es ist das Psycliologisclie von dem Logischen, das Sub- jeclive von dem Objectiven scharf zu trennen; uach der Bedeutung (ttji- Wörter muss im Salazusamnn hange, nicht iu ihi'er Vereinzelung gefragt werden; der Unterschied zmschen Begriff und Gegeustand ist im Auge zu behalten.
Um das Erste zu befolgen, habe ich das Wort „Vor- stellung" immer im psychologischen Sinue gebraucht und die Vorstellungen von den Begriffen und Gegenständen unter- schieden. Wenn mau deu zweiten Grundsatz unbeachtet lässt, ist man fast genöthigt, als Bedeutung der Wörter innere Bilder oder Thaten der einzelnen Seele zu nehmen lind damit auch gegen den ersten zu verstosseu. Was den dritten Punkt betrifft, so ist es nur Schein, wenn man meint, einen Begriff zum Gegenstande maeheu zu künueu, ohne ihn zu verändern. Von hieraus ergiebt sich die Unhaltbarkeit einer verbreiteten formalen Theorie der Bruche, negativen Zahlen u. s. w. Wie ich die Verbesserung denke, kann ich in dieser Schrift nur andeuten. Es wird iu allen diesen Fällen wie bei den positiven ganzen Zahlen daj'auf ankommen, den Sinn einer Gleichung festzustellen.
Meine Ergebnisse werden, denke ich, wenigstens in der Hauptsache die Zustimmung der Mathematiker flndeu, welche sich die Mühe nehmen, meine Gründe iu Betracht zu ziehn. Sie scheinen mir in der Luft zu liegen und einzeln sind sie vielleicht schon alle wenigstens annähernd ausge- sprochen worden; aber iu diesem Zusammenhange mit ein- ander möchten sie doch neu sein. Ich habe mich manchmal gewundert, dass Darstellungen, die iu Einem Punkte mebier Auffassung so nahe kommen, in andern so stark abweichen, Die Aufnahme bei den Philosoiiheu wird je nach dem Staudpunkte verschieden sein, am schlechtesten wohl udist ' XI jenen Empirikern, die als ursprüngliche Schlussweise nur die Indnction anerkennen wollen und auch diese nicht einmal als Schlussweise, sondern als Gewöhnung. Vielleicht unter- zieht Einer oder der Andere bei dieser Gelegenheit die Gh*undlagen seiner Erkenntnisstheorie einer erneueten Prüfung. Denen, welche etwa meine Definitionen für unnatürlich erklären möchten, gebe ich zu bedenken, dass die Frage hier nicht ist, ob natürlich, sondern ob den Kern der Sache treffend und logisch einwurfsfrei.
Ich gebe mich der Hoffiiung hiu, dass bei voruitheils- loser Prüfung auch die Philosophen einiges Brauchbare in dieser Schrift finden werden.
§ 1. Nachdera die Mathematik sich eine Zeit lang von der euklidischen Strenge entfernt hatte, kehrt sie jetzt zu ihr zurück und strebt gar über sie hinaus. In der Arith- metik war schon infolge des indischen Ursprungs vieler ihrer Verfahrungsweisen und Begriffe eine laxere Denkweise her- gebracht als in der von den Griechen vornehmlich ausge- bildeten Geometrie. Sie wurde durch die. Erfindung der höhern Analysis nur gefordert; denn einerseits stellten sich einer strengen Behandlung dieser Lehren erhebliche, fast un- besiegliche Schwierigkeiten entgegen, deren Ueberwindung andrerseits die darauf verwendeten Anstrengungen wenig lohnen zu wollen schien. Doch hat die weitere Entwickelung immer deutlicher gelehrt, dass in der Mathematik eine blos moralische Ueberzeugung, gestützt auf viele erfolgreiche Anwendungen, nicht genügt. Für Vieles wird jetzt ein Beweis gefordert, was früher für selbstverständlich galt. Die Grenzen der Giltigkeit sind eist dadurch in manchen Fällen festgestellt worden. Die Begriffe dei* Function, der Stetig- keit, der Grenze, des Unendlichen haben sich einer schärferen Bestimmung bedürftig gezeigt. Das Negative und die Irra- tionalzahl, welche längst in die Wissenschaft aufgenommen waren, haben sich einer genaueren Prüfling ihrer Berechtigung unterwerfen müssen.
So zeigt sich überall das Bestreben, streng zu beweisen, die Giltigkeitsgrenzen genau zu ziehen und, um dies zu können, die Begriffe scharf zu fassen.
1 § 2. Dieser Weg muss im weitern Verfolge auf den Begriff der Anzahl und auf die von pof^itiven ganzen Zahlen geltenden einfachsten Sätze führen, welche die Grundlage der ganzen Arithmetik bilden. Freilich sind Zahlformeln wie 5 -}- 7 = 12 und Gesetze wie das der Associativität bei der Addition durch die unzähligen Anwendungen, die tag- täglich von ihnen gemacht werden, so vielfach bestätigt., dass es fast lächerlich erscheinen kann, sie durch das Verlangen nach einem Beweise in Zweifel ziehen zu wollen. Aber es liegt im Wesen der Mathematik begründet, dass sie überall, wo ein Beweis möglich ist, ihn der Bewährung durch In- duction vorzieht. Euklid beweist Vieles, was ihm jeder ohnehin zugestehen würde. Indem man sich selbst an der euklidischen Strenge nicht genügen Hess,. ist man auf die Untersuchungen geführt worden, welche sich an das Parallele- naxiom geknüpft haben.
