Nach Umständen kann nun der Nachtheil oder Vortheil über- wiegen, und auch hier giebt es einen Punct grössten Vortheils, der mit dem vorigen zusammenfällt. Das Maximum, d. h. wo ein Bild von gegebener Grösse auf der Netzhaut möglichst gross er- scheint, findet wieder bei einer Netzhaut statt, deren Ausdehnung A= e, im vorhin angegebenen Sinne, Bis jetzt haben wir uns nur die Ausdehnung der Netzhaut bei gleichförmiger und gleicher Nervendichtigkeit veränderlich gedacht. Denken wir uns jetzt die Nervendichtigkeit verschiede- ner Netzhäute bei gleicher Ausdehnung verschieden, so wird das scheinbare Gesichtsfeld sich in demselben Verhältnisse dadurch abändern, als durch Abänderung der Ausdehnung, insofern die Ausdehnung der Netzhaut selbst nur nach Massgabe der Zahl der Empfindungskreise in ihr in Rechnung kommt, so dass eine dop- pelt so dichte Netzhaut ein eben so grosses scheinbares Gesichts- feld hat, als eine doppelt so ausgedehnte bei ungleicher Dichtigkeit.
Allgemein, wenn D die immer noch als gleichförmig voraus- gesetzte Nervendichtigkeit der Netzhaut, a ihre wirkliche Aus- dehnung, « die Ausdehnung des Theils, auf den das Bild fällt, ist, so wird die scheinbare Grösse des Gesichtsfeldes sein log Da, die scheinbare Grösse des Bildes — log Da, wonach durch Verdichtung der Netzhaut mehr für die scheinbare Grösse des Bildes gewonnen werden kann, als durch Vergrösserung derselben, weil D nicht eben so wie a indenDivisordes Ausdrucks für die schein- bare Grösse desBildes eingeht. In der That sehen wir diesem Ge- sichtspuncte durch grosse Nervendichtigkeit bei geringer Grösse der Netzhaut entsprochen. Indess kann natürlich die Nerven- dichtigkeit, d. h. Zahl der auf einer grossen Fläche zusammeni m gedrängten Netzhautelemente, falls sie sich einmal berühren, nur auf Kosten ihrer Ausdehnung vermehrt werden, wo dann jeder nur noch weniger Lichtstrahlen aufnehmen kann, was die Inten- sität der Empfindung vermindern muss.
Uebrigens kann die Vergrösserung von D verhältnissmässig nur um so weniger zur Vermehrung der scheinbaren Grösse des Bildes beitragen, je weiter sie über einen gewissen Punct hinaus- getrieben wird. Denn ver-m-facht man D in der Formel für die scheinbare Ausdehnung des Bildes, so wächst der Ausdruck um z log m, was gegen r log Da um so mehr verschwindet, je grös- ser Da schon ist.
Bisher war gleichförmige Nervendichtigkeit vorausgesetzt. Eine solche aber findet nicht wirklich statt, und unsere Theorie schliesst die sehr merkwürdige, weil merkwürdig mit den Ein- richtungen der Natur zusammenstimmende, Folgerung ein, dass ein besonderer Vortheil dadurch erzielt werden kann, dass der Theil der Netzhaut, auf den das Bild fällt, sehr nervendicht im Verhältnisse zum übrigen gemacht wird, indem der Bruchtheil der gesammten Anzahl Empfindungskreise, den das Bild deckt, 'da- durch grösser wird, ohne dass sich die im Divisor auftretende Gesammtzahl der Empfindungskreise a dadurch erheblich ver- grössert.
In der That, wenn D die mittlere Nervendichtigkeit, a die Ausdehnung der ganzen Netzhaut, d die Nervendichtigkeit und « die Ausdehnung des Theiles, auf den das Bild fällt, ist, so ist das ganze scheinbare Gesichtsfeld log Da, und die scheinbare Ausdehnung des Bildes 5 log Da; woraus folgt, dass die scheinbare Ausdehnung des Bildes bei gegebenem D im directen Verhältnisse von d wächst.
Hienach erscheint die Einrichtung, nach der wir nur eine sehr kleine sehr nervendichte deutlich sehende Stelle bei einer im Verhältnisse dazu viel minder nervendichten übrigen Netzhaut haben, als die vortheilhaft möglichste, die grösste verhältniss- mässige Leistung im Sehen zu erzielen. Nur dass diese Einrich- tung noch die zweite Einrichtung nöthig machte, die Augen be- weglich einzurichten, um hiedurch das Aequivalent eines grossen deutlichen Sehfeldes zu erlangen. Entsprechend ist auch unser h Tastorgan eingerichtet; und die nervendichtes'en Stellen sind hier noch insbesondere an den freibeweglichsten Theilen, der Zunge und den Fingern, angebracht.
