qucs, eft celle qu'on peut décrire par l’interfe&ion d’une Parabole, & d’une ligne droite, en la façon qui fera tan- tôt expliquée. En forte que je penfe avoir entièrement fatisfait à ce que Pap- pus nous dit avoir etc cherché en cecy parles anciens, & je tâchcray d’en met- tre la démonftration en peu de mots > car il m’ennuie déjà d’en tant écrire.
Soient AB, AD, EF, GH, &c. pluficurs lignes données par pofition, & qu il faille trouver un point, comme C, duquel ayant tiré d’autres lignes droites fur les données, comme C B, CD, CF, & C H, en forte que les an- gles CBAsCDA,CFE, CHG,&c. io;ent donnez, & que ce qui eft pro- I Commet on <Joit poiér Jcs t; rmes ÎO La GEOMETRIE duit par la multiplication d'une partie de ces lignes, Toit égal à ce qui eft pro- duit par la multiplication des autres, ou bien qu’ils ayent quelque autre pro- portion donnée, car cela ne rend point la queftion plus difficile.
Premièrement, je fuppofe la chofe comme déjà faite, 5c pour me démêler de la confufion de toutes ces lignes, je pour ve- confidere l’une des données, 5c l’une nir à I*E- de celles qu’il faut trouver, parexem- quation pie A B, 5c B C, comme les principa- en cet les, 5c aufquelles je tâche de rapporter mPc' ainfi toutes les autres. Que le fegment de la ligne A B, qui eft entre les points A 5c B, foit nommé x, 5c que B C foit nommé y, 5c que toutes les autres li- gnes données (oient prolongées, juf- ques à ce qu’elles couppent ces deux, auffi prolongées s’il eft befoin, & fi el- les ne leur font point parallèles > com- me vous voyez icy qu’elles couppent la - ligne A B aux points A, E,G,*&BC aux points R, S, T. Puis à caufe que tous les angles du triangle A R B font donnez, la proportion, qui eft entre les cotez AB, 5c BR, eft auffi donnée, 5c je la pofe comme de ^ à b, de façon b x 1 Digîtized by GdQgffcT ' ^ ^ jy les trois angles du triangle D R C font donnez, & par confequent aulïi la pro- portion qui eft entre les tenez CR,& C D, que je pofe comme de \ * c: de façon que C R étant y + —,CD fera — Apres cela pource que les li- gnes A B A D, & E F font données par pofition » la diftancc qui cft entre les 31 La Geometrie points A & E eft aulîi donnée, & fi on la nomme K, on aura E B égal à x > mais ce feroit ^ — x, fi le point B tomboit encre E & A -, &c — ^-r- x, fi E tomboit entre A & B. Et pource que les angles du triangle ESB font tous donnez, la proportion de BE à BS eft aufti donnée, & je la pofe comme z. à d, fi bien que B S eft J & la toute CS eft d k ■ ; mais ce feroit zy — dk — rl x , fi le point S tomboit Z fi C tomboit entre B & S. De plus les trois angles dn triangle FSC font don- nez, & enfuirc la proportion de C S à C F, qui foie comme de ^ à e, & la route CF fera “2±£i!±±*. En Z. Z, même façon A G que je nomme / eft donnée, & BG eft / — x, &c à caufe du triangle B G T la proportion de B G à B T eft aufti donnée, qui foit comme Z Z Et ainfi vous voyez, qu’en tel nom- bre de lignes données par pofition qu’on puilTe avoir, routes les lignes tirées delfiîs du poinc C à angles donnez fui- vant la teneur de la queftion, Te peuvent toujours exprimer chacune par trois ter- mes; dont l’un eft compofé delà quan- tité inconnue y, multipliée ou divifée {>ar quelque autre connue; & l’autre de a quantité inconnue x, auflï multipliée ou divifée par quelque autre connue, & le troisième d’une quantité toute con- nue. Excepté feulement fi elles font pa- rallèles, ou bien à la ligne A B; auquel cas le terme compofé de la quantité x fera nul; ou bien à la ligne C B, auquel cas celuy qui eft compofé de la quanti- té y fera nul; ainfi qu’il eft trop mani- fefte pour que je m’arrête à l’expliquer. Et pour les fignes -+•, & —, qui fe joi- gnent à ces termes, ils peuvent être changez en toutes les façons imagina- bles.
