die Anzahl, welche dem Begriffe „gleich aber nicht gleich 0" zukommt, ist die 0. Also folgt nach unserer Erklärung die Anzahl, welche :dem Begriffe „gleich 0" zukommt, in der natürlichen Zahlen- r-eihe unmittelbar auf 0.
Wenn wir nun definiren: 1 ist die Anzahl, welche dem Begriffe „gleich zukommt, so können wir den letzten Satz so ausdrücken: 1 folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittt auf 0.
Es ist Tielleicbt nicht überflüssig zu bemerken, dase die Definition der 1 zu ihrer objectiven Rechtmässigkeit keine beobachtete Thatsache*) voraussetzt; denn man ver- wechselt leicht damit, dass gewisse subjective Bedingungen erfüllt sein müssen, um uns die Definition möglich zu machen, und dasa uns Sinneswahmehmungen dazu veranlassen^ *) Sat2 ohn« Allgemeinheit. **) Vergl. B. ErdmanD, die Axiome der Geometrie S. IÖ4.
1 1 Dies kann immerhin znfrfffen, ohne daüs die abgf>teiteten Sätze aufhören, a priori zu sein. Zu solchen Bedingungen gehört z. B. auch, dass Blut in hinreicheoder Fülle und richtiger BeschRffeoheit das Gehirn durchströme — wenigstens soviel wir wissen; — aher die Wahrheit unseres letzten Satzes ist davon unabhängig; sie bleibt bestehen, auch wenn dies nicht mehr stattfindet; und selbst, wenn alle Vemunfl- wesen einmal gleichzeitig in einen Winterschlaf verfallen sollten, so würde sie nicht etwa ^o lange aufgehoben sein, sondern ganz ungestört bleiben. Die Wahrheit eines Satzes ifit eben nicht sein Gedachtwerden.
§ 78. Ich lasse hier einige Sätze folgen, die mittels unserer Definitionen zu beweisen sind. Der Leser wird leicht übersehen, wie dies geschehen kann.
1. Wenn a in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf folgt, so ist a = 1.
2. Wenn 1 die Anzahl isl^ welche einem Begriffe zukommt, so giebt es einen Gegenstand, der unter den Begrifi fiÜlt.
3. Wenn 1 die Anzahl ist, welche einem Begriffe F zn- kotomt; wenn der Gegenstand x unter den Begriff F fällt, und wenn y unter den Begriff F fallt, so ist I = y; d. h. X ist dasselbe wie y, 4. Wenn unter einen Begriff F ein Gegenstand fällt, und wenn allgemein daraus, dass s unter den Begriff F fällt, und dass y unter den Begriff F fällt, geschlossen werden kann, ilass x = y ist, so ist 1 die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt.
5. Die Beziehung von m zu n, die durch den Satz: „0 folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m" gesetzt wird, ist eine beiderseits eindentige.
Hiermit ist noch nicht gesagt, dass es zu jeder Anzahl eine andere gebe, welche auf sie oder auf welche sie in der Zahlenreihe unmittelbar folge.
B. Jefle Anzahl ausser der folgt in der natiirlid Zahlenreihe onniittetbar auf eine Anzahl. § 79. Um n«n beweisen zu können, dass auf jede Anzahl (n) in der natürlichen Zahlenreihe eine Anzahl an- mittetbar folge, mass man einen Begiiff aufweisen, dem diese letzte Anzahl zukommt. Wir ivähleu als diesen „der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe ange- hörend", der znn&chBt erklärt werden muss.
Ich wiederhole zunächst mit etwas andern Worten die Definition, welche ich in meiner „Begriffsschrift" vom Folgen in einer Reihe gegeben habe. Der Satz „wenn jeder Gegenstand, zu dem x in der Beziehung yf steht, imter den Begriff F fällt, und wenn daraus, dass d unter den Begriff F fällt, allgemein, was auch d sei, folgt, dass jeder Gegenstand, zu dem d in der BeziPhung f steht, unter den Begriff F falle, so fällt j unter den Begriff F, was auch F für ein Begriff sein möge' sei gleichbedeutend mit „y folgt in der jc-Keihe auf x" nnd mit „X geht in der cr-Reihe dem y vorher." § 80. Einige Bemerkungen hierzu werden nicht öber- flfissig sein. Da die Beziehung >/: unbestimmt gelassen ist, 60 ist die Eeihe nicht nothwendig in der Form einer räum- lichen und zeillichen Anordnung zu denken, obwohl diese Fälle nicht ausgeschlossen sind.
