Wenn es gilt, den Unterschied zweier Empfindungen zu mes- sen, die durch zwei, in verschiedenen Zeit- oder Raumpuncten einwirkende, Reize hervorgebracht werden, ohne Rücksicht, ob dieser Unterschied empfunden werde, oder nicht, also einen Em- pfindungsunterschied im engeren Sinne des vorigen Kapitels, nicht einen empfundenen Unterschied zu messen, so kann selbstver- ständlich nur die Differenz der absoluten Masse, welche für die einzelnen Empfindungen gelten, dazu dienen. Diese Masse sind durch die Massformel gegeben, und es wird also das Mass des Empfindungsunterschiedes einfach als Differenz zweier durch die Massformel gegebenen Werthe zu bestimmen sein.
Seien die beiden Empfindungen, deren Unterschied es zu be- stimmen gilt, Y, y’, die zugehörigen Reize ß, 8’, und, um mit der einfachsten Voraussetzung zu beginnen, sei eine gleiche Empfind- lichkeit für #, #’ angenommen, mithin 5 für beide constant, so haben wir nach der ersten Form der Massformel S. 12 die beiden Gleichungen y=k(logß — logb) y'= k (log$'— log b) mithin als Differenz von beiden ß ß welche Formel schon S. 44 in derselben Weise abgeleitet wurde. Zu derselben Formel werden wir auch geführt, wenn wir die £& zu Grunde legen, indem = klog zweite Form der Massformel y = k log wir dann zunächst erhalten welche Formel sich wiederum dadurch, dass für die Differenz der Logarithmen,der Logarithmus des Quotienten gesetzt wird, auf die vorige reducirt.
Diese Formel wollen wir die einfache Unterschiedsfor- mel oder kurz Unterschiedsformel schlechthin nennen.
Anstatt die Unterschiedsformel in angegebener Weise aus der Massformel abzuleiten, kann man sie auch als das Allgemeinere der Massformel unmittelbar durch Integration der Fundamental- PD. u N u formel erhalten, indem dazu genügt, die Integrationsconstante, die bei Ableitung der Massformel durch Setzung der Empfindung gleich Null bei dem Reize b bestimmt wurde, dadurch zu bestim- men, dass wir allgemein die Empfindung = y’ bei dem Reizwerthe ß’ setzen.
Man sieht, dass der Schwellenwerth d aus der Unterschieds- formel verschwunden ist. Wenn also aus Unbekanntschaft mit dem Schwellenwerthe kein absolutes Mass der Empfindung durch die Massformel selbst möglich ist, kann doch die einfache Unter- schiedsformel noch dienen, Empfindungsunterschiede ihrer Grösse nach zu vergleichen, so lange die Reizschwelle nur als constant vorausgesetzt werden kann. Man sieht ferner, dass der Empfin- dungsunterschied allgemein nicht eine Function des Reizunter- schiedes, sondern Reizverhältnisses ist, indem er dem Logarith- mus desselben proportional ist.
Hier scheint sich ein Widerspruch darzubieten. Soll un- sere Formel allgemeine Gültigkeit behaupten, so muss sie für kleine wie grosse Unterschiede gelten, aber nach der Fundamen- talformel gilt für kleine Unterschiede der Ausdruck x% y=x“ wonach der Empfindungsunterschied vielmehr dem relativen Reiz- unterschiede als dem Logarithmus des Reizverhältnisses propor- tional geht, was allgemein gesprochen sehr verschiedene Verhält- nisse sind. Inzwischen lässt sich wie folgt zeigen, dass für den Fall sehr kleiner Empfindungsunterschiede beide Verhältnisse über- einkommen, so dass für diesen Fall die Unterschiedsformel auf die Fundamentalformel zurückkommt.
Seien zwei Empfindungen y und y + dy, von denen sich die zweite nur durch den kleinen Zuwachs dy von der ersten unter- scheidet, und seien die zugehörigen Reize # und & + dß, welche sich nur durch die kleine Grösse dß unterscheiden, so haben wir, indem wir y-+ dy und y als zwei unterschiedene Empfindungen, ß + dß und ß als die zugehörigen Reize in die Unterschiedsformel substituiren, zunächst Da aber 4 sehr klein ist, so können wir nach S.5 für log (! +") 5 a u er.
u Tale in Ba DU PR. ee We ‚ea m setzen M $ wo M der Modulus. Hiemit erhalten wir dy=kM = und durch Zusammenziehung von k M in die einfache Constante K dy = KG welches die Fundamentalformel ist.
