point donné à un autre point auffi donné j car ce n’eft rien de plus difficile que ce que je viens d’ex- pliquer, ou plutôt c’eft chofc beaucoup p!us facile, à caufe que le chemin en eft ouvert \ mais j’aime mieux qut d’autres le cherchent, afin que s’ils ont encore un peu de peine à le trou- ver, cela leur fafle d’autant plus efti- mer l’invention des chofes qui fon$ icy démontrées. cou- Au refte je n’ay parlé en tout ccd mcilt oa que des lignes courbes qu’on peut peut âp- décrire fur une fuperficie plate; mais il planer c* eft aifé de rapporter ce crue j’en ay *}!“.*.
dit a toutes celles qu on lçauroit ima- j,-gnei ’ gincr être formées, par le mouve- courbe* ment régulier des points de quelque décrite» corps, dans un efpacc qui a trois di-£ur u^c.
menfions $ à fçavoir en tirant deux per- pjf" pendiculaires de chacun des' points de ccuc, ^ui la ligne courbe qu’on veut confiderer fe décrifur deux plans qui s’entrecoupent à an- vent dans gles droits l’une ûr l’un, Sc l’autre fur q^iatrois J’autre -, car les exjremitez de ces per- Himen- E iij fions.
I IOÎ- Là GïOMITXIf pendiculaires décrivent deux autrfi lignes courbes, une fur chacun de ces plans, defquelles on peut, en la fa- çon cy-deflus expliquée, déterminer tons les points, & les rapporter à ceux de la ligne droite qui eft commune 4 ces deux plans, au moyen dequoy ceux de la couibe qui a trois dimensions, font entièrement déterminez. Meme fi on veut tirer m e ligne droite qui coupe cette courbe au point donne à angles droits, il faut feulement tirer deux autres lignes droites dans les deux plans, une en chacun, qui cou- pent à angles droits les deux ligne* courbes qui y font aux deux point*, cù tombent les perpendiculaires qui viennent de ce point donné; carayani élevé deux autres plans, un fur cha- cune de ces lignes droites qui coupc à arig'es droits le plan où elle eft, on aura l’in crle&ion de ces deux plans pour Ja ligne droite cherchée. Et ainfi je penfe n’avoir rien obmis des élemens oui font neceflaires pour la connoilfance des ■lignes courbes.
LIVRE TROISIEME.
De la conjlruftion des Problèmes qui font Solides, oh pins que Solides.
EN c o r ï que toutes les lignes <p** combes qui peuvent être de cri tes par quelque mouvement régulier >onpCUtft doivent être reçues en la Geometrie, fcxTÎr es ce n’eft pas à dire qu’il foit permis de la con- fie fervir indifféremment de la premie- re qui fe rencontre pour la conftru&ion prô- de chaque problème \ mais il faut tlcmc. avoir foin de choifir toujours la plus fimplc, par laquelle il foit poffible de le refoudre» & même il cft à remar- quer que par les plus fimplcs on nt doit pas feulement entendre celles qui peuvent le plus aifément être décri- tes, ny celles qui rendent la conftrue- tion ou la dcmonftration du Problème propolé plus facile, mais principale- ment celles qui font du plus fimplc genre qui puiffe fervir à déterminer la quantité qui eft cherchée.
Comme par exemple je ne croy ' pas qu’il y ait aucune façon plus fa- E iiij 104 X À GïOMITHJ!
Exemple cile pour trouver autant de moy£fiÏÏé£ touchant proportionnelles qu’on veut, ny dont tion^de a démonftration fort plus évidente plufîcurs *luC y employer les lignes courbef moyen- qui fe décrivent parl’inftrumenc XYZ ccs pro- cy-deflbus expliqué j car voulant trou* Sr VC* woyenûçs proportionnelle* entre Y A Sc Y E. il ne faut que dé» ciire un cercle dont le diamètre foit YE; & parce que ce cercle coupe la courbe A D au point D, Y D eft l’une des moyennes proportionnelles cherchées. Donc la dcmonftration fe voit à l’œil par la feule application de cet inftrumcnt fur la ligne Y D j car comme Y A ou Y B qui luy eft égale cft à Y C, ainû Y G eft à YD? $£ VDi.YE, M. De S CARTES. lOf Tout de même pour trouver quatre moyennes proportionnelles entre Y A & Y G, ou pour en trouver fix entre Y A & Y N, il ne faut que tracer le cercle Y F G, qui coupant A F au point F > détermine la ligne droite Y F, qui eft l’une de ces quatre propor- tionnelles, ou Y H N, qui coupant A H air point H, détermine Y H l’u- - ne des iix, & ainfi des aurres.
Mais, parce que la ligne courbe AD cil du fécond genre, & qu’on peut trouver deux moyennes propor- tionnelles par les ferions coniques qui font du premier, & auflî parce qu’on peut trouver quatre ou fix moyennes proportionnelles, par des lignesqui ne font pas de genres fi compofez qufe font A F 8c A H, ce feroit une faute en Geometrie que de les y employer -, 8c e’eft une faute auflî d’autre côté de fe travailler inutilement à vouloir conftruire quelque problème par un genr^dc lignes plus Ample que fa na* ture ne permer.
