Ob nun eine solche Auffassung triftig und nützlich sei, scheint mir a priori mit Sicherheit weder behauptet noch widerlegt wer- den zu können; sondern man muss es damit versuchen, sehen, was dabei herauskommt, und die Entscheidung an die beiden Puncte knüpfen, erstens, ob wir auch durch die proponirte Sum- mation des Elementaren dieselbe Abhängigkeit der durch eine endliche Zeit sich erstreckenden ganzen Empfindung von der durch diese Zeit sich erstreckenden ganzen Bewegung wiederzufinden vermögen, welche die Erfahrung uns unmittelbar geboten hat, zweitens, ob wir damit zugleich etwas gewinnen, was wir nicht gewinnen, wenn wir bei den erfahrungsmässigen Gesetzen und Thatsachen stehen bleiben, welche sich unmittelbar auf die Em- pfindungen und Bewegungen in endlicher Zeit beziehen, d. h. ob wir dadurch besser in den Thatsachen orientirt werden, mehr vom Zusammenhange derselben erfahren, eine Quelle neuer Ab- leitungen gewinnen; denn wäre es nicht der Fall, so würde der Rückgang auf das Elementare, statt etwas zu fördern, nur eine 0 erschwerende Weitläufigkeit und ein nutzloses Ausholen von ei- nem rückliegenden Puncte sein.
Ungeachtet der noch grossen Mangelhaftigkeit der folgenden Untersuchung lässt sich doch meines Erachtens Beides, an was die Statthaftigkeit und Nützlichkeit dieses Rückganges geknüpft wird, schon jetzt bejahen. Es zeigt sich, dass sehr wohl eine, und zwar ganz einfache, functionelle Beziehung zwischen den elementaren Bestimmungen der Schwingung und elementaren Empfindungs- beiträgen aufstellbar ist, welche durch Summation zum Resultate der Erfahrung für die ganze Schwingung und eine ganze Folge von Schwingungen zurückführt, indem sich eben sowohl das Weber'sche Gesetz für Stärke als Höhe insbesondere, als die Compensirbarkeit der Stärke durch Höhe und umgekehrt für die Wahrnehmbarkeit des Tones, als die fundamentale Bedeutung des Octavenintervalles dadurch wiederfindet, worauf wir theils im 9., theils 30. Kapitel erfahrungsmässig geführt worden sind, d. i. die Massform logan oder logan? tje nach der Wahl zwischen zwei Voraussetzungen, zwischen denen erst noch zu entscheiden ist) für die Abhängigkeit des Toneindruckes von Stärke oder Höhe, und die Form 2rr log + für die Bedeutung des Octavenintervalles.
Auch ist schon $. 189 vorgreiflich in Kürze gezeigt worden, wie sich diess findet. Wenn aber eine unmittelbare Uebereinstimmung der Rechnungsresultate mit der Erfahrung in dieser Hinsicht blos bei Tönen, nicht bei Farben stattfindet, so ist diess kein Wider- spruch gegen die Gültigkeit des Rechnungsprineipes, indem ausser anderen im folgenden Kapitel zu besprechenden Gründen, welche dahin deuten, dass nur die Töne, nicht die Farben an so einfache Verhältnisse geknüpft sind, als hier der Rechnung unterzogen werden, das verschiedene Verhältniss beider Empfindungen zu den Rechnungsresultaten selbst eine solche Deutung an sich sehr wohl gestattet.
Nun aber werden wir nicht blos durch diese Elementarcon- struction zu erfahrungsmässigen Resultaten zurückgeführt, son- dern wir werden zugleich weiter dadurch geführt. Die Erfahrung sagt uns nichts über den Grund der Verknüpfung von Stärke, Höhe und periodischem Elemente in der Skala der Toneindrücke, und lässt uns bisher noch einigen Zweifel über ihre Verknüpfungs- weise; unsere Elementarconstruction zeigt ihre gemeinsame Ab- 2 2 hängigkeit von den Grundverhältnissen der Schwingung und fodert eine bestimmte Form ihrer Verknüpfung. Indem wir aber hier die Elementarconstruction von einer Seite befriedigend, von an- derer Seite föderlich finden, erhalten wir damit zugleich ein Bei- spiel, dass sich überhaupt etwas mit ihr gewinnen lasse, und kön- nen danach erwarten, sie auch in Fällen, wo es sich nicht mehr um einfache Schwingungen oder Schwingungen überhaupt han- delt, verwendbar zu finden, womit ein gemeinsames Band für alle psychophysischen Bewegungen hergestellt wäre. Denn wennschon wir in der äusseren Psychophysik uns zunächst nur an den Reiz halten können, wird doch das, was wir auf unsere jetzige Weise finden, in letzter Instanz auf die durch den Reiz ausgelöste psy- chophysische Bewegung zu beziehen sein, und selbst auf den äus- seren Reiz nur insofern seine reine Anwendung finden, als ent- sprechende Verhältnisse für ihn und die dadurch ausgelöste Be- wegung vorausgesetzt werden können.
