gewonnen, wenn m die Zahl der Fehler bedeutet, welche zu 24 beitragen. Der andere, welcher bei den Astronomen den Namen .mittler Fehler schlechthin führt, hier aber quadratischer mitt- ler Fehler heissen und mit &, bezeichnet werden soll, wird dadurch erhalten, dass man die Fehler einzeln zum Quadrate er- hebt, die Summe dieser Quadrate 2 (4?) mit der Zahl derselben m dividirt, und aus dem Quotienten die Quadratwurzel zieht, also nach der Gleichung PER m Mit einem Worte, er ist die Wurzel aus dem mittleren Fehler- quadrate. BeideMittelfehler haben, falls sie aus einer grossen Feh- lerzahl gewonnen sind, theoretisch genommen, nach der Wahr- scheinlichkeitsreehnung ein constantes Verhältniss zu einander, welches ist € wenn zr die Ludolf’sche Zahl, wonach der quadratische mittlere Fehler merklich genau _ des einfachen ist. Durch Untersuchung einer grossen Zahl Versuchsreihen habe ich mich überzeugt, dass die Erfahrung diesem Verhältnisse sehr genau entspricht, so dass nur zufällige, und bei hinreichend grosser Versuchszahl sehr geringe, Schwankungen um dieses Normalverhältniss stattfinden. Belege dazu s. in den Massmethoden; auch kann man solche aus den im 9. Kapitel angeführten Resultaten über die Augenmass- versuche ableiten. Hienach erschiene es gleichgültig, ob man sich an oder &, hält. Indess findet eine Wahl danach statt, dass & viel minder umständlich in der Ableitung, &, etwas siche- rer in der Bestimmung aus einer gleichen Anzahl Beobachtungen ist, so dass (nach den Principien der Wahrscheinlichkeitsrech- nung) 414 Beobachtungen erfoderlich sind, um & gleich sicher zu bestimmen, als &, aus 100 Beobachtungen bestimmt wird. Nach eingehenden Erörterungen in den »Maassmethoden « glaube ich doch, dass die praktische Rücksicht bei etwas grosser Beobach- tungszahl, wie sie bei unserer Methode überall gefodert wird, überwiegend für & spricht, ohne dass das verhältnissmässig ge- ringe, und bei grossem m ganz zu vernachlässigende Ueberge- wicht der Sicherheit für &, den praktischen Vortheil compensirt. Doch bleibt die Wahl einem Jeden anheimgestellt. Wo man im- mer dieselbe Anzahl Beobachtungen zur Erlangung eines Resulta- tes anstellt, kann man gleichgeltend mit & auch die reine Fehler - summe 34 unmittelbar zum Masse verwenden, sich also die Di- vision mit m ersparen. u Eine besondere Rücksicht verdient der Umstand, dass die reine Fehlersumme, so wie der reine Mittelfehler, sei es & oder & eine etwas verschiedene Grösse erlangt, je nachdem man die mittlere Fehldistanz, gegen welche man die reinen Fehler rech- net, als Mittelwerth aus der Totalität einer Fehlerzahl bestimmt, oder die Fehlerzahl in Fractionen theilt, für jede Fraction insbe- sondere die mittlere Fehldistanz bestimmt, hiegegen die reinen Fehler insbesondere rechnet, und dann die Resultate zu Summen- oder Mittelwerthen zusammenlegt, was dem S. 120 für die Me- thode der richtigen und falschen Fälle bemerkten Umstande analog ist und analoge Gründe hat. ImAllgemeinen, unter sonst gleichen Umständen, fällt die reine Fehlersumme und der reine Mittelfehler um so grösser aus, je weniger weit man die Fractionirung getrie- ben hat; grösser also z. B., wenn man eine reine Fehlersumme aus 100 rohen Fehlern auf einmal ableitet, als wenn man diese 400 Fehler in 2 Fraetionen A 50 theilt, aus jeder dieser Fractionen insbesondere die reine Fehlersumme ableitet, und diese beiden Fehlersummen zusammenlegt. Diese Summe aber wird wieder grösser sein, als wenn man das Resultat aus 4 Fractionen ä 25 zusammengelegt hätte, und so fort. Doch ist der Unterschied nur sehr unerheblich, wenn man mit der Fractionirung nicht zu sehr kleinen Fractionen herabgeht.