Nicht minder als die Fundamentalformel lässt sich die Mass- formel als ein besonderer Fall der Unterschiedsformel darstellen, und, wie oben bemerkt, die Unterschiedsformel selbst gleich als das Allgemeinere der Massformel aus der Fundamentalformel ab- leiten. Die Massformel stellt nämlich den Fall der Unterschieds- formel dar, wo eine von beiden Empfindungen, zwischen denen der Unterschied besteht, Null wird, und mithin der zugehörige Reiz den Schwellenwerth erlangt, sofern sich jede einfache Em- pfindung auch als ein Unterschied vom Nullwerthe der Empfin- dung fassen lässt. Setzt man nun y=0 und #’=b, so ergiebt sich die Uebereinstimmung mit der Massformel unmittelbar. Setzt man y= 0 und ß = b, so erhält man zunächst Da aber nach den Eigenschaften der Logarithmen (S. 4) log zr ß so haben wir =—Ilg; £ b und durch Versetzung der Werthe dieser Gleichung mit entgegen- gesetztem Vorzeichen auf die andere Seite der Gleichung 4 b welches wiederum die Form der Massformel ist.
Hienach kann die Unterschiedsformel, wenn schon ableitbar aus der Massformel, die selbst aus der Fundamentalformel ableit- bar ist, doch als das Allgemeinere von beiden angesehen wer- den, und wie sie aus ihnen hervorgegangen ist, solche auch wie- der hergeben.
Bei dem Gebrauche der Unterschiedsformel ist nöthig, sich über die Bedeutung der Vorzeichen, welche der Unterschied y —y’ annehmen kann, zu verständigen.
Der Werth von y— y ist positiv oder negativ, je nachdem 8 > ß' oder ®< ß’. Ein positiver Werth von y — y’ zeigt natür- licherweise an, dass die Empfindung y überwiegt, welche dem —y=-— klog Y=klog Bu: s 92 Reize 8 zugehört, ein negativer, dass die Empfindung y’ über- wiegt, welche dem Reize #’ zugehört. Also bedeutet der Gegen- satz der Vorzeichen allgemein einen Gegensatz in der Richtung des Empfindungsunterschiedes, wobei beide Empfindungen über der Schwelle, oder beide unter der Schwelle, oder der eine über, der andere unter der Schwelle sein können.
Diese Bedeutung der Vorzeichen ist als die allgemeingül- tige für den Empfindungsunterschied festzuhalten; nicht aber der Gegensatz der Vorzeichen hier allgemein als Gegensatz des Be- wusstseins und Unbewusstseins der Empfindungsunterschiede zu deuten. Nur in dem besonderen Falle, wo sich durch Setzung von y = oder y = 0 die Unterschiedsformel auf die Massformel re- dueirt, nimmt der Gegensatz des Vorzeichens vor der jetzt allein übrigen absoluten Empfindung von selbst die Bedeutung des Ge- gensatzes von Bewusst und Unbewusst an, weil dieser Gegensatz sich eben nur auf das Verhältniss einer Empfindung zur Nullem- pfindung, aber nicht zu anderen Empfindungen bezieht.
Sollte man meinen, die mathematische Consequenz gestatte es nicht, vor dem absoluten Werthe einer Empfindung den Gegen- satz der Vorzeichen in so besonderer Weise zu verstehen, ohne diese Bedeutung für den Empfindungsunterschied zu verallgemei- nern, so wird es wieder nur nöthig sein, sich an ein schon frü- her gebrauchtes paralleles Beispiel aus der analytischen Geometrie zu erinnern, um das Bedenken gehoben zu sehen. Vor dem abso- luten Werthe eines Radius vector im Systeme der Polarcoordina- ten bedeutet der Gegensatz des Vorzeichens einen Gegensatz des Reellen und Imaginären; aber diese Bedeutung lässt sich auch nicht für den Unterschied zweier Radii vectores r, r’ verallgemei- nern; vielmehr bedeutet das Vorzeichen von r — r’ auch allgemein nur die Richtung eines Unterschiedes zwischen beiden, ob der eine grösser oder kleiner als der andere ist, und den Gegensatz des Reellen und Imaginären blos dann, wenn r’ oderr =0. Diess ist ganz das Analoge von unserem Falle. Zu derselben Auffassung führt die Repräsentation der positiven und negativen Empfin- dungswerthe durch positive oder negative Ordinaten, während die Reizwerthe die dazu rechtwinkligen Abseissen bilden. Wir können die Differenz zweier positiven Ordinaten gleich y— y’ nehmen, und sie wird nach unserer Unterschiedsformel negativ sein, wenn # >. Aber diese negative Differenz zwischen zwei positiven 93 93 Ordinaten hat doch nach dem Geiste der analytischen Geometrie einen ganz anderen Sinn als die gleich grosse negative Differenz einer einzigen Ordinate von Null, welche nichts Anderes ist, als eine einfache negative Ordinate selbst. Jene Differenz fällt ganz in den Raum, welcher das Bewusstsein repräsentirt, dieser ganz in den Raum, welcher das Unbewusstsein repräsentirt; und die Bedeutung des Unbewusstseins, welche letzterer Differenz zu- kommt, lässt sich also nicht auf erstere übertragen, steht aber auch nicht im Widerspruche damit; sondern beide Fälle sind be- sondere Fälle einer allgemeineren Auflassung des Vorzeichen- gegensatzes. Unsere Auffassung ist also ganz im Geiste der Mathe- matik, und es würde gar kein Zusammenhang der Formeln und Thatsachen mit einer anderen Auflassung herauszubringen sein.