Unstreitig haben wir hier einen ähnlichen Fall, als in der Physik. So lange wir die Erscheinungen nicht aus dem Elemen- taren abzuleiten vermögen, behalten wir besondere Gesetze für besondere Erscheinungsgebiete; je weiter wir zum Elementaren zurückzugehen vermögen, um so mehr verknüpfen sich die beson- deren Gesetze als besondere Fälle unter allgemeinen Gesetzen, welche den Erfolg für jedwede Gombination des Elementaren be- stimmen.
Inzwischen schlagen wir den bisher erlangten Erfolg doch nicht zu hoch an. Ich muss anerkennen, dass eine befriedigende Behandlung der Aufgabe bisher doch nur in sehr beschränkten Gränzen gelungen ist, und dass der Versuch einer allgemeineren Lösung derselben an Schwierigkeiten stösst, die zu ihrer Lösung tiefer gehende Untersuchungen fodern würden, als hier vorliegen, und als wozu, so viel ich es übersehen kann, die Mittel bisher vorliegen.
Bevor ich nun auf das Detail der folgenden Untersuchung eingehe, wird Prineip und Gang derselben im Allgemeinen darzu- legen sein.
b) Allgemeiner Gang der Untersuchung.
Erfahrungsmässig ist die Höhe und Stärke des Tones und der hievon abhängige Gesammteindruck, was wir Intensität nennen, eine Function der Amplitude und der Schwingungszahl oder Schwingungsdauer. Aber diese gelten, wie erinnert worden, für die ganzen Schwingungen. Wenn nun die Aufgabe gestellt wird, den Massausdruck der Empfindung durch Summation dessen, was die einzelnen Momente der Schwingung beitragen, herzustellen, so müssen wir fragen, was sich in jedem einzelnen Momente der Schwingung ändert, wenn sich die Amplitude oder Schwingungszahl oder beides ändert; und müssen den elementaren Beitrag zur Empfindung hievon abhängig machen. Sollten wir nun etwas in den einzelnen Momenten finden, was in directer Proportion mit der Amplitude a und Schwingungszahl n oder einer Potenz dieser Werthe steht, wovon die Empfindung nach einem und deniselben Gesetze abhängt, so werden wir auch den elementaren Empfindungsbeitrag in derselben Weise davon abhängig zu machen haben, weil nur unter dieser Voraussetzung durch Summation der elementaren Empfindungsbeiträge das Resultat der Erfahrung für die ganze Empfindung wiedergefunden werden kann.
An was wir hiebei denken können, ist die Geschwindigkeit erster Ordnung v oder die Geschwindigkeit zweiter Ordnung v, beide im Sinne folgender Einschaltung unterschieden, wovon nach den unter d) anzuführenden Formeln die erste bei gleichbleiben- der Form der Oseillationen für jeden durch eine bestimmte Phase der Schwingung bezeichneten Moment in einfachem Verhältnisse sowohl zu der Amplitude als Schwingungszahl steht, letztere in einfachem Verhältnisse zur Amplitude, im quadratischen zur Schwingungszahl. | Unter Geschwindigkeit erster Ordnung oder Geschwindigkeit schlechthin, folgends immer mit v zu bezeichnen, verstehe ich den bekann- ten Verhältnissbegriff zwischen der Grösse des Raumes, der in irgend einer Bewegung durchlaufen wird und der dazu gebrauchten Zeit, d.i. die Ge- schwindigkeit im gewöhnlichen Sinne, welche constant heisst, wenn in glei- cher Zeit, beliebig gross oder klein genommen, immer gleiche Räume durchlaufen werden, veränderlich, wenn es nicht der Fall ist, wovon Ersteres bei der gleichförmigen, Letzteres bei der ungleichförmigen Bewegung statt hat.
Unter Geschwindigkeit zweiter Ordnung, folgends mit v zu bezeichnen, verstehe ich den Verhältnissbegrilf zwischen der Aenderung der Geschwindigkeit erster Ordnung im Sinne der Kraftrichtung und der Zeit, in welcher diese Aenderung erfolgt, der das Mass der beschleunigen- den Kraft im Sinne der Physik und Mechanik darstellt, und als constant gilt, so lange die Geschwindigkeit im Sinne der Kraftrichtung beliebig gross oder klein genommen in gleicher Zeit um gleich viel wächst oder abnimmt, als veränderlich, sofern es nicht der Fall ist, wovon Ersteres in der gleich- förmig beschleunigten oder verzögerten, ‚Letzteres in der ungleichförmig be- schleunigten oder verzögerten Bewegung stattfindet.