Wenn über die Verhältnisse der Nervendichtigkeit zur Grösse der Netzhaut und andere Verhältnissen bei verschiedenen Thier- klassen mehr bekannt wäre, als zur Zeit der Fall, würden sich unter Zuziehung des teleologischen Princips, ohne welches hier nichts auszurichten, vielleicht bestimmtere Bestätigungen dieser Theorie oder auch bestimmtere Einwürfe dagegen ergeben, da ich in der That weit entfernt bin, dieselbe für eine sichere aus- zugeben. Es gilt in dieser Hinsicht, was Bergmann*) mit Be- zug auf die durch Weber’s Versuche am Tastsinne begründeten Ansichten sagt: »Somit kommen wir zu dem Resultate, dass die Grösse des Bildes im Auge wohl nur in dem Masse ein ge- naues Sehen möglich macht, als damit eine Aus- breitung des Bildes über eine grössere Zabl von Nervenendigungen verbunden ist. — Dadurch aber ste- hen wir der Frage gegenüber, nach welchem Masse die Verthei- lung der Nervenendigungen in den Augen verschiedener Thiere angeordnet sein mag? Die äusserst schwierige Anatomie der Netz- haut ist bis jetzt nicht im Stande, diese Frage zu lösen; aber es ist anzunehmen, dass die einstige Lösung Licht über manche Ei- genthümlichkeiten des Sehens verschiedener Thiere wird verbrei- ten müssen. « Die Grösse, welche das Bild eines möglichst deutlich gesehe- nen Gegenstandes auf der Netzhaut eines Geschöpfes deckt, hängt einerseits von der deutlichen Sehweite des Geschöpfes, anderer- seits dem Abstande des Kreuzungspunctes der Sehstralen von der Netzhaut, drittens von dem Radius des Auges und mithin der Netzhaut ab. Gesetzt nun, wir hätten Geschöpfe, bestimmt, aus viel grösserer Entfernung deutlich zu sehen, als der Mensch, wie würden ihre Augen beschaffen sein müssen? Unstreitig so, dass die Kleinheit des Bildes, welches durch die grosse Entfernung der Gegenstände bedingt wird, durch andere Verhältnisse compensirt würde. Welches werden diese Verhältnisse nach unserer Theorie sein? Das Verhältniss der Nervendichtigkeit auf dem deutlichst- *) Anatom. physiol. Unters. S. 470.
sehenden Theile zum übrigen, so wie der Radius, also die Grösse des Auges, wird wachsen müssen, die Grösse der Netzhaut aber nicht im Verhältnisse mit wachsen dürfen, weil die vortheilhafteste Ausdehnung der Netzhaut unabhängig von der Grösse des Auges sich bestimmt. In der ‚That bieten die Vögel, welche bei ihrer Bestimmung zum Fluge sehr weit zu sehen haben, durchschnitt- lich sehr grosse Augen, aber mit verhältnissmässig zur Grösse des Auges kleinerer Netzhaut dar, als Säugethiere, wie ich der wünd- lichen Aeusserung eines Sachkundigen entnehme. Ueber die Ver- hältnisse der Nervendichtigkeit ist mir nichts bekannt.
In »Müllerz. vergl. Physiol. des Gesichtss. S. 132« finde ich hingegen folgende Angabe: »Bei dem Adler und Geier soll die Netzhaut wie unter den Fischen bei der Gattung Zeus und bei den Meeräschen in den Meridianen einer Kugel gefaltet sein; und bei den Geiern soll die Netzhaut nach der Entwicke- lung dreimal grösser sein, als in ihrer natürlich gestalteten Ausdehnung. « Bei diesen Vögeln würde also die Netzhaut doch eine beträchtliche Grösse haben; was nicht zu unserer Formel passen würde, insofern nicht diese Grösse mit ihrem beträchtlichen Faserinhalte darauf berechnet wäre, den deutlich sehenden Theil sehr nervendicht mit Nervenenden zu machen.
Jedenfalls sieht man, dass sich hier mancher Gesichtspunet für interes- sante Untersuchungen anatomischerseits darbietet, zu welchen anzuregen nur der Zweck der vorigen Bemerkungen sein konnte.
Unstreitig kommt es bei Ausführung dieser Theorie auch mit auf folgende Abwägung an: Grosse (vielzweigige) Empfin- dungskreise werden den Vortheil gewähren, intensive Empfindun- gen zu erzeugen, indem sich die Eindrücke darauf zu einer inten- siven Empfindung summiren, aber den Nachtheil, dass verschie- dene einander juxtaponirte Eindrücke darauf verfliessen, dass wegen verringerter Zahl derselben in gegebenem Raume die scheinbare Grösse der Bilder sich verkleinert und die Grössen- schätzung unsicher wird, sofern nach dem, bezüglich der Volk- mann’schen Constante erörterten Prineipe (Th. I. S. 230) eine Länge gleich gross erscheinen muss, mag sie mit ihren Enden auf die einander nächsten oder entferntesten Theile zweier Empfin- dungskreise fallen.