Man könnte vielleicht eine andere Erklärung für natür- licher halten z. B.: wenn man von x ausgehend seine Auf- merksamkeit immer von einem Gegenstande zu einem andern lenkt, zu welchem er in der Beziehung ^ steht, und veenn man auf diese Weise schliesslich y erreichen kann, so sagt man y folge in der p - ßeihe auf i.
9fr Dies ist eine Weise die Sache za untersuchen, keine Definition.. Ob wir bei der Wanderung unserer Aufinerk- samkeit y erreichen, kann von mancherlei subjectiven Neben- um ständen abbangen z. B. von der uns zu Gebote stehenden Zeit, oder von unserer Kenntniss der Dinge. Ob y auf x in der ip - Reihe folgt, hat im Allgemeinen gar nichts mit unserer Aufmerksamkeit und den Bedingungen ihrer Fort- bewegung zu thun, sondern ist etwas Sachliches, ebenso wie ein grünes Blatt gewisse Lichtstrahlen reflectirt, mögen sie nun in mein Auge fallen und Empfindung hervorrufen od^ nicht, ebenso wie ein Salzkom in Wasser löslich ist, mag ich es ins Wasser werfen und den Vorgang beobachten oder nicht, und wie es selbst dann noch löslich ist, wenn ich gar nicht die Möglichkeit habe, einen Versuch damit anausteilen.
Durch meine Erklärung ist die Sache aus dem Bereiche subjectiver Möglichkeiten in das der objectiven Bestimmtheit erhoben. In der That: dass aus gewissen Sätzen ein anderer folgt, ist etwas Objectives, von den Gesetzen der Bewegung unserer Aufmerksamkeit Unabhängiges, und es ist dafür einerlei, ob wir den Schluss wirklich machen oder nicht. Hier haben wir ein Merkmal, das die Frage überall ent- scheidet, wo sie gestellt werden kann, mögen wir auch im einzelnen Falle durch äussere Schwierigkeiten verhindert sein, zu beurtheilen, ob es zutrifft. Das ist für die Sache selbst gleichgiltig.
Wir brauchen nicht immer alle Zwischenglieder vom Anfangsgliede bis zu einem Gegenstande zu durchlaufen, um gewiss zu sein, dass er auf jenes folgt. Wenn z. B. gegeben ist, dass in der f -Reihe b auf a und c auf b folgt, so können wir nach unserer Erklärung schliesseu, dass c auf a folgt, ohne die Zwischenglieder auch nur zu kennen.
Durch diese Definition des Folgens in einer Reihe wird es allein möglich, die Schlussweise von n auf (n + 1), welche scheinbar der Mathematik eigenthümlich ist, auf die i|.Uge? meinen logischen Gesetze zurückzuführen.
94 § 81. Wenn wir nun als Beziehung ip diejenige haben, in welche m zu u gesetzt wird durch den Satz ^n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m,^ so sagen wir statt „f^-Beihe^ „natürliche Zahlenreihe". Ich deflnire weiter: der Satz „y folgt in der ip - Reihe auf x oder y ist dasselbe wie x" sei gleichbedeutend mit „y gehört der mit x anfangenden f Reihe an" und mit „X gehört der mit y endenden ip - Reihe an". Demnach gehört a der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe an, wenn n entweder in der natürlichen Zahlen- reihe auf a folgt oder gleich a isf^).
§ 82. Es ist nun zu zeigen, dass — unter einer noch anzugebenden Bedingung — die Anzahl, welche dem Begriffe „der* mit n endenden natürlichen Zahlenreihe ange- hörend" zukommt, auf n in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar folgt. Und damit ist dann beu' lesen, dass es eine Anzahl giebt, welche auf n in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar folgt, dass es kein letztes Glied dieser Reihe giebt. Offenbar kann dieser Satz auf empirischen Wege oder durch Induction nicht begründet werden.
Es würde hier zu weit führen, den Beweis selbst zu geben. Nur sein Gang mag kurz angedeutet werden. Es ist zu beweisen 1. wenn a in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf d folgt, und wenn von d gilt: '*') Wenn n keine Anzahl ist, so gehört nur u selbst der mit u en- denden natürlichen Zahlenreihe an. Man stosse sich nicht an dem Ausdrucke!
to die Anzahl, welche dem Begriffe jjAer mit d endenden natürlichen Zahlenreihe ange- hörend" zukommt, folgt in der natürlichen Zahlenreihe un- mittelbar auf d, so gilt auch von a: die Anzahl, welche dem Begriffe „der mit a endenden natürlichen Zahlenreihe ange- hörend" zukommt, folgt in der natürlichen Zahlenreihe un- mittelbar auf a.
