§ 41* Wird denn aber der Zweck der Vereinigung von Unterscheidbarkeit und Gleichheit wirklich erreicht, wenn wir von allen unterscheidenden Kennzeichen ausser den räumlichen und zeitlichen absehen? Nein! Wir sind der Lösung nicht um Einen Schritt näher gekommen. Die grössere oder geringere Aehnlichkeit der Gegenstände thut nichts zur Sache, wenn sie doch zuletzt aus einander gehalten werden müssen. Ich darf die einzelnen Punkte, Linien u. s. f. hier ebenso wenig alle mit l bezeichnen, als ich sie bei geometrischen Betrachtungen sämmtlich A nennen darf; denn hier wie dort ist es nöthig, sie zu unterscheiden. Nur ftir sich, ohne Bücksicht auf ihre räumlichen Beziehungen sind die Baumpunkte einander gleich. Soll ich sie aber zusammen- fasseU; so muss ich sie in ihrem räumlichen Zusammensein betrachten, sonst schmelzen sie unrettbar in Einem zusammen. Punkte stellen in ihrer Gesammtheit vielleicht irgendeine stembildartige Figur vor oder sind ii-gendwie auf einer Ge- raden angeordnet, gleiche Strecken bilden vielleicht mit den Endpunkten zusammenstossend eine einzige Strecke oder liegen getrennt von einander. Die so entstehenden Gebilde können für dieselbe Zahl ganz verschieden sein. So würden wir auch hier verschiedene Fünfen, Sechsen u. s. w. haben. Die Zeitpunkte sind durch kurze oder lange, gleiche oder ungleiche Zwischenzeiten getrennt. Alles dies sind Ver- hältnisse, die mit der Zahl an sich gar nichts zu thun haben. Ueberall mischt sich etwas Besonderes ein, worüber die Zahl in ihrer Allgemeinheit weit erhaben ist. Sogar ein einzelner Momeut hat etwas Eigeiithlimliches, wodurch er sicli etwa von einem Raumpnnkte untersclieidet, nniJ woyon uiclits in (lern Zalilbegriffe vorkommt.
§ 42, Auch der Ausweg, räunifiche nnil zeitliche An- ordnung durch einen allgemeinem Reihenbegriff zu ersetzen, führt nicht zum Ziele; denn die Stelle in der Reihe kann nicht der Gruud des Untevscheidens der Gegenstände sein, weil diese schon irgendworan unterschieden sein müssen, um in eine Reihe geordnet werden zu können. Eine solche Anordnung setzt immer Beziehungen zwischen den Gegen- ständen voraus, seien es nun räumliche oder zeitliche oder logische oder Tonintervalle oder welche sonst, durch die man sich von einem zum andern leiten lÄsst, und die mit deren Unterscheidung nothwendig verbunden sind.
Wenn Hankel*) ein Oliject 1 mal, 2 mal, 3 mal denken oder setzen lässt, so scheint auch dies ein Versuch zu sein, die Unterscheidbarkeit mit der Gleichheit des zu Zählenden zu vereineu. Aber man siebt auch sofort, das« es kein ge- lungener ist; denn diese Vors teil unge.u oder Anschauungen desselben Gegenstandes mfissen, um nicht in Eine 2u.sammen- zufliessen, irgendwie verschieden sein. Ich meine auch, dass man berechtigt ist, Tun 45 Millionen Deutschen zn sprechen, ohne voi'her 45 Millionen mal einen Normal- Deutsthen gedacht oder gesetzt zu haben; das möchte etwas nmständlich seiu.
§ 43, ^VahrKcheinlieh um die Schwierigkeiten zu ver- meiden, die sich ergeben, wenn mau mit St. Jevous jedes Zeichen 1 einen der gezShlten Gegenstände bedeuten lässt, will E. SchrSder dadurch einen Gegenstand nur abbilden. Die Folge ist, dass er nur das Zahlzeichen, nicht die Zahl erklärt. Er sagt nämlich"**): „Um nun ein Zeichen zu erhalten, welches fähig ist auszudrücken, wieviele jeuer *) Theorie der complexen Zahleuaystenie, K. 1. "> Lebrbnch der Arit.limetik und Algebm, S, 5 ft'.
55 Einheiten'*') vorhanden sind, richtet man die Aufmerksamkeit der Reihe nach einmal auf eine jede derselben and bildet sie mit einem Strich: 1 (eine Eins, ein Einer) ab; diese Einer setzt man in eine Zeile neben einander, verbindet sie jedoch unter sich durch das Zeichen -{- (plus), da sonst zum Beispiel 111 nach der gewöhnlichen Zahlenbezeichnung als einhundert und elf gelesen wilrde. Man erhält auf diese Weise ein Zeichen wie: dessen Zusammensetzung man dadurch beschreiben kann, dass man sagt: „Eine natürliche Zahl ist eine Summe von Einern.''