Der Grund ist ein doppelter. Der eine liegt darin, dass durch eine kleine Beobachtungszahl die mittlere Fehldistanz und mit- hin die dagegen gerechneten reinen Fehler abweichend von den wahren Werthen erhalten werden, wofür die anzusehen sind, die man unter gleichen Beobachtungsverhältnissen aus einer un- endlichen Zahl Beobachtungen erhalten würde, und es lässt sich aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung beweisen, und bestätigt sich in der Erfahrung, dass der quadratische mittlere Fehler hiedurch nothwendig, der einfache durchschnittlich (ebenfalls nothwendig bei normaler Fehlervertheilung) zu klein ausfällt. Der andere Grund liegt in den bei längeren Versuchsreiben nie ganz auszuschliessenden Variationen des constanten Fehlers, wo- durch die reinen Fehlersummen verunreinigt und vergrössert werden, wenn man Beobachtungen, welche solche Variationen ein- schliessen, zusammenfasst, und zur Ableitung der mittleren Fehl- distanz und reinen Fehler benutzt.
Wegen der ersten dieser Ursachen lässt sich eine Correction anbringen, die ich die Correction wegen des endlichen m nenne, wodurch die Fehlersumme oder der mittlere Fehler auf den Fall zurückgeführt wird, dass die wahre mittlere Fehldistanz aus einer unendlichen Zahl Beobachtungen bestimmt und hiegegen die reinen Fehler gerechnet werden. Diese Correction ist schon längst beim quadratischen mittlerenFehler angewendet worden, wenn er zu Genauigkeitsbestimmungen bei physikalischen und astronomi- schen Beobachungen diente, und besteht darin, dass man &, statt = ea ) vielmehr = = = nimmt, woraus man schon übersieht, Fiss sie um so kinder ist, und um so leichter vernachlässigt werden kann, je grösser m ist. Für den einfachen Mittelfehler & ist die demgemässe Correction bisher noch nicht entwickelt gewesen, weil sich bisher noch keine praktische Ver- wendung desselben dargeboten hat. Ich finde, dass sie sich nach einem analogen Gange, als der Ableitung der Correction des qua- dratischen Mittelfehlers unterliegt, dahin annehmen lässt, dass 4 F RETET. mane= = mit dem Factor — multiplieirt, wenn srdie Ludolf’sche Zahl. Einfacher und genau genug lässt sich dafür setzen 3m darbietende findet*). Ein sachverständiger Mathematiker hat die Gefälligkeit ge- habt, die, in den Massmethoden mitzutheilende, Ableitung dieser Correction zu controliren. Denselben Correctionsfactor hat man zur Correction von Fehlersummen aus endlichem m anzuwenden, wenn man bei den Fehlersummen stehen bleibt, ohne den mittle- ren Fehler & daraus zu ziehen. Behandelt man eine Beobachtungs- reihe fractionsweise, d. h. bestimmt die reinen Fehler besonders nach den mittleren Fehldistanzen der betreffenden Fractionen, so ist auch die Correction wegen des endlichen m bei jeder Frac- tion insbesondere nach dem m der Fractionen, nicht im Ganzen nach der Totalzahl der Beobachtungen aller Fractionen anzu- bringen. Beispiele hiezu s. im 5. Abschn. des 9. Kap. h Da wo es blos auf Verhältnissbestimmungen ankommt, wird man sich die Correction wegen des endlichen m dadurch ersparen können, dass man immer dasselbe m zu Grunde legt, oder wenn man eine verschiedene Zahl Beobachtungen anstellt, immer auf dasselbe m fractionirt, indem dann die aus der Endlichkeit des m hervorgehende Verkleinerung der mittleren Fehler oder Fehler- summen alle in gleichem Verhältnisse trifft.
Wegen der zweiten Ursache lässt sich keine Correetion an- bringen; wohl aber dieselbe durch hinreichend starke Fractioni- rung merklich beseitigen. Da nun die erste Ursache durch eine Correction oder durch ein stets gleiches m unschädlich gemacht ‚ welches noch etwas mehr approximirt als das sich zunächst Pre) wie man durch die Ausführung selbst *) Auch der Correclionsfactor -: ist nur ein approximativer, der für einen in endlicher Form nicht darsteilbären Integralausdruck steht, aber nur ganz unmerklich davon abweicht, ‘4 werden kann, so ziehe ich, um auch die zweite unschädlich zu machen, im Allgemeinen eine starke Fractionirung der unfraetio- nirten Behandlung grösserer Versuchsreihen vor. Bei meinen Tastversuchen habe ich stets bis auf m = 10 fractionirt (was für e und 34 den Correetionsfactor = giebt), und die 40 Beobachtungen jeder Fraction da, wo es ohne zu starke Reizung geschehen konnte, auch stets unmittelbar hinter einander angestellt. Manche Theile, wie namentlich die Stirn, vertragen jedoch so viele Ver- suche hinter einander auf derselben Stelle nicht.