Es ist zweitens zu beweisen, dass von der das gilt, was in den eben ausgesprochenen Sätzen von d und von a ausgesagt ist, und dann zu folgern, dass es auch von n gilt, wenn n der mit anfangenden natürlichen Zahlenreihe ange- hört. Diese Schlussweise ist eine Anwendung der Definition, die ich von dem Ausdrucke „y folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf x" gegeben habe, indem man als Begriff F jene gemeinsame Aussage von d und von a, von und von n zu nehmen hat. § 83. Um den Satz (1) des vorigen § zu beweisen, müssen wir zeigen, dass a die Anzahl ist, welche dem Be- griffe „der mit a endenden natürlichen Zahlenreihe ange- hörend, aber nicht gleich a" zukommt. Und dazu ist wieder zu beweisen, dass dieser Begriff gleichen Umfanges mit dem Begriffe „der mit d endenden natürlichen Zahlenreihe ange- hörend" ist. Hierfür bedarf man des Satzes, dass kein G^enstand, welcher der mit anfangenden natürlichen Zahlenreibe angehört, auf sich selbst in der natüilichen Zahlenreihe folgen kann. Dies muss ebenfalls mittels unserer Definition des Folgens in einer Reihe, wie oben angedeutet ist, bewiesen werden*).
*) E. Schröder dcheint a. a. 0. S. 63 diesen Satz als Folge einer auch anders denkbaren Bezeichnongsweise anzusehen. Es macht sich auch hier der Uebelstaud bemerkbar, der seine ganze Darstellong dieser Wir werden hierdurch geuüthigt, dem Satze, dass i Anzahl, welche dem Begriffe „der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe an| hörend" zukommt, in der natürlichen Zahlenreihe nnmittelbar folgt, die Bedingung hinzuzufügen, dass n der mit an- fangenden natürlichen Zahlenreihe angehöre. Hiertür ist eine kürzere Äusdrucka weise gebräuchlich, die ich nun erkläre-. der öatz „n gehört der mit anfangenden natürlichen Zahlen- reibe an" ^H sei gleichbedeutend mit ^| „n ist eine endliche Anzahl". ^| Bann kunnen wir den letzten Satz so ausdrücken; keine endliche Anzahl folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf sich selber.,^^ Unendliche Anzahlen. ^H § 84. Den endlichen gegenüber stehen die unendliches Anzahlen. Die Anzahl, welche dem Begriffe,, endliche An- zahl" zukommt, ist eine unendliche. Bezeichnen wir sie etwa durch ooi! "Wäre sie eine endliche, so könnte sie nicht auf sich selber in der natürlichen Zahlenreihe folgen. Man kann aber zeigen, dass oo, das thut.
In der so erklärten unendlichen Anzahl oot liegt nichts irgendwie Geheiranissyolles üderWunderbaies. „Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist co," heisst nun nichts mehr und nichts weniger als: es giebt eine Beziehung, welche die unter den Begriff P fallenden Gegenstände den endlichen Sache beeinträchtigt, dasa man nklt recbt weiss, ob die Zahl ein Zeichen iat, uod was dann dessen Bedeutung-, oder ob sie ebeu diese Bedeutuag ist. Daraus, dass man verschiedene Zeiuben festaetzl, sodass nie dasselbe wiederkehrt, folgt nuch nicht, dasa diese Zeichen auch Verschiedenes bedeuten.
97 Anzahlen beiderseits eindeutig zuordnet. Dies ist nach unseren Erklärungen ein ganz klarer und unzweideutiger Sinn; und das genügt, um den Gebrauch des Zeichens ooi zu rechtfertigen und ihm eine Bedeutung zu sichern. Dass wir uns keine Vorstellung von einer unendlichen Anzahl bilden können, ist ganz unerheblich und wfirde endliche Anzahlen ebenso treffen. Unsere Anzahl ooi hat auf diese Weise etwas ebenso Bestimmtes wie irgendeine endliche: sie ist zweifellos als dieselbe wiederzuerkennen und von einer andern zu unterscheiden.
§ 85. Vor Kurzem hat G. Cantor in einer bemerkens- werthen Schrift"^) unendliche Anzahlen eingeführt. Ich stimme ihm durchaus in der Würdigung der Ansicht bei, welche überhaupt nur die endlichen Anzahlen als wirklich gelten lassen will. Sinnlich wahrnehmbar und räumlich sind weder diese noch die Brüche, noch die negativen, irrationalen und complexen Zahlen; und wenn man wirklich nennt, was auf die Sinne wirkt, oder was wenigstens Wirkungen hat, die Sinneswahrnehmungen zur nähern oder entferntem Folge haben können, so ist freilich keine dieser Zahlen wirklich. Aber wir brauchen auch solche Wahrnehmungen gar nicht als Beweisgründe für unsere Lehrsätze. Einen Namen oder ein Zeichen, das logisch einwurfsfrei eingeführt ist, können mt in unsern Untersuchungen ohne Scheu gebrauchen, und so ist unsere Anzahl ooi so gerechtfertigt wie die Zwei oder die Drei.