So ist jene auf grösste Strenge gerichtete Bewegung schon vielfach über das zunächst gefühlte Bedürfniss hinaus- gegangen und dieses ist an Ausdehnung und Stärke immer gewachsen.
Der Beweis hat eben nicht nur den Zweck, die Wahr- heit eines Satzes über jeden Zweifel zu erheben, sondern auch den, eine Einsicht in die Abhängigkeit der Wahrheiten von einander zu gewähren. Nachdem man sich von der Unerschütterlichkeit eines Felsblockes durch vergebliche Versuche, ihn zu bewegen, überzeugt hat, kann man ferner fragen, was ihn denn so sicher unterstütze. Je weiter man diese Untersuchungen fortsetzt, auf desto weniger Urwahr- heiten führt man Alles zurück; und diese Vereinfachung ist an sich schon ein erstrebenswerthes Ziel. Vielleicht bestätigt sich auch die Hoffnung, dass man allgemeine Weisen der Begriffs- bildung oder der Begründung gewinnen könne, die auch in ver- wickeiteren Fällen verwendbar sind, indem man zum Bewusst- sein bringt, was die Menschen in den einfachsten Fällen instinc- tiv gethan haben, und das AUgemeingiltige daraus abscheidet.
§ 3. Mich haben auch philosophische Beweggrunde zu solchen Untersuchungen bestimmt. Die Fragen nach der apriorischen oder aposteriorischen, der synthetischen oder analytischen Natur der arithmetischen Wahrheiten harren hier ihrer Beantwortung. Denn, wenn auch diese Begriffe selbst der Philosophie angehören, so glaube ich doch, dass die Entscheidung nicht ohne Beihilfe der Mathematik erfolgen kann. Freilich hangt dies von dem Sinne ab, den man jenen Fragen beilegt.
Es ist kein seltener Fall, dass man zuerst den Inhalt eines Satzes gewinnt und dann auf einem andern beschwer- licheren Wege den strengen Beweis führt, durch den man oft auch die Bedingungen der Giltigkeit genauer kennen lernt. So hat man allgemein die Frage, wie wir zu dem Inhalte eines Urtheils kommen, von der zu trennen, woher wir die Berechtigung für unsere Behauptung nehmen.
Jene Unterscheidungen von apriori und aposteriori, synthetisch und analytisch betreffen nun nach meiner*) Auf- fassung nicht den Inhalt des Urtheils, sondern die Berech- tigung zur Urtheilsfällung. Da, wo diese fehlt, fällt auch die Möglichkeit jener Eintheilung weg. Ein Irrthum apriori ist dann ein ebensolches Unding wie etwa ein blauer Begriff. Wenn man einen Satz in meinem Sinne aposteriori oder analytisch nennt, so urtheilt man nicht über die psycholo- gischen, physiologischen und physikalischen Verhältnisse, die es möglich gemacht haben, den Inhalt des Satzes im Be- wusstsein zu bilden, auch nicht darüber, wie ein Anderer vielleicht irrthümlicherweise dazu gekommen ist, ihn für wahr zu halten, sondern darüber, worauf im tiefsten Grunde die Berechtigung des Fürwahrhaltens beruht.
Dadurch wird die Frage dem Gebiete der Psychologie entrückt und dem der Mathematik zugewiesen, wenn es sich *) Ich will damit natürlich nicht einen neuen Sinn hineinlegen, sondern nur das treffen, was frühere Schriftsteller, insbesondere Kant gemeint haben.
1* um eine matliemathisclie Wahrheit handelt. Es kommt nun darauf an, den Beweis zu finden und ihn bis auf die Ur- wahrheiten zurückzuverfolgen. Stosst man auf diesem Wege nur auf die allgemeinen logischen Gesetze und auf Definitionen, so hat man eine analytische Wahrheit, wobei vorausgesetzt wird, dass auch die Sätze mit in Betracht gezogen werden, auf denen etwa die Zulässigkeit einer Definition beruht. Wenn es aber nicht möglich ist, den Beweis zu füliren, ohne Wahrheiten zu benutzen, welche nicht allgemein logischer Natur sind, sondern sich auf ein besonderes Wissensgebiet beziehen, so ist der Satz ein synthetischer. Damit- eine Wahrheit aposteriori sei, wird verlangt, dass ihr Beweis nicht ohne Berufung auf Thatsachen auskomme; d. h. auf unbeweisbare Wahrheiten ohne Allgemeinheit, die Aussagen von bestimmten Gegenständen enthalten. Ist es dagegen möglich, den Beweis ganz aus allgemeinen Gesetzen zu führen, die selber eines Beweises weder fähig noch bedürftig sind, so ist die Wahrheit apriori.*) § 4. Von diesen philosophischen Fragen ausgehend kommen wir zu derselben Forderung, welche unabhängig davon auf dem Gebiete der Mathematik selbst erwachsen ist: die Grundsätze der Arithmetik, wenn irgend möglich, mit grösster Strenge zu beweisen; denn nur wenn aufs sorg- fältigste jede Lücke in der Schlusskette vermieden wird, kann man mit Sicherheit sagen, auf welche Urwahrheiten sich der Beweis stützt; und nur wenn man diese kennt, wird man jene Fragen beantworten können.