Jedenfalls wird es hienach bei der jetzigen Methode, ent- sprechend wie bei der Methode der richtigen und falschen Fälle, nöthig, bei den Resultaten anzugeben, ob und bis auf welches m man bei Ableitung derselben fractionirt habe. In dieser Beziehung werde ich bei der Methode der mittleren Fehler m und u eben so verwenden, als n und » bei der Methode der richtigen und fal- schen Fälle, d. h., falls fractionirt worden ist, m für die Zahl der Beobachtungen, die in eine Fraction eingehen, u für die Anzahl der Fractionen brauchen, so dass um die Gesammtzahl der Beobachtungen ist, die zu einem Resultate bezüglich eines und desselben Beobachtungswerthes beitragen, welches dann aus u einzelnen Resultaten zusammengelegt sein wird.
Bei Fehlersummen, die einen sehr kleinen Mittelfehler ge- ben, kann es nöthig werden, noch zwei andere Correctionen zu berücksichtigen, die ich die Correction wegen der Grösse derIntervalle und wegen Schätzung der Eintheilung nenne. Die erste bezieht sich darauf, dass man immer nur Feh- ler aufzeichnet, welche um gewisse endliche Intervalle auseinan- der liegen, die um so grösser sind, je weniger weit die Theilung des Massstabes, wodurch man die Fehler misst, und die Unterab- theilung in Decimalen durch Schätzung getrieben wird, die un- endlich vielen dazwischenfallenden Fehler aber auf die nach- barlichen dieser Skala reducirt. Diess hat einen Einfluss auf den Mittelfehler. Die zweite bezieht sich darauf, dass man bei Mes- sung der Fehler am Massstabe selbst wieder Fehler begeht. Die Correction wegen ersten Umstandes ruht auf rein mathematischen Principien der Fehlertheorie, und lässt sich a priori bestimmen; die zweite fodert experimentale Untersuchungen, wie sich die Schätzungsfehler der Eintheilung bei den verschiedenen Bruchtheilen eines Grades der Eintheilung verhalten, worüber eine in- teressante Untersuchung Volkmann’s in den Berichten der sächs. Soc, Jahrg. 1858 S. 173 vorliegt. Ich abstrahire jedoch hier um so mehr vom Eingehen auf diese Correctionen, als sie fast immer zu vernachlässigen sind, Von grösserer Wichtigkeit sind Formeln und Regeln, mittelst deren es möglich ist, die Unsicherheit der Mittelfehler und Feh- lersummen nach der Grösse der Beobachtungszahl zu bestimmen, so wie Regeln, wönach die gewonnenen Einzelresultate zum wahr- scheinlichsten Resultate verbunden werden können. Alles, was in dieser Hinsicht zu wissen nöthig ist, lässt sich aus der Wahrscheinlichkeitslehre schöpfen und für den Gebrauch prak- tisch darstellen; würde jedoch, um zulänglich geschehen zu kön— nen, manche Vorerörterungen nöthig machen, die hier zu weit führen dürften.
Eine einsichtige Handhabung der Methode der mittleren Feh- ler erfordert überhaupt eine Kenntniss der Hauptpuncte der ma- thematischen Fehlertheorie, welche ein Theil der Wahrscheinlich- keitslehre ist. Ich denke, das Wesentliche in dieser Hinsicht in den »Massmethoden « auch für den verständlich geben zu können, der sich nicht selbst in diese Lehre vertiefen will; doch kann diess begreiflich hier nicht geschehen.
f) Mathematische Beziehung der drei Methoden.
Man kann die Frage aufwerfen, welche Beziehung die mit- telst der drei Methoden erhaltenen Masswerthe zu einander ha- ben. Gesetzt bei derselben Unterschiedsempfindlichkeit in einem gegebenen Sinnesgebiete sei der eben merkliche Unterschied, der mittlere Fehler, das Verhältniss m und hiemit {= hD bestimmt worden, Es fragt sich, wie werden sie sich zu einander verhal- ten? Die Antwort hat auf folgenden Gesichtspuncten zu fussen: Streng genommen wird man zu sagen haben: der eben merk- liche Unterschied einer Grösse ist der, welcher, als Unterschied der zu vergleichenden Grössen bei der Methode der richtigen und . falschen Fälle angewandt, gar keine falschen Fälle giebt, aber nicht verkleinert werden darf, ohne solche zu geben; denn da- durch, dass er noch merklich ist, wird das Vorkommen desselben und mithin jeder falsche Fall ausgeschlossen, und damit, dass er g g nur eben merklich ist, ist gesagt, dass er bei der geringsten Verkleinerung nicht mehr gespürt werden kann. Aber in Wirk- lichkeit, wenn man keine falschen Fälle bei einem gegebenen Un- terschiede haben will, muss man ihn hoch genug nehmen, dass nicht Zufälligkeiten ihn unter die Merklichkeit herabdrücken, und wie hoch diess ist, oder wie viel falsche Fälle unter einer über- wiegenden Mehrzahl richtiger man noch zulassen will, um ihn überhaupt als eben merklich zu fassen, kommt theils auf die durchschnittliche Grösse der zutretenden Zufälligkeiten, theils das subjective Ermessen an.