Hieraus sieht man, dass fär Schröder die Zahl ein Zeichen ist. Was durch dies Zeichen ausgedrückt wird, das, was ich bisher Zahl genannt habe, setzt er mit den Worten,^wieviele jener Einheiten vorhanden sind'* als bekannt voraus. Auch unter dem Worte „Eins" versteht er das Zeichen 1, nicht dessen Bedeutung. Das Zeichen + dient ihm zunächst nur als äusserliches Yerbindungsmittel ohne eignen Inhalt; erst später wird die Addition erklärt. Er hätte wohl kürzer so sagen können: man schreibt ebensoviele Zeichen 1 neben einander^ als man zu zählende Gegenstände hat, und verbindet sie durch das Zeichen +. Die Null würde dadurch auszudrücken sein, dass man nichts hinschreibt.
§ 44. Um nicht die unterscheidenden Kennzeichen der Dinge in die Zahl mitaufzunehmen, sagt St. Jevons"^"^): „Es wird jetzt wenig schwierig sein, eine klare Vor- stellung von der Zahlen-Abstraction zu bilden. Sie besteht im Abstrahiren von dem Charakter der Verschiedenheit, aus der Vielheit entspringt, indem man lediglich ihr Vor- handensein beibehält. Wenn ich von drei Männern spreche, *) zu zftblenden Gegenstände.
56 so brauche ich nicht gleich die Kennzeichen einzeln anzu- geben, an denen man jeden von ihnen vou jedem unter- scheiden kann. Diese Kennieichen müssen vorhanden sein, wenn sie wirklich drei Männer und nicht eiu und derselbe sind, und indem ich von ihnen als von vielen rede, behaupte ich damit zugleich das Vorhandenseiu dei- erforderlichen Unterschiede. Unbenannte Zahl ist also die leere Form der Verschiedenheit."
Wie ist das zu verstehn? Man kann entweder von den unterscheidenden Eigenschaften der Dinge absti-ahiien, bevor man sie zu einem Ganzen vereinigt; oder man kann erst ein Ganzes bilden und dann von der Art der Unterschiede abstrahiren. Auf dem ersten Wege würden wir gar nicht zur Unterscheidung der Dinge kommen und also auch das Vorhandensein der Unterschiede nicht festhalten können; den zweiten Weg scheint Jevons zu meinen, Aber ich glaube nicht, dass wir so die Zalil lOOOU gewinnen würden, weil wir uicht im Stande.sind, so viele Unterschiede gleich- zeitig aufzufassen und ihr Vorhandensein festzuhalten; denn, wenn es nach einander geschähe, so würde die Zahl nie fertig werden. Wir zählen zwar in der Zeit; aber dadurch gewinnen wir nicht die Zahl, sondern bestimmen sie uu] Uebrigens ist die Angabe der AVeise des Abstrahirens kai Definition.
Was soll man sich unter der,, leeren Form der V^ schiedenheit" denken? etwa einen Satz wie „a ist verschieden von b", wobei a und b unbestimmt bleiben? Wäre dieser etwa die Zahl 2 'i Ist der Satz „die Erde hat zwei Pole" gleichbedeutend mit „der Nordpol ist vom Südpol verschieden"? Offenbar nicht. Der zweite Satz könnte ohne den ersti^ nnd dieser ohne jenen bestehen. Eiir die Zahl 1000 würd^ wir dann 67 solche Sätze haben, die eine Verschiedenheit ausdrücken.
Was Je von s sagt, passt insbesondere gar nicht auf die Tind die 1. Wovon soll man eigentlich abstrahiren, um z. B. vom Monde auf die Zahl l zu kommen? Durch Abstrahiren erhält man wohl die Begriffe: Begleiter der Erde, Begleiter eines Planeten, Himmelskörper ohne eignes Licht, Himmelskörper, Körper, Gegenstand; aber die 1 ist in dieser Reihe nicht anzutreffen; denn sie ist kein Begriff, unter den der. Mond fallen könnte. Bei der hat man gar nicht einmal einen Gegenstand, von dem bei der Abstraction auszugehen wäre. Man wende nicht ein, dass und 1 nicht Zahlen in demselben Sinne seien wie 2 und 3 I Die Zahl antwortet auf die Frage wieviel? und wenn man z. B. fragt: wieviel Monde hat dieser Planet? so kann man sich ebenso gut auf die Antwort oder 1 wie 2 oder 3 gefasst machen, ohne dass der Sinn der Frage ein andrer wird. Zwar hat die Zahl etwas Besonderes und ebenso die 1, abei* das gilt im Grunde von jeder ganzen Zahl; nur fällt es bei d«n grösseren immer weniger in die Augen. Es ist durchaus willkührlich, hier einen Artunterschied zu machen. Was nicht auf oder 1 passt, kann für den Begriff der Zahl nicht wesentlich sein.
