»So viel mir bekannt, hat zuerst W.Opelt (Ueber die Natur der Musik. Plauen und Leipzig 1834. S. 43) die obige cyliodrische Spirale zur Versinnlichung der Tonreihe benutzt. Von der Schrau- benfläche, die mir das Bild erst zu vervollständigen scheint, macht er keinen Gebrauch. « Soweit die Darstellung von Drobisch, welche unstreitig sehr geeignet ist, von der Verbindung des progressiven und perio- dischen Elementes in der Tonreihe eine anschauliche Vorstellung zu geben.
Zeigen wir nun zuvörderst, wie unter Wahl blos anderer Ein- heiten diese Construction mit unseren bisherigen Massausdrücken in Beziehung «ritt.
Sei n’ die Schwingungszahl eines beliebigen Grundtones, n die eines dagegen betrachteten anderen Tones, = = y ihr Verhältniss, © die Empfindung des Unterschiedes zwischen n und n’, d.i. die Empfindung ihres Intervalles, k unsere gewöhnliche Con- stante, so gibt die Unterschiedsformel x = klog nn Da dem k vermöge willkührlicher Wahl der Empfindungseinheit, dem n’ vermöge willkührlicher Wahl der Zeiteinheit, für welche man dieSchwingungszahl bestimmt, ein willkührlicher Werth bei- gelegt werden kann, so nehmen wir behufs der daran zu knüpfen- den Kreisconstruction k = 27r, wo ze die Ludolf’sche Zahl be- deutet; nehmen ferner in Betracht der fundamentalen Bedeutung, welche das Schwingungsverhältniss 2 als Vergleichungsmassstab mit allen anderen Schwingungsverhältnissen hat, die Grundzahl der Schwingungen n’ und des logarithmischen Systemes zugleich durch diess Verhältniss gegeben, so dass (welcher Ausdruck noch mit log 2 zu dividiren sein würde, wenn man statt eines logarithmischen Systems mit der Grundzahl 2 das ’ gewöhnliche anwenden wollte).
f Stellen wir nun die Werthe von ©, welche nach dieser For— mel gegebenen Werthen von n entsprechen, durch Bogen eines Kreises vom Radius 4 dar, welche von einem bestimmten Anfangs- puncte an genommen sind, so ist 2re der Umfang dieses Kreises und zugleich Repräsentant des Octavenintervalles. Jedesmal, wenn n eine Potenz der Grundzahl 2 wird, d.h., wenn der Ton auf eine höhere Octave steigt; wird log - eine ganze Zahl, mithin x ein Multiplum von 27e nach einer ganzen Zahl, d. i. gleich einer gan— zen Zahl Kreisumfänge, oder kehrt & in der Construction zum Aus— gange zurück, welcher stattfindet, wenınn=2, d.h. gleich der Schwingungszahl des Grundtones ist. Stellen wir nun zugleich das Schwingungsverhältniss > = y durch gerade Linien dar, die in den Endpuncten des Bogens & senkrecht auf der Ebene des Kreises stehen u. s. f,, wie Drobisch, so haben wir ganz dessen, j Construction.
Auch lassen sich die, beiderseits untergelegten, mathematischen Aus- drücke leicht auf einander reduciren. Nach Drobisch hat man y = 2”, mithin = ey _ log 5 log 2 log? oder, wenn man, wie Drobisch selbst für die Anwendung der Logarith- men im Tongebiete vorgeschlagen, 2 als die Grundzahl des logarithmischen Systems und zugleich mit uns als Grundzahl der Töne nimmt ==1l0gZ wonach nur der Unterschied zwischen Drobisch’s und unserer Formel übrig bleibt, dass dieselbe Constante k, die wir = 2x setzen, von ihm = 4 1 gesetzt wird, was mitführt, dass bei ihm der Radius des Kreises = iz’ der Umkreis = 4, bei uns der Radius = 4, der Umkreis = 2” gesetzt ist. Da nun beidesfalls das Octavenintervall durch einen Kreisumfang repräsentirt wird, so hat dieses auch bei Drobisch den Werth 4, bei uns den Werth l 9, wovon Ersteres insofern angemessener erscheint, als die Octave die na- türliche Masseinheit für die Tonintervalle bildet. Da es sich jedoch hier nicht um Darstellung der Tonverhältnisse in Zahlen, sondern durch Geometrie handelt, hat es gegentheils etwas für sich, den Radius wie gewöhnlich durch 4, den Umfang durch 27 auszudrücken; und schliesslich bleibt die Wahl der Einheiten für die Construction gleichgültig.