Puis vous voyez auifi, que multipliant pluficurs de ces lignes l’une pat l’autre.
i4 La Geometrie les quantitez x &c y, qui fc trouvent dans le produit, n’y peuvent avoir que chacune autant de dimenfions, qu’il y a eu de lignes, à l’explication defquel- les elles fervent, qui ont été ainfi mul- tipliées: en forte qu’elles n’auront ja- mais plus de deux dimenfions, en ce qui ne fera produit que par la multi- plication de deux lignes, ny plus de trois en ce qui ne fera produit que par la multiplication de trois, & ainfi à l’in- fini.
C rminct De plus, à caufc que pour determio» trouve ner ie pQ;nt C, il n’y a qu’une feule Problème condition qui foit requife, à fçavoir eft plan, que ce qui eft produit par la multipli- lorfiju'il cation d’un certain nombre de ces lignes 11 fo t égal, ou ( ce qui n’eft de rien plus prôpofc mal-aifé ) ait la proportion donnée, à ce en plus I qui eft produit par la multiplication des i hgnes autres; on peut prendre à diferetion l’u- ne des deux quantitez inconnues a* ou y, & chercher l’autre par cette Equa- tion, en laquelle il eft évident que lors- que la queftion n’eft point propofée en plus de cinq lignes, la quantité x qui ne fert point à l’expreflïon de la pre- mière peut toujours n’y avoir que deux dimenfions; de façon que prenant une quantité de M. Descartes. 15 quantité connue pour y, il ne reftera que x x y> -+- ou — ax -+- ou — b b, 5c ainfi on pourra trouver la quantité x avec!a réglé & le compas, en la fa- çon tantôt expliquée. Même prenant fucceffivement infinies dsverfès gran- deurs pour la ligne y, on en trouvera aufli infinies pour la ligne x, & ainfi on aura une infinité de divers points, tels que celuy qui eft marqué C, par le moyen defquels on décrira la ligne cour- be demandée.
Il fe peut faire aufiî, la queftion é- tant propofée en fix, ou plus grand nombre de lignes -, s’il y en a entre les données, qui foient parellcles à B A, ou B C, que l’une des deux quantitez x ou y n’ait que deux dimenfions en l’Equation, & ainfi qu’on puifle trouver le point C avec la réglé & le compas. Mais au contraire fi elles font toutes parallèles, encore que la queftion ne foit propofée qu’en cinq lignes,ce point C ne pourra ainfi être trouvé, à caufe que la quantité* ne fe trouvant point en toute l’Equation, il ne fera plus per- mis de prendre une quantité connue pour celle qui eft nommée y, mais ce fera elle qu’il faudra chercher. Et pour- 16 La GEOMETRIE ce qu’elle aura trois dimcnfions, on ne la pourra trouver qu'cn tirant la racine d’une Equation cubique; ce qui ne fe peut généralement faire fans qu’on y employé pour le moins une fedtion co- nique. Et encore qu’il y ait jufques à neuf lignes données, pourvu qu’elles ne l'oient point toutes parallèles, on peut toujours faire que l’Equation ne monte quejufqucs au quart é de quarré; au moyen de quoy onia peur auffi tou- jours réfoudre par les fedbions coniques, en la façon que j’expliqueray cy-aprés. Et encore qu’il y en ait jufques à tre ze, on peut toujours faire qu’elle ne monte que jufques au quarré de cube -, enfuite de quoy on la peut réfoudre par le moyen d’une ligne, qui n’eft que d’un degré pluscompofée que les ferions co- niques, en la façon que j’expliqueray au(É cy-aprés. Et cecy eft la première partie de ce qucj’avoisicyà démontrer; mais avant que je paflé à la fécondé il eft befoin que je die quelque chofeen ge„ neral de la nature des lignes courbes."