Endlich wird durch die Annahme dieser Entstehungs- weise der Zahl die Schwierigkeit gar nicht gehoben, auf die wir bei der Betrachtung der Bezeichnung für 5 gestossen sind. Diese Schreibung steht gut im Ein- klänge mit dem, was Jevons über die zahlenbildende Ab- straction sagt; die obern Striche deuten nämlich an, dass «ine Verschiedenheit da ist, ohne jedoch ihre Art anzugeben. Aber das blosse Bestehen der Verschiedenheit genügt schon, wie wir gesehen haben, um bei der Jevons'schen Auf- fassung verschiedene Einsen, Zweien, Dreien hervorzubringen, was mit dem Bestände der Arittimetik durchaua unves träglich ist Lösung der Schwierigkeit.
§ 45. Uöberlilickeii wir nun das bisher voti uns FesI gestallte lind die noch unbeantwortet gebliebenen Kragen!
Die Zahl ist nicht in der Weise wie Farbe, Gewicht, Hfirte von den Dingen abstrahirt, ist nicht in dem Sinne wie diese Eigenschaft der Dinge. Es blieb nocli die Frage, von wem durch eine Zahlangabe etwas ausgesagt werde.
Die Zahl ist nichts Physikalisches, aber auch nichts Bubjectives, keine Vorstellung.
Die Zahl entsteht nicht durch Hinznfhgnng von Ding zu Ding. Andi die Namengebung nach jeder Hinzufiignng ändert darin nichts.
Die Ausdrücke „Vielheit," „Menge," „Mehrheit" sind wegen ihrer Unbestimmtheit ungeeignet, zur Erklärung der Zahl zu dienen.
In Rezug auf Eins und Einheit blieb die Frage, wie die Willkiihr d^r Auffassung zu beschränken sei, die jeden Unterschied zwischen Einem und Vielen zu verwischen schien.
Die Abgegrenztheit, die Uugetheiltheit, die Unzerleg- barkeit sind keine brauchbaren Merkmale für das, was wir durch das Wort,,Ein*' ausdrucken.
Wenn man die zu zählenden Dinge Einheiten nennt, So ist die unbedingte Behauplung, dass die Einheiten gleich seien, f;ilsch. Dass sie in gewisser Hin.sicht gleich sind, ist zwar richtig aber werthlos. Die Verschiedenheit der zu zählenden Dinge ist sogar nothwendig. wenn die Zahl grösser als 1 wenleu soll.
So schien es, dass wir deu Eiuheiten zwei wider- sprechende Eigenschaften beilegen müssten: die Gleichheit und die Unterscheidbarkeit.
Es ist ein Unterschied zwischen Eins und Einheit zu machen. Das "Wort „Eins" ist als Eigenname eiues Gegen- 59 Standes der inathematischeu Forschung eines Plurals unfähig. Es ist also sinnlos, Zahlen durch Zusammenfassen Ton Einsen entstehen zu lassen. Das PIuszeicKfen in 1 + 1 = 2 kann nicht eine solche Zusammenfassung bedeuten.
§ 46. Um Licht in die Sache zu bringen, wird es gut seiU) die Zahl im Zusammenhange eines Urtheils zu betrachten, wo ihre ursprüngliche Anwendungsweise hervor- tritt. Wenn ich in Ansehung derselben äussern Erscheinung mit derselben Wahrheit sagen kann: „dies ist eine Baum- gruppe" und „dies sind fünf Bäume" oder „hier sind vier Compagnien" und „hier sind 500 Mann," so ändert sich dabei weder das Einzelne noch das Ganze, das Aggregat, sondern meine Benennung. Das ist aber nur das Zeichen der Ersetzung eines Begriffes durch einen andern. Damit wird uns als Antwort auf die erste Frage des vorigen Para- graphen nahe gelegt, da^s die Zahlangabe eine Aussage von einem Begriffe enthalte. Am deutlichsten ist dies vielleicht bei der Zahl 0. Wenn ich sage: „die Venus hat Monde", so ist gar kein Mond oder Aggregat von Monden da, von dem etwas ausgesagt werden könnte; aber dem Begriffe „Venusmond" wird dadurch eine Eigenschaft beigelegt, nämlich die, nichts unter sich zu befassen. Wenn ich sage: „der Wagen des Kaisers wird von vier Pferden gezogen," so lege ich die Zahl vier dem Begriffe „Pferd, das den Wagen des Kaisers zieht," bei.