Im Uebrigen sieht man, dass die Form der Unterschiedsfor- mel ganz dieselbe ist, als die der Massformel, wenn wir für den Empfindungsunterschied y — y' einen einzigen Buchstaben setzen, nur dass an die Stelle des Schwellenwerthes der Massformel der Werth des Reizes tritt, gegen den wir den anderen betrachten, und an die Stelle der Deutung des Vorzeichens auf Bewusst und Unbewusst die Deutung auf die Richtung des Unterschiedes. Unter dieser Rücksicht sind alle Gesetze und Verhältnisse, die sich aus der Massformel für absolute Empfindungswerthe ableiten lassen, auch auf Unterschiede übertragbar und umgekehrt.
Also, da Also, da ny—Y) = nklog = klog (£)* so werden wir den Unterschied zweier Empfindungen ver-n-facht finden, wenn das Verhältniss £ der Reize, welche den Empfin- dungen zugehören, auf die nte Potenz steigt, wie wir eine Empfin- dung ver-n-facht fanden, wenn das Verhältniss des Reizes zum Schwellenwerthe auf die nte Potenz steigt.
Eben so können wir Alles, was über den bezugsweisen Gang von Empfindung und Reiz gesagt ist, übertragen auf den bezugs- weisen Gang zwischen Empfindungsunterschied und Reiz, indem wir nur den fundamentalen Reizwerth nicht mehr als Verhältniss- werth gegen die Schwelle, sondern gegen den Reiz, in Bezug zu dem der Unterschied betrachtet wird, nehmen.
Ein beachtenswerther Satz, welcher schon früher S. 36 in nur etwas anderer Ausdrucksweise zur Begründung der Massfor- 2 u Be u 9% mel geltend gemacht wurde, ergiebt sich, wenn wir zu einer Reihe Reize ß, ß', 8", 8”'..., gleichviel, ob nach der Ordnung ihrer Grösse geordnet oder nicht, die Empfindungsunterschiede von je einem zum je nächsten nehmen, und diese Unterschiede summiren. Die Summe dieser Empfindungsunterschiede ist dem Empfin- dungsunterschiede zwischen den äussersten Reizen der Reihe gleich. In der That haben wir blos nöthig, die Summe der Logarithmen von & p etc. in den Logarithmus des Productes aus diesen Quo- tienten umzusetzen, um diesen Satz bestätigt zu finden.
Die Formel für Empfindungsunterschiede lässt sich leicht zu einer Formel für Unterschiede von Empfindungsunterschieden ver- allgemeinern.
Setzen wir den Empfindungsunterschied y— y= u, das Reizverhältniss Fa = 9, einen anderen Empfindungsunterschied y’—y" =u‘; das zugehörige Reizverhältniss fr = g', so haben wir u=klogp u = klog p’ mithin Diese Formel ist allgemeiner, als die für einfache Empfindungs- unterschiede geltende Formel, indem sie in dieselbe übergeht, wenn man setzt u’ = 0, was mitführt = 4, $"=ß'".
Nicht minder gelangt man zu einer Verallgemeinerung der Fundamentalformel dadurch, dass man die Unterschiedsformel u=Klogp differenzirt, wodurch man erhält du=K = welche durch Integration dieselbe allgemeine Formel u—u = klog z giebt, die wir so eben auf anderem Wege erhielten.
Eine Verallgemeinerung der Unterschiedsformel in anderem ‘Sinne erhalten wir, wenn wir, statt wie bisher, die absolute Em- pfindlichkeit und mithin den Werth 5 bei Einwirkung der beiden Reize 8, ß’ gleich zu setzen, verschiedene Schwellenwerthe, re- spectiv b, 5’ dafür stattfinden lassen. Dann verschwinden die Schwellenwerthe nicht aus der Formel, und wir erhalten 73 Burn De ed 5 Kheh WERE Diess sind blos verschiedene Formen derselben Formel, die wir kurz die Unterschiedsschwellenformel nennen können. Der Ausdruck (2) lehrt uns, dass der Empfindungsunterschied allgemein proportional ist dem Logarithmus des Quotienten aus beiden fundamentalen Reizwerthen 5 und En wovon jener durch diesen dividirtdasProduct # 5 giebt. Der Ausdruck (3), dass er dem Logarithmus des Quotienten proportional ist, den man erhält, wenn man das Verhältniss der Reize ß. mit dem Verhälte nisse der zugehörigen Schwellenwerthe N dividirt. Der Ausdruck (4) endlich, dass der Empfindungsunterschied durch die Verschie- denheit der Empfindlichkeit abnimmt oder wächst, je nachdem der Schwellenwerth b oder b’ der grössere ist, indem erstenfalls lo 4 positiv, letztenfalls negativ ist. Setzen wir nun ß als den stärkeren Reiz, so muss der Schwellenwerth b’ des schwächeren Reizes grösser sein, damit der positive Empfindungsunterschied wachse, und setzen wir 8’ als den stärkeren Reiz, so muss wie- derum der Schwellenwerth 5 des schwächeren Reizes grösser sein, damit der negative Empfindungsunterschied wachse. Allgemein also wächst der Empfindungsunterschied durch die Verschieden- heit der Empfindlichkeit oder nimmt ab, je nachdem der Schwel- lenwerth des schwächeren oder stärkeren Reizes der grössere ist, mithin der stärkere oder schwächere Reiz mit grösserer Empfind- lichkeit aufgefasst wird. Stehen die Schwellenwerthe im selben Verhältnisse, als die Reize, denen sie zugehören, so verschwindet der Empfindungsunterschied ganz.