Um keine Zweideutigkeit über das Verhältniss der hier gebrauchten Be- griffe zu lassen, führe ich folgende Stelle aus Poisson’s Traitd de Mee. T. I. p. XIII. (Table de Matieres) oder p. 268 (des Textes) an: »Quelle que soit la variation de vitesse d’un point mat6riel, en grandeur et en direction, pendant un temps infiniment petit, il y a toujours une certaine direction pour laquelle l’augmentation de vitesse est la plus grande, et perpendiculaire- ment & laquelle les composantes de la vitesse ne sont augmentees ni dimi- nudes. Cette direction est ce qu’on entend par la direction de la force qui agit sur un point materiel en mouvement; en partant de cette definition, on demontre que laccroissement de la composante de la vitesse suivant une direction quelconque, pendant un instant, est uniquement dü & la force qui agit suivant cette direction, et le m&me, que si les autres forces n’existaient pas.« Sollte die Aenderung der Geschwindigkeit erster Ordnung schlechthin ohne Bezugnahme auf die in dieser Definition scharf erklärte Kraftrichtung in das Mass der beschleunigenden Kraft oder unsere Geschwindigkeit erster Ordnung eingehen, so würde diese bei der kreisförmigen Planetenbewegung oder kreisförmigen Schwingung Null zu setzen sein, da die Geschwindigkeit v hier absolut genommen constant bleibt. Aber v ist nach unserer Identifi- cirung mit dem Masse der beschleunigenden Kraft hier nicht null, sondern constant, indem der bewegliche Körper durch die Kraft nach dem Mittel- puncte der Bewegung in jedem Augenblicke so viel beschleunigt wird, dass die (von einer Zerlegung der Tangentialbewegung abhängige) Centrifugal- bewegung dadurch compensirt wird, durch die er sich sonst vom Mittel- puncte der Bewegung entfernen würde.
Es zeigt sich nun nach der folgenden Untersuchung, dass, mögen wir die Voraussetzung einer Abhängigkeit des Elementar- - beitrages von v oder v zu Grunde legen, das Weber'sche Gesetz für die Abhängigkeit der Höhe wie Stärke der Empfindung von Schwingungszahl und Amplitude, so wie das periodische Ele- ment in der Tonskala gleicherweise wiedergefunden wird, so dass von hier aus niehts zu entscheiden ist. Aber indess die Abhängigkeit von v zu einem Massausdrucke der Intensität der Empfindung von der Form log an = log a + log n führt, führt die Abhängigkeit von v zu einem Massausdrucke von der Form log an? = loga + 2logn. Nun haben wir im 30. Kapitel den ersten Mass- ausdruck als den, wegen seiner grösseren Einfachheit und ein- facheren Abhängigkeit von der lebendigen Kraft wahrscheinliche- ren, zu Grunde gelegt; und es soll diess auch hier geschehen, und demgemäss die erste Voraussetzung für das Folgende angenommen werden. Sollte dennoch die zweite Voraussetzung sich in der Folge triftiger erweisen, was unstreitig einmal, wenn nicht durch ein- fache Versuche, wie den S. 174 proponirten, aber durch einen Zu- sammenhang von Erfahrungen entscheidbar sein wird*), so würde der Gang der hier nach der ersten zu führenden Rechnung sich doch leicht auf die andere übertragen lassen, und es wird diess selbst schliesslich hier für den ersten und wichtigsten der bier zu behandelnden Fälle geschehen.
Sei also f}(v) die Function von v, welche die Abhängigkeit zwischen der psychischen Intensität und der Geschwindigkeit v in jedem Momente ausdrückt.
Würde v während der Zeit? constant bleiben, so würde auch %(v) und mithin die psychische Intensität während dieser Zeit constant bleiben, und die Empfindungssumme während dieser Zeit durch {5 (v).2 gegeben sein. Allein v und mithin {} (v) ändert sich während einer Schwingung von Moment zu Moment und kann nur während eines unendlich kleinen Zeitelementes dt als gleichförmig bestehend angesehen werden, in welchem die unendlich kleine Zeitsumme oder der elementare Empfindungsbeitrag ist % (v). dt. Summiren wir nun diese der Grösse nach veränderlichen Beiträge, die während einer ganzen Schwingung statt gehabt haben, indem wir v für jeden Moment der Schwingung mit seiner demgemässen Grösse, also als Function von t, zur Bestimmung des Empfindungs- beitrages {} (v).dt anwenden, so erhalten wir die Zeitsumme der Empfindung während der ganzen Schwingung, d. i. den Empfin- dungseflect der ganzen Schwingung während ihrer Dauer, und insofern sich diese Schwingungen von gleicher Beschaffenheit in der Zeit t m-mal wiederholen, ist die Zeitsumme während der Zeit t das m-fache der vorigen. Um die mittlere Intensität der Empfindung während der Zeit t zu erhalten, haben wir dann diese Summe blos mit £ zu dividiren, oder, insofern t als Factor in die Empfindungssumme eingehen sollte, wie es sich zeigen wird, die- sen Factor zu streichen.