Uebrigens sieht man nach einem Blicke auf unsere Formel leicht, dass der Gang der Toneindrücke noch einfacher, als durch Be w a, u 4 Ei 2 u Vu eine, um einen Cylinder gewickelte, Spirale, durch eine ebene Spirale dargestellt werden kann, wenn man die Gleichung n =:Inlgz durch Polcoordinaten darstellt, dabei x insbesondere als Winkel, und entweder log r oder 7 als Radius vector betrachtet, wovon Ersteres eine archimedische, Letzteres eine logarithmische Spirale gibt. Beidesfalls hat man in dem Winkel, welchen der Radius vector gegen seine beim Werthe n = 2 stattfindende Ausgangslage bildet, das Mass der empfundenen Abweichung vom Grundtone oder von irgend einer Octave des Grundtones;; erstenfalls (im Falle der archimedischen Spirale) im Radius vector log 5 das Mass der empfundenen Höhe über dem Grundtone, sofern = = 2r log + proportional mit log > bleibt, zweitenfalls (im Falle der logarithmischen Spirale) im Radius vector > das Mass der wirklichen oder objectiven Höhe über dem Grundtone, wenn das relative Verbältniss der Schwingungszahlen des betreffenden Tones und Grundtones so genannt wird. Beidesfalls kann man dann noch, wie es Drobisch vorschreibt, den Radius vector während seiner Drehung sich erheben lassen, und durch die Erhebung > erstenfalls die wirkliche Höhe über dem Grundtone, zweitenfalls durch die Erhebung log 5 die empfundene Höhe über dem Grundtone dazu darstellen; so dass man heidesfalls, nur in verschiedener Form, mit der empfundenen Abweichung vom Grundtone oder einer Octave desselben zugleich die empfundene Höhe über dem Grundtone sammt der wirklichen Höhe darüber dargestellt findet, was ein kleiner Vortheil der Vollständigkeit sein dürfte. Durch beide Constructionen erhält man das Spiralblatt einer Schnecke, durch die erste ein verhältnissmässig mehr in die Höhe gezogenes, in der Schneckenaxe endlich abschliessendes, durch die zweite ein mehr in die Weite gedehntes, mit unendlich viel Windungen der Axe asymptotisch zustrebendes.
Diess trifft interessanterweise damit zusammen, dass ein Spiralblatt in ein paar Windungen einen der wichtigsten Theile unseres Gehörorganes, den Träger eines Theiles der Endausbreitung des Gehörnerven, darstellt. Ist man doch sogar geneigt gewesen, den Schneckennerven vorzugsweise vor dem Labyrinthnerven für die Empfindung der Tonhöhen bestimmt zu halten; doch ruht diess auf nichts Positivem; und sollte jenem Zusammentreffen eine mehr als zufällige Bedeutung beigelegt werden, so müsste die Ohr- schnecke gerade so viel Windungen zeigen, als wir Octaven vernehmen kön- nen, was nicht der Fall ist, wenn man nicht etwa annehmen will, dass der Labyrinthnerv die Skala derSchneckentöne fortsetzt. Jedesfalls würde es ei- niges Interesse haben, die genaue Form des Spiralblattes unserer Ohrschnecke aufzusuchen, und noch mehr, sich teleologische Rechenschaft von der Form desselben geben zu können; wozu aber bis jetzt keine Aussicht sein dürfte, und was uns auch hier nicht wesentlich angeht.
Das Vorige ist nach Allem nur eine wenig wesentliche Trans- formation der ursprünglichen Darstellung von Drobisch, worauf kein Gewicht liegt, und die hier nur insofern angeführt wird, als sie sich so zu sagen von selbst als der natürlichste Ausdruck einer Begründung der dargestellten Verhältnisse dargeboten hat, auf die ich jetzt komme.
Zunächst nämlich darf man nicht übersehen, dass alle diese Constructionen nur empirische sind, welche zwar die erfahrungs- mässigen Verhältnisse getreu darstellen, ohne uns aber etwas vom Grunde der dargestellten Verhältnisse zu lehren. Eine höhere oder tiefere Octave tritt mit einer für das Gefühl massgebenden Bedeu- tung ein, wenn sich eine Schwingungszahl verdoppelt oder halbirt, daher die Zahl 2 als eine fundamentale Constante in die Formeln eingeführt ist, auf welcher diese Constructionen ruhen. Aber warum könnte nicht 3, 4, + oder irgend eine Irrationalzahl diese Constante sein, wonach dann statt der Octave irgend ein ande- res Intervall die massgebende Bedeutung haben würde, welche in Wirklichkeit die Octave hat. Der Toneindruck kehrt in gewissem Sinne zum Ausgangspuncte bei jeder Octave zurück, daher die Kreisfunction 27r als eine zweite fundamentale Constante in unsere Formel eingeführt und diese durch Polcoordinaten von uns darge- stellt ist; aber welcher in der Natur der Sache liegende Grund bringt diess mit sich? Von der auf das Weber’sche Gesetz ge- gründeten Formel x=klog = ausgehend, könnten wir für k eben so gut jeden anderen Werth als 2rr substituiren, und statt Polcoordinaten eben so gut rechtwinklige Coordinaten zur Darstellung des Grössenverhältnisses zwischen & und > oder log > benutzen, wo wir dann eine gewöhnliche logarithmische Curve, aber keine Spirale erhalten würden, womit der Ausdruck der Periodieität wegfallen würde. Warum ferner betrifft das periodische Element blos die Höhe, nicht die Stärke, warum tritt es entschieden blos im Gebiete der Töne, nicht der Farben auf? Auf alles diess gibt uns die Construction keine Antwort, son- dern verlangt vielmehr erst die Antwort.