Man mag einwenden, dass ein Begriff wie z. B. „An- gehöriger des deutschen Reiches," obwohl seine Merkmale unverändert bleiben, eine von Jahr zu Jahr wechselnde Eigenschaft haben würde, wenn die Zahlangabe eine solche von ihm aussagte. Man kann dagegen geltend machen, dass auch Gegenstände ihre Eigenschaften ändern, was nicht verhindere, sie als dieselben anzuerkennen. Hier lässt sich aber der Grund noch genauer angeben. Der Begriff „Ange- höriger des deutschen Reiches" enthält nämlich die Zeit als veränderlichen Bestandtheil, oder, um mich mathematisch 80 auszudrücken, ist eine Function der Zeit. Für „a ist ein Angehöriger des deutschen Reiches" kann man sagen: „a gehört dem deutschen Reiche an" und dies bezieht sich auf den gerade gegenwärtigen Zeitpunkt. So ist also in dem Begriffe selbst schon etwas Ftiessendes. Dagegen kommt dem Begriffe,. Angehöriger des deutschen Reiches ZH Jahresanfang 1883 berliner Zeit" in alle Ewigkeit dieselbe Zahl zu.
§ 47. Dass eine Zahlangabe etwas Thatsächliches von unserer Auffassung Unabhängiges ausdrückt, kann nur den Wunder nehmeu, welcher den Begrifl" für etwas Snbjectives gleich der Vorstellung hält. Aber diese Ansicht ist falsch. Wenn wir z. B. den Begriff des Körpers dem des Schweren oder den des Wallfisches dem des Säugetliiers unterordnen, so behaupten wir damit etwas Objectives. Wenn nun die Begriffe eubjectiv wären, so wäre auch die Unterordnung des einen unter den andern als Beziehung zwischen ihnen etwas Snbjectives wie eine Beziehung zwischen Vorstellungen, Freilich auf den eisten Blick scheint der Satz „alle Wallfische sind Säugethiere" Ton Thiereu, nicht von Begriffen zu handeln; aber, man fragt, von welchem Thiere denn die Rede sei, so kann man kein einziges aufweisen. Gesetzt, es liege ein Wallfisch vöi-, so behauptet doch von diesem unser Satz nichts. Man könnte aus ihm nicht schliessen, das vorliegende Thier sei ein Säugethier, ohne den Satz hinzuznnehmeu. dass es ein Wallflsch ist, wovon unser Satz nichts enthält. Uebei'haupt ist es unmöglich, von einem Gegenstaude zu sprechen, ohne ihn irgendwie zu bezeichnen oder zu benennen. Das Worl „Wallfisch" benennt aber kein Einzelwesen. AVenn mau erwidert, allerdings sei nicht von einem einzelnen, bestimmten Gegenstande die Rede, wohl aber von einem unbestimmten, so meine ich, dass „unbestimmter Gegenstand" nur ein andrer Ausdruck für „Begriff" ist, und zwar ein schlechter, wider- 4 61 4 61 spruchsvoller. Mag immerhin unser Satz nur durch Be- obachtung an einzelnen Thieren gerechtfertigt werden können, dies beweist nichts fftr seinen Inhalt. Fttr die Frage, wovon er handelt, ist es gleichgiltig, ob er wahr ist oder nicht, oder ans welchen Gründen wir ihn fttr wahr halten. Wenn nun der Begriff etwas Objectiyes ist, so kann auch eine Aussage von ihm etwas Thatsächliches enthalten.
§ 48. Der Schein, der vorhin bei einigen Beispielen entstand, dass demselben verschiedene Zahlen zukämen^ erklärt sich daraus, dass dabei Gegenstände als Träger der Zahl angenommen wurden. Sobald wir den wahren Träger, den Be^iff, in seine Hechte einsetzen, zeigen sich die Zahlen so ausschliessend wie in ihrem Bereiche die Farben.
Wir sehen nun auch, wie man dazu kommt, die Zahl durch Abstraction von den Dingen gewinnen zu wollen. Was man dadurch erhält, ist der Begriff, an dem man dann die Zahl entdeckt. So geht die Abstraction in der That oft der Bildung eines Zahlurtheils vorher. Die Verwechselung ist dieselbe, wie wenn man sagen wollte: der Begriff der Feuergefährlichkeit wird erhalten, indem man ein Wohnhaus aus Fachwerk mit einem Brettergiebel und Strohdach baut, dessen Schornsteine undicht sind.
Die sammelnde Kraft des Begriffes äbertrifft weit die vereinigende der synthetischen Apperception. Durch diese wäre es nicht möglich, die Augehörigen des deutschen Reiches zu einem Ganzen zu verbinden; wohl aber kann man sie unter dem Begriff „Angehöriger des deutschen Reiches'^ bringen und zählen.