Indem ich hierin, wie ich glaube, mit Cantor überein- stimme, weiche ichv doch in der Benennung etwas von ihm ab. Meine Anzahl nennt er „Mächtigkeit,^^ während sein Begriff**) der Anzahl auf die Anordnung Bezug nimmt. Für *) Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre. Leipzig, 1883.
♦*) Dieser AusdruclLvkann der früher hervorgehobenen Objectivität des Begriffes zu widersprechen scheinen; aber subjectiv ist hier nur die Benemmng.
98 endliche Anzahlen ergiebt sich freilich doch eine Unab- hängigkeit von der Reihenfolge, dagegen nicht für unendlich- grosse. Nun enthält der Sprachgebrauch des Wortes „Anzahl'^ und der Frage „wieviele?" keine Hinweisung auf eine bestimmte Anordnung. Cantors Anzahl antwortet vielmehr auf die Frage: „das wievielste Glied in der Succession ist das Endglied?" Darum scheint mir meine Benennung besser mit dem Sprachgebrauche übereinzustimmen. Wenn man die Bedeutung eines Wortes erweitert, so wird man darauf zu achten haben, dass möglichst viele allgemeine Sätze ihre Geltung behalten und zumal so grundlegende, wie für die Anzahl die Unabhängigkeit von der Reihenfolge ist. Wir haben gar keine Erweiterung nöthig gehabt, weil unser Begriff der Anzahl sofort auch unendliche Zahlen umfasst. § 86. Um seine unendlichen Anzahlen zu gewinnen, führt Cantor den Beziehungsbegriff des Folgens in einer Succession ein, der von meinem „Folgen in einer Reihe" abweicht. Nach ihm würde z. B. eine Succession entstehen, wenn man die endlichen positiven ganzen Zahlen so anordnete, dass die unpaaren in ihrer natürlichen Reihenfolge für sich und ebenso die paaren unter sich auf einander folgten, ferner festgesetzt wäre, dass jede paare auf jede unpaare folgen eoUe. In dieser Succession würde z. B. auf 13 folgen. JEe^ würde aber keine Zahl unmittelbar der vorhergehen. Pies ist nun ein Fall, der in dem von mir definirten Folgen in der Reihe nicht vorkommen kann. Man kann streng beweisen^ ohne ein Axiom der Anschauung zu benutzen, dass wenn, y, auf x in der ^- Reihe folgt, es einen Gegenstand giebt, 4^r in dieser Reihe dem y unmittelbar vorhergeht. Mi|' sch.einen nun genaue Definitionen des Folgens in der Succession und der cantorschen Anzahl noch zu fehlen. So beruft sich Cantor auf die etwas geheimnissvolle „innere Anschauung," wo ein Beweis aus Definitionen anzustreben upd wohl auch möglich wäre. Denn ich glaube vorauszu- sehen, wie sich jene Begriffe bestimmen Hessen. Jedenfalls 99 will ich darch diese Bemerkungen, deren Berechtigung und Fruchtbarkeit durchaus nicht angreifen. Im Gegentheil be- grttsse ich in diesen Untersuchungen eine Erweiterung der Wissenschaft besonders deshalb, weil durch sie ein rein arithmetischer Weg zu höhern nnendlichgrossen Anzahlen (Mächtigkeiten) gebahnt ist.
^ y, Schluss.
§ 87. Ich hoffe in dieser Schrift wahrscheinlich gemacht zu haben, dass die arithmetischen Gesetze analytische Urtheile und folglich a priori sind. Demnach wfirde die Arithmetik nur eine weiter ausgebildete Logik, jeder arithmetische Satz ein logisches Gesetz, jedoch ein abgeleitetes sein. Die An- wendungen der Arithmetik zur Naturerklärung wären logische Bearbeitungen von beobachteten Thatsachen*); Rechnen wäre Schlussfolgern. Die Zahlgesetze werden nicht, wie Bau- mann**) meint, eine praktische Bewähning nöthig haben, um in der Aussenwelt anwendbar zu sein; denn in der Aussenwelt, der Gesammtheit des Räumlichen^ giebt es keine Begriffe, keine Eigenschaften der Begriffe, keine Zahlen. Also sind die Zahlgesetze nicht eigentlich auf die äussern Diuge anwendbar: sie sind nicht Naturgesetze. Wohl aber sind sie anwendbar auf Urtheile, die von Dingen der Aussen- welt gelten: sie sind Gesetze der Naturgesetze. Sie be- haupten nicht einen Zusammenhang zwischen Naturerschei- nungen, sondern einen solchen zwischen Urtheilen; und zu diesen gehören auch die Naturgesetze.