• j LIVRE SECOND.
De la nature des lignes courbes.
LEs anciens ont fort bien remarqué. Quelle* qu’entre les Problèmes de Geome- *?nt 1« trie, les uns font plans, les autres foli- des, 8c les autres linéaires > c’eft à dire, CjU.0n que les uns peuvent êtreconftruits, en peut rê- ne traçant que des lignes droites, & des cevoir en cercles } au lieu que les autres ne le peu- G5°mc” vent erre, qu on n y employé pour le moins quelque fedion conique} ni enfin les autres, qu’on n’y employé quelque autre ligne plus compo fée. Mais je m’é- tonne de ce qu’ils n’ont point outre cela diftingué divers degrez entre ccs lignes plus compo fées, &jene fçaurois com- prendre pourquoy ils les ont nommées Mechaniques, plutôt que Géométriques.
Car de dire que ç’ait été à caufe qu’il eft befoin de fe lèrvir de quelque utachine pour les décrire, il faudroit rejetter par meme raifon les cercles & les lignes ' 18 La Geometriï droites; vû qu’on ne les décrit fur Ip papierqu’avec un compas, 6c une ré- glé, qu’on peut aufli nommer des ma- chines. Ce n’eft pas non plus, à caufe que les inftrumens, qui fervent à les tra- cer, étant plus compofcz que la réglé & le compas j ne peuvent être fi juftesj car il faudroit par cette raifon les rejer-ter desMéchaniques, où lajuftefle des ou- vrages qui fortent de la main efl: defirée, filûtôt que de la Geometrie, ou c’eft feu- ement la jufteffe du raifonnemenr qu’on recherche, 6c qui peut fans doute être aufiï parfaite touchant ces lignes, que touchant les autres. Je ne diray pas aufli que ce foit à caufe qu’ils n’ont pas vou- lu augmenter le nombre de leurs de- mandes, & qu’ils fe font contentez qu’on leur accordât, qu’ils puflent join- dre deux points donnez par une ligne droite, 5c décrire un cercle d’un centre donné, qui pafsât par un point donné; car ils n’ont point fait de fcrupule de fuppofer outre cela, pour traiter des fe- rions coniques, qu’on pût coupper tout cône donné par un plan donné: Sc il n’eft befoin de rien fuppofer pour tra- cer toutes les lignes courbes, que je prê- tons icy d’introduire j finon que deux DE M. Di SCARTIS. îf> on plnficurs lignes puifl'enc être menés .l’une par l'autre, & que leurs interfé- rions en marquent d’autres » ce qui ne me paroîc en rien plus difficile. Il cft vray qu'ils n’ont pas auffi entièrement receu les ferions coniques en leur Géo- métrie, & je tfe veux pas entreprendre de changer les noms qui ont été apprôu- vez par l’ufage; mais il cft, ee me fem- ..ble, très- clair, que prenant comme on fait pour Géométrique ce qui eft précis & exar, èc pour Mechanique ce qui ne l’eft pas; Sc confidcrant la Géomé- trie comme une fcicnce, qui enfeigne généralement à connoître les mefures de tons les corps, on n’en doit pas plu- tôt exefure les 1 gnes les plus compofées que les plus limples, pourvu qu’on les puifle imaginer erre décrites par un mouvement continu, ou par plufteurs qui s’entrefuivent & dont les derniers foient entièrement réglez par ceux qui Tes précèdent: car par ce moyen on peut toujours avoir une connoilfance exa&e de leur mefure. Mais peut être que ce qui a empêché les anciens Geometres de recevoir celles qui étoient plus com- pofées que les feétions coniques, c’cft que les premières qu’ils ont confiderées V 3© La GEOMETRIE V 3© La GEOMETRIE ayant par hazard cté la Spirale, la Qua* dratrice, &c femblables, qui n’appar- tiennent véritablement qu’aux Mecha- niques, & ne font point du nombre de «elles que je penfe devoir ici être receues, à caufe qu’on les imagine décrites pat deux mouvemens feparez, & qui n’ont •entre eux aucun rapport qu’on puifle mefurer exactement, bien qu’ils ayent après examiné la Conchoide, la Cifloi- de, & quelque peu d’autres qui en font, toutefois à caufe qu’ils n’ont peut-être pas allez remarqué leurs proprietez, ils n’en ont pas fait plus d’état que des pre-- mieres. Ou bien c’eft que voyant qu’ils ne connoiflbicnt encore que peu de cho- ies touchant les ferions coniques, 6C qu’il leur en reftoit même beaucoup, touchant ce qui fc peut faire avec la réglé & le compas, qu’ils ignoroient, ils ont crû ne devoir point entamer de matière plus difficile. Mais pource que j’cfpere que d’orenavant ceux qui au-. sont l’adrelTc de fe fervir du calcul Géo- métrique icy propofé, ne trouveront pas allez dequoy s’arrêter touchant les problèmes plans, ou folides je croy qu’il eft à propos que je les invite à d’autres recherches, où ils ne manque- ront jamais d’exercice.