Nun wird auch die grosse Anwendbarkeit der Zahl erklärlich. Es ist in der That räthselhaft, wie dasselbe von äussern und zugleich von innem Erscheinungen, von Räum- lichem und Zeitlichem und von Raum- und Zeitlosem aus- gesagt werden könne. Dies findet nun in der Zahlangabe auch gar nicht statt. Nur den Begriffen, unter die das 08 Aeussere und Innere, das Bäumltclie und Zeitliche, dns Ranra- und Zeitloge gebraclit ist, werden Zalilen beigelegt.
§ 4y. Wir finden füi- unsere Ansicht eine Bestätigung l>ei Spinoza, der sagt*): „Ich antworte, dass ein Ding blos rücksichllich seiner Existenz, nicht aber seiner Essenz eines oder einzig genannt wird; denn wir stellen die Dinge unter Znhleii nur vur, nachdem sie auf ein gemeinsames Alaass gebracht sind. Wer z. B, ein Sesterz und einen Tmpei'ial in der Hand hält, wird an die Zweizahl nicht denken, wenn er niclit dieses Sesterz und diesen Imperial mit einem und dem nämlichen Namen, nämlich tieldatück oder Münze belegen kann: dann kann er bejahen, dass er zwei Geldstücke oder Münzen habe; weil er nicht nur das Sesterz, sondern auch di'U Imperial mit den Kamen Münüe bezeichnet." Wenn er fortfährt: „Hieraus ist klar, dass ein Ding eins oder einzig genannt winl. nur nachdem ein anderes Ding ist vorgestellt worden, das (wie gesagt) mit ihm Übereinkommt," und weuu er meint, dass miui nicht im eigentlichen Sinne Gott einen oder einzig nennen könne, weil wir von seiner Essenz keinen abstracten Begriff bilden könnten, so irrt er in dei' Meinung, der Begriff kümie niii' unmittelbar durch Abstraction von mehren Gegenständen gewonnen werden. A'ielmehr kann man aucli von den Merk- malen aus zii dem Begriffe gelangen; mid dann ist es müglich, das kein Ding unter ihn füllt. Wenn dies nicht vorkämet würde man nie die Existenz veineineu können, und änoM verlöre auch die Bejahung der Existenz ihren Inhalt.
§ 50. E. Schröder**) hebt hervor, dass, wenn Häufigkeit eines Dinges solle gesiniicheii werden könnad) der Name dieses Dinges stets ein Gattungsname, ein aHäl meines Begriffswoi-t (notio communis) sein müsse:,, Sobald man nämlich einen Gegenstand vollständig — mit allen 08 seinen Eigenschaften und Beziehungen — in's Auge fasst, so wird derselbe einzig in der Welt dastehen und seines gleichen nicht weiter haben. Der Name des Gegenstandes wird alsdann den Charakter eines Eigennamens (nomen proprium) tragen und kann der Gegenstand nicht als ein wiederholt vorkommender gedacht werden. Dieses gilt aber nicht allein von concreten Gegenständen, es gilt überhaupt von jedem Dinge, mag dessen Vorstellung auch durch Ab- stractionen zu Stande kommen, wofern nur diese Vorstellung solche Elemente in sich scbliesst, welche genügen, das be- treffende Ding zu einem völlig bestimmten zu machen Das letztere" (Object der Zählung zu werden) „wird bei einem Dinge erst insofern möglich, als man von einigen ihm eigen- thttmlichen Merkmalen und Beziehungen, durch die es sich von allen andern Dingen unterscheidet, dabei absieht oder abstrahirt, wodurch dann erst der Name des Dinges zu einem auf melu*e Dinge anwendbaren Begriffe wird."
§ 51. Das Wahre in dieser Ausführung ist in so schiefe und irreführende Ausdrücke gekleidet, dass eine Ent- wirrung und Sichtung geboten ist. Zunächst ist es unpassend, ein allgemeines Begrififswort Namen eines Dinges zu nennen. Dadurch entsteht der Schein, als ob die Zahl Eigenschaft eines Dinges wäre. Ein allgemeines Begriffswort bezeichnet eben einen Begriff. Nur mit dem bestimmten Artikel oder einem De monstrativpronomen gilt es als Eigenname eines Dinges, hört aber damit auf, als Begriffswort zu gelten. Der Name eines Dinges ist ein Eigenname. Ein Gegenstand kommt nicht wiederholt vor, sondern mehre Gegenstände fallen untei* einen Begriff. Dass ein Begriff nicht nur durch Abstraction von den Dingen erhalten wird, die unter ihn fallen, ist schon Spinoza gegenüber bemerkt. Hier füge ich hinzu, dass ein Begriff dadurch nicht aufhört, Begriff zu sein, dass nur ein einziges Ding unter ihn fällt, welches demnach völlig durch ihn bestimmt ist. Einem solchen Be- griffe (z. B. Begleiter der Erde) kommt eben die Zahl 1 zu.