Die Form der Function $(v) ist dadurch gegeben, dass die Abhängigkeit der Stärke wie Höhe der Empfindung 7 den Aus- druck hat *) Dass ich die auf $. 32 vorgreiflich gefällte Entscheidung zurück- nehme, habe ich schon S. 474 bemerkt.
y=klog £ F sei es, dass wir unter 8 die Amplitude oder Schwingungszahl der ganzen Schwingung mit zugehörigem Schwellenwerthe b verste- hen. Soll nun der elementare Empfindungsbeitrag eben so von v als die zur ganzen Schwingung gehörige Empfindung von dem mit v proportionalen $ abhängen, so haben wir v für $# und einen zu v gehörigen Schwellenwerth, der b heisse, für 5 in voriger Formel zu substituiren*), und diesen Ausdruck noch mit dt zu multipli- ciren, um die unendlich kleine Empfindungssumme während des Zeitelementes dt, d. i. den elementaren Empfindungsbeitrag zu erhalten, dessen Mass hienach sein wird 'ydt=klogz. di Hierin bedeutet y die Intensität des Empfindungsbeitrages wäh- rend des Zeitelementes dt, v die Geschwindigkeit während dieses Zeitelementes, b den Schwellenwerth dieser Geschwindigkeit, d. i. den Werth von v, bei welchem der Empfindungsbeitrag auf die Schwelle tritt, k die gewöhnliche Constante.
Diese Formel soll die Elementarformel und der Werth b die Elementarschwelle heissen.
Der Begriff der Elementarschwelle b ist nicht daran zu knü- pfen, dass, wenn die Geschwindigkeit v momentan über den Werth b steigt, auch momentan die Empfindung entsteht, welche wir an die ganzeSchwingung geknüpft finden, sondern dass eben nur ein Beitrag zur Bildung dieser Empfindung entsteht, welcher in der Construction des Massausdruckes für die Intensität der ganzen Empfindung als positiver zu verrechnen ist, indess die Beiträge, die durch v unterhalb b geliefert werden, als negative zu verrech- nen sind, wie alsbald näher betrachtet werden wird. Man wird also im Wesentlichen nur eine mathematische Hülfsgrösse darin zu sehen haben, welche zur Vermittelung der Beziehung zwischen dem Elementaren und Ganzen einzuführen nöthig ist, und die sich schliesslich eliminirt, wie man sehen wird. Will man mehr als diese abstracte Bedeutung daran knüpfen, so dürfte man darin einen Werth von v zu sehen haben, der, so wie er überschritten wird, eine positive Bestimmung des Bewusstseins giebt, die aber sehr wohl in Allgemeinbewusstsein aufgehen kann, ohne sich als *, AufS. 30 wurde der Buchstabe b dafür beibehalten.
besondere Empfindung geltend zu machen, wenn nicht die Ueber- schreitung eine gewisse Grösse erreicht; wie sich denn in der That zeigen wird, dass eine gewisse Grösse der Ueberschreitung dazu nöthig ist.
Vielleicht findet man das Prineip, nach welchem die für die ganze Empfindung gültige Function auf den elementaren Beitrag übertragen wird, nicht ganz evident. Auch ist nicht nöthig, eine Evidenz in dieser Hinsicht in Anspruch zu nehmen; man kann die Sache so stellen. Jene Uebertragung bietet sich jedesfalls als die- jenige dar, welche zuerst geprüft zu werden verdient; da sie nun nach der folgenden Analyse zu den erfahrungsmässigen Resultaten zurückführt, so hat man bei ihr stehen zu bleiben; wie überhaupt das Grundprincip des ganzen hier eingeschlagenen Ganges dieses ist, diejenigen Annahmen zu stellen, welche nöthig sind, die er- fahrungsmässigen Resultate wiederzugeben, und in dieser Hinsicht die an sich einfachsten und natürlichsten Annahmen vor allen an- deren zu prüfen.
Die Geschwindigkeit erster Ordnung ändert ihr Vorzeichen mit der Richtung der Schwingung, und die Geschwindigkeit zwei- ter Ordnung, je nachdem sie sich auf eine Vermehrung oder Ver- minderung der Geschwindigkeit erster Ordnung in gegebener Richtung bezieht. Hienach finden in den 4 Hauptabtheilungen einer geradlinigen Schwingung folgende Vorzeichen für die Ge- schwindigkeit erster Ordnung v und die Geschwindigkeit zweiter Ordnung d statt: Phase Phase Nun haben wir keinen Grund, der Schwingung in den Abtheilun- gen mit entgegengesetzten Vorzeichen von v oder b verschie- dene Wirkung auf die Empfindung beizulegen, und diess nöthigt uns, das Vorzeichen von v oder v, möchten wir den einen oder anderen Werth in die Elementarformel einführen, als gleichgültig vorauszusetzen, also, sofern wir bei v stehen bleiben, den Aus- druck k log T so zu verstehen oder so zu stellen, dass er bei jedem Vorzeichen von v denselben Werth behält.
er N u L zu Aa Zu ro Diess erreichen wir entweder dadurch, dass wir b stets mit v zugleich das Vorzeichen wechseln lassen, wo dann r denselben positiven Werth behält, mag v positiv oder negativ sein, oder dass wir mit Rücksicht, dass es gleichgültig ist, ob wir k oder 2k für die erste Constante schreiben, die Form klog + als eine blosse Transformation der Form k log (z)' = 2klog + als der eigentlich gültigen betrachten, in welchem Falle der Werth unter dem Logarithmuszeichen als eigentlich quadratisch in jedem Falle po- sitiv bleibt. Da wir nun ohnehin das Mass der ganzen Empfindung vielmehr an den Logarithmus der lebendigen Kraft als der Ge- schwindigkeit geknüpft haben, ist diese Auffassung nur conse- quent mit der früheren. Es wird jedoch gleichgültig sein, ob wir uns an die erste oder zweite Auffassung halten wollen; wenn wir nur in jedem Falle - als positiv behalten, mag v sein Vorzeichen irgendwie wechseln.