I I dé M. De s carte s. ji Voyez les lignes A B, A D, A F, &c femblables, que je fuppofe avoir été dé- crites par l’aide de l’inftrument Y Z, qui eft compofé de plufieurs reigles tel- lement jointes, que celle qui eft mar- qué Y Z étant arretée fur la ligne AN» on peur ouvrir & fermer l’angle X Y Z; & que lorfqu’ileft tout fermé, les points B, C, D, F, G, H font tous aflbmblez au point A; mais qu’à mefure qu’oç* Fouvre, la reigle B C, qui eft jointe à angles droits avec X Y au point B, pouf- fe vers Z la réglé C D, qui coule fur Y Z en faifant toujours des angles droits avec elle, & C D poufle D E, qui cou- le rout de même fur YX en demeurant parallèle à B C, DE poufle E F, E F poufle FG, celle- cy poufle GH; & on Qigilized b/ Google 7 La Gïometrii en peut concevoir une infinité d*autres; qui Ce pondent confecutivcment en me- me façon, & dont les unes fadent tou- jours les mêmes angles avec Y X, & les autres avec Y Z. Or pendant qu’on ou- vre ainfi l’angle XY Z, le point B dé- crit la ligne AB, qui eft un cercle, SC les autres points D, F, H, où fe font les interférions des autres réglés, dé- crivent d’aurres lignes courbes AD, AF, AH, dont les dernieres font par ordre plus compofées que la première, & cel- le- cy plus que 'e cercle; mais je ne voy pas ce qui peut empêcher, qu'on ne conçoive audi nettement, & audîdiftin- élément la defeription de cette premiè- re, que du ccicle, ou du moins que des fcélions coniques •, ny ce qui peut empêcher qu’on ne conçoive la fécon- dé, & latroifiéme, & tontes les autres, qu’on peut décrire, audi bien que la Î>remiere -, ny par confequent qu’on ne es reçoive toures en même façon, pour fervir aux fpeculations de Geometrie. ^*rrr°n Je POLirro*s rnettre icy plufieurs au- gucr tou" tres m°ycns P0ur tracer & concevoir tes les li- des lignes courbes, qui feroienrde plus gnes en plus compofées par degrez à l’infini, courbes Mais pour comprendre enfemble toutes jitîzcïbyîXfü J jitîzcïbyîXfü J de M. Descartes. j$ celles qui font en la nature, Sc les di- en cer- ftinguer par ordre en certains genres, taiusgcn- je ne fçache rien de meilleur que de dire res tt de que tous les points de celles qu’on peut foimoitrc nommer Géométriques, c eit a dire qui <jU.0nc tombent fous quelque mefure précife & tous leur» cxaéfce, ont neceftairemcnt quelque rap- points à port à tous les points d’une ligne droi- “ux clcs te, qui peut être expr.mp par quelque j^oiics» équation, en tous par une même. Et que lorfquc cette équation ne monte que jufques au reélangle de deux quan- titez indéterminées, ou bien au quarré d’une même, la ligne courbe eft du pre- mier & plus fimple genre, dans lequel il n’y" a que le cercle, la parabole, l’hy- perbole, & l’Ellipfe qui foient compri- fess mais que lorfque l’équation monte jufques à la trois ou quatrième dimen- fion des deux, ou de l’une des deux quantitez indéterminées, car il en faut deux pour expliquer icy le rapport d’un point à un autre, elle eft du lêcond: & que lorfque l’équation monte jufques à la- cinquième ou fixiétne dimenfion, el- le eft du troifîémc -, & ainfi des autres à l’infini.