Es hat mich nun sehr überrascht, etwas, was mir eine Ant- wort darauf scheint, ungesucht mit zu erhalten, als ich etwas An- deres, allerdings damit Zusammenhängendes, suchte, nämlich nur darauf ausging, die gemeinsame Abhängigkeit des Toneindruckes von Schwingungszahl und Amplitude, welche nach den obigen Erörterungen durch die Erfahrung gefodert scheint, durch eine Ableitung aus elementaren Voraussetzungen wiederzufinden, ohne daran zu denken, dass die Abhängigkeit des periodischen Octa- veneindruckes solidarisch damit gegeben sein könnte, wie es sich wirklich gezeigt hat; ein Ergebniss, was ich aus dem 4fachen Ge- sichtspuncte für wichtig halte, als der Gesammtheit des Massaus- druckes für den Toneindruck dadurch der Stempel der Triftigkeit aufgedrückt wird, als das tief greifende Princip elementarer Ab- leitung, durch die diess Ergebniss gefunden wurde, sich damit bewährt, als ein psychophysisches Räthsel damit gelöst wird, und als eine, durch anderweite, künftig (Kapitel 33) darzulegende, Gründe schon wahrscheinlich, aber doch nur wahrscheinlich zu machende, Ansicht von. der Einfachheit der Schwingungsbewe- gungen, welche unserem Hören innerlich unterliegen, und min- deren Einfachheit derer, welche dem Sehen unterliegen, dadurch gestützt, hiemit der inneren Psychophysik nach einer gewissen Richtung vorgearbeitet wird. Nur unter der Voraussetzung näm- lich, dass der Schallreiz die einfachst mögliche Schwingungs- form in unserem empfindenden Gehörapparate auslöst, ergibt sich die folgende Erklärung.
Ausführlicher wird dieser Gegenstand von mir im 32. Kapitel behandelt werden; ich hebe aber aus den etwas weitschichtigen Erörterungen, welche die allgemeinere Fassung der Aufgabe dort nöthig machen wird, hier vorgreifend und resumirend Dasjenige heraus, was sich auf unsere jetzige Frage insbesondere bezieht.
Im 32. Kapitel wird gezeigt werden, dass sich das Mass des Gesammteindruckes der Stärke und Höhe eines Tones von der Form log an oder log an?, zwischen welchen nach den obigen Er- örterungen noch die Wahl ist, durch Summation der Masse elementarer Empfindungsbeiträge wiederfinden lässt, welche durch die einzelnen Momente der Schwingung erzeugt werden, wenn man jeden elementaren Empfindungsbeitrag entweder von der in diesem Momente stattfindenden Geschwindigkeit (was die Form log an gibt) oder Geschwindigkeitsänderung (was log an? gibt) in derselben Weise abhängig denkt, als die ganze Empfindung von der ganzen Amplitude und Schwingungszahl abhängt.