Es gilt also in Betreff der Empfindungsunterschiede nicht dasselbe, was wir früher für die Empfindungssummen fanden, vi.
ee 96 dass es gleichgültig ist, ob die Empfindlichkeiten für den stärke- ren und schwächeren Reiz sich vertauschen.
Uebrigens zeigt dieselbe Formel, dass auch bei Verschieden- heit von 5 und b’ doch der Empfindungsunterschied merklich un- abhängig von beiden wird, wenn log rn merklich gegen log £ verschwindet, d. h. wenn die Reize #, ’ in starkem, die Schwel- lenwerthe b, b’ in geringem Verhältnisse differiren.
Die Unterschiedsschwellenformel lässt sich dadurch auf die Form der Massformel reduciren, dass wir den Empfindungsunterschied y— y’ durch u, das Reizverhältniss $ durch p, das Verhältniss der Schwellenwerthe rn durch F bezeichnen; indem sich die Form der Unterschiedsschwellenformel 2 y-yY=klog-£ v hienach übersetzt in u=klg+ Nennen wir nun den Quotienten 4 das ist das Verhältniss der Reize dividirt durch das Verhältniss der zugehörigen Schwel- lenwerthe, kurz das fundamentale Unterschiedsverhältniss, so können wir sagen, dass der Empfindungsunterschied in derselben Weise vom fundamentalen Unterschiedsverhältnisse, als die Em- pfindung vom fundamentalen Reizverhältnisse abhängt.
XXIV. Die Unterschiedsmassformel.
Nach den Erörterungen des 22. Kapitels über die Unterschei- dung von Empfindungsunterschieden und empfundenen Unter- schieden oder Contrastempfindungen kann unsere, zum Masse der ersten dienende, Unterschiedsformel nicht zugleich das Mass der letzten gewähren. In der That enthält sie blos eine Abhängigkeit des Empfindungsunterschiedes von der Grösse der Reize, aber keine Abhängigkeit von den Umständen, von welchen die Grösse des empfundenen Unterschiedes noch ausserdem abhängt, und die Thatsache der Unterschiedsschwelle liegt nicht in ihr eingeschlos- sen, wonach sie auch keine Scheide zwischen bewussten und un- bewussten empfundenen Unterschieden gewährt, die doch in der 97 Wirklichkeit nicht minder als für absolute Empfindungen besteht. Zum Masse der empfundenen Unterschiede hat uns vielmehr eine andere Formel zu dienen, welche diesen Foderungen genügt, und welche ich die Unterschiedsmassformel nenne, da sie für das Mass empfundener Unterschiede dasselbe leistet, ae na Mass- formel für das Mass absoluter Empfindungen.
Mit Rücksicht darauf, dass empfundene Unterschiede so gut ihren Schwellenwerth haben, als absolute Empfindungen, kann man zuvörderst die Unterschiedsmassformel auf eine Analogie mit der Massformel wie folgt begründen.
Bezeichnen wir, wie früher einen Empfindungsunterschied, so jetzt einen empfundenen Unterschied zwischen den Empfindungen y und y mit w, das zugehörige Reizverhältniss £, mit Y, und geben dem Werthe dieses Reizverhältnisses, bei welchem der em- pfundene Unterschied auf die Schwelle tritt, d.i. der Verhältniss- constante oder Verhältnissschwelle v dasselbe Verhältniss zu p als die einfache Schwelle 5 zu dem Reize $ in der Massformel hat, so erhalten wir Hiebei ist, wie in der Folge immer, vorausgesetzt, dass der grössere Reiz als Zähler im Werthe von p verwandt sei, mithin > 1, und log p positiv sei; was wesentlich ist, wenn bei der vorigen Form der Formel positive Werthe von u bewussten Wer- then des empfundenen Unterschiedes entsprechen sollen. Denn, wollte man den kleineren Reiz als Zähler verwenden, so würde p< 1, mithin log p negativ werden, und # um so grössere nega- tive Werthe erlangen, ein je grösseres Verbältniss der eine Reiz zum anderen erhielte, indess doch die Empfindung des Unterschie- des hiemit um so höher über die Schwelle steigt.