Comme fi je veux fçavoir de quel genre eft la ligne E C, que j’imagine * B v être décrite par l’interfeétion de la regltf GL, & du plan rettilignc GNKL » dont le côté KNcft indefiniement pro- longé vers C, & qui étant mû fur le plan de deflous en ligne droite, c’eft à dire en telle forte que fon diamètre K L fe trouve toujours appliqué fur quelque endroic de la ligne B A prolongée de part & d'autre, fait mouvoir circulai- ceraenr cette règle GL autour du point G, à eau fe qu’elle luy eft tellement join» te qu’elle pa^c tot3j°urs par le point L.. Je choifi6ime ligne droite, comme AB» pour rapporter a fes divers points tous ceux de cette ligne courbe EC, & en cette ligne A B je choifis un point, com- me A, pour commencer par luy ce cal- DE M. D F. S C A R T E S. JJ Cul. Je dis quejechoifis & l’un& l’au- tre, à caufe qu’il eft libre de les pren- dre tels qu’on veut; car encore qu’il y ait beaucoup de choix pour rendre l’é- quation plus courte & plusaifée, tou- tefois en quelle façon qu’on les prenne, on peut toujours faire que la ligne pa- reille de même genre, ainfi qu’il eft aifé à démontrer. Apres* cela prenant un point à diferetion dans la courbe, com- me C, fur lequel je fuppofe que l’inftru- ment qui fert à la décrire eft appliqué, je tire de ce point C la ligne C B paral- lèle à G A, & par ce que C B & B A font deux quantitez indéterminées & inconnues, je les nomme l’un y & l’au- B vj 3 6 La Geometrie quantirez connues qui déterminent la deferiprion de cette ligne courbe, com- me G A que je nomme a, KL que je nomme b, 8c N L parallèle à G A que je nomme c; puis je dis: comme N L eft à L K, ou c à b, ainfi C B s ou y, cft à B K, qui eft par confequent ~ y: en multipliant la première par la derniè- re; & ainfi l’cquation qu’il falloir trou- ver cft de laquelle on connoît que la ligne E C eft du premier genre, comme en effet elle n’eft autre qu’une Hyperbole.
Que fi en l’inftrument qui fért à la DB M. D ESC A RT! S. 37 décrire on fait qu’au lieu de la ligne droite C N K, ce foie cette Hyperbole, ou quelque autre ligne courbe du pre- mier genre, qui termine le plan CNKL > l’interfedlion de cette ligne & de la ré- glé G L décrira, au lieu de l’Hyperbo- le E C, une autre ligne courbe, qui fe- ra du fécond genre. Comme fi C N K eft un cercle, dont L foit le centre, on décrira la première Conchoide des an- ciens -, & fi c’eft une Parabole donc le diametre foit K B, on décrira la ligne courbe, que j’ay tantôt dit être la pre- mière, & la plus fimple pour laqueftion de Pappus, loifqu il n’y a que cinq li- gnes droites données par pofirion. Mais fi au lieu d’une de ces lignes courbes du premier genre, c’en eft une du fé- cond, qui termine le plan C N K L, on en décrira par fon moyen une du troi- fiéme, ou fi c’en eft une du troifiéme, on en décrira une du quatrième, & ainfi à l’infini, comme il eft fort aife à connoître par le calcul. Et en quelque autre façon, qu’on imagine la deferi- ption d’une ligne courbe, pourvu qu’el- ie foit du nombre de celles que je nom- me Géométriques, on pourra toujours trouver une équation pour déterminer 38 La Ge om et ri g tous fcs points en cette forte.'