*) Wenn man überhaupt allgemeine Walirlieiten anerkennt, so mnss man auch zugeben, dass es solche Urgesetze giebt, weil aus lauter einzelnen Thatsachen nichts folgt, es sei denn auf Grund eines Gesetzes. Selbst die Induction beruht auf dem allgemeinen Satze, dass dies Ver- fahren die Wahrheit oder doch eine Walirscheinlichkeit filr ein Gesetz begründen könne. Für den, der dies leugnet, ist die Induction nichts weiter als eine psychologische Erscheinung, eine Weise, wie Menschen zu dem Glauben an die Wahrheit eines Satzes kommen, ohne dass dieser Glaube dadurch irgendwie gerechtfertigt wäre.
5 5 Wenn man nun dieser Forderung nachzukommen ver- sucht, so gelangt man sehr bald zu Sätzen, deren Beweis solange unmöglich ist, als es nicht gelingt, darin vorkom- mende Begriffe in einf acher e'aufzulösen oder auf Allgemeineres zurückzuführen. Hier ist es nun vor allen die Anzahl, welche definirt oder als undefinirbar anerkannt werden muss. Das soll die Aufgabe dieses Buches sein.*) Von ihrer Lösung wird die Entscheidung über die Natur der arithmetischen Gesetze abhangen.
Bevor ich diese Fragen selbst angreife, will ich Einiges vorausschicken, was Fingerzeige für ihie Beantwortung geben kann. Wenn sich nämlich von andern Gesichtspunkten aus Gründe dafür ergeben, dass die Grundsätze der Arithmetik analytisch sind, so sprechen diese auch für deren Beweis- barkeit und für die Definirbarkeit des Begriffes der Anzahl. Die entgegengesetzte Wirkung werden die Gründe für die Apo- steriorität dieser Wahrheiten haben. Deshalb mögen diese Streitpunkte zunächst einer vorläufigen Beleuchtung unter- worfen werden.
I. Meinungen einiger Schriftsteller über die Natur der arithmetischen Sätze.
Sind die Zahlformeln beweisbar?
§ 5. Man muss die Zahlformeln, die wie 2 -f" ^ = 5 von bestimmten Zahlen handeln, von den allgemeinen Ge- setzen unterscheiden, die von allen ganzen Zahlen gelten.
Jene werden von einigen Philosophen**) für unbeweisbar und unmittelbar klar wie Axiome gehalten. Kant***) er- *) Es wird also im Folgenden, wenn nichts weiter bemerkt wird, von keinen amdem Zahlen als den positiven ganzen die Eede sein, welche auf die Frage wie viele? antworten.
♦*) Hobbes, Locke, Newton. Vergl. Bau mann, die Lehren von Zeit, Raum und Mathematik. S. 241 u. 242, S. 3ü5 ff., S. 475.
♦♦*) Kritik der reinen Vernunft herausgeg. v. Hartenstein. III. S. 157.
klärt sie für unbeweisbar und synthetisch, scheut sich aber, sie Axiome zu nennen, weil sie nicht allgemein sind, und weil ihre Zahl unendlich ist. Hankel*) nennt fnit Kecht diese Annahme von unendlich vielen unbeweisbaren Urwahr- heiten unangemessen und paradox. Sie widerstreitet in der That dem Bedürfnisse der Vernunft nach Uebersichtlichkeit der ersten Grundlagen. Und ist es denn unmittelbar ein- leuchtend, dass ist? Nein! und eben dies führt Kant für die synthetische Natur dieser Sätze an. Es spricht aber vielmehr gegen ihre Unbeweisbarkeit; denn wi« sollen sie anders eingesehen werden als durch einen Beweis, da sie unmittelbar nicht einleuchten? Kant will die Anschauung von Fingern oder Punkten zu Hilfe nehmen^ wodurch er in Gefahr geräth, diese Sätze gegen seine Meinung als empirische erscheinen zu lassen; denn die Anschauung von 37863 Fingern ist doch jedenfalls keine reine. Der Ausdruck „Anschauung** scheint auch nicht recht zu passen, da schon 10 Finger durch ihre Stellungen zu einander die verschiedensten An- schauungen hervorrufen können. Haben wir denn überhaupt eine Anschauung von 135664 Fingern oder Punkten? Hätten wir sie und hätten wir eine von 37863 Fingern und eine von 173527 Fingern, so müsste die Kichtigkeit unserer Glei- chung; sofort einleuchten, wenigstens für Finger, wenn sie unbeweisbar wäre; aber dies ist nicht der Fall.