Der mittlere Fehler anderseits ist nothwendig kleiner, als der eben merkliche Unterschied, falls dieser keine oder nur ausnahmsweise falsche Fälle zulassen soll. Denn wenn bei der Methode der mittleren Fehler ein Unterschied z. B. zweier Zirkel- distanzen noch merklich ist, so wird die Distanz so lange verän- dert, bis er unmerklich wird; und überhaupt tragen zur Bestim- mung des mittleren Fehlers alle Fehler von Null an bei, welche kleiner als der eben merkliche Unterschied sind. Ein festes Ver- hältniss des eben merklichen Unterschiedes zum mittleren Feh- ler wird sich aber aus angegebenen Gründen auch nicht ange- ben lassen.
Hiegegen giebt es eine, durch das Hauptintegral der Wahr- scheinlichkeitsrechnung geknüpfte, derartige mathematische Be- ziehung zwischen der Methode der richtigen und falschen Fälle und der Methode der mittleren Fehler, dass sich angeben lässt, welches Verhältniss richtiger und falscher Fälle entstehen wird, wenn man die Grösse des einfachen oder quadratischen mittleren Fehlers als Differenzgrösse D bei der Methode der richtigen und falschen Fälle unter sonst vergleichbar gehaltenen Umständen ver- wendet. Und zwar beträgt, wie ich in den » Massmethoden « zei- gen werde, bei Verwendung des einfachen mittleren Fehlers als Differenzgrösse (Mehrgewicht bei den Gewichtsversuchen) das Verhältniss "merklich;-, genauer 0,655032.
Diese theoretische Beziehung ist inzwischen erst noch durch Versuche zu bewähren, was einige Schwierigkeit haben dürfte, insofern es dabei gilt, die Umstände für die zu vergleichenden Methoden in der Art vergleichbar herzustellen, dass die Zufällig- keiten gleichen Einfluss dabei gewinnen.
Fechner, Elemente der Psychophysik. 9 en 2) Massmethoden der absoluten Empfindlichkeit.
Das Feld dieser Methoden liegt bezüglich der intensiven Em- pfindungen bisher noch fast brach, und ausser einer Bestimmung von Schafhäutl über noch eben hörbare absolute Schallstärke, den Bestimmungen von E. H. Weber, und denen von Kamm= ler über noch eben merkbare Druckgrössen, von welchen Be- stimmungen im 44. Kapitel näher gehandelt wird, wüsste ich nicht, was sich hieher ziehen liesse. Im Felde der Lichtempfindung ist sogar eine reine Bestimmung der absoluten Empfindlichkeit nicht einmal möglich, weil man eine innere Quelle der Lichtempfin- dung, von der ich im 9. Kapitel spreche, nicht eliminiren kann.
Hiegegen haben die Massmethoden der absoluten Empfind- lichkeit eine sehr ausgedehnte Anwendung im Gebiete extensiver Empfindungen gefunden, sofern man sich vielfach beschäftigt hat, eben merkliche Grössen oder Distanzen auf Netzhaut oder Haut zu bestimmen. In letzter Hinsicht liegen namentlich die bekann- ten und für die ganze Psychophysik bahnbrechenden Versuche E. H. Weber’s über die eben merklichen Distanzen auf der Haut vor, womit die eine Verfahrungsart bezeichnet ist, die man für das absolute Empfindlichkeitsmass anwenden kann, eine Verfah- rungsart, welche der Methode der eben merklichen Unterschiede für das Mass der Unterschiedsempfindlichkeit analog ist. Auch die beiden anderen Methoden dieses Masses aber tragen sich in einem Analogon auf das absolute Empfindlichkeitsmass über.