Au refte je mets les lignes courbesr\ qui font monter cette équation jufques au quarré de quarré, au même genre que celles qui ne la font monter que jufques au cube; & celles dont 1 équa- tion monte au quarré de cube, au mê- me genre que celles dont elle ne monte qu’au furfolide, 8c ainfi des autres. Dont la raifon eft, qu’il y a réglé generale pour réduire au cube toutes les difhcul- tez qui vont au quarré de quarré » 8c au furfolide toutes celles qui vont au quar- ré de cube, de façon qu’on ne les doit point eftimer plus compofées.
Mais il eft à remarquer qu’entre les? lignes de chaque genre, encore que la? plufpart foient également compofées enforte qu’elles peuvent fervir à déter- miner les mêmes points, & conftruire1 lés mêmes Problèmes, il y en a toutes fois aufll quelques unes, qui font plus- fîmples, & qui n’ont pas tant d’ éten- due en leur pui (Tance *, comme entre cel- les du premier genre outre I’Ellipfe, l’Hyperbole 8c la Parabole qui font également compofées, le cercle y eft: aufti compris, qui manifeftement eft plus (impie >■&.entre celles du fécond D E M. De S CARTE S. Jt) genre il y a la Conchoide vulgaire, qui a fon origine du cercle -, &ii y en a en- core quelques autres, qui bien qu’elles n'ayent pas tant d’étendue que la pluf- part de celles du même genre, ne peu- vent toutefois être mifes dans le pre- mier.
Or apres avoir ainfi réduit toutes les Suite Je lignes courbes à certains genres, il m’eft l’explica- aifé de pourfuivre en la demonftration tlon 1* de la réponfe que j’ay tantôt faite à la jePappuî queftion de Pappus. Car premièrement m;fc au .ayant fait voir cy-deflus que lorfqu’il livre pré- n’y a que trois ou quatre lignes droites cedent. données, l’équation qui fert à déter- miner les points cherchez, ne monte que jufques au quarré; il eft évident que la ligne courbe où Ce trouvent ces points eft neceflairement quelqu’une de celles du premier genre: à caufe que cette même équation explique le rap- port qu’ont tous les points des lignes du premier genre à ceux d’une ligne droite. Et que lorfqu’il n’y a point plus de huit lignes droites données, cette équation ne monte que jufques au quar- ré de quarré tout au plus, & que par confequent la ligne cherchée ne peut être que du fécond genre, ou au dcl- 4 o La Geo mïtiui 4 o La Geo mïtiui fous. Et que Iorfqu’il n’y a point plus de douze lignes données, l’équation '. ne monte que jufques au quatré de cu- be, & que par conlequent la ligne cher- chée n’eft que du troificme genre, ou au deifous, & ainfî des autres. Et mê- me à caufe que la pofition des ligne» droites données peut varier en toutes fortes, & par confequent faire changer tant les quantitez connues, que les li- gnes -+• & — de l’équation, en tou»- tes les façons imaginables; il eft évi- dent qu’il n’y a aucune ligne courbe 4 du premier genre, qui ne foie utile à cette queftion, quand elle eft propofee en quatre lignes droites; ny aucune du fécond qui n’y foit utile, quand elle eft propofee en huit j ny du troifiéme*. quand elle eft propofée en douze, SC ainfi des autres. En forte qu’il n’y a pas- une ligne courbe qui rombe fous le cal- cul &r puifle êtte receuc en Geometrie » Solution qui n’y foit utile pour quelque nombre de cette de lignes.
queftion M ais il faut icy plus particulièrement Clue Ie détermine, & donne la façorv propofee de trouver la ligne cherchée, qui fert qu’en ). en chaque cas, lorfqu’il n’y a que trois ou 4. li- ou quatre lignes droites données > & gnes.
de M. Des carte s. 41 on verra par même moyen que le pre- mier genre des lignes courbes n’en con- tient aucunes autres, que les trois fe- rions coniques, & le cercle.