XXXV. Einige Tastversuchsreihen nach der Methode der mittleren Fehler mit Erläuterungen dieser Methode.
Von den folgenden 6 Versuchsreihen ist I bis IV insbesondere bestimmt, zu beweisen, dass das Weber’sche Gesetz sich für das Tastmass nicht eben so wie für das Augenmass bestätigt, sondern dass der mittlere Fehler oder die Fehlersumme, woraus er gezo- gen worden, sich in kleinerem Verhältnisse vergrössert, als die Normaldistanzen auf der Haut, bei denen er erhalten wird, und dass er bei grösseren Distanzen fast constant bleibt; die Reihe V, eine sehr grosse mit 6400 Beobachtungen, zeigt, dass die 5 Finger (Vorderglied, Volarseite, Längsdistanz) sich in dem Grade der Un- terschiedsempfindlichkeit nicht sehr unterscheiden, der Zeigefin- ger aber doch entschieden die grösste Empfindlichkeit besitzt, ein Resultat, das, um für allgemein zu gelten, freilich erst noch an anderen Personen constatirt werden müsste, und bei verschiede- ner Gebrauchsweise der Hände zur Arbeit und den täglichen Ver- richtungen des Lebens möglicherweise sich verschieden stellen könnte. Die Reihe VI giebt den Maximumgrad der Unterschieds- empfindlichkeit, den ich bis jetzt mit dem Tastorgane erlangte, worüber S. 316 gesprochen worden ist.
Abgesehen hievon sind die folgenden Reihen, besonders V und VI, bestimmt, die Methode der mittleren Fehler nach ver- schiedenen Seiten etwas specieller an Beispielen zu erläutern. Hiebei wird ein Rückblick auf das vorausgesetzt, was in Th. 1. Kap. 8, insbesondere von S. 120 an, über die Methode der mitt- leren Fehler gesagt ist, wozu noch die Bemerkungen in Th. I. von $. 148 an über die Analyse des constanten Fehlers c in seine Componenten zugezogen werden können, wovon jedoch folgends das Wesentliche resumirt wird. Die Beobachtungen sind unter den im 8. Kapitel im Allgemeinen angegebenen Massregeln ange- stellt, und die Bezeichnungen hier wie dort zu verstehen. Zu der daselbst gegebenen allgemeinen Darstellung der Methode wird es jedoch nöthig sein, folgends noch einige ergänzende Erörterun- gen zu fügen.
Die speciellen Massregeln bei den folgenden Versuchen waren diese: Bei meinen eigenen Versuchen wurden immer gestielteSchen- kelzirkel mit eingelassenen Nähnadelspitzen (Länge der Schenkel 5 par. Duod.-Zoll) angewandt, und diese bei der Application an den Stielen gefasst. Wo nicht (wie bei Reihe IV und theilweis VI) besonders bemerkt ist, dass die Application der Zirkel durch einen Gehülfen geschahe, fand Selbstapplication derselben statt. Die Reihe VI hat u.a. denZweck, den verschiedenen Erfolg beider Applicationsweisen zu bestimmen. Bei den Beobachtungen am Vordergliede der Finger (Reihe II, V, VI) wurde von mir die eine Zirkelspitze stets in die Gelenkfuge zwischen dem vorderen und mittleren Fingergliede, und die andere nach vorn auf das Vorder- glied aufgesetzt. Diess geschahe, wie überhaupt die Versuche, ohne Zuziehung des Gesichtssinnes, indem man sich bald übt, die rechte Stelle auch ohne das zu treffen.
Stets wurden von mir je 40 Beobachtungen unter ganz den- selben Umständen (mit derselben Normaldistanz, auf derselben Hautstelle, bei derselben Zeit- und Raumlage der Zirkel) unmit- telbar hinter einander angestellt; ausgenommen in Reihe I bei den Beobachtungen an der Stirne, deren Haut zu empfindlich ist, um eine so oft hinter einander wiederholte Application der Zir- kelspitzen auf derselben Stelle zu vertragen, und in Reihe II am Finger, wo die mitzugezogene kleine Distanz 5d wegen der Nähe der Zirkelspitzen an einander die Entstehung eines Reizzustandes erleichterte.
Wenn mehrere Normaldistanzen in derselben Reihe geprüft wurden, wurden sie stets hinter einander durchlaufen, und an verschiedenen Tagen mit auf- und absteigender Folge derselben gewechselt, so wie auch in der Zeit- und Raumlage der Zirkelap- plication ein ganz regelmässiger Wechsel nach Fractionen a m=10 oder nach Tagen beobachtet ward.
Wenn der Normalzirkel bei der Application mit der linken, der Fehlzirkel mit der rechten Hand gehalten wurde, ist diess mit L bezeichnet, umgekehrt mit R; — wenn der Normalzirkel zuerst, der Fehlzirkel zuzweit applieirt wurde, ist diess mit I, umgekehrt mit II bezeichnet*); so dass hienach 4 Zeit-Raumlagen IL, IL, IR, IIR unterscheidbar sind, wovon jedoch in Reihe I blos IZ und IR in Anwendung kamen. Wenn beide Zirkel in dieselbe Hand ge- fasst wurden, um an der anderen Hand Versuche damit anzu- stellen, kommt statt der Fassung R und Z die Fassung mit dem oberen und unteren Theile der Hand in dem, Th. II. S.150. An- merk. angegebenen Sinne in Betracht, welche durch O und U unterschieden wird.