Volkmann hat auf der leicht zu constatirenden Bemerkung gefusst, dass die Weite der Zirkelspitzen, welche eine eben merk- liche Distanz giebt, nichts absolut Festes ist, sondern innerhalb gewisser Gränzen schwankt, indem dieselbe Weite bei hinter ein- ander angestellten Versuchen einmal als Distanz, ein anderesmal nicht als solche empfunden werden kann, so lange nicht eine obere Gränze überschritten ist, von der an die Weite stets als Di- stanz empfunden wird, oder eine untere, unter der sie niemals als solche empfunden wird, welche Grünzen aber selbst keiner absolut genauen Bestimmung fähig sind. Diess hindert nun zwar nicht, wie die Erfahrung selbst gelehrt hat, nach voriger Methode durch eine Mehrheit von Berührungen der Haut mit den Zirkel- spitzen unter abgeänderter Weite eine mit der oberen Gränze nahe zusammenfallende, oder zwischen die obere ünd untere Grinze fallende Distanz als eben merkliche Durchschnittsdistanz, so ver- gleichbar in verschiedenen Versuchen, zu gewinnen, dass ein Mass darauf zu gründen ist. Wäre es nicht der Fall, so wären Weber’s Versuche und von Anderen bestätigte Resultate nicht möglich gewesen, Aber es lässt sich auf jene Bemerkung eine Abänderung der Weber’schen Methode gründen, wodurch die- selbe ein Analogon der Methode der richtigen und falschen Fälle wird, und ist in der That von Volkmann darauf gegründet wor- den, bestehend darin, dass man 1) in wiederholten Versuchen bei einer gegebenen Zirkelweite zwischen der angegebenen obe- ren und unteren Gränze das Resultat jeder einzelnen Zir- kelapplication notirt, und die Zahl der Fälle zählt, wo Merklich- keit und Unmerklichkeit der Distanz stattfindet; dass man 2) diess Verfahren bei verschiedenen Zirkelweiten innerhalb jener Gränzen wiederholt. Je grösser die extensive Empfindlichkeit der betreffenden Hautstelle, desto grösser ist für eine gegebene Zirkelweite die Zahl der Fälle, welche hier die richtigen ver- treten, d. h. wo die wirklich vorhandene Distanz auch wirklich als merklich empfunden wird, und desto kleiner kann die Distanz sein, um noch dieselbe Zahl richtiger Fälle zu liefern. Nun würde man jedes beliebige Verhältniss der richtigen zur Gesammtzahl der Fälle als Vergleichsmassstab. der Empfindlichkeit benutzen können; indem man für die verschiedenen Hautstellen die Zirkel- weite aufsuchte, wo sie dasselbe Verhältniss geben; doch empfiehlt sich vielleicht am meisten dazu das von Volkmann in dieser Hinsicht bevorzugte Verhältniss, wo die Merklichkeit eben so oft als die Nichtmerklichkeit eintritt. Da die zugehörigen Zir- kelweiten nicht absolut genau werden zu treffen sein, wird man durch Interpolation der Nachbarweiten, die dem Versuche unterle- gen haben, genau genug dazu gelangen können. Die von Volk- mann nach dieser Methode über den Gang der Uebung der Tast- empfindlichkeit angestellten Versuche sind in den Berichten der sächs. Societät 1858 S. 47 fl. enthalten, und haben durch ihre interessanten Resultate die Anwendbarkeit der-Methode wohl be- währt.
Eine andere Abänderung der Weber’schen Methode, welche ich die Methode der Aequivalente nenne, ist im Tastgebiete von mir selbst im Zusammenhange mit der Methode der mittleren Fehler, deren Analogon sie darstellt, angewandt und ausgebildet 9* Li worden; nachdem inzwischen E. H. Weber dieselbe schon frü- her zu Versuchen über die absolute Empfindlichkeit verschiedener Theile bezüglich der Druckempfindung angewandt hat*).
Im Wesentlichen besteht sie, bei Anwendung auf das Tast- mass, darin, dass man statt eines Zirkels auf einer Hautstelle de- ren zwei, respectiv 4, B, auf zwei verschiedene Hautstellen A, B, deren extensive Empfindlichkeit verglichen werden soll, abwech- selnd aufsetzt, und zur festen A-Distanz des A-Zirkels auf der A-Stelle die B-Distanz des B-Zirkels auf der B- Stelle so lange abändert, bis nach dem Gefühle der Haut die Distanz auf beiden Stellen gleich gross erscheint, obschon sie je nach der verschiede- nen Empfindlichkeit der Hautstellen in Wirklichkeit ausnehmend verschieden sein kann. So erhält man Aequivalente gleich gross geschätzter Distanzen für beide Hautstellen, deren reeipro- ker Werth, als Mittel aus einer grösseren Anzahl Versuchen be- stimmt, als Mass der extensiven Empfindlichkeit dienen kann.