Bei dieser Herleitung sondert sich nicht nur von selbst Das- jenige, was in dem Massausdrucke für den Ton von der Grösse der Amplitude und was von der Grösse der Schwingungsdauer abhängt, sondern man findet ausserdem in den Massausdruck ei- nen Werth eingehend, welcher unabhängig von der Grösse der Amplitude und Grösse der Schwingungsdauer blos von der perio- ° dischen Wiederkehr derselben Schwingungsdauer abhängt, und für einfache Schwingungen von jeder Amplitude und jeder Schwingungsdauer derselbe bleibt, in den Formen des Massaus- druckes log an oder log an? aber nur desshalb nicht zum Vorschein kommt, weil er, seiner constanten Natur gemäss, in den gleich 1 gesetzten Constanten k und a,n, oder a,n,* dieser- Formen*) mit aufgeht, wie sich aus der folgenden Herleitung zeigt. Dieser Werth ist eine Function beider fundamentaler Constanten 2 und zz, wo- von die Bedeutung des Octavenintervalles abhängt, und zwar wird er ohne Rücksicht auf willkührliche Bestimmung der Masseinheiten und der Constante k, gleicherweise nach beiden Voraussetzungen, zwischen welchen noch die Wahl ist, absolut durch 2rrlog - gegeben, was dem obigen Werthe von ® für eine der Einheit gleich gesetzte Schwingungszahl n entspricht und als der reine Ausdruck des von der Periodieität der Bewegung abhängigen periodischen Elementes der Tonhöhenempfindung angesehen werden kann. Er geht nämlich ausschliesslich aus der Summation einer periodi- schen Function hervor, in welche die Schwingungsdauer oder Schwingungszahl, nicht die Amplitude eingeht, kann daher nur mit erster (also mit der Tonhöhe), nicht letzter in Beziehung ge- setzt werden, enthält aber, wie man sieht, nicht selbst die Schwin- *) Man erinnere sich, dass ihr entwickelter Werth eigentlich k log = gungsdauer; diese und die Amplitude gehen von anderer Seite in den Massausdruck des gesammten Toneindruckes ein.
Der Gang der Rechnung, durch den sich diess Resultat her- ausstellt, geführt nach der Voraussetzung, dass die Empfindungs- beiträge von der Geschwindigkeit der Schwingung in jedem Mo- mente abhängen, ist kurz folgender. Im 32. Kapitel wird man die Rechnung für diese Voraussetzung theils noch etwas mehr ausge- führt, theils auch für die andere Voraussetzung (Abhängigkeit von der Geschwindigkeitsänderung) geführt finden.
In einer einfachen geradlinigen Schwingung von der Ampli- tude a, Schwingungsdauer z oder damit reciproker Schwingungs- zahln = n ist die Geschwindigkeit v zur Zeit i, diese vom Maxi- “ mum der Ausweichung an gerechnet, bekanntlich *) Zra. mt T wo ze die Ludolf’sche Zahl, oder die halbe Kreisperipherie, den Radius = 1 gesetzt. Indem nun der Empfindungsbeitrag in jedem Momente dt von der darin stattfindenden Geschwindigkeit v, oder, was bei der logarithmischen Form des Ausdruckes wesentlich auf dasselbe herauskommt, lebendigen Kraft v?abhängig gemacht wird, wird er durch k log 7 - di oder k log = dt gegeben, wovon erster Arien zu Grande gelegt werden mag, mit Rücksicht, dass X stets als positiv zu nehmen ist. Hierin beb deutet b den Werth von v, bei dem der Empfindungsbeitrag auf die Schwelle tritt (die Elementarschwelle), und k die gewöhnliche Constante. Hienach wird die Empfindungssumme S,, welche wäh- rend der Dauer einer Schwingung erzeugt wird, gegeben durch semif ie nr sin *t dt Da die Einheit der Geschwindigkeit willkührlich ist, setzen wir (um die Ausdrücke, auf die es hier ankommt, in einfachster Form zu gewinnen) den Werth r = 1, zerlegen den Logarithmus *) Man sehe z. B. Herschel über das Licht $. 569. mit Rücksicht auf den Werth VYE= — .
des Productes in eine Summe von Logarithmen, und substituiren n für, wodurch wir die Summe folgender drei Glieder erhalten: T S,=krloga+krlogn+ f log sin. dt o wovon das erste den von der Amplitude, das zweite den von der Schwingungszahl oder Schwingungsdauer, das dritte den von der Periodieität der Schwingung abhängigen Theil des Massausdruckes darstellt. Setzt man die Phase m = £, so geht das letzte Glied über in kr ar “| log sin $&d& Das bestimmte integral | aber, welches den von der Periodieität rein abhängigen, von der Grösse der Schwingungsdauer unabhängigen, Theil des Massausdruckes, multiplieirt mit dem con- stanten Factor ze, darstellt, ist wonach der ganze Massausdruck für die Empfindungssumme S, während einer Schwingung von der Dauer € ist Dividirt man diesen Ausdruck mit z, wodurch man statt der Empfindungssumme die Intensität der Empfindung erhält, und setzt k = 2r, so erhält man als Mass der Intensität 2rc log n oder, wenn man bei der Herleitung k= 1 und b = z setzt, den einfachsten Ausdruck log an. Wie man zur Form klog gelangt, wird im 32. Kapitel angegeben.
Die zweite Voraussetzung, dass die Empfindung von der Ge- schwindigkeitsänderung (Geschwindigkeit zweiter Ordnung) abhängt, führt nach einem ganz entsprechenden Gange zu dem- 19 selben Ausdrucke 27z log + für das periodische Element insbeson- dere, als die vorige Voraussetzung, und gibt als definitiven Werth für den ganzen Massausdruck In’an* klog —, welchen man durch Setzung von b = 8r?a und k= sr in 2rc log S verwandeln kann, wonach sich dieselbe Construction als nach der vorigen Voraussetzung daran knüpfen lässt.