Die Normaldistanz ist stets mit D bezeichnet, und die Ein- heit, in der alle Zahlen bei meinen Versuchen ausgedrückt sind, *) Vergl. hierüber speeieller Th. II. $. 449.
4 halbe pariser Decimallinie = 0,72 paris. Duodecimallinien, mit.d. Die Ablesung der Fehler geschahe an einem Massstabe mit Trans- versalen, welcher 0,1 d giebt. Kleinere Werthe als diese Grösse waren also nicht direct zu erhalten, obgleich ein Mittel aus vielen Beobachtungen solche noch mit verhältnissmässiger Sicherheit geben kann.
Die Fractionirung bei der Berechnung der von mir angestell- ten Reihen ist stets auf 10 Beobachtungen geschehen, welche, mit Ausnahme bei Reihe I und II, auch stets unmittelbar hinter einan- der angestellt waren, indem die mittlere Fehldistanz für je 10 Beobachtungen besonders bestimmt, die reinen Fehler als Diffe- renzen der einzelnen Fehldistanzen von ihrer mittleren berechnet, und die solchergestalt fractionsweise erhaltenen reinen Fehlersum- men zur Gesammtsumme I/ zusammengelegt wurden. Indem nun m die Zahl der Beobachtungen /jeder Einzelfraction, w die Anzahlder Fractionen bedeutet, aus denen jeder Werth S4 in den folgenden. Versuchstabellen abgeleitet ist, ist um die Zahl der Einzelbeob- achtungen, die dazu beigetragen haben; für die Summenspalten in den Tabellen jedoch wm noch mit der Zahl der summirten Po- sten multiplieirt zu denken. Den mittleren Fehler & erhält man dann durch Division von S/4 mit der Zahl der dazu beitragenden Fehler.
Das Vorige betraf wesentlich nur die eigenen Beobachtungs- reihen (I, II, V, VI). Die Volkmann’schen (Ill, IV) sind mit anderen Zirkeln, deren Einrichtung ich nicht genau angeben kann, ohne Unterscheidung besonderer Zeit- und Raumlage, die nicht eben wesentlich dabei war, und mit anderer Zusammenfassung der Beobachtungen angestellt, auch’ andere Masseinheiten dabei angewandt, worüber bei der speciellen Mittheilung der Reihen das Nöthige.
Um die richtige Auslegung der Zahlen in den Tabellen jeden- falls zu sichern, erläutere ich die erste Zahl der ersten Versuchs- tabelle.
Unter D=15 findet sich hier für IZ die Zahl 32,7, indess über der Tabelle m =40, u=5 steht, das heisst; bei einer Nor- maldistanz D= 15 halbe pariser Decimallinien, in der Zeit-Raum- lage IZ wurde durch mu=50 Beobachtungen, also durch 50 reine Einzelfehler eine Fehlersumme 34 = 32,7 halben pariser Deeimallinien erhalten, welche durch Berechnung aus 5 Fractio- A nen äm= 10 abgeleitet ist, was als e für 4 Fehler giebt 0,654 halbe pariser Deeimallinien. Eben so sind alle anderen Zahlen derselben Tabelle unter den Rubriken IZ, IR auszulegen. Die Summenzahl 66,5 für IZ und IR bei D=15 wird dann, als für die doppelte Zahl Beobachtungen geltend, natürlich mit 100, statt 50 zu dividiren sein, um & für 4 Beobachtung zu geben, und noch mit 34, wenn man wegen des endlichen m corrigiren und damit &, erhalten will. Der constante Fehler c wird immer als durchschnittllicher für 4 Beobachtung angegeben. Die Zahl der Beobachtungen, aus denen man ihn ableitet, d. i. die Grösse des m, hat nicht eben so wie bei 2/4 einen Einfluss auf seine Grösse, sondern nur auf die Sicherheit seiner Bestimmung.
Wo Beobachtungen bei 4-facher Zeit-Raumlage angestellt sind, werden die allgemein mit c bezeichneten constanten Fehler speciell genannt be IL NL IR UR oder IU IU IO NO Derselbe lässt sich dann, wie Th. II. S. 148 ff. ausführlicher auseinandergesetzt ist, in eine von der Zeitlage abhängige Compo- nente p, eine von der Raumlage abhängige Componente q, und eine von beiden unabhängige Componente s, welche wahrschein- lich den, Th. II. S. 444. 151 angegebenen Ursprung hat, analysi- ren, indem man setzt vs=p+q9+Ss g.=—-p+rqg+Ss Due ei u und hieraus p, q, s durch Addition und Subtraction dieser Glei- chungen von einander bestimmt, was, jenachdem man dieseoder jene zwei Gleichungen dazu nimmt, eine doppelte Bestimmung von p, 9, $ giebt, welche sich controlirt. Die beiden so erhalte- nen Werthe werden durch die unten angehängten Indices 4 und 2% unterschieden und ihr Mittel ohne Index angegeben werden. Da die gute oder schlechte Uebereinstimmung der Doppelwerthe einer Componente zugleich die der beiden anderen verbürgt (vgl. Th. II. S. 152), was zu constatiren die folgenden Reihen (II, V, VI) selbst hinreichende Gelegenheit geben, so sind im Allgemeinen blos die Doppelwerthe für die Componente s, als die in der Regel grösste, ul. u ul. u speeificirt, von den anderen Componenten p, q nur die Mittel an- gegeben. Wo, wie bei Reihe I, blos Beobachtungen bei IZL und IR vor- liegen, stehen blos die Gleichungen s=p+q4+Ss u baue At Fe a zu Gebote, und man kann den constanten Fehler dann blos in eine von der Raumlage abhängige Componente q und eine davon unabhängige p + s trennen, ohne p+s selbst trennen zu können. In Th. I. S. 125. 427 habe ich von mehreren Correctionen gesprochen, welche an der reinen Fehlersumme 34 oder dem daraus abgeleiteten Mittelfehler < = za angebracht werden kön- nen, wovon die wichtigste die wegen des endlichen m ist (Th. II.