Kant hat offenbar nur kleine Zahlen im Sinne gehabt. Dann würden die Formeln für grosse Zahlen beweisbar sein, die für kleine durch die Anschauung unmittelbar einleuchten. Aber es ist misslich, einen grundsätzlichen Unterschied zwischen kleinen und grossen Zahlen zu machen, besonders da eine scharfe Grenze nicht zu ziehen sein möchte. Wenn *) Vorlesungen tiber^ die complesen Zahlen und ihren Functionen.
die Zahlformeln etwa von 1 an beweisbar wären, so wörde man mit Recht fragen: warum nicht von 5 an, von 2 an, von 1 an?
§ 6. Andere Philosophen und Mathematiker haben denn auch die Beweisbarkeit der Zahlformeln behauptet. Leibniz*) sagt: „Es ist keine unmittelbare Wahrheit, dass 2 und 2 4 sind; vorausgesetzt, dass 4 bezeichnet 3 und 1, Man kann sie beweisen und zwar so: Axiom: Wenn man Gleiches an die Stelle setzt, bleibt die Gleichung bestehen.
Also: nach dem Axiom: 2 + 2 = 4/' Dieser Beweis scheint zunächst ganz aus Definitionen und dem angeführten Axiome aufgebaut zu sein. Auch dieses könnte in eine Definition verwandelt werden, wie es Leibniz an einem andern Orte**) selbst gethan hat. Es scheint, dass man von 1, 2, 3, 4 weiter nichts zu wissen braucht, als was in den Definitionen enthalten ist. Bei genauerer Betrachtung entdeckt man jedoch eine Lücke, die durch das Weglassen der Klammern verdeckt ist. Genauer müsste nämlich geschrieben werden: Hier fehlt der Satz der ein besonderer Fall von ist. Setzt man dies Gesetz voraus, so sieht man leicht, dass **) Non inelegaus specimen demonstraudi in abstractis. Erdm. S. 94.
g jede Formel des Einsundeins so bewiesen werden kann. Es ist dann jede Zahl aus der vorhergehenden zu definiren. In der That sehe ich nicht, wie uns etwa die Zahl 437986 an- gemessener gegeben werden könnte als in der leibnizischen Weise. Wir bekommen sie so, auch ohne eine Vorstellung von ihr zu haben, doch in unsere Gewalt. Die unendliche Menge der Zahlen wird durch solche Definitionen auf die Eins und die Vermehrung um eins zurückgeführt, und jede der unendlich vielen Zahlformeln kann aus einigen allgemeinen Sätzen bewiesen werden.
Dies ist auch die Meinung von H. Gras^mann und H. Hankel. Jener Avill das Gesetz durch eine Definition gewinnen, indem er sagt*): „Wenn a und b beliebige Glieder der Grundreihe sind, so versteht man unter der Summe a -f" h dasjenige Glied der Grundreihe, für welches die Formel gilt/^ Hierbei soll e die positive Einheit bedeuten. Gegen diese Erklärung lässt sich zweierlei einwenden. Zujiächst wird die Summe durch sich selbst erklärt. Wenn man noch nicht weiss, was a + b bedeuten soll, versteht man auch den Ausdruck a + (b -[" ß) nicht. Aber dieser* Einwand lässt sich vielleicht dadurch beseitigen, dass man freilich im Widerspruch mit dem Wortlaute sagt, nicht die Summe, sondern die Addition solle erklärt werden. Dann würde immer noch eingewendet werden können, dass a + b ein leeres Zeichen wäre, wenn es kein Glied der Grundreihe oder deren mehre von der verlaugten Art gäbe. Dass dies nicht statthabe, setzt Grassmann einfach voraus, ohne es zu be- weisen, sodass die Strenge nur scheinbar ist.
*) Lehrbuch dir Mathematik für höhere Lehranstalten. I. Theil: Arithmetik, Stettin 1860, S. 4.
§ 7. Man sollte denken, dass die Zablformeln syn- thetisch oder analytisch, aposteriori oder apriori sind, je nachdem die allgemeinen Gesetze es sind, auf die sich ihr Beweis stützt. Dem steht jedoch die Meinung John Stuart Mill's entgegen. Zwar scheint er zunächst wie Leibniz die Wissenschaft auf Definitionen gründen zu wollen,*) da er die einzelnen Zahlen wie dieser erklärt; aber sein Vor- urtheil, dass alles Wissen empirisch sei, verdirbt sofort den richtigen Gedanken wieder. Er belehrt uns nämlich,**) dass jene Definitionen keine im logischen Sinne seien, dass sie nicht nur die Bedeutung eines Ausdruckes festsetzen, sondern damit auch eine beobachtete Thatsache behaupten. Was in aller Welt mag die beobachtete oder, wie Hill auch sagt, physikalische Thatsache sein, die in der Definition der Zahl 777864 behauptet wird? Von dem ganzen Keichthume an physikalischen Thatsacheu, der sich hier vor uns aufthut, nennt uns Hill nur eine einzige, die in der Definition der Zahl 3 behauptet werden soll. Sie besteht nach ihm darin, dass es Zusammenfügungen von Gegenständen giebt, welche, während sie diesen Eindruck "o" auf die Sinne machen, in zwei Theile getrennt werden können, wie folgt: oo o. Wie gut doch, dass nicht Alles in der Welt niet- und nagelfest ist; dann könnten wir diese Trennung nicht vornehmen, und 2 + 1 wäre nicht 3! Wie schade, dass Hill nicht auch die physikalischen Thatsachen abgebildet hat, welche den Zahlen und 1 zu Grunde liegen!