§ 88. Kant***) hat den Werth der analytischen Urtheile offenbar — wohl in Folge einer zu engen Begriffsbestimmung — unterschätzt, obgleich ihm der hier benutzte weitere Begriff *) Das Beobachten schliesst selbst schon eine logische Thätigkeit ein.
voigescliwebt zu Italien scheint*). Weim man seine Defi- nition zu Gnmde legt, ist die Eiutlieilung in analytiselie und synthetische ürtheile nicht erschöpfend. Er denkt an den Fall des allgemeio bejahenden Urtheils. Dann kann man von einem Snbjectsbegriffe reden und fragen, ob der Prädicalsbegriff in ihm — zufolge der Definition — enthalten sei, "Wie aber, wenn das Subject ein einzelner Gegenstand ist? wie, wenn es sich um ein Existentialurtheil handelt? Dann kann in diesem Sinne gar nicht von einem Subjects- begriffe die Rede sein. Kant scheint den Begriff durch beigeordnete Merkmale bestimmt zu denken; das ist aber eine der am wenigsten fruchtbaren Begrilfabildungen. Wenn man die oben gegebenen Definitionen überblickt, so wird man kaum eine von der Art finden. Dasselbe gilt auch von den wiiklich fruchtbaren Definitionen in der Mathematik z. B. der Stetigkeit einer Punction. Wir haben da nicht eine Reihe beigeordneter Merkmale, sondern eine innigere, ich möchte sagen organischere Verbindung der Bestimmungen. Man kann sich den Unterschied durch ein geometrisches Bild anschaulich machen. Wenn man die Begriffe (oder ihre Umfange) durch Bezirke einer Ebene darstellt, so entspricht dem durch beigeordnete Merkmale detinirten Begrifi'e der Bezirk, welcher allen Bezirken der Merkmale gemeinsam ist; er wii'd durch Theile von deren Begrenzungen umsclilossen. Bei einer solchen Definition handelt es sich also — im Bilde zu sprechen — darum, die schon gegebenen Linien in neuer Weise zur Abgrenzung eines Bezirks zu verwenden**). Aber dabei kommt nichts wesentlich Neues zum Vorschein. Die fruchtbareren Begriffsbestimmungen ziehen Grenzlinien, die noch gar nicht gegeben waren. Was sich aus ihnen schliessen lasse, ist nicht von vomherein zu übersehen; man holt dabei *) S. 43 sagt er, dags ein sjulhetisoher Satz nur dann nach i Satze des Widerspruchs eiiigeBeheu werden katiu, wenn eis andrer i thetiscber Satz Torana gesetzt wird.
•*) Ebenso, wenn die Merkmale durch »oder" verbondea Bind.
nicht einfach aus dem Kasten wieder heraus, was man hinein- gelegt hatte. Diese Folgerungen erweitern unsere Kennt- nisse, und man sollte sie daher Kant zufolge für synthetisch halten; dennoch können sie rein logisch bewiesen weMed und sind also analytisch. Sie sind in der That in den Defi- nitionen enthalten, aber wie die Pflanze im Samen, nicht wie der Balken im Hause. Oft braucht man mehre Defini- tionen zum Beweise eines Satzes, der folglich in keiner einzelnen enthalten ist und doch aus allen zusammen irein logisch folgt.
§ 89. Ich mnss auch der Allgemeinheit der Behauptung Kants*) widersprechen: ohne Sinnlichkeit würde uns kein Gegenstand gegeben werden. Die Null, die Eins sind Gegen- stände, die uns nicht sinnlich gegeben werden können. Auch Diejenigen, welche die kleineren Zahlen für anschaulich halten, werden doch einräumen müssen, dass ihnen keine der Zablen^ die grösser als 1000 (*^ *^) sind, anschaulich gegebeh werden können, und dass wir dennoch Mancherlei von ihnen wissen. Vielleicht hat Kant das Wort „Gegetiständ" in etwas anderm Sinne gebraucht; aber dann fallen die Null, die Eins, unser ooi ganz aus seiner Betrachtung heraus; denn Begrifi*e sind sie auch nicht, und auch von Bögriffen verlangt Kant*), da*5s man ihnen den Gegenstand in der Anschauung beifüge.