(iie in demselben Sinne Zahl ist wie 2 und 3. Bei einem Begriffe fragt cä sich immer, ob etwas und was etwa utitei' ihn falle. Bei einem Eigennamen sind solche Fragen sinnlos. Man darf sich nicht dadurch täuschen lassen, daas die S|)rache einen Eigennamen.?.. B. Mond, als Begriffswort verwendet nnd umgekehrt; der Unterschied bleibt trotzdem beste.hen. Sobald ein Wort mit dem unbestimmten Artikel oder im Plural ohne Artikel gebraucht wird, ist es Be- griffswort.
§ 52. Eine weitere Bestätigung fllr die Ansicht, dass die Zahl Begriffen beigelegt wird, kann in dem deutschen Sprachgebranclie gefunden werden, dass man zehn Mann, vier Mark, drei Pass sagt. Der Singular mag hier andeuten, dass der Begriff gemeint ist, nicht da.'f Ding. Der Vorzug dieser Ausdnicksweise tritt besonders bei der Zahl hervor. Sonst freilich legt die Sprache den Gegenständen, nicht dem Begi-iffe Zahl bei: man sagt,,Zahl der Ballen," wie man ,, Gewicht der Ballen" sagt. So spricht man scheinbar von Gegenständen, während man in Wahrheit von einem Begriffe etwas aussagen will. Dieser Sprachgebrauch ist verwirrend. Der Ausdruck „vier edle Rosse," erweckt den Sehein, als ob „vier" den Begriff,.edles Rors" ebenso wie,,edel" den Begriff,,Ross" näher bestimme. Jedoch ist nur..edel' ein solches Merkmal; durch das Wort..vier" sagen wir etwas von einem Begriffe ans.
§ b'i. Unter Eigenschaften, die von einem Begtii ausgesagt werden, versiehe ich natürlich nicht die Merkmale^ die den Begriff zusammensetzen. Diese sind Eigenscliaften der Dinge, die unter den Begriff fallen,, nicht des Begriffes. So ist., rechtwinklig" nicht eine Eigenschaft des Begriffes .,recht winkliges Dreieck"; aber der Satz, dass es kein recht- winkliges, geradliniges, gleichseitiges Dreieck gebe, spriclit eine Eigenschaft des Begriffes,, recht winkliges, geradlinigoRj gleichseitiges Dreieck" aus; diesem wird die NuUzahl fir I 06 fir I 06 In dieser Beziehung hat die Existenz Aehnlicbkeit mit der Zahl. Es ist ja Bejahung der Existenz nichts Anderes als Verneinung der Nullzahl. Weil Existenz Eigenschaft des Begriffes ist, erreicht der ontologische Beweis von der Existenz Gottes sein Ziel nicht. Ebensowenig wie die Existenz ist aber die Einzigkeit Merkmal des Begriffes ,,Gott^^ Die Einzigkeit kann nicht zur Definition dieses Begriffes gebraucht werden, wie man auch die Festigkeit, Geräumigkeit, Wohnlichkeit eines Hauses nicht mit Steinen, Mörtel und Balken zusammen bei seinem Baue verwenden kann. Man darf jedoch daraus, dass etwas Eigenschaft eines Begriffes ist, nicht allgemein schliessen, dass es aus dem Begriffe, d. h. aus dessen Merkmalen nicht gefolgert werden könne. Unter Umständen ist dies möglich, wie man aus der Art der Bausteine zuweilen einen Schluss auf die Dauerhaftigkeit eines Gebäudes machen kann. Daher wäre es zuviel behauptet, dass niemals aus den Merkmalen eines Begriffes auf die Einzigkeit oder Existenz geschlossen werden könne; nur kann dies nie so unmittelbar geschehen, wie man das Merkmal eines Begriffes einem unter ihn fallenden Gegenstande als Eigenschaft beilegt.
Es wäre auch falsch zu leugnen, dass Existenz und Einzigkeit jemals Merkmale von Begriffen sein könnten. Sie sind nur nicht Merkmale der Begriffe, denen man sie der Sprache folgend zuschreiben möchte. Wenn man z. B. alle Begriffe, unter welche nur Ein Gegenstand fällt, unter einen Begriff sammelt, so ist die Einzigkeit Merkmal dieses Be- grifles. Unter ihn würde z. B. der Begriff „Erdmond," aber nicht der sogenannte Himmelskörper fallen. So kann man einen Begriff unter einen höhern, so zu sagen einen Begriff zweiter Ordnung fallen lassen. Dies Verhältniss ist aber nicht mit dem der Unterordnung zu verwechseln.