Man wird sich leicht überzeugen können, dass diese Methode sehr fein und genau ist, indem sie, insoweit die Empfindlichkeit der Hautstellen ein constantes Verhältniss behält, sehr constante und mit verschwindender Unsicherheit behaftete Resultate giebt, wovon Ersteres durch den Vergleich der verschiedenen Versuchs- fractionen, Letzteres durch den leicht zu berechnenden wahr- scheinlichen Fehler des mittleren Resultates bewiesen wird; in- sofern aber jenes Verhältniss variirt, diese Variationen ins Feine zu verfolgen gestattet. In der That habe ich bei Versuchen, die monatelang an denselben Theilen fortgesetzt wurden, das constan- teste Verhältniss sich forterhalten sehen, wenn jeden Tag nur we- nige Versuche angestellt wurden; eben so entschieden aber auch mehrfach, wo jeden Tag viele Versuche angestellt wurden, wo- durch ein erheblicher Uebungseinfluss entstand, allmälige Aende- rungen des Aequivalentes eintreten sehen, welche im Allgemeinen darin bestanden, dass der minder empfindliche Theil dem em- pfindlicheren näher kam, indem die Uebung offenbar jenem mehr als diesem zu Statten kam.
Hiezu kommt als Vortheil dieser Methode vor den beiden vo- rigen, dass sie nicht darauf beschränkt, die Empfindlichkeit der Hautstellen in den Gränzen der eben merklichen Distanzen zu vergleichen, sondern sie bei jeden beliebigen Distanzen vergleichen lässt; wogegen sie gegen dieselben darin im Nachtheile steht, dass- sie eben nur Vergleichsdata der absoluten Empfindlichkeit giebt, indess der Werth einer eben merklichen, oder eine gleiche Zahl merklicher und nicht merklicher Fälle liefernden Distanz als ein Da- tum angesehen werden kann, welches die absolute Empfindlich- keit gegebener Hautstellen in absoluter Weise charakterisirt. Man wird also jede dieser Methoden in ihrer Art gelten zu lassen haben.
Wie leicht zu übersehen, ist das Verfahren, was man bei der Methode der Aequivalente einschlägt, wesentlich dasselbe, als bei der Methode der mittleren Fehler, nur dass man die Ausgleichung der beiden Zirkeldistanzen für die Empfindung nicht auf dersel- ben, sondern auf verschiedenen Hautstellen bewirkt, und nicht auf den Unterschied, sondern das Verhältniss der ver- glichenen Grössen Acht hat. Es hindert aber nichts, bei der Me- thode der mittleren Fehler auch auf das Verhältniss der Vergleichs- grössen, d.i. Normaldistanz und Fehldistanz, und bei der Methode der Aequivalente auf dieAbweichungen der einzelnen B-Distanzen von der mittleren B-Distanz als wie auf eben so viel reine Fehler 4 Rücksicht zu nehmen, und unter Zuziehung dieser Rücksicht ist die Methode der Aequivalente im Grunde nur das Allgemeinere der Methode der mittleren Fehler, und diese ein besonderer Fall der Methode der Aequivalente, der nämlich, wo man unter allen möglichen Stellen, die man gegen eine gegebene A-Stelle zur B-Stelle machen kann, die A-Stelle selbst dazu macht, womit die A-Distanz in die Normaldistanz, die B-Distanz in die Fehldistanz übergeht. Diess zeigt sich denn auch darin, dass die Verhältnisse des constanten Fehlers und reinen variabeln Fehlers der Methode der mittleren Fehler bei der Methode der Aequivalente nur in all- gemeinerer Weise wiederkehren. Eben so wie die Methode der mittleren Fehler erfodert daher auch die Methode der Aequivalente mancherlei Rücksichten und Vorsichten, die mit denen jener Me- thode in Beziehung stehen.
Ganz wesentlich ist namentlich die Umkehr jedes Vergleiches. Hat man z. B. das Aequivalent von B-Lippe gegen A-Kinn be- stimmt, so muss man durch eine gleiche Zahl Versuche das Ge- genäquivalent von B-Kinn gegen A-Lippe bestimmen, beide Re- sultate zwar besonders notiren, aber schliesslich das Mittel neh- men, um nicht ein mit einem constanten Fehler behaftetes einseitiges Resultat zu erhalten. Meine »Massmethoden« werden genü- gende Belege und Erläuterungen dazu geben, wie wesentlich diese Vorsicht ist. Die Grösse des constanten Fehlers lässt sich auch hier durch eine einfache Rechnung finden.
Fundamentale Gesetze und T'hatsachen.