XXXI. Verallgemeinerung des Massprineips der Empfindung.
Die Massformel, Unterschiedsformel und Unterschiedsmass- formel, welche uns zum Masse der Empfindung, Empfindungsun- terschiede und empfundenen Unterschiede gedient haben, stützen sich auf das Weber’sche Gesetz und die Thatsache der Schwelle (Reizschwelle und Unterschiedsschwelle), und bleiben richtig, so lange dieses Gesetz und diese Thatsache richtig bleiben.
Inzwischen haben wir anerkennen müssen, dass das Weber'- sche Gesetz, wenn auch wahrscheinlich von unbegränzter Allge- meinheit und Gültigkeit in Beziehung auf die inneren psychophy- sischen Bewegungen, doch in seiner Beziehung auf den äusseren Reiz nur in den Gränzen mittler Erregbarkeit als gültig anzusehen ist und mancherlei Störungen und Complicationen unterliegt, un- ter gewissen Verhältnissen sogar seine Gültigkeit ganz verliert.
Aus diesem Gesichtspuncte ist die Behauptung und Verwer- thung einer schon früher gemachten Bemerkung wichtig, dass nur jene Formeln, aber nicht das Princip unseres Masses ihre Gültig- keit auf die Gültigkeit des Weber'schen Gesetzes stützen, dass vielmehr nach demselben Principe nur mittelst anderer Formeln eben so gut ein Mass der Empfindungen, Empfindungsunterschiede und empfundenen Unterschiede gewonnen werden kann, indem das Wesentliche, worauf sich unser Princip in seiner vollen All- gemeinheit stützt, nur die Möglichkeit ist, die Gleichheit klei- nerAenderungen, Zuwüchseder Empfindung für ge- gebene Reizzuwüchse in verschiedenen Theilen der Reizskala zu constatiren, wofür uns nicht nur eine, son- dern drei gute Methoden zu Gebote stehen. Indem wir die ganze Empfindung aus constanten Zuwüchsen dy von Null an, welche als Function zugehöriger Reizzuwüchse dß in den verschiedenen Theilen der Reizskala bestimmt sind, erwachsen denken, erhal- ten wir den Masswerth der ganzen Empfindung y durch Summa- tion ihrer Zuwüchse von Null bis zum Werthe y, welcher einem gegebenen Reize 8 entspricht, oder allgemeiner den Unterschied y—y zweier Empfindungen y, y', welche den Reizen ß, ß’ ent- sprechen, als Summe der in das zugehörige Intervall fallenden Zuwüchse. Des Näheren stellt sich diess so: Gesetzt, wir haben gefunden, dass derselbe nur eben merk- liche Unterschied gespürt wird, wenn wir den Reiz, der allgemein ß heisse, von der Grösse #’ an um dß’, von der Grösse 8” um d#” u.s.f. wachsen lassen, wobei dß’, d#” sehr kleine, nach der Stelle der Reizskala, in der die Beobachtung geschieht, d.i. nach der Grösse von 8 veränderliche Reizzuwüchse bezeichnen; so setzen wir allgemein FMdp=e wo f eine zunächst unbekannte Function und c eine Constante bedeutet, und bestimmen die Function $ so, dass, wenn die zu einander gehörigen Werthe #’ und dß’, 8” und dß” u. s. f. in 5 (2) d$ substituirt werden, wirklich überall ein constanter Werth c erhalten wird, auf dessen, von der Wahl willkührlicher Einhei- ten abhängigen, absoluten Werth nichts ankommt. Im Falle des Weber’schen Gesetzes wird der Gleichung genügt sein, wenn ß ein eonstantes Verhältniss er ‚7 behält, mithin zu setzen, d.i. %(ß) = K zu nehmen sein, wo K eine beliebige Constante ist. Stunde bei wachsendem Reize # der Reizunterschied dß, welcher nöthig ist, einen gleich merklichen Unterschied zu geben, in umgekehrtem statt directem Verhältnisse zu 9, so würde 5 (2) sein X$. Entspräche in allen Theilen der Reizskala ein gleich grosser Reizunterschied d8 der gleichen Merklichkeit, so würde (8) sich blos auf X reduciren. Diese drei beispielsweisen Fälle entsprechen also den drei Gleichungen: — mz=t6 K3ag = — mz=t6 K3ag = Kaß=.c. Nun kann es aber auch der Fall sein, dass sich keine so einfache oder für die ganze Reizskala allgemein gültige Beziehung zwischen Bu dß und 8 zu einem constanten Werthe findet. Dann ist es doch immer möglich, mittelst einer der bekannten Interpolationsformeln 5 (2) für jeden gegebenen Theil der Reizskala, für den man das Mass sucht, nach den in diesem Theile durch Beobachtung gefun- denen zu einander gehörigen Werthen #’ und d$', #" und dp” u. s. w. so zu bestimmen, dass der Bedingung FR) aß gleich einer Constante genügt wird.