Um nicht den Vorwurf einer kleinlichen Tadelsucht gegenüber einem Geiste auf mich zu laden, zu dem wir nur mit dankbarer Bewunderung aufblicken können, glaube ich auch die Uebereinstimmung hervorheben zu müssen, welche weit überwiegt. Um nur das hier zunächst Liegende zu berühren, sehe ich ein grosses Verdienst Kants darin, dass er die Unterscheidung von synthetischen und analytischen Urtheilen gemacht hat. Indem er die geometrischen Wahr- heiten synthetisch und a priori nannte, hat er ihr wahres loa loa Wesen enthüllt. Und rlies ist noch jetzt werth wiederholt zu werden, weil es noch oft verkannt wird. Wenn Kant eich hinsichtlich der Arilhmetik geirrt hat, so thnt das, glaube ich, seinem Verdienste keinen wesentlichen Eintrag. Ihm kam es darauf an, dase es synthetische Urtheile a priori giebl; ob sie nnr in der Geometrie oder auch in der Arith- metik vorkommen, ist von geringerer Bedeutung.
§ 90. Ich erhebe nicht den Anspruch, die analytische Nfttnr der arithmetischen Sätze mehr als wahrscheinlich gemacht zu haben, weil man immer noch zweifeln kann, ob ihr Beweis ganz aus rein logischen Gesetzen geführt werden könne, ob sich nicht irgendwo ein Beweisgrund andrer Art unvermerkt einmische. Dies Bedenken wird auch durch die Andentungen nicht vollständig entkräftet, die ich für den Beweis einigei' Sätze gegeben habe; es kann nur durch eine lückenlose Schlusskette gehoben werden, sodass kein Schi'itt geschieht, der nicht einer von wenigen als rein logisch an- erkannten Schlussweisen gemäss ist. So ist bis jetzt kaum ein Beweis geführt worden, weil der Mathematiker zufrieden ist, wenn jeder Uebeigang zu einem neuen Urtbeile als richtig einleuchtet, ohne nach der Natur dieses Einleuchtens zu fragen, ob es logisch oder anschaulich sei. Ein solcher Fortschritt ist oft sehr zusammengesetzt und mehren ein- fachen Schlüssen gleichwerthig. neben welchen noch aus der Anschauung etwas einäiessen kann. Man gehl sprungweise vor, und daraus entsteht die scheinbar überreiche Maunich- faltigkeit der Scblussweiseu in der Mathematik; denn je gi'össer die Sprünge sind, desto vielfachere Combinationen ans einfachen Schlüssen und ÄuscbauungsaxiomeQ können sie vertreten. Dennoch leuchtet uns ein solcher Uebergang oft unmittelbar ein, ohne dass uns die Zwischenstufen zum Bewusstsein kommen, und da er sich nicht als eine der anerkannten logischen Schlussweisen darstellt, sind wir sogleich bereit, dies Einleuchten für ein anschauliches und die er- schlossene Wahrheit für eine synthetische zu halten, auch dann, Avenn der Geltungsbereich offenbar über das An- schauliche hinausreicht.
Auf diesem Wege ist es nicht möglich, das auf An- schauung beruhende Synthetische von dem Analytischen rein zu scheiden. Es gelingt so auch nicht, die Axiome der Anschauung mit Sicherheit vollständig zusammenzustellen, sodass jeder mathematische Beweis allein aus diesen Axiomen nach den logischen Gesetzen geführt werden kann.
§ 91. Die Forderung ist also unabweisbar, alle Sprünge in der Schlussfolgerung zu vermeiden. Dass ihr so schwer zu genügen ist, liegt an der Langwierigkeit eines schritt- weisen Vorgehens. Jeder nur etwas verwickeitere Beweis droht eine ungeheuerliche Länge anzunehmen. Dazu kommt, dass die übergrosse Mannichfaltigkeit der in der Sprache ausgeprägten logischen Formen es erschwert, einen Kreis von Schluss weisen abzugrenzen, der für alle Fälle genügt und leicht zu übersehen ist.
Um diese Uebelstände zu veimindern, habe ich meine Begriffsschrift erdacht. Sie soll grössere Kürze und üeber- sichtlichkeit des Ausdrucks erzielen und sich in wenigen festen Formen nach Art einer Rechnung bewegen, sodass kein Uebergang gestattet wird, der nicht den ein für alle Mal aufgestellten Regeln gemäss ist*). Es kann sich dann kein Beweisgrund unbemerkt einschleichen. Ich habe so, ohne der Anschauung ein Axiom zu entlehnen, einen Satz bewiesen**), den man heim ersten Blick für einen synthetischen halten möchte, welchen ich hier so aussprechen will: Wenn die Beziehung jedes Gliedes einer Reihe zum nächstfolgenden eindeutig ist, und wenn m und y in dieser Reihe auf x folgen, so geht y dem m in dieser Reihe vorher oder fällt mit ihm zusammen oder folgt auf m.