§ 54. Jetzt wird es möglich sein, die Einheit befrie- digend zu erklären. E. Schröder sagt auf S. 7 seines genannten Lehrbuches: „Jener Gattungsname oder Begriff 66 wird die Benennung iler auf die angegebene Weise gebildeten Zahl geuannt, und macht das Wesen ihrer Einheit aus."
In der That. wäre es nicht am passendsten, einen Begriff Einheit zo nennen in Bezug auf die Anzahl, welche ihm zukommt? Wir künnen dann den Aussagen über die Einheit, dass sie von der Umgebung abgesondert und un- theilbar sei, einen Sinn abgewinnen. Denn der Begrifl', dem die Zahl beigelegt wird, grenzt im Allgemeinen das unter ihn Fallende in bestimmter Weise ab. Der Begriff „Buch- stabe des Wortes Zahl" grenzt das Z gegen das a, dieses gegen das h u. s. w. ab. Der Begriff „Silbe des Wortes Zahl'' hebt das Wort als ein Ganzes und in dem Sinne üntbeilbares heraus, düss die Theile nicht mehr unter den Begiiff,, Silbe des Wortes Zahl" füllen, Nicht alle Begriffe sind so beschaffen. Wir kiJnneu z. B. das unter den Begriff des ßotheii Fallende in mannigfacher Weise zertheilen, ohne dass die Theile aufhören, unter ihn zu fallen. Einem solchen Begriffe kommt keine endliche Zahl zu. Der Satz von der Ahgegrenztheit nnd Unth eil barkeit der Einheit lässt sich demnach so aussprechen: Einheit in Bezug auf eine endliche Anzahl kann nur ein solcher Begriff sein, der das unter ihn Fallende bestimmt abgrenzt und keine beliebige Zertheilung gestattet.
Man sieht aber, daas üntlieilbarkeit hier eine besondere Bedeutung hat.
Nun beantworten wir leicht die Frage, wie die öleichheit mit der Unterscheidbarkeit der Einheiten zu versöhnen sei. Das Wort,.Einheit" ist hier in doppeltem Sinne gebraucht. Gleich sind die Einheiten in der oben erklärten Bedeutung diese.s Worts. In dem Satze:,, Jupiter hat vier Monde" ist die Einheit „.Jupitersmond". Unter diesen Begriff fällt sowohl I als auch 11, als auch UI, als auch IV. Daher kann man sagen: die Einheit, auf die I bezogen wird, ist gleich der Einheit, auf die II bezogen wird u, 8. f. Da haben wir die Gleichheit. Wenn mau aber ( 67 barkeit der Einheiten behauptet, so versteht man darunter die der gezählten Dinge.
IV. Der Begriff der Anzahl.
Jede einzelne Zahl ist ein selbständiger Gegenstand.
§ 66. Nachdem wir erkannt haben, dass die Zahlan- gabe eine Aussage von einem Begriffe enthält, können wir versuchen, die leibnizischen Definitionen der einzelnen Zahlen durch die der und der 1 zu ergänzen.
Es liegt nahe zu erklären: einem Begriffe kommt die Zahl zu, wenn kein Gegenstand unter ihn fällt. Aber hier scheint an die Stelle der das gleichbedeutende „kein'' getreten zu sein; deshalb ist folgender Wortlaut vorzuziehen: einem Begriffe kommt die Zahl zu, wenn allgemein, was auch a sei, der Satz gilt, dass a nicht unter diesen Begriff falle.
In ähnlicher Weise könnte man sagen: einem Begriffe F kommt die Zahl 1 zu, wenn nicht allgemein, was ftuch a sei, der Satz gilt, dass a nicht unter F falle, und wenn aus den Sätzen „a fällt unter F" und „b fällt unter F" allgemein folgt, dass a und b dasselbe sind.
Es bleibt noch ttbrig, den Uebergang von einer Zahl zur nächstfolgenden allgemein zu erklären. Wir versuchen folgenden Wortlaut: dem Begriffe F kommt die Zahl (n+ 1) zu, wenn es einen Gegenstand a giebt, der unter F fällt und so beschaffen ist, dass dem Begriffe „unter F fallend, aber nicht a'' die Zahl n zukommt.
§ 56. Diese Erklärungen bieten sich nach unsern bis- herigen Ergebnissen so ungezwungen dar, dass es einer Darlegung bedarf, warum sie uns nicht genügen können.