Es würde an sich nichts hindern, bei der Aufstellung der Ele- mentarformel statt bis zur Massformel, bis zur Fundamentalformel zurückzugehen, indem man statt des im Zeitelemente dt erfolgen- den, von v abhängigen Empfindungsbeitrages die von Vermehrung der Geschwindigkeit v abhängige Vermehrung eines solchen Bei- trages in Betracht zöge; aber dadurch eben nur wieder zu der schon aufgestellten Elementarformel zurückgeführt werden, indem die Integration von dydt= kat bezüglich y eben nur die Formel ydt = klog S dt wiedergiebt.
Der Natur der Sache nach bleibt bei einfachen geradlinigen Schwingungen v nothwendig während eines Theiles der Schwin- gung unter der Schwelle b, weil die Geschwindigkeit in jeder ge- radlinigen Schwingung während des Hin- und Herganges zweimal von Null anhebt und erst bis zu gewissen Gränzen angestiegen sein muss, um den Werth b zu erreichen. So lange nun b noch nicht erreicht ist, mithin v <b ist, ist der ganze Werth k log 7 di und mithin der elementare Empfindungsbeitrag negativ. Jede solche Schwingung schliesst also mit positiven zugleich negative Empfindungsbeiträge ein oder kann selbst ganz aus solchen be- stehen, wenn wegen zu kleinem a oder n die Elementarschwelle b selbst im Maximum von v, d. i. beim Durchgange durch die Gleichgewichtslage nicht erreicht wird. Da im Folgenden öfters auf eine Schwingung wird Bezug zu nehmen sein, bei welcher a, z, n so beschaffen sind, dass im Maximo der Elementarschwellen- werth b nur eben durch v erreicht wird, so soll eine solche Schwingung den Namen der Grundschwingung erhalten, und die Amplitude, Schwingungsdauer und Schwingungszahl dersel- ben, als Grundschwellenwerthe, respectiv mit &, 9, » bezeichnet werden. So wie 2 oder an den Werth 3 oder «v überschreitet, beginnt damit nach dieser Begriffsbestimmung ein posi- tiver Empfindungsbeitrag, indem damit die Elementarschwelle b überschritten wird, ohne dass diess bemerktermassen schon hin- reicht, die an dieSchwingung geknüpfte charakteristische Empfin- dung bemerklich werden zu lassen, wozu nach dem Ergebnisse der folgenden Analyse der Werth z oder an erst einen in einem angebbaren bestimmten Verhältnisse höheren Werth als rn oder av erlangen muss. Die Werthe von a, x, n, welche erreicht wer- den müssen, damit die charakteristische Empfindung auf die Schwelle im gewöhnlichen früheren Sinne, wo wir noch nicht auf das Elementare zurückgingen, trete, sollen auch wie früher mit @,,%,,n, bezeichnet und diese Schwelle Empfindungsschwelle (respectiv Tonschwelle, Lichtschwelle, je nach dem Empfindungs- gebiete) genannt werden.
Nun erhebt sich die wichtige Frage, wie die negativen Bei- träge in Verbindung mit den positiven zu verrechnen sind. Hier ist eine Unterscheidung nöthig. Nach dem Th. II. S. 61 aufge- stellten Principe können die positiven oder bewussten Empfindun- gen, die durch Uebersteigen der Empfindungsschwelle in einer gewissen Zeit entstehen, nicht compensirt werden durch die ne- gativen, unbewussten, welche in einer anderen Zeit entstehen, und falls beide eine gleich grosse Zeitsumme gäben, kein Null- zustand der Empfindung dadurch hergestellt werden. Man darf also die Empfindungssumme während einer gewissen Zeit nicht durch die algebraische Summirung der positiven und negativen Empfindungen, die während dieser Zeit statt gehabt, ziehen wollen, sondern die positive Summe ist besonders ohne die negative zu nehmen, um zu wissen, wie viel Empfindung man RED wirklich gehabt hat. Diess ist evident.