♦) Sie soll jedoch nicht nur die logische Form wie die boolesche Bezeichnungsweise, sondern auch einen Inhalt auszudrücken im Stande sein.
Aus tUesem Beiveise kann man ersehen, dass Sätze, welche unsere Kenntnisse erweitern, analytische ürtheile enthalten können*).
Ändere Zahlen.
§ 92, Wir haben unsere Betrachtung bisher auf die Anzahlen beschränkt. Werfen wir nun noch einen Blick auf die andern Zahlengattungen und versuchen wir flir dies weitere Feld nutzbai' zu machen, was wii' auf dem engern erkannt haben!
Um den Sinn der Frage nacli der Möglichkeit einer gewissen Zahl klar zu machen, sagt Hankel**): „Ein Ding, eine Substanz, die selbständig ausserhalb des denkenden Suhjects und der sie veranlassenden Objecte existirte, ein selbständiges Princip, wie etwa bei den Pytha- goräern, ist die Zahl heute nicht mehr, Die Frage von der Existenz kann daher nur auf das denkende Snbject oder die gedachten Objecte, deren Beziehungen die Zahlen dai-- stellen, bezogen werden. Als unmöglich gilt dem Mathema- tiker streng genommen nui- das, was logisch unmöglich ist, d. h. sich selbst widerspricht. Dass in diesem Sinne un- mögliche Zahlen nicht zugelassen werden können, bedarf keines Beweises. Sind aber die betreffenden Zahlen logisch möglich, ihr Begriff klar und bestimmt detinirt und *) Dieseu Beweis wird man immer noch viel zu weitläufig fini ein Nachtbeil, der vielleieht die fast unbedingte SkherheiC for ein^T Fehler oder einer Lücke raebr als aufzuwiegen seBeint. Mein Zweck war damnls Alles auf die müglichät geriuge Zahl von tnüglichät einfauhen logischen Gesetzen zurflckzuführen. Infolge dessen wendete ich nur eine einzige Schlusaweise an. Ich wies aber schon damals im Vorworte S. Vll daiauf hin, dase flir die weitere Anwendung ea sich emiifehlBu würde, mehr Schlussweiseu zuzulasseu. Dies kann geschehen ohne der Bündigkeit der Schlnsskette z« ecliaileu, uud so läset sieh «ine bei "^ teude Abkürzung erreielieu.
M M ohne Widerspruch, so kann jene Frage nur darauf hinaus* kommen, ob es im Gebiete des Realen oder des in der An* schauung Wirklichen, des Actuellen ein Substrat derselben, ob es Objecte gebe, an welchen die Zahlen, also die intellec- tuellen Beziehungen der bestimmten Art zur Erscheinung kommen".
§ 93. Bei dem ersten Satze kann man zweifeln, ob nach Hankel die Zahlen in dem denkenden Snbjecte oder in den sie veranlassenden Objecten oder in beiden existiren. Im räumlichen Sinne sind sie jedenfalls weder innerhalb noch ausserhalb weder des Subjects noch eines Objects. Wohl aber sind sie in dem Sinne ausserhalb des Subjects, dass sie nicht subjectiv sind. Während jeder nur seinen Schmerz, seine Lust, seinen Hunger fühlen, seine Ton- und Farben- empfindnngen haben kann, können die Zahlen gemeinsame Gegenstände für Viele sein, und zwar sind sie für Alle genau dieselben, nicht nur mehr oder minder ähnliche innere Zustände von Verschiedenen. Wenn Hankel die Frage Von der Existenz auf das denkende Snbject beziehen will, so scheint er sie damit zu einer psychologischen zu machen, was sie in keiner Weise ist. Die Mathematik beschäftigt sich nicht mit der Natur unserer Seele, und wie irgend- welche psychologische Fragen beantwortet werden, muss für sie völlig gleichgiltig sein.