An sich hindert jedoch nichts, auch den kleineren Reiz im Zähler zu verwenden, nur hat man bei dieser umgekehrten Stel- lung beider Reize dann Alles in voriger Formel umzukehren, nämlich, indem man das Reizverhältniss @ in das reciproke @, = - verkehrt, auch den Werth von v in den reciproken v, = r zu verkehren, und die Stellung von p, und v, gegen die von p und v zu verkehren, also die Formel so zu schreiben Fechner, Elemente der Psychophysik. II, 7 98 u = klog welche mit der vorigen gleichen Werth hat, sofern!t =#.
“Im Folgenden wird aber die Voraussetzung p >41 and dem - gemäss'Stellung des grösseren Reizes in den Zähler immer festge- halten werden, wonach man, wenn etwa ein in gewisser Weise angebrachter Reis nach Umständen wechselnd grösser und kleiner als der andere wird, auch seine Stelle als Zähler und Nenner im Werthe von p zu wechseln hat.
Die obige Aufstellung der Formel setzt ferner allgemein ge- sprochen den Normalfall voraus, dass, wenn die zwei zeitlich oder räumlich verschiedenen Reize, deren Unterschied es aufzulfas- sen gilt, die Grösse mit einander vertauschen, so dass der grös- sere Reiz an die Stelle des kleineren tritt und umgekehrt, nur die Richtung, nicht die Grösse des empfundenen Unterschiedes sich ändert. Dieser Normalfall ist keineswegs der allgemeine Fall der Wirklichkeit, da vielmehr in allen Fällen, wo sich bei Versuchen über die Unterschiedsempfindlichkeit sog. constante Fehler in der Auffassung eines Unterschiedes je nach Raum- und Zeitlage der verglichenen Grössen zeigen (vgl. Th. I. S. 90), die Empfindung des Unterschiedes bei gleichem Grössenverhältnisse der Reize verschieden gross ausfällt, je nachdem man den einen oder ande- ren Reiz zum grösseren macht. Die Bewährung des Weber’schen Gesetzes, auf welchem unsere Formel fusst, setzt aber die Abwe- senheit oder Elimination constanter Fehler voraus.
Nun aber lassen sich constante Fehler wirklich immer durch Versuch und Rechnung eliminiren, und so die Fälle mit constan- ten Fehlern auf den Normalfall zurückführen, in vielen Fällen sind auch constante Fehler zu gering, um eine Berücksichtigung nöthig zu machen, endlich können solche, nachdem die Grundformel für den Normalfall gegeben ist, dann in geeigneter Weise noch beson- ders berücksichtigt werden (vgl. Kap. 27); wonach die Aufstel- lung der Formel für den Normalfall immer das bleibt, wovon man auszugehen hat.
Zu derselben Form der Unterschiedsmassformel, die hier blos nach Analogie aufgestellt und mithin noch nicht streng begründet erscheint, einschliesslich der Regel bezüglich der Aenderung der Form der Formel, je nachdem man 9 > 4 oder < 4 macht, lässt sich strenger aufGrund des Weber’schen Gesetzes und der That- 9 sache der Verhältnissschwelle nach einem analogen Gange als zur Massformel auf die in folgender Einschaltung angegebene Weise gelangen.
Die auf das Weber’sche Gesetz gestützte Fundamentalformel giebt für zwei Empfindungsunterschiede insbesondere hienach an VERRENFEE Indem nun y und y’ zwei Empfindungen sind, deren Unterschied y — y’ ist, kann das Differenzial hievon dy—dy’ als das Element eines Empfindungsun- terschiedes angesehen werden, dessen Werth klog Bank logg ist. Sofern aber die Hinzufügung einer Constante zu einem Integrale nichts im Differenziale ändert, ist dy — dy’ zugleich allgemeiner das Element eines um eine Constante (d. i. von g oder ß, unabhängigen Grösse) vermehrten oder verminderten Empfindungsunterschiedes. Nun lässt sich nach S. 85 der Empfindungs- unterschied mitdem besonderen Falleeines empfundenen Unterschiedes identi- ficiren, wo bei kleinstmöglicher Differenz der Reize 8,#’ein Unterschied empfun- den wird, und ein empfundener Unterschied.als der allgemeinere Fall ansehen, wo bei irgend einem bestimmten Werthe von ß die Empfindung des Unterschiedes beginnt und schwindet. Durch Integration des obigen Werthes von dy — dy’ und Constantenbestimmung in gleich anzuzeigender Weise erhalten wir den Ausdruck für diesen allgemeineren Fall und hiemit die Unterschieds- massformel.
In der That, setzen wir dy —dy’ = + du (sofern an sich kein Grund ist, das eine Vorzeichen vor dem anderen anzuwenden), so haben wir Diess giebt durch Integration unter Anwendung natürlicher Logarithmen zu=Kllgß—logp') + C =Klgp+C wo C die Integrationsconstante ist, oder, unter Ersatz natürlicher durch ge- meine Logarithmen (vgl. S. 34), und demgemäss Ersatz von X durch k zu=klgp+tcC Bestimmen wir nun die Constante C, indem wir u gleich Null setzen, wenn y den Werth v annimmt, so haben wir allgemein o=klgv+tC =Klog mithin C= — klov.