S. 426), nach welcher 34 oder & noch mit.. zu multipliciren ist. Da ich diese, bisher noch nicht hergeleitet gewesene, wichtige Correction im Folgenden mehrfach anwende, will ich die Herleitung derselben unter dem 4. Zusatz zu diesem Kapitel beifügen. Das Verständniss dieser Herleitung setzt eine etwas nähere Bekanntschaft mit der mathematischen Fehlertheorie vor- aus. Ohne Correction werde der aus den reinen Fehlern abge- leitete Mittelfehler mit &, nach der Correction wegen des end- lichen m mit e, bezeichnet, so dass 8m+i 3m 8m+i 3m Ausser dieser Correction habe ich Th. I. S.127 noch zweier, unter Umständen anzubringender, Correctionen von Z4 und & erwähnt, der Correction wegen der Grösse der Inter- valle und wegen Schätzung der Eintheilung, die meist zu vernachlässigen sind, und von denen die zweite hier überhaupt nicht in Betracht kommt, da keine Schätzung von Zwischenthei- len am Massstabe stattfand; die erste aber nicht unzweckmässig bei den Versuchen der Reihe VI zu berücksichtigen ist, da hier der Mittelfehler (bei Abtheilung V) nicht viel grösser als 0,1 d, d. i. als das kleinste Intervall des Massstabes ist. Ich gebe hier diese Cor- rection nachträglich kurz und für praktischen Zweck genügend an, und füge das Theoretische darüber unter dem 2. Zusatze bei.
Can _; Sei die wegen der Grösse der Intervalle noch nicht corrigirte, mithin falsche, Fehlersumme 34 und der uncorrigirte Mittelfehler 2 = e; seien die kleinsten unterschiedenen Intervalle der Ein- theilung von der Grösse i, so findet sich die corrigirte oder wahre Fehlersumme SZ aus der falschen 3.4 durch folgende Gleichung so wie der corrigirte Mittelfehler e, aus dem falschen durch Ist also z. B. i=e, so hat man: was eine nicht zu vernachlässigende Correction ist. Wäre i nur Hienach kann man selbst bemessen, inwiefern die Natur der Be- obachtungen und Aufgaben es nöthig erscheinen lässt, sich auf diese übrigens sehr einfache Correction einzulassen. Ich bin blos bei der Reihe VI darauf eingegangen.
Bei den sehr kleinen constanten Fehlern, die zum Theil im Folgenden vorkommen, kann man mehrfach fragen, ob ihr Dasein nicht blos auf unausgeglichenen Zufällligkeiten ruht. Um diess zu beurtheilen, muss man den wahrscheinlichen Fehler des con- stanten Fehlers suchen, und sehen, ob er in erheblichem Verbält- nisse durch die Grösse des constanten Fehlers selbst überschrit- ten wird, was sehr einfach nach folgender Regel mittelst des zu dem Werthe ce gehörigen Werthes Z4 geschehen kann.
Sei M = mu die Gesammtzahl der Beobachtungen, aus denen c und mithin das zugehörige 34 abgeleitet ist, wo m wie gewöhn- lich die Fehlerzahl einer Fraction, u die Zahl derFraetionen ist, die zu 324 beigetragen haben, so ist der wahrscheinliche Fehler w von c - MyMm 3m So gehört in der ersten Beobachtungsreihe (bei D=15, IL) zur Fehlersumme 24 = 32,5 der constante Fehler + 0,89. Da 24 und c aus 50 Beobachtungen abgeleitet sind, so ist M = 50, und da bei der Ableitung Fractionen ä 40 angewendet sind, so ist m = AV; hienach Der constante Fehler c also, wenn wir, wie gewöhnlich, den wahrscheinlichen Fehler mit + beifügen, so zu schreiben was sagt, die Wabrscheinlichkeitstehtgleich, dass der Werth +0,89 um mehr und dass er um weniger als 0,0804 in Plus oder Minus von dem Werthe c abweicht, der durch eine unendliche Zahl vergleich- barer Beobachtungen erhalten worden wäre. Sollte nun der con- stante Fehlernicht erheblich grösser sein, als dieser wahrscheinliche Fehler, oder, wie man sich kurz ausdrücken kann, sollte er durch denselben ganz oder nahe absorbirt werden, so liesse sich das, was man als constanten Fehler bestimmt hat, nicht unwahrschein- lich als blos von unausgeglichenen Zufälligkeiten abhängig an- sehen, und dem constanten Fehler keine Realität beilegen; sollte aber z. B. c doppelt so gross sein als w, so würde 82 gegen 18 zu wetten sein, und sollte er 3mal so gross sein, so würde 96 gegen 4 zu wetten sein, dass er nicht vom Zufalle abhängt; noch mehr, wenn er in noch stärkerem Verhältnisse w überwöge. In unserem Beispiele, wo c= 0,8900 merklich A4mal so gross als w= 0,0804 ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass er vom Zufalle abhänge, ganz verschwindend.