Reprenons les quatre lignes AB, AD, E F, & GH données cy-delïus, & qu’il faille trouver une autre ligne, en laquel- le il fe rencontre une infinité de points tels que C, duquel ayant rire les quatre lignes CB, CD, CF, & CH, à an- gles donnez, fur les données, C B mul- tipliée par C F, produit une fornme égale à C D, multipliée par C H, c'eft à dire La Ghomîtri'î 4* _ —dtkzz~\ yyx+cfgiJ y J O -hfgxx.
(tîl — C g Z Z.
au moins en fuppofant e z. plus grand que c g, car s’il étoit moindre, u fau- drait changer tous les lignes -t- & — *. Et fi la quantité jr fe trouvoit nulle, ou moindre que rien en cette équation, lorfqu’on a fuppofé le point C en l’an- gle D A G, il faudrait lefuppoferaulfi en l’angle D A E, ou E A R > ou R A G, en changeant les lignes -t- & — fe^on qu’il feroit requis a cet effet. Et fi en toutes ces quatre pofitions la valeur à' y fe trouvoit nulle, la queftion ferait im- {(olïibleau cas propofé. Maisfuppofons» à icy être polfible, 8c pour en abréger les termes, au lieu des quantités — écrivons im, 8c au tZi — cgzz lieu de Jezz écrivons bcfgl x — b efg x x 1 n txj e Zi — c g z z dont la 2 mn x tzi — c g zz ' b cfg l,.., j*.n n — btfg,. p ces quantitez.étant toutes données 9 nous les pouvons nommer comme il nous plaift, & ainfi nous avons y m n +/ • x •+- y m m -*r<>x x x, qui 1*11 m ^ doit être la longueur de la ligne BC, en laiflant AB, ou x indéterminée. Et il eft évident que la queftion n’étant propofée qu’en trois ou quatre lignes, on peut toujours avoir de tels termes, excepte que quelques uns d’eux peuvent être nuis, & que les lignes -+■ & — % 44 La GïoMitiIip peuvent diverfement être changer.
Après cela* je fais Kl égale & paral- lèle à B A, en forte Qu’elle Coùppe de B C la partie B K égale à' m, à caufe qu’il y a icy -t- m & je l’aurois ajou- tée en tirant cette ligne IR de l’autre côté, s’il y avoit eu • — m •, Sc je ne l’au- rois point du tout tirce, fi la quantité m eût été nulle. Puis je tire aufii I L, en forte que la ligne I K eft à K L com- me Z eft à n\ c’eft à dire que I K étant x y K L eft —.v. Et par même moyen je connois aufii la proportion qui eft tre K L j & I L, que je pofe comme entre eft JLx y Et je fais que le point K foit entre L & C, à caufe qu’il y a icy — • —x’y au lieu que j’aurois mis L entre fe point tiré cette ligne I L, fi -^-x eût été nulle.
Or cela fait, il ne me refte plus pour la ligne L C, que ces termes, LC 30 ce M. De sc art es. 45 s’ils étoient nuis, ce point C fe trouve- ipit en la ligne droite I L j Ht que s’ils croient tels que la racine s’en pût tirer, c’eft à dire que mm Ht — x x étant 1 m marquez d’un meme ligne -+- ou —, termes mm Ht o x, ou ox Sc —x x m fuflent nuis, ce point C fe trouyeroit en une autre ligne droite qui ne feroic pas plus mal-aifée à trouver qu’l L. Mais lorlque cela n’eft pas, ce point C eft toujours en l’une des trois feétions coniques, ou en un cercle, dont l’un des diamètres eft en la ligne I L, & la ligne L C eft l’une de celles qui s’ap- pliquent par ordre à ce diamètre; où au contraire L C eft parallèle au dia- mètre, auquel celle qui eft en la ligne I L eft appliquée par ordre. A fçavoir fi le terme — x x, eft nul, cette feétion m conique eft une Parabole; Ht s’il eft marqué du figne •+-, c’eft une Hyper- bole; Ht enfin s’il eft marqué du figne — .c’eft une Ellipfe. Excepté feulement fi la quantité à a m eft égale à f z. z & cjue l’angle 1 L Ç foit droit: auquel ca* 46 La Geometrï!
on a un cercle au lieu d’une Ellipfe.'