Und dieser Werth, in die allgemeine Gleichung substituirt, giebt zu=klogf = kllogp — log v) Unter Anwendung des oberen Vorzeichens haben wir also + u= k(log p — log v) = klog r (4) unter Anwendung des unteren und Umkehr des Vorzeichens auf beiden Seiten +u=k(logv-— logg) = klog — (2) Die Formel (4) entspricht der Bedingung, dass log p positiv ist und mit- hin der grössere Reiz in den Zähler gesetzt wird, die Form (2) eben so der Bedingung, dass log y negativ ist, mithin der kleinere Reiz in den Zähler ge- setzt wird, weil nur unter dieser Voraussetzung u mit Wachsthum des ab- soluten Werthes von g in positivem Sinne wachsen kann, so lange der von uns vorausgesetzte Normalfall besteht. Unterscheiden wir die beiden Fälle, dass der grössere und dass der kleinere Reiz in den Zühler gesetzt wird, dadurch, dass wir erstenfalls die Buchstaben g und v, zweitenfalls 9, und v, verwenden, so wird, insofern beide Fälle sich auf dieselbe Empfindung u beziehen, und also ihr Mass blos formell verschieden sein kann Klog? = klog": Y Pı 4 sein müssen, was voraussetzt, day, = EM dass auch v, = T sei.
Wenn der Normalfall nicht stattfände, sondern « verschiedene Werthe annähme, je nachdem die Lage des grösseren und kleineren Reizes ver- tauscht wird, so würden sich die Gleichungen (4) und (2) immer noch zur Aufstellung der Unterschiedsmassformel verwenden lassen, insofern der con- stante Fehler das Weber’sche Gesetz, wonach bei gleichem p der empfun- dene Unterschied gleich gross bleiben muss, für die eine, wie für die entge- gengesetzte Lage des grösseren und kleineren Reizes insbesondere bestehen liesse. Dann hätte man nämlich nur nöthig, die Constante v für die entge- gengesetzte Zeit- und Raumlage der verglichenen Grössen verschieden zu bestimmen. Sofern aber hiebei der Fall eintreten sollte, dass vermöge des constanten Fehlers innerhalb gewisser Gränzen der kleinere Reiz als der grössere erschiene und der empfundene Unterschied wüchse, wenn sich der Unterschied der Reize verkleinerte statt vergrösserte, würde man für diesen Fall unter Festhaltung der Regel, den grösseren Reiz stets im Zähler zu ver- wenden, in jenen Gränzen die Gleichung (2) statt (1) anzuwenden ha- ben, oder die Regel, den grösseren Reiz im Zähler zu verwenden, exceptio- nell in die gegentheilige zu verkehren haben, um noch die Gleichung (1) an- zuwenden, damit.stets positive Werthe den bewussten Werthen des em- pfundenen Unterschiedes entsprechen.
Wie bei den früheren Formeln bedarf auch bei der Unter- schiedsmassformel die Bedeutung des Vorzeichengegensatzes, welmithin Pre v = 1 5 2 chen der Empfindungswerth annehmen kann, einer besonderen Klärung.
Zur vollen Bestimmtheit des Werthes u ist nicht blos auf das Vorzeichen von « selbst, sondern auch auf das Vorzeichen der Empfindungen, zwischen denen der Unterschied besteht, zu ach- ten. Der empfundene Unterschied « nimmt nach der Herleitung blos dann beim Werthe 9 = v den Werth Null als Gränze zwi- schen bewussten und unbewussten Werthen an, wenn das Ver- hältniss @ zwischen Reizen oberhalb der Schwelle besteht, denn nur hierauf bezieht sich die erfahrungsmässige Bestimmung der Constante v, wogegen, wenn beide Reize und hiemit die zugehö- rigen Empfindungen unter die Schwelle fallen, hiemit der ganze Begriff eines empfundenen Unterschiedes verloren geht, und wenn blos ein Reiz oberhalb der Schwelle, der andere auf der Schwelle oder unter der Schwelle ist, es so gut ist, als wenn man blos mit einer einzigen Empfindung, als Differenz von einer Nullempfindung oder von einer gar nicht wirklichen Empfindung, zu thun hätte.
Diess ist desshalb zu erinnern nöthig, weil, nach der Formel u=k(logp—logv), der Werth von u positiv ausfallen kann, auch wenn beide Reize $, 8’ unter der Schwelle sind, mithin gar nichts empfunden wird, indem hiezu hinreicht, dass p > v, was sehr wohl der Fall sein kann, wenn sowohl 8 als 8’ unter der Schwelle ist, wofern nur ß ein grosses Verhältniss zu 8’ hat. Man darf dann in diesem positiven Werthe von u noch nicht das Zei- chen des Bewusstseins finden, weil die Vorbedingung dazu fehlt, das Bewusstsein der Werthe, von denen u abhängt.