Die vorige allgemeine Regel zur Bestimmung von w begründet sich wie folgt: der wahrscheinliche Fehler des constanten Fehlers ce kommt mit dem wahrscheinlichen Fehler der mittleren Fehldistanz (= Normaldistanz + c) überein, da der wahrscheinliche Fehler einer Grösse sich nicht ändert, wenn man zu dieser eine feste Grösse (Normaldistanz) zugefügt oder davon abge- zogen denkt, Den wahrscheinlichen Fehler der mittleren Fehldistanz aber kann man aus den Abweichungen, welche die einzelnen Fehldistanzen von derselben haben, d. i. den reinen Fehlern 4 bestimmen; was entweder in der gewöhnlichen Weise aus der Summe der Fehlerquadrate und dem dar- aus abgeleiteten quadratischen mittleren Fehler &, nach der Formel ya ® aber auch merklich gleichgeltend mittelst der einfachen Fehlersumme und des daraus abgeleiteten einfachen mittleren Fehlers e, nach der Formel vn.
geschehen kann, insofern e, und &, durch das (theoretisch begründete und von mir experimental verificirte) normale Verhältniss verknüpft sind. &, aber wird erhalten, indem man 34 mit der Gesammt- zahl der Beobachtungen M dividirt und wegen des endlichen m corrigirt, wodurch man zu der angegebenen Formel gelangt.
Die Erörterung, wie die obigen speciellen Wahrscheinlichkeitsregeln be- züglich des Verhältnisses von c zu w gefunden sind, würde bier zu weit füh- ren; auch beruht diese Bestimmung auf hinreichend bekannten Principien.
Hat man die wahrscheinlichen Fehier w für c,, C3, €,, €, ins- besondere bestimmt, und die zugehörigen Werthe von w = w,, Wy, %Wg, w, gefunden, so erhält man daraus leicht auch den wahr - scheinlichen Fehler der Componenten p, q, s, welcher W heisse. Derselbe ist nämlich, wenn diese Componenten nach den Glei- chungen S. 347 aus allen 4 Werthen c solidarisch bestimmmt sind, für alle drei gleichgeltend 1 A een nn 0 7 nr Hat man irgendwelche der Componenten des constanten Fehlers blos aus zwei Werthen von c, z. B. c,, c oder c,, c, be- stimmt, so ist auch der Werth des wahrscheinlichen Fehlers die- ser Componente nur V= me oder u Auch jede Componente des constanten Fehlers wird man nach gleichem Principe als den ganzen constanten Fehler als Sache blos unausgeglichenerZufälligkeiten ansehen können, wenn ihre Grösse nicht die des wahrscheinlichen Fehlers W erheblich übersteigt.
Hat man die Werthe des constanten Fehlers c für die u Frac- tionen einer grösseren Beobachtungsreihe besonders bestimmt, wozu ich in Reihe VI Beispiele gebe, so kann man auch die Ab- weichungen, welche die wFractionswerthe des constanten Fehlers vom mittleren c darbieten, und welche ‚#heissen mögen, in Betracht ziehen, und diese Abweichungen benutzen, nach der gewöhn- lichen Regel mittelst der Summe der Quadrate 3 (9) oder mittelst der einfachen Summe I,% einen wahrscheinlichen Fehler von c zu berechnen, ersteres mittelst der Formel letzteres mittelst der Formel uyu wo u die Zahl der Fractionen und mithin Einzelwerthe von c ist. Inzwischen hat der so berechnete wahrscheinliche Fehler nicht ganz gleiche Bedeutung mit dem, nach $. 349 aus 24 bestimm- ten, indem er wesentlichst mit abhängig ist von den, bei länge- ren Versuchsreihen nie leicht fehlenden, Variationen des constan- ten Fehlers. Während jener blos massgebend ist für die von grösseren und geringeren unregelmässigen zufälligen Einflüssen abhängige Sicherheit der Bestimmung des constanten Fehlers, ist dieser zugleich massgebend für den Grad desSchwankens des con- stanten Fehlers, und es können daher zwar beide Bestimmungs- weisen (aus SS und 39) unter Umständen, wo das Schwanken gering ist, nahe übereinstimmende, unter Umständen aber auch ausnehmend abweichende Resultate geben, wie die Beispiele in Reihe VI beweisen. Um zu entscheiden, ob ein Schwanken statt gefunden habe, ist es daher nützlich, beide Bestimmungsweisen zu vergleichen.