§ 94. Auch dass dem Mathematiker nur, was sich selbst widerspricht, als unmöglich gelte, muss beanstandet werden. Ein Begriflf ist zulässig, auch wenn seine Merkmale einen Widerspruch enthalten; man darf nur nicht voraus- setzen, dass etwas unter ihn falle. Aber daraus, dass der Begriflf keinen Widerspruch enthält, kann noch nicht ge- schlossen werden, dass etwas unter ihn falle. Wie soll man übrigens beweisen, dass ein Begriflf keinen Widerspruch ent- halte? Auf der Hand liegt das keineswegs immer; daraus, dass man keinen Widerspruch sieht, folgt nicht, dass keiner da ist, und di^ Bestimmtheit der De^tfon leistet keinQ Gewähr dafür. Hankel beweist*), dass ein höheres be- grenztes complexes Zahlensystem als das gemeine, das allen Gesetzen der Addition und Multiplication unterworfen wäre, einen Widerspruch enthält. Das muss eben bewiesen werden; man sieht es nicht sogleich. Bevor dies geschehen, könnte immerhin jemand unter Benutzung eines solchen Zahlen- systems zu wunderbaren Ergebnissen gelangen, deren Be- gründung nicht schlechter wäre, als die, welche Hankel**) von den Determinantensätzen mittels der alternirenden Zahlen giebt; denn wer bürgt dafür, dass nicht auch in deren Be- graflfe ein versteckter Widerspruch enthalten ist? Und selbst, wenn man einen solchen allgemein für beliebig viele alter- nirende Einheiten ausschliessen könnte, würde immer noch nicht folgen, dass es solche Einheiten gebe. Und grade dies brauchen wir. Nehmen wir als Beispiel den 18. Satz des 1. Buches von Euklids Elementen: In jedem Dreiecke liegt der grössern Seite der grössere Winkel gegenüber.
Um das zu beweisen, trägt Euklid auf der grössern Seite AC ein Stück AD gleich der kleinern Seite AB ab und beruft sich dabei auf eine frühere Construction. Der Beweis würde in sich zusammenfallen, wenn es einen solchen Punkt nicht gäbe, und es genügt nicht, dass man in dem Begriffe „Punkt auf AC, dessen Entfernung von A gleich B ist'^ keinen Widerspruch entdeckt. Es wird nun B mit D verbunden. Auch dass es eine solche Gerade giebt, ist ein Satz, auf den sich der Beweis stützt.
§ 95. Streng kann die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes wohl nur durch den Nachweis dargelegt werden, dass etwas unter ihn falle. Das Umgekehrte würde ein Fehler sein. In diesen verfällt Hankel, wenn er in Bezug auf die Gleichung x + b = c sagt***): „Es liegt anf der Hand, dass es, wenn b 7^ c ist, keine Zahl X in der Reihe 1, 2, 3, • •. giebt, welche die betreffende Aufgabe löst: die Subtraction ist dann unmöglich. Nichts hindert uns jedoch, dass wir in diesem Falle die Differenz (c — b) als ein Zeichen ansehen, welches die Aufgabe löst, und mit welchem genau so zu operiren ist, als wenn es eine numerische Zahl aus der Reihe 1, 2, 3,...wäre/' Uns hindert allerdings etwas (2— -3), ohne Weiteres als Zeichen anzusehen, welches die Aufgabe löst; denn ein leeres Zeichen löst eben die Aufgabe nicht; ohne einen Inhalt ist es nur Tinte oder Druckerschwärze auf Papier, hat als solche physikalische Eigenschaften, aber nicht die, um 3 vermehrt 2 zu geben. Es wäre eigentlich gar kein Zeichen, und sein Gebrauch als solches wäre* ein logischer Fehler. Auch in dem Falle, wo e 7^ b, ist nicht das Zeichen („c— b") die Lösung der Aufgabe, sondern dessen Inhalt.
§ 96. Ebensogut könnte man sagen: unter den bisher bekannten Zahlen giebt es keine, welche die beiden Gleichungen zugleich befriedigt; aber nichts hindert uns ein Zeichen ein- zufuhren, das die Aufgabe löst. Man wird sagen: die Auf- gabe enthält ja einen Widerspruch. Freilich, wenn man als Lösung eine reelle oder gemeine complexe Zahl verlangt; aber erweitern wir doch unser Zahlsystem, schaffen wir doch Zahlen, die den Anforderungen genügen! Warten wir ab, ob uns jemand einen Widerspruch nachweist! Wer kann wissen, was bei diesen neuen Zahlen möglich ist? Die Eindeutigkeit der Subtraction werden wir dann freilich nicht aufrecht er- halten können; aber wir müssen ja auch die Eindeutigkeit des Wurzelziehens aufgeben, wenn wir die negativen Zahlen einführen wollen; durch die complexen Zahlen wird das Logarithmiren vieldeutig.
Schaffen wir auch Zahlen, welche divergirende Reihen zu Summiren gestatten! Nein! auch der Mathematiker kann nicht beliebig etwas schaffen, so wenig wie der Geograph; auch er kann nur entdecken, was da ist. und es benennen.