Or afin que je puifle icy donner De la na quelques réglés pour éviter l’une & tu,c clcs l’autre de ces deux fautes, il faut que t:C]U1“ je dife quelque chofc en general de la tl°n*1 E v fo 6 La GEOMETRIE nature des Equations, c’cft à dire de» fommes compofées de plufieurs ter- mes partie connus, & partie inconnus, dont les uns font égaux aux autres,, ou plutôt qui confiderez tous enfem- ble font égaux à rien } car ce fera fouvent le meilleur de les confiderer en cette forte.
Combien Sçachez donc qu’en chaque Equa- il peut y tion, autant que la quantité inconnue-' avoir de a de dimenfions, autant peut-il y chaque* avo*r diverfes racines, c’eft à dire ' Equa-C valeurs de cette quantité i car pat tien. exemple fi on fuppofe x égale à i, ou bien x — i égal à rien, 8c derechef' x Do $, ou bien x — $ yo e j en mul- t-ipliant ces deux équations x — i yo o, te x *— ■ j Do o l’une par l’autre, on aura. xx — 5.*:-t-<53o0, ou bien xxypjx — 6, qui eft une Equation en laquelle la quantité x vaut i, & tout enfemble vaut 3. Que fi derechef on fait x — 4 yo ot te qu’on multiplie cette fomme par XX'—ïx •+• 6 yo 0, on aura a;3 — $xx 16 x~ 14. 0, qui eft une autre Equation, en laquelle x ayant trois di- menfions a.auffitrois valeurs qui font: quelles jîdais fouyent jj arrive que quelque» Digitized t>y Google \ w b M. Dis came s. 107 iîhes de ccs racines font faufles, ou font ies moindres que rien; comme fi on fauflcs (uppofe que x dcfigne aulfi le défaut racines, d’une quantité qui foie 5, on a a: -t- 5 0, qui étant multipliée par pour une équation en laquelle il y a quatre racines, à fçavoir trois vrayes qui font 2, 3 > 4, & une faillît: qui elt 5. - Com- Et on voit évidemment de ceci que la fomme d’une équation qui contient niinuer' plufieurs racines, peut toujours ê«:e le nombre divifée par un binôme compofé de la ^c* diquantité inconnue, moins la valeur de ™cnfi°n* 11 j • 1 il d une E-' I une des vrayes racines, laquelle que qUatîon ce foit, ou plus la valeur de l’une des lotfqu’on faufles, au moyen de quoy on diminue connoît d’autant fes dimenfions. ntTd^fcs Et réciproquement que fi la fomme racines C d’une équation ne peut être divifée Comi par un binôme compofé de la quan- ment oh tiré inconnue h- ou — quelque autre Pcm Cïa" quantité, cela témoigne que cette autre quantité n’eft la valeur d’aucune quantité de (es racines. Comme cette dernicre donnée J peut bien être divifée par a: — 2, & eur unc E vj racine.
ro8 La Geo met rie par x — j,& par x — 4, & par x-t- j > mais non point par x •+- ou — aucune autre quantité j ce qui montre qu’elle ne peur avoir que les quatre racines 2, 5, 4, & Combien On connoît aulîi de ceci combien; il peut y j] peur y avoir Je vrayes racines, £c avoir de corn|)jcn jg fau{fes en chaque Equaracines en tlon » a içavoir, il y en peut avoir chaque autant de vrayes que les lignes -+- & — Equa- s’y trouvent de fois être changez, & won* autant de faulTes qu’il s’y trouve de fois deux lignes -+-, ou deux lignes — ■ qui s'entreluivent; comme en la der- nière, à caufe qu’aprés -+- x 4 il y a — 4.vJ, qui eft un changement du ligne ■+• en — y ôc après - — 19 x x il y a -h- 106.v,& après -h 106 je il y a > — izo qui font encore deux autres changc- roens, on connoît qu’il y a trois vrayes- racines & une faulle, à caufe que les- Com- deux lignes — de 4 xi, & 19 x x s’en- ment or, trefuivenr.
P^us ^ Pa,re cn une P^us ^ Pa,re cn une xacirc ” m^mc Equation que toutes les racines- d'unc E qui étoienr faulïès deviennent vrayes, o^atioi] Sc par même moyen que toutes celles devien- qufétoient vrayes deviennent faulïès, n^c s à> fçavoir en changeant tous les lignes ou • — qui font en la fécondé, en la, fkiiflvS, i by Google t> e M. Desca rtte s. iojr Quatrième, en la fixiéme, ou autres places qui Te défignent par les nom- bres pairs, fans changer ceux de la pre- mière, de la troifiéme, de la cinquième & femblablcs qui fe défignent par les nombres impairs. Comme fi au lieu de h- x* — 4*5- — 19 xx -+- 106* — no Do» on écrit on a une Équation en laquelle il n’y a qu’une vraye racine qui eft 5, & trois fauflès qui font 2, *, & 4.
Que fi fans connoître la valeur- des Com- racines d’une Equation on la veut au- mcnt on gmenrer ou diminuer de quelque quan- menterm tiré connue, il ne faut qu’au lieu du- diminuer terme inconnu en fuppofer un autre le* raci- qui foit plus ou moins grand de cette “cs <J’.une même quantité, & le fubftituer par tout ^at]°sn en la place du premier. connoî- Cornme fi on veut augmenter dè 3 trc. la racine de cette Equation **-*-4*?- —