Inzwischen handelt es sich hier nicht wie früher um schon formirte, diserete Empfindungen, sondern solidarisch dazu zusam- menwirkende Beiträge, um den Werth, mit dem sich eine Empfin- dung von gewisser Qualität, je nach den Verhältnissen der dazu beitragenden Momente, über den Grund des Allgemeinbewusstseins erhebt; und hier ist es nicht mehr evident, dass wir die positiven Beiträge dazu ohne die negativen in Rechnung zu nehmen haben; vielmehr liesse sich denken, dass, je grösser in jeder Schwingung die Summe der negativen Beiträge in Verhältniss zur Summe der positiven ist, um so weniger sich die besondere Empfindung über den Grund des Allgemeinbewusstseins erhebt; und dass überhaupt positive und negative Beiträge solidarisch zur Bestimmung der Form und Grösse der an die Schwingung geknüpften besonderen Empfindung beitragen, demnach die Summe der positiven und negativen Beiträge in dieser Beziehung nicht zu sondern, sondern algebraisch zu addiren sei, um das Mass der besonderen Em- pfindungsleistung zu haben.
Es scheint mir nun wieder schwer oder unmöglich, in dieser Beziehung etwas a priori entscheiden zu wollen. Die nachfolgende Untersuchung aber giebt die Entscheidung insofern, als nur unter der letzten hier als möglich aufgestellten Voraussetzung der Er- fahrung entsprechende Resultate durch Rechnung wiederzufinden sind. Es zeigt'sich, dass, wenn wir die positiven und negativen Beiträge sondern und unter Beiseitelassung der letzteren die Grösse, mit welcher die Empfindung als eigenthümliche ins Bewusstsein tritt, blos nach der Summe der positiven Beiträge bemessen woll- ten, dem erfahrungsmässigen Weber’schen Gesetze nicht ent- sprochen werden könnte; was dagegen der Fall ist, wenn wir die algebraische Summe der positiven und negativen Beiträge als massgebend für die dabei zu vergleichende Empfindungsgrösse nehmen. Zugleich gewinnen wir dadurch, dass wir die negativen Beiträge in die Composition der Empfindung selbst mit eingehen lassen, ein Element mehr zur Erklärung qualitativer Unterschiede der Empfindung.
Ich halte daher bis auf Weiteres, falls nicht die ganze Ele- mentarconstruction des Empfindungsmasses fallen oder eine we- Fechner, Elemente der Psychophysik. II. 14 sentlich andere Wendung nehmen soll, als unter der ich sie dar- zustellen vermöchte, die algebraische Summation der positiven und negativen Beiträge für ein vergleichbares Empfindungsmass nöthig*).
Die folgende Untersuchung beschränkt sich auf folgende 4 Fälle: 4) Einfache geradlinige Schwingungen.
2) Einfache kreisförmige Schwingungen.
3) Die Zusammensetzung zweier geradlinigen Schwingungen von gleicher Amplitude a und Schwingungsdauer z, welche in dieselbe Richtung fallen und in beliebiger Phase zusammentreffen.
4) Die Zusammensetzung zweier geradlinigen Schwingungen von verschiedener Amplitude a, a’ und Schwingungsdauer 7, € oder Schwingungszahl n, n’, aber gleicher lebendiger Kraft, so dass zwar a verschieden von a’ und z von z’, so wie demgemäss n von n’, dass aber & = 5 und an = a’n’ ist.
Den Fall, dass beliebig viele Schwingungen von gleicher Schwingungsdauer aber beliebiger Amplitude in gleicher Phase und Richtung zusammentreffen, ist es nicht nöthig, besonders zu behandeln, da eine solche Zusammensetzung einer einfachen Schwingung mit einer Amplitude gleich der Summe der componi- renden Amplituden ohne Aenderung der Schwingungsdauer und Phase in jeder Hinsicht gleichkommtt.
ec) Uebersicht der im Folgenden gebrauchten Bezeichnungen. «) Allgemeine Bezeichnungen.
y die Intensität eines Empfindungsbeitrages während des Zeit- elementes di; v die Geschwindigkeit der Schwingung im gewöhnlichen Sinne (erster Ordnung) während des Zeitelementes di, von wel- cher y abhängt; v die Geschwindigkeit zweiter Ordnung in dem S. 202 angege- benen Sinne; j *) Zu dieser Ueberzeugung bin ich, nachdem ich früher der entgegen- gesetzten Ansicht gewesen, erst durch eine neue Revision dieses Gegenstan- des gelangt und muss hienach den noch Th.II. S. 63 gebrauchten Ausdruck, dass die Summe der negativen Beiträge einfach ausfalle, für nicht mehr triftig erklären.
A un: ee ie De b die Elementarschwelle von v. oder v in dem $. 205 angege- benen Sinne, je nachdem der elementare Empfindungs- beitrag von v oder » abhängig gemacht wird; S, oder $, die Empfindungssumme, welche während einer Schwingung von der Dauer z oder durch eine Anzahl Schwingungen während der Dauer i entwickelt wird, wo- nach die mittlere Intensität der Empfindung während der Zeit t durch Division von S, mit i erhalten werden kann; ze die Ludolf’sche Zahl oder Länge der halben Kreisperipherie, den Radius = 1 gesetzt; k die gewöhnliche Constante.