Wo nichts besonders bemerkt ist, ist im Folgenden immer aus S/ nach der $. 349 gegebenen Formel berechnet.
Unstreitig ist eine absolut reine Trennung der Fehler 4 von Variationen des constanten Fehlers in Wirklichkeit durch keine Fractionirung und frac- tionsweise Behandlung der Beobachtungsreihen möglich, und leidet selbst an begrifflichen Schwierigkeiten. Wenn man aber alle zu vergleichenden Beobachtungen stets in Fractionen von derselben mässigen Zahl unter ver- gleichbaren Umständen anstellt, und bei der Berechnung stets zu gleichem m zusammenfasst, so wird die daraus hervorgehende Unterscheidung der Variationen des constanten Fehlers und der reinen Fehler 4 immer nützlich, und diese fractionsweise Behandlung der unfractionirten Behandlung, wo sich die Variationen des constanten Fehlers mit dem Febler 4 ununter- scheidbar mischen, vorzuziehen bleiben.
Es wird nicht ohne Nutzen sein, wenn ich hier auch noch den wahrscheinlichen Fehler der reinen Fehlersumme 34 und des daraus abgeleiteten Mittelfehlers e angebe. Man erhält ihn, indem man respectiv Z4 oder & mit 4 aa ae a "A a - a multiplieirt*). Nehmen wir wie gewöhnlirh m=10, so isti= 0,16145; wonach man nach einer mittleren Wahrscheinlichkeit jede reine Fehlersumme so wie jeden reinen Mittelfehler aus einer Fraction am =10 ungefähr um # ihrer Grösse falsch bestimmt. Nicht, dass diess bei jeder einzelnen Fraction wirklich stattfände; aber wenn man viele Fractionen mit m=10 vor sich hat, ist der Irr- thum eben so oft über als unter dem angegebenen. Um den wahr- scheinlichen Fehler einer totalen Fehlersumme aus u Fractions- summen von gleichen m zu bestimmen; hat man die w Fractionssummen einzeln zum Quadrat zu erheben, aus der Summe dieser Quadrate die Wurzel zu ziehen, und diese mit A, d.i. m; also im Falle von m =10 mit 0,16115 zu multiplieiren. Es würden sich noch viele nützliche Bestimmungen über die Wahrscheinlichkeitsverhältnisse der Fehler hinzufügen lassen; aber diess würde hier zu weit führen.
Stirn: Neun quere Distanzen. Einheit Id. Gesammtzahl der Beob. 900, vertheilt auf 100 Tage ä 9 Beobachtungen.
Die Distanzen werden folgends in doppelter Bestimmung ge- geben, als D, wie sie der Spannweite des auf die Haut aufgesetz- ten Zirkels direct entsprechen, als D’, wie sie der wirklichen Länge der in dieser Hautstrecke begriffenen Hautstrecke entspre- chen. Da nämlich die Stirn etwas gekrümmt ist, so fällt beides nicht zusammen. Um die zu einander gehörigen Werthe von D und D’ zu bestimmen, wurde ein Papierstreifen über die Stirn gelegt, und durch den Zirkel bei der Spannweite D Puncte in derselben markirt, deren Abstand dann gemessen wurde, nach- dem der Streifen eben ausgebreitet worden. Aus mehreren sol- chen Bestimmungen wurde das Mittel genommen. Die Werthe waren: - 50 25 60 Die bei der letzten Distanz D= 60 oder D’= 65,7 erhaltenen Werthe der folgenden Tabellen können füglich ausser Acht bleiben, .
*) Astronom. Jahrb. f. 1834. S. 293. Fechner, Elemente der Psychophysik. II. 23 indem die grosse Abweichung derselben von den übrigen sehr wohl darauf geschoben werden kann, dass die Zirkelspitzen we- gen der hier sehr erheblich werdenden Krümmung der Stirn sehr schief auf die Haut auftreflen, so dass die Beobachtungen hier mit den anderen so gut wie unvergleichbar werden. Daher sind die bei dieser Distanz erhaltenen Werthbe in der Tabelle eingeklam- mert und bei der Ziehung der Totalsumme nicht mit zugezogen, welche also nur die Werthe bei denDistanzen bis D=50 inclusiv befasst. Es konnte jeden Tag die Reihe der 9 Distanzon aus dem S. 354 angegebenem Grunde nur einmal durchlaufen werden.
D LE. IR IL IR Man siebt von D=45 bis D=3f, ein deutliches Ansteigen der Fehlersumme 24 mit D, welches sogar für IZ allein genommen bis D=30 sehr genau proportional mit D vorschreitet, aber darüber hinaus kein deutliches Wachsthum mehr; sondern nur Unregel- mässigkeiten, die sich bei weiterer Fortsetzung der Beobachtun- gen zum Theil noch ausgeglichen haben könnten. Bestimmt man den Mittelfehler als durchschnittlichen für die Beobachtungen bei den 6 Distanzen D=25 bis D=50, innerhalb deren merkliche Constanz (für 1 Z und IR zusammengenommen) besteht, so findet man dieser Werth e, ist = Er Dbei D=15 und 3 bei D=50.