Was als constanter Werth auf Seite der Empfindung beob- achtet werden kann, ist, genau genommen, nicht ein wahrer Em- pfindungsunterschied, sondern empfundener Unterschied, wenn wir die seit dem 22. Kapitel eingeführte Unterscheidung von Em- pfindungsunterschieden im engeren Sinne und empfundenen Un- terschieden festhalten. Insofern aber die Empfindungsunterschiede nur als der besondere Fall unter den empfundenen Unterschieden begriffen sind, dass die Empfindlichkeit eine vollkommene wäre, können wir bei denselben Werthen von 8 und dß, wo der em- pfundene Unterschied constant ist, auch den zugehörigen Empfin- dungsunterschied als constant ansehen, also die Gleichung } (#) dß = solidarisch für kleine Empfindungsunterschiede und empfun- dene Unterschiede bestehend halten, und dy als kleinen Empfin- dungsunterschied für c in vorigen Gleichungen substituiren. Diese Solidarität ist vielleicht nicht a priori ganz evident, ihre Voraus- setzung aber das, was das Mass einerseits möglich macht, ander- seits die erfahrungsmässigen Resultate wiedergiebt.
Hat man nun solchergestalt die Gleichung dy= Faß mit der Bestimmung von {} (#), so wird man sie als Differenzial- gleichung betrachten und als solche integriren können; indem man unter dy einen sehr kleinen constanten Empfindungsunter- schied, unter dß einen sehr kleinen mit #8 variablen Reizunter- schied versteht. So erhält man den endlichen Unterschied zweier Empfindungen y, y', die zwei Werthen ß, #' zugehören, unter folgender Form r [2 und die Empfindung y allein unter der Form 8 J, FR) dp b Fechner, Elemente der Psychophysik. II. 13 SR wenn b der Reizwerth ist, bei welchem die Empfindung null wird, welcher Werth allgemein gesprochen null sein oder einen end- lichen Werth haben könnte, wovon sich: das Letztere nach Erfah- rung gültig zeigt.
Hienach geben die drei, oben beispielsweise aufgestellten, Formeln folgendes Ergebniss: K Modulus Um von dem Empfindungsunterschiede zum empfundenen Unterschiede aufzusteigen, wird man dann denselben Gang ein- zuschlagen haben, welcher S. 99 an der Functionsform rm za erläutert worden ist, ohne dass diem weiterer Ausführung bedür- fen wird.
Man sieht aus Vorigem, dass das Weber’'sche Gesetz in der That für das Princip des Empfindungsmasses gar keine wesent- liche Bedingung ist; nur die wichtigsten Anwendungen dieses Masses werden sich immer auf diess Gesetz zu stützen und zu be- ziehen haben.
Das Vorige in Rücksicht genommen, dürfte das Fundament unseres Masses durch eine Wendung nach zwei Seiten in voller Allgemeinheit sicher gestellt sein. Wenn man uns einwendet, die auf Weber’s Gesetz gestützte Fundamentalformel, auf die wir unser Mass der Empfindung von vorn herein gründeten, treffe nicht überall streng, in manchen Fällen gar nicht zu, wenn wir sie auf den äusseren Reiz beziehen, so erwiedern wir, dass sie doch in weiten Versuchsgränzen und gerade in solchen, in denen sich die Empfindungen im Durchschnitte halten, zutrifft; und dass es unstreitig nur nöthig sein würde, sie, statt auf Reize, auf die psychophysischen Bewegungen, die dadurch ausgelöst werden, zu beziehen, um sie stets genau zutreffend zu finden. Und wenn man uns einwirft, dass wir hiedurch in das Gebiet der Hypothese ge- rathen, so erwiedern wir, dass wir uns von aller Hypothese frei machen und alle Abweichungen vom Weber’schen Gesetze decken können, wenn wir, ohne uns an die Fundamentalformel zu bin- den, in jedem Falle besonders untersuchen, welchen Zuwüchsen y=klog $, wobei k = u WE a u u BD des Reizes in jedem Theile der Reizskala ein constanter Werth em- pfundenen Unterschiedes entspricht, und dass dann die Allgemein- heit unseres Massprincips ebenso bestehen bleibt.
Einige Beispiele können dienen, diess noch bestimmter her- auszustellen.