Am ehesten wird die letzte Definition Bedenken er- regen; denn genau genommen ist uns der Sinn des Ausdruckes „dem Begriffe G- kommt die Zahl n zu" ebenso nnbekannt wie der des Ausdruckes „dem Begriffe P kommt die Zahl (a -h 1) zu." Zwar küiinen wir mittels dieser und der letzten Erklärung sagen, was es bedeute „dem Begriffe F kommt die Zabl 1 + l zu," und dann, indem wir dies benutzen, den Sinn des Ausdrncl „dem Begriffe P kommt die Zahl 1 + 1 + 1 zu" angeben u. s. w.; aber wir können — um ein krasses Beispiel' zu geben — durch unsere Definitionen nie entscheiden, ob einem Begriffe die Zahl Julius Caesar 2ukomme, ob dieser bekannte Eroberer Galliens eine Zahl ist oder nicht. Wir künneu ferner mit Hilfe unserer ErkiärungsversucLe nicht beweisen, dass a = b sein musä, wenn dem Begriffe P die Zahl a zukommt, und wenn demselben die Zahl b zukommt. Der Ausdruck „die Zahl, welche dem Begriffe F zukommt" wäre also nicht zu rechtfertigen und dadurch würde es über- haupt unmöglich, eine Zahlengleichheit zu beweisen, weil wir gar nicht eine bestimmte Zahl fassen könnten. Es ist nur Schein, dass wir die 0, die 1 erklärt haben; in Wi heit haben wii' nur den Sinn der Redensarten „die Zahl kommt zu," „die Zahl 1 kommt zu" festgestellt; aber es nicht erlaubt, hierin die 0, die selbständige, wiedererkennbare Gegenstände zu unterscheiden.
§ 67. Es ist hier der Ort, unseru Ausdruck, dass die Zahlangabe eine Aussage von einem Begriffe enthalte, etwas genauer ins Äuge zu fassen. In dem Satze „dem Begriffe P kommt die Zahl zu" ist nur ein Theil des Praedicates, wenn wir als sachliches Subject den Begriff' F betrachten. Deshalb habe ich es vermieden, eine Zahl wie 0, 1, 2 Eigenschaft eines Begriffes zu nennen. Die einzelne Zahl erscheint eben dadurch, dass sie nur einen Theil der Aussage bildet, als selbständiger Gegenstand. Ich habe schim oben darauf aufmerksam gemacht, dass man,,die l" sagt und durch den bestimmten Artikel 1 als Gegenstand hinstellt.
mnt 1 ist 69 mnt 1 ist 69 Diese Selbständigkeit zeigt sich überall in der Arithmetik, z. B. in der Gleichung 1 + 1 = 2. Da es uns hier darauf ankommt, den Zahlbegriff so zu fassen, wie er für die Wissen- schaft branchbar ist, so darf es uns nicht stören, dass im Sprachgebrauche des Lebens die Zahl auch attributiv erscheint. Dies lässt sich immer vermeiden. Z. B. kann man den Satz „Jupiter hat vier Mönde'^ umsetzen in „die Zahl der Jupitersmonde ist vier.*^ Hier darf das „ist" nicht als blosse Copula betrachtet werden, wie in dem Satze „der Himmel ist blau'^ Das zeigt sich darin, dass man sagen kann: „die Zahl der Jupitersmonde ist die vier" oder „ist die Zahl 4". Hier hat „ist" den Sinn von „ist gleich," „ist dasselbe wie". Wir haben also eine Gleichung, die behauptet, dass der Ausdruck „die Zahl der Jupitersmonde" denselben Gegenstand bezeichne wie das Wort „vier." Und die Form der Gleichung ist die herrschende in der Arithmetik. Gegen diese Auffassung streitet nicht, dass in dem Worte „vier" nichts von Jupiter oder von Mond enthalten ist. Auch in dem Namen „Columbus" liegt nichts von Entdecken oder von Amerika und dennoch wird derselbe Mann Columbus und der Entdecker Amerikas genannt.
§ 68. Man könnte einwenden^ dass wir uns von dem Gegenstande, den wir Vier oder die Anzahl der Jupiters- monde nennen, als von etwas Selbständigem durchaus keine Vorstellung*) machen können. Aber die Selbständigkeit, die wir der Zahl gegeben haben, ist nicht Schuld daran. Zwar glaubt man leicht, dass in der Vorstellung von vier Augen eines Würfels etwas vorkomme, was dem Worte „vier" entspräche; aber das ist Täuschung. Man denke an eine grüne Wiese und versuche, ob sich die Vorstellung ändert, wenn man den unbestimmten Artikel durch das Zahlwort „Ein" ersetzt. Es kommt nichts hinzu, während doch dem Worte „grün" etwas in der Vorstellung entspricht.
*) ^Vorstellung*' in dem Sinne von etwas Bildartigem genommen.
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