Der constante Fehler ist mit einer einzigen Ausnahme bei allen Distanzen in beiden Lagen positiv; aber, wie man sieht, bei der Lage IR (Fassung des Normalzirkels in der Rechten) überall kleiner als bei der Lage I ZL (Fassung in der Linken), was ein Bei- spiel für den nicht zu vernachlässigenden Einfluss der Fassungs— weise der Zirkel ist; hingegen ist keine gesetzliche Abhängigkeit der constanten Fehler von der Grösse der Distanz. bemerklich.
Für die Componenten gq und p + s des constanten Fehlers erhält man im Mittel für alle Distanzen unter Ausschluss von D= 60 Schon früher (1856 und 1857) hahe ich ähnliche Versuchs- reihen an der Stirn mit ähnlichen Resultaten angestellt, die ich übergehe, weil sie mit ungestielten Zirkeln und minder sorgfälti- ger Verhütung der Reizung der Stirnhaut angestellt waren.
II. Fechner. (Januar bis März 1859).
Linker Zeigefinger. Vorderglied, Volarseite, zwei Längsdistanzen D=5d und D=10d. Im Ganzen 400 Beobach- tungen an 20 Beobachtungstagen.
Hier zeigt sich dieFehlersumme &4 fast unverändert bei ver- doppelter Distanz. s, im Mittel aus allen Beobachtungen 0,163 d.
Die Berechnung der Componenten des constanten Fehlers giebt folgendes Resultat: D Man sieht hier die Componente s von bemerkenswerther Grösse und bei D=10.d in denDoppelwerthen so nahe stimmend, als man es bei der verhältnissmässig geringen Zahl Beobachtun- gen erwarten kann, wogegen bei D=5.d keine sonderliche Ueber- einstimmung von s, und s, in den absoluten Werthen besteht, indess die immer noch beträchtliche Grösse und Uebereinstim- mung des Vorzeichens von s, und s,, so wie geringe Grösse des nach we der Regel S. 351 berechneten wahrscheinlichen Fehlers 0,00994 beweist, dass doch auch hier der Fehler s wirklich besteht. Nur der Fehler q bei D= 5 kann überhaupt hienach durch Zufällig- keiten erklärt werden.
Il. Volkmann (April 1857).
Mittelfinger, Vorderglied, Volarseite, vier Längsdistanzen. Einheit 4 Millimeter. Ohne Rücksicht auf besondere Zeit- und Raumlage. 264 Beobachtungen.
Das Wachsthum von 34 oder &, mit den Distanzen war also viel bedeutender als bei mir in Reihe II, aber doch auch bei Weitem nicht proportional mit D.
IV. Volkmann (Jan. und Febr. 1858).
Linker Handrücken, vier quere Distanzen. Einheit 1 pa- riser Linie. Application der Zirkel durch einen Gehülfen ohne Rücksicht auf besondere Zeit-Raumlage. 480 Beobachtungen.
V. Fechner (Nov. 1857 bis April 1858).
Fünf Finger der linken Hand, Vorderglied, Volarseite, auf jedem Finger 4 Längsdistanz = 40 d. Im Ganzen 6400 Beob- achtungen, vertheilt auf 64 Beobachtungstage & 100 Beobachtungen.
An jedem Tage alle 5 Finger in zwei Zeit- Raumlagen mit 20 Beobachtungen (10 für eine Lage) durchlaufen.
Es bedeutet folgends D Daumen, 3 Zeigefinger, M Mittelfin- ger, © Goldfinger, & kleiner Finger.
Diese Reihe ist im Zusammenhange mit einer Reihe nach der Methode der Aequivalente an denselben 5 Fingern angestellt, so dass die Methode der mittleren Fehler und die der Aequivalente nach je zwei Tagen wechselten. Hier sind blos die Resultate nach der Methode der mittleren Fehler ange- Be führt; da es für jetzt zu weit führen würde, auch die der anderen Methode zu berücksichtigen, Hienach findet die grösste Fehlersumme 303,18 beim Dau- men, die kleinste 252,10 beim Zeigefinger statt, der also die grösste Unterschiedsempfindlichkeit unter den 5 Fingern zeigt.
Der wegen des endlichen m corrigirte Mittelfehler &, ist im Mittel aller 5 Finger bei allen Lagen = 0,2272 d = „4; D. Der constante Fehler c ist mit einer einzigen Ausnahme bei allen Fin- gern in allen Lagen negativ, was von der grossen negativen Com- ponente s abhängt, wogegen p, g sich positiv finden, mit Aus- nahme von p bei 3, eine Ausnahme, die um so auflälliger ist, als sie in Reihe II und VI unter ähnlichen Versuchsumständen am Zeigefinger nicht stattfindet. Bei 3 und ® stimmen die Doppel- werthe von s nicht zum besten, bei den drei anderen Fingern aber sehr gut. Der wahrscheinliche Fehler W von p, g, s ist überall zu klein, um dieselben als auf Zufall beruhend anzusehen.
Im Mittel für alle fünf Finger hat man wonach das Resultat der constanten Fehler im Mittel für alle Beob- achtungen an allen 5 Fingern dieses ist.
2 =