Im Gebiete der Lichtempfindung hat die Gültigkeit des We- ber’schen Gesetzes eine untere Gränze, welche wir darauf ge- schrieben haben, dass die Lichtempfindung nicht blos vom äus- seren Lichtreize # abhängt, sondern abgesehen davon schon die constante Empfindung des Augenschwarz besteht, welche so an- gesehen werden kann, als wenn sie durch einen inneren Lichtreiz erzeugt würde, der das Aequivalent einer kleinen Grösse äusseren Lichtreizes bildet. Obne Rücksicht auf diese Vorstellungsweise und Behauptung des Weber’schen Gesetzes aber werden wir den Thatsachen entsprochen finden, wenn wir setzen Aue Po 2...wo a eine constante Grösse bedeutet, die zum äusseren Lichtreize hinzuzufügen ist. Durch Integration dieses Werthes erhalten wir als Empfindungsunterschied y—y=klog Fa und bei so grossen Werthen von ß, 8’, dass a merklich dagegen verschwindet y—Y=klog # Ein anderes Beispiel: Ich habe Th. I. S. 205 angeführt, dass nach meinen Versu- chen die Empfindlichkeit für Temperaturunterschiede gegen die Frostkälte hin in ohne Vergleich rascherem Verhältnisse abnimmt, als dem Weber’schen Gesetze entspricht, und dass man für nie- dere Temperaturen t in Reaumur’schen Graden den eben merk- lichen Temperaturunterschied D erhalte, wenn man (14,77 — t)? mit 0,002734*) multiplicirt oder, was dasselbe, mit 365,7 divi- dirt. Die nach dieser Voraussetzung berechneten Werthe sind $. 206 in Zusammenstellung mit den beobachteten Werthen gegeben.
Nun bin ich keineswegs geneigt, die Formel für mehr als eine, innerhalb gewisser Temperaturgränzen und vielleicht die besondere Individualität des Beobachters und der Versuche approximativ gültige empirische zu halten. Um so besser aber kann sie uns hier dienen, zu zeigen, dass wir in der That mit dem Principe unseres Masses nicht an irgend eine allgemeine ge- setzliche Beziehung zwischen Reiz und Empfindung gebunden sind. Sie repräsentirt jedenfalls den Gang der Empfindung bezüg- lich der Temperatur bei meinen Versuchen. Der Werth D vertritt uns hier den Werth d? und t den Werth ß. Wir haben also, indem wir kurz setzen 44,77=T Mithin und, da 0,002734 constant ist, allgemein m er Dass wir hier dy mit negativem Vorzeichen einführen, hängt davon ab, dass der Natur der Sache nach, je nachdem mit Wachs- tbum von 8 die Empfindung wächst oder abnimmt, dy mit glei- chem oder entgegengesetztem Vorzeichen als d# einzuführen ist. Insofern wir es nun hier mit Kälteempfindungen zu thun haben, bei welchen Letzteres gilt, wird auch ein negatives dy einem po- sitiven dß zugehörig zu setzen sein. Integriren wir nun vorige Gleichung von?={' bis $=t, so erhalten wir den zugehörigen Empfindungsunterschied 2 v- 7-5 ar Tr v- 7-5 ar Tr Man kann nun bemerken, dass, wenn man { oder "=T neh- men wollte, y— y’ einen positiven oder negativen unendlichen Werth annehmen würde; was damit zusammenhängt, dass im Uebergange zwischen den Empfindungen der Wärme und Kälte, welcher unstreitig bei 7 anzunehmen ist, Discontinuität der Function, welche ihr Mass gibt, eintreten muss. Ausserdem reicht die empirische Gültigkeit der Formel nicht bis zum Werthe von t=[T. In den Gränzen aber, wo sie als gültig anzusehen, kann man mittelst derselben Aufgaben wie folgt lösen: Bei 5° ist die Kälteempfindung geringer als bei 0°, und der Unterschied beider Empfindungen hat eine gewisse Grösse. Natürlich ist der Unter-. schied grösser zwischen den Empfindungen bei 0° und 40°. Die, Formel gibt das Verhältniss dieser beiden oder irgendwelcher anderer dergleichen Unterschiede. Hier ist eine Tabelle über die — verhältnissmässige Grösse dieser Unterschiede, redueirt auf den empfundenen Unterschied zwischen 0° und 1° R. als Einheit.