Mill fähi't fort: „Nachdem dieser Satz zugegeben ist, nennen wir alle dergleichen Theile 3". Man erkennt hier- aus, dass es eigentlich unrichtig ist, wemi die Uhr drei schlägt, von drei Schlägen zu sprechen, oder süss, sauer, bitter drei Geschmacksempfindungen zu nennen; ebensowenig *) System der deductiven und inductiven Logik, übersetzt von J. Schiel, m. Buch, XXIV. Cap, § 5.
10 ist der Ausdruck „drei Auflösungsweisen einer Gleichung'^ zu billigen; denn man hat niemals davon den sinnlichen Eindruck wie von %**.
Nun sagt Mill: „Die Kechnungen folgen nicht aus der Definition selbst, sondern aus der beobachteten Thatsache." Aber wo hätte sich Leibniz in dem oben mitgetheilten Beweise des Satzes 2 + 2 = 4 auf die erwähnte Thatsache berufen sollen? Mill unterlässt es die Lücke nachzuweisen, obwohl er einen dem leibnizischen ganz entsprechenden Be- weis des Satzes 5 + 2 = 7 giebt.*) Die wirklich vorhan- dene Lücke, die in dem Weglassen der Klammern liegt, übersieht er wie Leibniz.
Wenn wirklich die Definition jeder einzelnen Zahl eine besondere physikalische Thatsache behauptete, so würde man einen Mann, der mit neunziffrigen Zahlen rechnet, nicht genug wegen seines physikalischen Wissens bewundern können. Vielleicht geht indessen MilTs Meinung nicht dahin, dass alle diese Thatsachen einzeln beobachtet werden müssten, sondern es genüge, durch Induction ein allgemeines Gesetz abgeleitet zu haben, in dem sie sämmtlich eingeschlossen seien. Aber man versuche, dies Gesetz auszusprechen, und man wird finden, dass es unmöglich ist. Es reicht nicht hin, zu sagen: es giebt grosse Sammlungen von Dingen, die zerlegt werden können; denn damit ist nicht gesagt, dass es so grosse Sammlungen und von der Art giebt, wie zur De- finition etwa der Zahl 1000000 erfordert werden, und die Weise der Theilung ist auch nicht genauer angegeben. Die millsche Auffassung führt nothwendig zu * der Forderung, dass für jede Zahl eine Thatsache besonders beobachtet werde, weil in einem allgemeinen Gesetze grade das Eigen- thümliche der Zahl 1000000, das zu deren Definition noth- wendig gehört, verloren gehen würde. Man dürfte nach Mill in der That nicht setzen 1000000 = 999999 + 1, 11 wenn man nicht grade diese eigenthümliche Weise der Zer- legung einer Sammlung von Dingen beobachtet hätte, die von der irgendeiner andern Zahl zukommenden verschieden ist.
§ 8. Mill scheint zu meinen, dass die Definitionen 2 = 1 + 1, 3 = 2 -f 1, 4 = 3 + 1 u. s. w. nicht ge- macht werden dürften, ehe nicht die von ihm erwähnten Thatsachen beobachtet wären. In der That darf man die 3 nicht als (2 + 1) definiren, wenn man mit (2 + 1) gar keinen Sinn verbindet. Es fragt sich aber, ob es dazu nöthig ist, jene Sammlung und ihre Trennung zu beobachten. Räth- selhaft wäre dann die Zahl 0; denn bis jetzt hat wohl nie- mand Kieselsteine gesehen oder getastet. Mill wüi'de gewiss die für etwas Sinnloses; für eine blosse Redewendung erklären; die Rechnungen mit würden ein blosses Spiel mit leeren Zeichen sein, und es wäre nur wunderbar, wie etwas Vernünftiges dabei herauskommen könnte. Wenn aber diese Rechnungen eine ernste Bedeutung haben, so kann auch das Zeichen selber nicht ganz sinnlos sein Und es zeigt sich die Möglichkeit, dass 2 + 1 in ähnlicher Weise wie die 0, einen Sinn auch dann noch haben könnte, wenn die von Mill erwähnte Thatsache nicht beobachtet wäre. Wer will in der That behaupten, dass die in der Definition einer ISzifirigen Zahl nach Mill enthaltene Thatsache je beob- achtet sei, und wer will leugnen, dass eiu solches Zahl- zeichen trotzdem einen Sinn habe?