Que fi cette fe&ion eft une Parabole, Ton côté droit eft égal à —, & Ton diamettre eft toujours en la ligne IL & pour trouver le point N, qui en eft le fommet, il faut faire I N égaie à ——; & que le point 1 foit entre L & N, fi les termes font -+- m m •+■ a x; ou bien que le point L foit entre I & N, s’ils font -h m m — o x i ou bien il faudrait qu’N fût entre I & L, s’il y avoit — mm ■+. ox. Mais il ne peut jamais y avoir — m m » en la façon que les termes ouc icy été pofcz. Et enfin le point N fe- rait le meme que le point I fi la quan- tité mm écoit nulle. Ati moyen dequoy DE M. Descartes. 4? îl eft aifé de trouver cette Parabole par le premier Problème du premier Livre d’Apollonius.
Que fi la ligne demandée eft un cer- cle, ou une cliipfe, pu une hyperbole, il faut premièrement chercher le point M, qui en cft le centre, 5c qui eft tou- jours en la ligne droite IL, où on le A 0 W T \ trouve en prenant Pour IM en forte que fi la quantité o cft nulle, ce centre cft juftement au point I. Et fi la ligne cherchée eft un cercle, ou une el- lipfe -, on doit prendre le point M du meme côté que le point L, au refpeét du point I, lorfqu’on a -+- o x, & lorf- qu’on a — o x, on le doit prendre de l’autre. Mais tout an contraire en l’Hy- perbole, fi on a — o x, ce centre M doit être vers L.; & fi on a -t- ox, il doit être de l’autre côté. Après cela le côré droit de la figure doit être a a 4 * 1 ôc que la ligne cherchée eft un cer- cle, ou une ellipfe; ou bien lorfqu’on a — mm, 5c que c’eft une Hyperbole } & il doit être ±ÜÉi5, fi la a a * a 48 La Giomitru ligne cherchée étant un cercle ou une ellipfc, on a — mm-, ou bien fi étant une Hyperbole & la quantité o o étant plus grande que 4 mp, on a -+- mm. Que fi U quantité m m eft nulle, ce côté droit eft —,8c ft.0x.eft nulle, il 6b eft V H——. Puis pour le côté traver- U x 1 Tant, il faut trouver une 1 gne, qui foit à ce côté droit comme a a m eft à p z z., à fçavoir fi ce côté droit eft et a. H * — — — J y -t- Et en tous ces PP P*- *, cas le diamètre de la feétion eft en la li- gne I M, & L C eft l’une de celles qui luy eft appliquée par ordre. Si bien que faifant M N égale à la moitié du côté traverfant 8c le prenant du même côté du point M, qu’cft le point L, on a le point N pour le fommet de ce dia- mètre, en fuite de quoy il eft aifé de trouver la feétion par le fécond 8c troi- fiéme Problème du premier Livre d’A- pollonius.
Mais quand pette fe&ion étant une Hyperbole, on a -1 - mm -, 8c que la quantité Digitized by'Google bïM, Descartis. 49 quantité o o eft nulle ou plus petite que 4f>m, on doit tirer du centre M la li- gne MOP parallèle à L C, & CP pa- rallèle à L M, & faire M O égale à <9/ mm — i ou bien la faire égale > + P & a m fi la quantité 0 x eft nulle. Puis confiderer le point O, comme le fom- met de cette Hyperbole, dont le dia- mètre eft O P, & C P la ligne qui lujr eft appliquée par ordre, & fon côté droit £ft V & fon côté PP*"4 P* **4