ß) Für eine einfache geradlinige oder kreisförmige Schwingung: a die Amplitude; t die Schwingungsdauer; n die der Dauer reciproke Schwingungszahl in solcher Weise, dass überall n für Bi und z für. gesetzt werden kann; G die Maximumgeschwindigkeit beim Durchgange durch die Lage des Gleichgewichtes bei einer einfachen geradlinigen Schwingung, oder die, derselben bei gleicher Amplitude gleiche, constante Geschwindigkeit bei einer kreisförmigen Schwingung; a, 3, v die Grundschwellenwerthe von a, z, n in dem $. 208 angegebenen Sinne; d.h. die Werthe von a, z, n, bei wel- chen, wenn sie stattfinden, die Geschwindigkeit G eben an die Elementarschwelle b reicht; @,, T,, n, die Empfindungsschwellenwerthe von a, 7, n in ge- wöhnlichem Sinne, d. i. die Werthe von a, z, n, bei wel- chen, wenn sie stattfinden, die an die ganzen Schwingun- gen, um die sich’s handelt, geknüpfte besondere Em- pfindung auf die Schwelle tritt.
y) Für eine zusammengesetzte geradlinige Schwingung.
Für den Fall der Zusammensetzung zweier geradlinigen Schwingungen zu einer einzigen werden die vorigen Bezeichnun- gen für beide componirende Schwingungen dadurch unterschieden, dass sie für die eine mit einem Strichelchen oben, für die andere nn ohne solches gebraucht werden. X sei die Amplitude, ® die Maxi- mumgeschwindigkeit der resultirenden Schwingung, indess G die Maximumgeschwindigkeit einer componirenden Schwingung ist. Es bezeichnen dann «, 9, » und «’, 9’, v’ die Werthe in den com- ponirenden Schwingungen, bei welchen, wenn sie stattfinden, die Maximumgeschwindigkeit © der resultirenden Schwingung der Elementarschwelle b gleich wird, a,, z,, n, und a’, =, n’, die Werthe in den componirenden Schwingungen, bei welchen, wenn sie stattfinden, die ganze, an die resultirende Schwingung ge- knüpfte, Empfindung auf die Schwelle tritt.
Im Momente, von wo an die Zeit 2 gerechnet wird, sei c die Zeit, die seit dem Beginne der Schwingung ohne Strich verflossen ist, und c’ die, welche seit dem Beginne der Schwingung mit Strich verflossen ist, wenn der Beginn jeder Schwingung bei dem auf derselben Seite EEE Maximum der Ausweichung angenom- Inc’ men wird, wonach ®”° und — die Phasen beider componirenden Schwingungen zur Zeit t = 0 sind. Endlich sei ge nr (c—c') a T der halbe Phasenunterschied beider Schwingungen.
d) Gleichungen für die Schwingungen, auf denen im 2 au gefusst wird.
Für eine einfache ge redliuen Schwingung hat man (vgl. T 2 cz Dabei ist der Anfang der Zeit bei dem mon geseizt, wo das Theilchen an den Gränzen der Oseillation ist.
Für eine kreisförmige Schwingung hat man Ira v= Zr =G Für eine Zusammensetzung zweier geradlinigen Schwin- gungen von der Amplitude a, a’ und Schwingungadinuer 2 pi welche in dieselbe Richtung fallen und in den Phasen — — und Tr 7 zusammentreflen, hat man Ira._ Imlt+c), Ina’. Inlt+c‘) ve SH OT + an BIN 7 en Den Werth v für eine geradlinige Schwingung so wie Zusammen- setzung geradliniger Schwingungen erhält man durch die Gleichung v= 2, also für eine einfache geradlinige Schwingung durch Ges — Bei einer ei, Be is. u Ne -"tG u), BELA TEIE Ze Int .
e) Formeln und Resultate, welche aus der Untersuchung hervorgehen.
Unter Zugrundelegung der vorigen Principien, Bezeichnungen und Formeln etc., unter Voraussetzung, dass die Geschwindigkeit erster Ordnung v in die Elementarformel substituirt wird *), flies- sen aus der nachfolgenden Herleitung folgende Formeln und Re- sultate: 4) Für eine einfache geradlinige Schwingung hat man: = ktlog ZI (8) ktlog on, (3) Für eine einfache eoiskurmige Schwingung: S, = ktlog f = ktlog 7°" (M) = ktlog (8) = ktlog (6) Für eine Zusammensetzung zweier geradlinigen Schwingungen, die in dieselbe Richtung fallen, in welchen nicht nur an = a’n’, sondern aueh insbesondere a=a', n=n}, und bei welchen der halbe Phasenunterschied, wenn sie zu- sammentreffen, D u 5 = ktlog = krlog EP — krieg Mm jan ktlog 2 (9) Für eine Zusammensetzung zweier geradlinigen Schwingungen, die in dieselbe Richtung fallen, in welchen an = a'n', aber a von a’ und n von n’ verschieden ist, ohne Rück- *) Das Resultat der Substitution von dv findet man mit der Herleitung desselben für eine einfache geradlinige Schwingung zum Schlusse des Ab- schnittes f auf S. 223.