Vielleicht meint man, es würden die physikalischen Thatsachen nur für die kleineren Zahlen etwa bis 10 ge- braucht, indem die übrigen aus diesen zusammengesetzt werden könnten. Aber^ wenn man 11 aus 10 und 1 blos durch De- finition bilden kann, ohne die entsprechende Sammlung ge- sehen zu habeU; so ist kein Grund, weshalb man nicht auch die 2 aus 1 und 1 so zusammensetzen kann. Wenn die Rechnungen mit der Zahl 11 nicht aus einer für diese be- zeichnenden Thatsache folgen, wie kommt es, dass die Rech- nungen mit der 2 sich auf die Beobachtung einer gewissen 12 Sammlung und deren eigenthümliclier Trennung stützen müssen?
Man fragt vielleicht, wie die Arithmetik bestehen könne, wenn wir durch die Sinne gar keine oder nur drei Dinge unterscheiden könnten. Für unsere Kenntniss der arithme- tischen Sätze und deren Anwendungen würde ein solcher Zustand gewiss etwas Missliches haben, aber auch für ihre Wahrheit? "Wenn man einen Satz empirisch nennt, weil wir Beobachtungen gemacht haben müssen, um uns seines Inhalts bewusst 7U werden, so gebraucht man das Wort „empirisch" nicht in dem Sinne, dass es dem „apriori" entgegengesetzt ist. Man spricht dann eine psychologische Behauptung aus, die nur den Inhalt des Satzes betrifft; ob dieser wahr sei, kommt dabei nicht in Betracht. In dem Sinne sind auch alle Geschichten Münchhausens empirisch; denn gewiss muss man mancherlei beobachtet haben, um sie erfinden zu können.
Sind die Gesetze der Arithmetik inductive Wahrheiten?
§ 9. Die bisherigen Erwägungen machen es wahr- scheinlich, dass die Zahlformeln allein aus den Definitionen der einzelnen Zahlen mittels einiger allgemeinen Gesetze ab- leitbar sind, dass diese Definitionen beobachtete Thatsachen weder behaupten noch zu ihrer Rechtmässigkeit voraussetzen. Es kommt also darauf an, die Natur jener Gesetze zu erkennen.
Mill*) will zu seinem vorhin erwähnten Beweise der Formel 5 + 2 = 7 den Satz „was aus Theilen zusammen- gesetzt ist, ist aus Theilen von diesen Th^en zusammen- gesetzt" benutzen. Dies hält er für einen charakteristischern Ausdruck des sonst in der Form „die Summen von Gleichem sind gleich" bekannten Satzes. Er nennt ihn inductive Wahrheit und Naturgesetz von der höchsten Ordnung. Für 13 die Ungenauigkeit seiner Darstellung ist es bezeichnend, dass er diesen Satz gar nicht an der Stelle des Beweises heran- zieht, wo er nach seiner Meinung unentbehrlich ist; doch scheint es, dass seine inductive Wahrheit Leibnizens Axiom vertreten soll: „wenn man Gleiches an die Sielle setzt, bleibt die Gleichung bestehen," Aber um arithmetische "Wahrheiten Naturgesetze nennen zu können, legt Mill einen Sinn hinein, den sie nicht haben. Er meint z. B.*) die Gleichung 1 = 1 könne falsch sein, weil ein Pfundstttck nicht immer genau das Gewicht eines andern habe. Aber das will der Satz 1 = 1 auch gar nicht behaupten.
Mill versteht das -|- Zeichen so, dass dadurch die Beziehung der Theile eines physikalischen Körpers oder eines Haufens zu dem Ganzen ausgedrückt werde; aber das ist nicht der Sinn dieses Zeichens. 5 -|- 2 = 7 bedeutet nicht, dass wenn man zu 5 Raumtheilen Flüssigkeit 2 Baumtheile Flüssigkeit giesst, man 7 Baumtheile Flüssigkeit erhalte, sondern dies ist eine Anwendung jenes Satzes, die nur statt- haft ist, wenn nicht infolge etwa einer chemischen Ein- wirkung eine Volumänderung eintritt. Mill verwechselt immer Anwendungen, die man von einem arithmetischen Satze machen kann, welche oft physikalisch sind und beob- achtete Thatsachen zur Voraussetzung liaben, mit dem rein mathematischen Satze selber. Das Pluszeichen kann zwar in manchen Anwendungen einer Haufenbildung zu entsprechen scheinen; aber dies ist nicht seine Bedeutung; denn bei andern Anwendungen kann von Haufen, Aggregaten, dem Verhält- nisse eines physikalischen Körpers zu seinen Theilen keine Rede sein, z. B. wenn man die Rechnung auf Ereignisse bezieht. Zwar kann man auch hier von Theilen sprechen; dann gebraucht man das Wort aber nicht im physikalischen oder geometrischen, sondern im logischen Sinne, wie wenn man die Ermordungen von Staatsoberhäuptern einen Theil 16 16 .nber das kann hier wenig nützen. Ebenso wenig wird es uns bei den Zahlen nützen, dass sie sämmtlich unter den Begriff „was man durch fortgesetzte Vermehrung um eins erhält** fallen. Man kann eine Verschiedenheit der beiden Fälle darin finden, dass die Schichten nur angetroffen werden, die Zahlen aber durch die fortgesetzte Vermehrung um eins geradezu geschaffen und ihrem ganzen Wesen nach bestimmt werden. Dies kann nur heissen, dass man aus der Weise, wie eine Zahl, z. B. 8, durch Vermehrung um 1 entstanden ist, alle ihre Eigenschaf ten ableiten kann. Damit giebt man im Grunde zu, dass die Eigenschaften der Zahlen aus ihren Definitionen folgen, und es eröffnet sich die Möglichkeit, die allgemeinen Gesetze der Zahlen aus der allen gemeinsamen Entstehungsweise zu beweisen, während die besondern Eigen- schaften der einzelnen aus der besondern Weise zu folgern wären, wie sie durch fortgesetzte Vermehrung um eins ge- bildet sind. So kann man auch, was bei den Erdschichten, schon durch die Tiefe allein bestimmt ist, in der sie ge- troffen werden, also ihre Lagenverhältnisse, eben daraus schliessen, ohne dass man die Induction nöthig hätte; was aber nicht dadurch bestimmt ist, kann auch die Induction nicht lehren.