‚ Empfindungs- zwischen den sen Bun Hienach ist z. B. der Unterschied der Temperaturempfindung von 0° bis 10° (= 57,06) zwischen 6 und 7mal so gross als zwischen 0° und 5° (wo er 8,55), und der Unterschied zwischen 5° und 10° (= 57,06 — 8,55) zum Unterschiede zwischen 0° und 5° wie 48,54 zu 8,55, oder über 5mal so gross. Nimmt man die Differenzen der aufeinanderfolgenden Werthe von 7—y’, so erhält man die Em- pfindungsunterschiede für die successiven Temperaturintervalle von je 1° wie folgt: Empfindungs- | „„jschen den ae Temperaturen Also wird der Temperaturunterschied zwischen 9 und 10°R. über 20mal so stark empfunden als zwischen 0° und 4° R., vorausge- setzt, dass das Gesetz wirklich bis 0° gültig bleibt, obwohl es nicht ganz so weit durch Versuche verfolgt worden. Und somit verlangsamt sich die Zunahme der Kälteempfindung gegen den Frostpunct hin ausserordentlich.
Diess ist übrigens schon aus der Versuchstabelle selbst ein- leuchtend. Denn wenn nach ihr bei 4°,6 R. eine Differenz von 2°,8 ku — erfodert wird, um eben so merklich zu sein, als z.B. bei 99,45 R. eine Differenz 0,48 ist, so heisst diess, man muss bei 4°,6 um 29,8 fortschreiten (die Temperatur 4°,6 in der Mitte des Schrittes lie- gend gedacht), um die Empfindung einer gleich grossen Tempe- raturänderung zu erhalten, als wenn man bei 9°,15 um 0,48 fort- schreitet. Jedoch ist die Grösse dieses nöthigen Fortschrittes nicht als Mass der Empfindung der Temperaturänderung anzusehen, da keine einfache Proportionalität damit stattfindet, sondern nur eine, durch obige Formel ausgedrückte, functionelle Beziehung dazu.
Volkmann hat sich durch Versuche überzeugt, dass die Empfindlichkeit der Haut für Distanzen durch Kälte sehr ge- schwächt wird. Nun ist interessant zu sehen, dass Kälte so zu sagen auch die Empfindlichkeit für sich selbst schwächt.
XXXIL Die oseillatorischen Reize im Allgemeinen. Versuch einer Elementarconstruction des Empfindungsmasses, a) Vorerörterungen, Die wichtigsten Sinnesreize, der Licht- und Schallreiz, sind oscillatorischer Natur, und wie sie auf Oscillationen ruhen, regen sie auch unstreitig oscillatorische Vorgänge in uns an, deren Am- plitude und Periode mit der der äusseren Oseillationen in Bezie- hung steht. Diess giebt der Betrachtung dieser Art Reize eine be- sondere Wichtigkeit.
Licht- und Schallreiz gelten als constant, so lange die Schwin- gungszahl n oder damit reciproke Schwingungsdauer z und die Amplitude a der zu Grunde gelegten Schwingungen, mithin auch das Product n?a? oder 5, d. ji. die lebendige Kraft der Schwin- gungen, durch welche wir die physische Intensität des Lichtes, Schalles, gemessen halten, constant ist. Auch führen wir diese Reize nach den Erfahrungen, auf die sich unsere Formeln des psy- chischen Masses stützen, als constant in dieselben ein, so lange jene Constanz von n und a besteht. Aber es fragt sich, ob die Werthe n und a das Letzte sind, wohin wir zurückgehen können: und zurückzugehen haben, um die fundamentale Abhängigkeit psychischer von physischen Werthen darzustellen.
Die Geschwindigkeit und demgemäss lebendige Kraft einer Schwingung ist nicht wirklich constant während ihrer Dauer, sondern wächst von Null an den Gränzen der Oscillation bis zum Maximum beim Durchgange durch die Gleichgewichtslage. Eben so sind die Aenderungen der Geschwindigkeit in auf einander fol- genden gleich grossen Zeittheilen nicht gleich gross während der Dauer der Oscillation; sondern beim Durchgange durch die Gleich- gewichtslage ist die Aenderung der Geschwindigkeit momentan null, und ein Maximum an den Gränzen der Oscillation.
Um auf das Elementare zurückzugehen, würden wir uns zu denken haben, dass jeder Moment der Schwingung seinen, nur nicht für sich besonders unterscheidbaren, elementaren Beitrag zur ganzen Empfindung giebt, und dass die daraus in endlicher Zeit hervorgehende endliche Empfindungsgrösse als die Summe aller elementaren Beiträge zu repräsentiren sei; allgemeiner, dass die Quantität jeder Empfindung, deren Qualität an eine gewisse Be- wegungsform geknüpft ist, nach einem allgemeinen Principe durch Summation des Quantitativen zu finden sei, was die in diese Form eingehenden Bewegungsmomente dazu beitragen, gleichviel, welche Form die ganze Bewegung und Empfindung babe, wie das Volu- men und Gewicht eines ganzen Hauses als Summe dessen, was alle einzelnen Steine dazu beitragen, bestimmt werden kann, ohne Rücksicht, welche Form das ganze Haus habe.