EEE LE ECHTE » Fran sicht auf einen bestimmten Phasenunterschied beim Zusammen- treffen: Ä nr hi (u) = tlg on gan, = htloe m (8) Bei dem Vergleiehe der für die 4 untersuchten Fälle gefunde- nen Massausdrücke ist wichtig, sich zu erinnern, dass b ein abso- luter, nicht nur von a, 7, n, sondern auch von der Schwingungs- form unabhängiger Werth ist, wogegen @» so wie a,n, zwar von an unabhängig, aber von der Schwingungsform abhängig sind. Wenn man sonach den Grössenwerth der Empfindung S; bei be- stimmtem a und n für verschiedene Schwingungsformen vergleichen will, hat man nur die Formeln anzuwenden, in wel- che ausser k, t, ze blosa, n, b eirigeht; indess die Formeln, in welche @» und a,n, eingehen, nur dienen können, den Grössen- werth der Empfindung für abgeänderte Werthe von a und n bei derselben Schwingungsform zu vergleichen.
2) In sämmtlichen untersuchten Fällen findet sich nach (3), (6), (9) und (12) der erfahrungsmässig gefoderte Ausdruck des Empfindungsmasses, auf welchen die Erörterungen des 30. Kapi- tels führten, wieder, wenn man S, mit £ dividirt,-oder t= 1 setzt, und berücksichtigt, dass k im jetzigen Kapitel den doppelten Werth als S.166 hat: Hierin ist das Weber'sche Gesetz bezüglich a und n und die Compensirbarkeit von a durch n im mehrfach bespro- chenen Sinne von selbst eingeschlossen..
3) Der Ausdruck für das periodische Element der Tonskala 2 log + ist in den gegebenen Formeln aus dem S.188 angegebe- nen Grunde nicht sichtbar, tritt aber in der schon früher ange- zeigten Weise bei der Ableitung des Massausdruckes für sich auf.
4) Nach der festgestellten Bedeutung von « und » (S. 208) wird bei einer einfachen geradlinigen Schwingung die Elementar- schwelle erreicht, wenn an den Werth «» annimmt, nach der aus unserer Rechnung hervorgegangenen Formel (2) wird die Empfin- dungsschwelle erreicht, d.h. S, verschwindet, wenn an den Werth 2av annimmt, d.i., wenn die Schwingungszahl » sich bei gleichem «@ um eine Octave erhöht.
5) Bei einer kreisförmigen Schwingung fällt der Werth der Empfindungsschwellen a,,?,, n, mit dem der Grundschwellen «,, T,, 9, zusammen.
6) Nach dem Vergleiche des Ausdruckes für die geradlinige und kreisförmige Schwingung (unter Rücksicht auf die S. 214 ge- machte Bemerkung) stimmt das Empfindungsresultat der kreisför- migen Schwingung seiner Grösse nach mit dem einer geradlini- gen Schwingung von gleicher Amplitude und doppelter Schwin- gungszahl oder von gleicher Schwingungszahl und doppelter Amplitude überein; es geht aber in den Massausdruck für die kreisförmige Schwingung kein von der Periodieität abhängiger Werth ein, und es ist hienach nicht auf gleiche Qualität der Em- pfindungen zu schliessen. Hienach wird man auch die Tonschwin- gungen innerlich nicht an kreisförmige Schwingungen geknüpft denken können, wie denn in der That in einer gleichförmigen kreisförmigen Bewegung nichts ist, was eine Periode abgränzte.
7) Von den beiden Fällen der Zusammensetzung zweier ge- radliniger Schwingungen, welche in Rechnung gezogen sind, und bei welchen an = a’n’, scheint der erste, wo zugleich a = a’ und n = n', nur ein besonderer Fall des zweiten zu sein, wo a von a’, n von n’ und mithin z von z irgendwie verschieden gesetzt ist, sofern die Allgemeinheit des zweiten Falles scheint gestatten zu müssen, diesen Unterschied beliebig klein, also auch null zu setzen, und sofern nicht erhellt, warum ein Phasenunterschied einen Einfluss im ersten besonderen Falle gewinnen kann, wenn er im zweiten allgemeinen nicht in Rücksicht kommt.
Hiegegen lehrt ein Blick auf S.213, dass die Formeln für den ersten Fall nicht wirklich aus denen für den zweiten durch Gleich- setzung von a und a’, n und n’ ableitbar sind; denn in die For- meln für den ersten Fall geht der halbe Phasenunterschied D ein, der in die Formeln für den zweiten nicht eingeht, und betrachtet man die Formeln des ersten Falles für cos D = 4, wo beide com- ponirende Schwingungen in gleicher Phase zusammentreffen, so hat man Indess die des zweiten Falles geben zan $, = kl log 3b Nach den Formeln des ersten Falles stimmt also das psjchische Resultat der Zusammensetzung seiner Grösse nach mit dem einer — einfachen Schwingung überein, deren Schwingungsproduet 2an wäre, nach denen des zweiten mit dem einer einfachen Schwin- gung, deren Schwingungsproduct nur an wäre.
Der Widerspruch, der hierin zu liegen scheint, ist jedoch nur scheinbar.