Sollte gegen diese verschiedene Deutung des Vorzeichens von u, je nachdem u Function so oder so beschaffener Werthe £, $’ ist, noch ein Bedenken bestehen, so wird es sich wieder, wie schon früher so manches entsprechende Bedenken, durch Verwei- sung auf einen analogen Fall der analytischen Geometrie heben lassen. Auch in dieser kann das Vorzeichen eines Werthes u, welcher Function zweier Werthe ß, ß’ ist, eine sehr verschiedene Bedeutung annehmen, je nachdem die Werthe 8, 8’ so oder so beschaffen sind.
In der That, nehmen wir ein Quadrat mittelst eines, durch seinen Mittelpunct gelegten, den Seiten parallelen Kreuzes in vier kleinere Quadrate getheilt, die durch ».o, l.o, r.u, l.u (rechts oben, links oben, rechts’ unten, links unten) bezeichnet sein mögen, und suchen wir den analytischen Ausdruck u für die 4 klei- nen Quadrate. Der von der Mitte ausgehende rechte Arm des Kreuzes werde seiner Masszahl nach durch + ß bezeichnet, so wird der linke durch — ß# bezeichnet werden; der von der Mitte nach oben gehende Arm des Kreuzes werde durch + ’ bezeich- net, so wird der nach unten gehende Arm durch — f bezeichnet werden; und wir werden durch Multiplication dieser respectiv positiven und negativen Masszahlen mit einander erhalten als ana- Iytischen Ausdruck u für r.o den Werth + #8’ r.o den Werth + #8’ Also haben die Massausdrücke der ganz entgegengesetzt bezüglich des Mittelpunctes liegenden Quadrate r.o und l.u, deren eines eine Function blos von positiven, das andere von negativen Wer- then $, #’ ist, doch gleiches Vorzeichen, und wir können aus diesem Vorzeichen allein nicht schliessen, ob das Quadrat zu den Räumen aus positiven oder negativen Factoren gehört und welche Lage es in Bezug zu dem Mittelpuncte hat, wenn wir nicht auf das Vorzeichen der Factoren selbst zurückgehen, deren Function es ist. So können wir auch aus dem Vorzeichen von u, als Mass- ausdruck für einen empfundenen Unterschied, allein nicht schlies- sen, welches Verhältniss der empfundene Unterschied zum Be- wusstsein hat, wenn wir nicht auf die Beschaffenheit der Werthe, die darein eingehen, Rücksicht nehmen, und es ändert principiell nichts, dass wir hier im Empfindungsgebiete vielmehr mit der Function eines Quotienten, als eines Productes zu thun haben. Wie wir aber eine volle Bestimmtheit für die Quadrate erhalten, wenn wir mit den Vorzeichen von « zugleich auf die Vorzeichen von 8, #’ Rücksicht nehmen, so ist es auch mit den empfundenen Unterschieden der Fall, wenn wir u, ß, ß’ für diese verwenden.
Anstatt die Unterschiedsmassformel als Function des Reizver- hältnisses und der Verhältnissschwelle aufzustellen, können wir sie auch als Function des relativen Reizunterschiedes und der Un- terschiedsconstante wie folgt aufstellen.
Sei der eine Reiz vom anderen um die Grösse a, und die Ver- hältnissschwelle v von 4 um die Grösse @ verschieden, so hat man ee Hierin ist < der relative Reizunterschied, der kurz $ heisse, und w die Unterschiedsconstante in dem Th. I. S. 244 angegebenen Sinne. Wonach die Unterschiedsmassformel folgende Form an- nimmt In dem Falle, wo $ und ® kleine Werthe sind, deren Qua- drate sich gegen die erste Potenz vernachlässigen lassen, geht nach der S. 5 angezeigten Substitution diese Formel über in welches der Massausdruck für einen empfundenen Unterschied ist, der den eben merklichen wenig übersteigt, unter Voraussetzung, dass der eben merkliche Unterschied selbst wenig. differenten Rei- zen entspricht, wonach ein solcher Unterschied proportional ist Jem um die Unterschiedsconstante verminderten relativen Reiz- unterschiede, indess ein kleiner in der Empfindung aufgehender Empfindungsunterschied dem unverminderten relativen Reizun- terschiede proportional ist*).