IX. Das Weber’sche Gesetz, Das im 7. Kapitel erst nur im Allgemeinen als eine Haupt- unterlage des psychischen Masses ausgesprochene Gesetz, welchem ich den Namen des Weber'schen gebe, soll jetzt nach Seiten sei- nes Sinnes, seiner Begründung und seiner Gränzen näher erör- tert werden, insoweit die bis jetzt darüber vorliegenden Unter- suchungen einen Anhalt dazu gewähren, Man kann dasselbe unter verschiedenen Formen aussprechen, die in der Sache auf dasselbe herauskommen, von denen aber nach Umständen die eine oder andere zweckmässiger für die Be- zugnahme darauf sein kann.
Zuvörderst kann man sagen: ein Unterschied zweier Reize, auch fassbar als positiver oder negativer Zuwuchs zum einen anderen Reize, wird immer als gleich gross empfunden, oder giebt denselben Einphindungsünterschiäd, Empfindungszuwuchs, wenn sein Verhältniss zu den Reizen, zwischen denen er besteht, oder, sofern er als Zuwuchs gefasst wird, wenn sein Verhältniss zum Reize, dem er zuwächst, dasselbe bleibt, wie sich auch seine ab- solute Grösse ändere. So dass z. B. ein Zuwuchs von 1 zu eine Reize, dessen Stärke durch 100 ausgedrückt ist, eben so star) Ab finden wird, als ein Zuwuchs von 2 zu einem Reize von der Stirke 200, von 3 zu einem Reize von der Stärke 300 u. s. f Aequivalent mit dem vorigen Ausspruche sind folgende kürzere Aussprüche: der Empfindungsunterschied, Empfindungszuwuc bleibt sich gleich, wenn der relative Reizunterschied oder rela! Reizzuwuchs sich gleich bleibt; und: der Empfindungsunte schied, Empfindungszuwuchs bleibt sich gleich, wenn das hältniss der Reize sich gleich bleibt; wobei man sich zu erinnern hat (vergl. S. 49), dass mit der Constanz des relativen Reizunter- schiedes oder Reizzuwuchses die Constanz des Verhältnisses der Reize, wie umgekehrt, von selbst gegeben ist, was gestattet, die 25 letzte Ausdrucksweise des Gesetzes an die Stelle der ersten zu setzen. - Endlich lässt sich mit Rücksicht auf die begriffllichen Erörte- rungen über die Unterschiedsempfindlichkeit im 6. Kapitel das Gesetz auch so aussprechen: die einfache Unterschiedsempfind- lichkeit steht im umgekehrten Verhältnisse der Grösse der Com- ponenten des Unterschiedes, die relative bleibt sich bei jeder Grösse derselben gleich.
Man kann das Gesetz im Gebiete der intensiven und extensi- ven Empfindungen, und in ersterem nach Seiten der Stärke und Höhe (insofern bei Tönen in der Höhe ein quantitatives Moment der Qualität gegeben ist) ins Auge fassen, ohne sich von vorn herein berechtigt halten zu dürfen, die Bewährung desselben in irgend einem Specialgebiete der Empfindung zugleich als für ein anderes gültig anzusehen, vielmehr fodert es in jedem Gebiete eine besondere Untersuchung.
Bei der Frage, ob sich das Gesetz im Gebiete extensiver Em- pfindungen bestätigt, hat man für Reiz und Reizunterschied in dem Ausspruche des Gesetzes die Grösse der Ausdehnung und des Ausdehnungsunterschiedes zu substituiren, welche mit dem Auge oder Tastorgane aufgefasst werden. Man wird das Gesetz bestätigt finden, wenn z. B. bei zwei doppelt so langen Linien der Unter- schied doppelt so gross sein muss, um noch eben merklich, oder allgemeiner gleich gross zu erscheinen.
Bezüglich der Höhe der Töne ist es die Zahl der Schwingun- gen, welche die Grösse des Reizes zu vertreten hat.
Mit der Richtigkeit des Gesetzes ist von selbst die Richtigkeit mancher Folgerungen gesetzt; und der Nachweis, dass sich diese Folgerungen in der Erfahrung bestätigen, daher als ein Theil der Bewährung des Gesetzes anzusehen. Anstatt jedoch hierauf in ab- stracto einzugehen, ziehe ich es vor, bei den Specialbewährungen des Gesetzes in den verschiedenen Gebieten darauf geführt zu werden, und verweise in dieser Hinsicht namentlich auf das Ge- biet der Lichtempfindung.