Vermuthlich kann das Verfahren der Induction selbst nur mittels allgemeiner Sätze der Arithmetik gerechtfertigt werden, wenn man darunter nicht eine blosse Gewöhnung versteht. Diese hat nämlich durchaus keine wahrheitver- bürgende Kraft. Während das wissenschaftliche Verfahren nach objectiven Maasstäben bald in einer einzigen Bestä- tigung eine hohe Wahrscheinlichkeit begründet findet, bald tausendfaches Eintreffen fast für wertlüos erachtet, wird die Gewöhnung durch Zahl und Stärke der Eindrücke und subjective Verhältnisse bestimmt, die keinerlei Recht haben, auf das Urtheil Einfiuss zu üben. Die Induction muss sich auf die Lehre von der Wahrscheinlichkeit stützen, weil sie einen Satz nie mehr als wahrscheinlich machen kai\n. Wie 17 diese Lehre aber ohne Voraussetzung arithmetischer Gesetze entwickelt werden könne, ist nicht abzusehen.
§ 11. Leibniz*) meint dagegen, dass die nothwendigen Wahrheiten, wie man solche in der Arithmetik findet, Principien haben müssen, deren Beweis nicht von den Bei- spielen und also nicht von dem Zeugnisse der Sinne abhangt, wiewohl ohne die Sinne sich niemand hätte einfallen lassen, daran zu denken. „Die ganze Arithmetik ist uns eingeboren und in uns auf virtuelle Weise." Wie er den Ausdruck „eingeboren" meint, verdeutlicht eine andere Stelle**): „Es ist nicht wahr, dass alles, was man lernt, nicht eingeboren sei; — die Wahrheiten der Zahlen sind in uns, und nichts- destoweniger lernt man sie, sei es, indem man sie aus ihrer Quelle zieht, wenn man sie auf beweisende Art lernt (was eben zeigt, dass sie eingeboren sind), sei es...".
Sind die Gesetze der Arithmetik synthetisch apriori oder analytisch?
§ 12. Wenn man den Gegensatz von analytisch und synthetisch hinzunimmt, ergeben sich vier Combinationen, von denen jedoch eine, nämlich analytisch aposterioii ausfällt. Wenn man sich mit Mill für aposteriori ent- schieden hat, bleibt also keine Wahl, sodass für uns nur noch die Möglichkeiten synthetisch apriori und analytisch zu erwägen bleiben. Für die erstere entscheidet sich Kant.
2 18 In diesem Falle bleibt wohl nichts übrig, als eine reine Anschauung als letzten Erkenntnissgrund anzurufen, obwohl hier schwer zu sagen ist, ob es eine räumliche oder zeitliche ist, oder welche es sonst sein mag. Baumann*) stimmt Kant; wenngleich mit etwas anderer Begründung, bei. Auch nach Lipschitz**) liiessen die Sätze, welche die Unabhängigkeit der Anzahl von der Art des Zählens und die Vertauschbarkeit und Gruppirbarkeit der Summanden behaupten, aus der inneren Anschauung. Hankel***) gründet die Lehre von den reellen Zahlen auf drei Grundsätze, denen er den Charakter der notiones communes zu- schreibt: „Sie werden durch Explication vollkommen evident, gelten für alle Grössengebiete nach der reinen Anschauung der Grösse und können, ohne ihren Charakter einzubüssen, in Definitionen verwandelt werden, indem man sagt: Unter der Addition von Grössen versteht man eine Operation, welche diesen Sätzen genügt. ^^ In der letzten Behauptung liegt eine Unklarheit. Vielleicht kann man die Definition machen; aber sie kann keinen Ersatz für jene Grundsätze bilden; denn bei der Anwendung würde es sich immer darum handeln: sind die Anzahlen Grössen, und ist das, was man Addition der Anzahlen zu nennen pflegt, Addition im Sinne dieser Definition? Und zur Beantwortung müsste man jeue Sätze von den Anzahlen schon kennen. Ferner erregt der Ausdruck „reine Anscliauung der Grösse" Anstoss. Wenn man erwägt, was alles Grösse genannt wird: Anzahlen, Längen, Flächeninhalte, Volumina, Winkel, Krümmungen, Massen, Geschwindigkeiten, Kräfte, Lichtstärken, galvanische Stromstärken u. s. f., so ist wohl zu verstehen, wie man dies einem Grössenbegriffe unterordnen kann; aber der Ausdruck „Anschauung der Grösse" und gar „reine An- 19 schauung der Grösse" kann nicht als zutreffend anerkannt werden. Ich kann nicht einmal eine Anschauung von 100000 zugeben, noch viel weniger von Zahl im Allgemeinen oder gar von Grösse im Allgemeinen. Man beruft sich zu leicht auf innere Anschauung, wenn man keinen andern Grund anzugeben vermag. Aber man sollte dabei den Sinn des Wortes „Anschauung^' doch nicht ganz aus dem Auge verlieren.