Die Unterschiedsmassformel ist als das Allgemeinere der Un- terschiedsformel, und hiemit auch der Massformel und Fundamen- talformel anzusehen, sofern diese selbst besondere Fälle der Un- terschiedsformel sind. In der That geht sie in die Unterschieds- formel für den Fall über, dass v= 1, d. h. dass der empfundene Unterschied bei Gleichheit beider Reize auf die Schwelle tritt, und mithin die kleinstmögliche Abweichung von der Gleichheit gespürt würde, welches gemäss der schon $. 85 gemachten Bemerkung *) Wenn S. 8 gesagt ist, dass ein kleiner Gewichtsunterschied bei dop- pelter Grösse als merklich doppelt so gross empfunden werde, so ist diess dahin zu berichtigen, dass ein kleiner Gewichtsunterschied bei doppelter Grösse einen doppelt so grossen Empfindungsunterschied mitführe, indem nur diess a priori aus dem mathematischen Hülfsprincipe gefolgert werden kann, nicht aber, dass dieser Unterschied auch als doppelt so gross em- pfunden werde, wie denn in der That nach obiger Formel ein kleiner Ge- wichtsunterschied bei doppelter Grösse keineswegs einen doppelt so gros- sen empfundenen Unterschied mitführt, so lange nicht der Gränzwerth der relativen Unterschiedsempfindlichkeit vorausgesetzt wird. Es hat jedoch jene nur beiläufige unachtsame Verwechselung keinen Einfluss auf die Ab- leitung der Fundamentalformel und Massformel, welche unter der richtigen Anwendung des mathematischen Hülfsprincipes geschehen ist, ee ee als das Extrem oder der Gränzfall der relativen Unterschiedsem- pfindlichkeit anzusehen wäre, und womit der empfundene Unter- schied so gross wird, als der durch die Unterschiedsformel aus- gedrückte wirkliche Unterschied der Empfindungen.
In dem Normalfalle, auf den sich die Aufstellung unserer For- mel bezieht, ist v stets grösser als 4, so lange nicht die Gränze der Unterschiedsempfindlichkeit erreicht ist. Wo aber die Reize unter günstigen Verhältnissen, ihren Unterschied aufzufassen, sich befinden, und die Unterschiedsempfindlichkeit gross ist, weicht v immer nur wenig von 1 ab, wie sich z.B. bei den Versuchen über die Unterschiedsempfindlichkeit für das Licht gezeigt hat, wo nach Volkmann v = #44 gefunden wurde. Indem dann log v wenig von Null abweicht, fällt auch die Unterschiedsmassformel nahe mit der einfachen Unterschiedsformel zusammen, und diese kann statt jener approximativ so lange dienen, als nicht auch @ auf einen der Einheit sehr nahen Werth und mithin log @ auf einen der Null nahen Werth herabkommt.
Die Verhältnissschwelle v tritt, wie man sieht, in der Unter- schiedsmassformel ganz an die Stelle der Reizschwelle 6 in der Massformel, und ist eben so massgebend für den Grad der Em- pfindlichkeit, mit welchem ein gegebenes Reizverhältniss aufge- fasst wird, als die Constante b für den Grad der Empfindlichkeit, mit welchem ein gegebener Reiz aufgefasst wird. So wie - als Mass der absoluten Empfindlichkeit, kann n als Mass der relati- ven Unterschiedsempfindlichkeit dienen. Alles hat auf den Werth von v Einfluss, wodurch bei gegebenem Reizverhältnisse der em- pfundene Unterschied abgeändert wird, und es ist also v als eine Constante nur für constante Verhältnisse der Auffassung anzusehen.
Zu den einflussreichen Umständen auf den Werth von v ge- hört ausser der zeitlichen und räumlichen Differenz der Reize, deren Unterschied es aufzufassen gilt, die Beschaffenheit dessen, was sich dazwischen einschiebt, so wie, was zeitlich und räumlich umliegt. Dieser Einfluss kann so beschaffen sein, dass constante Fehler in der Auffassung des Unterschiedes entstehen, die durch Versuche und Rechnung in der bei den Massmethoden der Unter- schiedsempfindlichkeit und im 27. Kapitel angegebenen Weise zu berücksichtigen sind.
Der Grad der absoluten Empfindlichkeit, mit welchem beide Ahle a nie 4 3 tr Reize aufgefasst werden, hat, sofern er sich für beide Reize immer gleich bleibt, keinen Einfluss auf den Werth des empfundenen Unterschiedes; indess ein ungleicher Werth derselben für beide Reize einen constanten Fehler begründet, welcher die dafür zu nehmenden Rücksichten nöthig macht.
Wie jede Veränderung der Constante b in der Massformel auch durch eine reciproke Veränderung der Reizwirkung 8 vertreten werden kann, gilt das Entsprechende von der Veränderung der Constante v, sofern jede Veränderung derselben durch eine reci- proke Veränderung von @ vertreten werden kann.
Der Ausdruck für eine vollbewusste Empfindung in dem $. 87 angegebenen Sinne wird, sofern sie sich als besonders aufge- fasster Unterschied einer Empfindung oberhalb der Schwelle von einer Empfindung auf der Schwelle, d. i. von einer Nullempfin- dung fassen lässt, natürlicherweise gefunden, wenn wir in der Unterschiedsmassformel den kleineren Reiz 8’, zu dem wir den an- deren im Verhältnisse betrachten, auf den Schwellenwerth b re- duciren, indess wir zugleich die Empfindung y’ auf Null reduciren, mithin für g = ß. substituiren £ und für u substituiren y.
b So erhalten wir diese Formel y=klog &