In Betreff des Historischen habe ich schon bemerkt, dass E. H. Weber zwar nicht der erste ist, der das Gesetz überhaupt ausgesprochen und bewährt hat, aber doch der erste, der es in einer gewissen Allgemeinheit ausgesprochen, bewährt und aus ei- nem Gesichtspuncte von allgemeinem Interesse dargestellt bat. Er Ak 7 stützt sich dabei auf Versuche über eben merkliche Unterschiede von Gewichten, Linien, Tonhöhen, was, wie man bemerken kann, Beispiele für die drei Hauptseiten der Empfindung, Intensität, Ex- tension, Höhe sind, die überhaupt in Frage kommen können, wo- durch sich um so mehr rechtfertigt, dass wir das Gesetz nach sei- nem Namen bezeichnen. Zwar hat er nach dem blos beiläufigen Interesse, was sich bisher an das Gesetz knüpfte, dasselbe keiner sehr eingehenden Untersuchung unterworfen, doch so zu sagen die Angriffspuncte aller weiteren Untersuchung durch die seinige gegeben. Ich stelle demnach auch seine Angaben darüber wörtlich voran, bevor ich zu den weiteren Untersuchungen über das Gesetz übergehe, welche nöthig wurden, nachdem es den Anspruch ge- macht, als Unterlage des psychischen Masses zu gelten, da Unter- lagen sich verstärken und erweitern müssen, nach Massgabe als sich Schwereres und Mehreres darauf zu stützen hat. Bei der fun- damentalen Wichtigkeit, welche das Gesetz in dieser Beziehung für uns hat, werde ich Alles, was mir von früheren und neueren, fremden und eigenen Thatsachen, welche auf die Bewährung so „wie auf die Gränzen des Gesetzes Bezug haben, bekannt worden ist, möglichst vollständig mittheilen. Pr Nach einem vorgreiflichen Ueberblicke darüber, ist zuzugeste- hen, dass noch viel an einer durchgreifenden Bewährung und selbst Prüfung des Gesetzes fehlt. Das Meiste in dieser Hinsicht ist in Bezug auf intensive Lichtempfindung, Empfindung von Schallstärke und Tonhöhe, Empfindung der Schwere von Ge- wichten und im Felde des Augenmasses geleistet. Sicher besteht hier überall das Gesetz in mehr oder weniger weiten Gränzen. In Bezug auf Temperaturempfindungen ist es noch als problematisch anzusehen; im Gebiete der extensiven Tastempfindungen sprechen die Versuche vielmehr gegen als für seine Gültigkeit. Hinsichtlich anderer Gebiete der Empfindung liegen noch keine Versuche vor.
Die eigenen Angaben Weber's.
Allgemein spricht sich Weber betrefls der Thatsache des Gesetzes in seiner Abhandlung über den Tastsinn und das Ge- meingefühl S. 559 unter der Ueberschrift: »Ueber die klein- sten Verschiedenheiten der Gewichte, die wir mit dem Tastsinne, der Länge der Linien, die wir mit dem Gesichte, und der Töne, die wirmit dem Gehöre ar unterscheiden können«, nach einigen Specialbestimmungen wie folgt aus: »Ich habe gezeigt, dass der Erfolg bei den Gewichts- bestimmungen derselbe ist, mag man Unzen oder Lothe nehmen, denn es kommt nicht auf die Zahl der Grane an, die das Ueber- gewicht bilden, sondern darauf, ob das Uebergewicht den 30sten oder den 50sten Theil des Gewichtes ausmacht, welches mit ei- nem zweiten Gewichte verglichen wird. Eben so verhält es sich bei der Vergleichung der Länge von zwei Linien und der Höhe zweier Töne*). Es macht keinen Unterschied, ob man Linien ver- gleicht, die ungefähr 2 Zoll oder die I Zoll lang sind, wenn man erst die eine und dann die andere betrachtet und nicht beide zu- gleich neben einander sehen kann, und doch ist das Stück, um welches die eine Linie die andere überragt, im ersteren Falle noch einmal so gross als im letzteren. Freilich, wenn beide Linien nahe neben einander und einander parallel sind, so vergleicht man nur die Enden der Linien und untersucht, um wie viel die eine Linie die andere überragt, und hiebei kommt es dann nur darauf an, wie gross das überragende Stück derLinie ist, und wie nahe beide Linien einander liegen. — Auch bei der Vergleichung der Höhe zweier Töne kommt nichts darauf an, ob beide Töne um 7 Ton- stufen höher sind oder tiefer, wenn sie nur nicht an dem Ende der Tonreihe liegen, wo dann die genaue Unterscheidung kleiner Tonunterschiede schwieriger wird. Es kommt daher auch hier