Kant definirt in der Logik (ed. Hartenstein, YIII, S. 88): ,,Die Anschauung ist eine einzelne Vorstellung (reprae- sentatio singularis), der Begriff eine allgemeine (repraesentatio per notas communes) oder reflectirte Vorstellung (reprae- sentatio discursiva).*' Hier kommt die Beziehung zur Sinnlichkeit gar nicht zum Ausdiucke, die doch in der transcendentalen Aesthetik hinzugedacht wird, und ohne welche die Anschauung nicht als Erkenntnisspriucip für die synthetischen XJrtheile apriori dienen kann. In der Kr. d. r. V. (ed. Hartenstein III, S. 56) heisst es: „Vermittelst der Sinnlichkeit also werden uns Gegen- stände gegeben und sie allein liefert uns Anschauungen/* Der Sinn unseres Wortes in der Logik ist demnach ein weiterer als in der trancendentalen Aesthetik. Im logischen Sinne könnte man vielleicht 100000 eine An- schauung nennen; denn ein allgemeiner Begriff ist es nicht. Aber in diesem Sinne genommen, kann die Anschauung nicht zur Begründung der arithmetischen Gesetze dienen. § 13. Ueberhaupt wird es gut sein, die Verwandtschaft mit der Geometrie nicht zu überschätzen. Ich habe schon eine leibnizische Stelle dagegen angeführt. Ein geometrischer Punkt für sich betrachtet, ist von irgendeinem andern gar nicht zu unterscheiden; dasselbe gilt von Geraden und Ebenen. Erst wenn mehre Punkte, Gerade, Ebenen in einer An- schauung gleichzeitig aufgefasst werden, unterscheidet man sie. Wenn in der Geometrie allgemeine Sätze aus der 80 Anschauung ^f^wonneii werden, so ist das daraus erklärü( dass die angeynliauten Puukte, Geraden, Ebeueu eigentlicfi gar keine liesuudern nind und dalier als Vertreter ihrer ganzen Gattung gelten küniieii, Anders liegt die Sache bei den Zahlen: jede hat i hre Eigenthümliuhkeit. Inwiefern eine bestimmte Zahl alle andern vertreten kann, uuil wo ihre Besonderheit sich geltend macht, ist ohne Weiteres nicht zu sagen.
§ 14. Auch die Vergli'ichuuff der Wahrheiten in Bezu| auf das von ihnen beheiTschte Gebiet spricht gegen empirische und synthetische Natur der arithmetischen Gesel; Die Ert'alirungssäl ze gelten fllr die physische odi psychologische Wii'klichkeit, die geometiiachen Wahrheitej beherrschen das Gebiet des räumlich Anschaulichen, es nun Wirklichkeit oder Erzeugniss der Einbildungskri sein. Die tollsten Fieberphantasien, die kliliusteu Erfindung! der Sage und der Dichter, welche Thiero reden, Gestirni stille stehen lassen, aus Steinen Menschen und aus Meuschei ßilume machen, und lehren, wie man sich am eignen Hchopfe aus dem tjuniple zieht, sie ^iud doch, sofern sie aiischa,ulich bleiben, an die Axiome der Geometi'ie gebunden. Von diesen kann nur das begriffliche Denken in gewisser Weise loskommen, wenn es etwa einen Baum von vier Dimensionen oder von positivem Krümmungsmaasse annimmt. Solche Betrachtungen sind durchaus nicht unnütz; aber h lassen ganz den Boden der Anschauung. Wenn man dieai auch dabei zu Hilfe nimmt, so ist es doch immer die sehauung des euklidischen Raumes, des einzigen, von dessei Gebilden wir eine haben. Sie wird dann nur nicht so, wi( sie ist, sondern syrnhotisch für etwas anderes genommen; mau nennt z. B. gerade oder eben, was man doch als Krummes anschaut. Für das begrifüiche Denken kann man immerlun von diesem oder jenem geometrischen Axiome das Gegentlieil annehmen, ohne dass man in Widersprüche mit sich selbst verwickelt wird, wenn man Schlusefolgerungen 21